【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:40:43.02

締切りの過ぎた問題をみんなで議論しましょう。

過去スレ：
1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:45:59.97

　　　　　　　　 |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|　　　　　　解　今　　 |
　　　　　　 |;:;:_:;:_:;:_:;:_;:;_:;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_;:|　　　　　　か　日　　　|
　　　　　　　　 |＿＿＿＿＿_|＿＿＿＿_|　　　　　　な　　　　 l
　　　　　　　　　|::::| ｀｀｀｀｀｀｀´´´´　: : : :｜　　　　　か　　　　 !
　　　　　　　　　|::::|　　く三)　　　(三ｼ : : :|'.　　　　　っ　　　　 /
　　　　　　 r=Y:f　　　　　　　　　　　　:.ﾍ'，　　　　た　　　 /
　　　　　　 |ｆト|:|　tｰｔ:ﾃﾐヽ　.ｨチｔ:ｧ‐r　: |∧　　　　ら　　　 /
　　　　　　 {{ ｰ:l　｀￣ '´ 　 |::.ヾ￣´ . : :|_,ハ、　　　　　／
　　　　　　ヾｰ!　　　　　 |::、　　　: : j_／　＞ー‐一'´
　　　　　　　　｀¨', 　　　 -､_;:-　　　 : :/
　　　　　　　　 l'. 　　,r===== 、　 :/ｈ
.　 ,.　-―‐- ＜.　/!:.ヽ　ヾ====='′.／: j l＼
／　　　　　　＼|: : . ＼.｀""""´／　: / .|:.:.:.:',、
　　　　　　　　　　＼　　｀ｰ一'´: 　 :/　 |:.:.:.:.:',｀:.ー-　、
　　　　　　　　　ヽ　　　　 }: : .／　　.|:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:｀:.ｰ-　、
　　　　　　　　　　　　　 '.ｰ- 　 j: :/　　　 |:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.｀
　必　　も　　明.　　　'.　　　入　　　 |:.:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　要　　　っ　　日　　　 ',　　 / / ＼　 !＼:.:.:／.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　に　　　と　　　は　　　　ｉ　　j./　　　＼|:.:.:.｀:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　な　　大　　　　　　 | 　 j′　　　 .!:.:.:
　る　　　き
　ぞ　　　な
　　　　努
　　　　力
　　　　が

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:47:31.23

削除依頼を出しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 20:45:35.98

みんなで答え出し合おうよ？

**いえやす** · 2018/09/23(日) 08:20:49.48

締切まで待とう時鳥(ほととぎす)

**とあるエレ解常連** · 2018/09/23(日) 21:38:44.11

斥候部隊の難易度情報は欲しいところです

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/24(月) 10:14:10.44

エレガントな解答なんて
無かったんや(迷言)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/24(月) 11:48:55.01

出題１
　k=1 のときは見覚えのある関数だが、k≧2 は？

出題２
　・λ∈R の中で面倒な計算をゴリゴリ敢行するか、
　・Cまで広げてギリシャの幾何学をする

**とあるエレ解常連** · 2018/09/29(土) 08:24:23.84

>>8
ギリシャの幾何学。。
何もぼかせていない気が
だめですよーヒント過多はw

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 11:30:20.71

https://www.web-nippyo.jp/elegant/
びっくりした。問題が公開された上に、webでの解答も可になった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 11:55:37.97

PDF ファイルを送信かよ

で、送信した解答は公開されるのか？？？

**とあるエレ解常連** · 2018/10/08(月) 19:21:43.49

消印締め切りまであと5時間弱です。
時間はまだたっぷりあります。ネバーギブアップで頑張っていただきたい。
要所で粘れるか、それとも簡単に諦めてしまうか、生き様が試されます。
でも今月2問を5時間で解くのははっきり言ってつらい。
私は時弘先生の大ファンですが、彼の問題は秋の行楽シーズンにはそぐわない。
他に誘惑のないじとじとする梅雨の時期、またはコタツがぬくい極寒の時期にじっくり楽しみたいものです。

>>10-11
初回はなんとなく手違いが起こりそうでpdf送信は回避しました。
答案チェックが大変になりそうですが、大丈夫なんでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 16:31:35.34

10月号

■出題２

{z, w} を固定したとき　lim(λ→±∞)　|λ-z|/|λ-w| = 1
∴　F(z, w) ≧ 1,
λは｛ｚ，ｗ} の垂直２等分線上またはｗ側にある。

(1) x=u のとき
垂直2等分線は実軸Rに平行
題意より |v| >> |y| としてよい。
|λ-z|/|λ-w| < 1　　（λ=x=u で最小)
F(z, w) = 1,
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1

(2) x≠u のとき
垂直2等分線は実軸Rと交わる。
交点は λo = (x+u)/2 + (vv-yy)/(2(u-x)),　
もし最大点λがあれば(*)、λoよりもｗ寄り（遠方）にある。
|λ| > |λo| = O(|v|^2)
w = u + iv,
z は定数　だから
F(z, w) = |λ-z|/|λ-w| = 1+O(1/|v|)
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1,

ところで、最大点λは存在するんだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 17:01:52.52

>>13

>　最大点λは存在するんだろうか？

複素数ν = λ + iμ ∈Ｃに対して
|ν-z|/|ν-w| = f の軌跡を考える。(f≧1)

f=∞ では1点w であるが、fが有限のときは wを内包する閉曲線となる。
fを減らせば閉曲線は膨らみ、f=1 では {z, w} の垂直2等分線となる。

(2) の場合、実軸Ｒと垂直2等分線は交わる。
fを∞から減らして行き、初めてＲに接した点がλである。

ところで、λは１つしかないか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 17:10:07.13

>>14

>　λは１つしかないか？

ν∈Ｃと f≧1 に対して
　g(ν, f) = f^2|ν-w|^2 - |ν-z|^2　とおく。{z, w} は定点。

　g(ν, f) < 0　⇔　νは閉曲線の内部
　g(ν, f) > 0　⇔　νは閉曲線の外部
　g(ν, f) = 0　⇔　νは閉曲線の周上

　g((ν1+ν2)/2, f) = {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2 -(ff-1)|(ν1-ν2)/2|^2 ≦ {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2,
より
　g(ν1, f) = g(ν2, f) =0　⇒　g((ν1+ν2)/2, f) ≦ 0,

周上の2点 ν1, ν2 の中点は閉曲線の内部にあるので、閉曲線は凸である。
∴　実軸Ｒに初めて接する点λはたた一つ。

こうしてギリシャの幾何学は回避された。ペキン原人やクロマニオン人も解けたかも(?)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 01:20:47.39

nを一度だけ使ってってどういうことだ
a_nでもいいのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 07:33:10.07

はい、次の問題もう出てますよー。
https://www.web-nippyo.jp/elegant/

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 18:17:30.30

ハヤイノー
電子時代ジャノー
楕円暗号理論の関連した問題はナイノカノー
格子理論はアッタガノー有限体の楕円曲線理論は美しいのーー
仕事なんかなってられんのーー
こんな美しい世界はナイノー
虚数除法も素晴らしいのーー
楕円曲線と格子理論がクロスするとこの世のものとは思えんのーー

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 18:45:51.23

そうじゃ！！
ディオファントス近似絡みの問題も楽しみにしちょります。
楕円曲線、ディオファン、ガロア、格子絡み、仕事なんかおっぽりだしたくなるべ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 18:47:13.77

そうじゃ、わたしが、サボリーマンかず太郎じゃあ。
仕事さぼって、スタバでエレカと格闘じゃ。
文句あっか！！！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 06:12:42.93

出題2は「式より明らか」じゃいかんのかw

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 22:12:48.85

エレカ、電子公開、goodです。
高校、大学時代愛読してたが、20年前に一度再会、またまた再会。
一生縁が切れそうにないわ。
今は、数論、楕円曲線、暗号にハマってる。
ICMレポも楽しみにしてまっせ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 00:40:57.27

大学への数学の宿題もやりたいが、私の頭ではそこまでやると本業に支障がでそう。
自制しよう。
エレカ、数論、楕円曲線、暗号でこっそり楽しもう。
森北の暗号理論と楕円曲線も理解するのは大変だわさ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 00:43:44.21

先程、保管してある、1980年代～1990年代の数セミ、Bacic数学、大学への数学
ひもといてみた。なつかしいのーー。
数セミとも再再会できたし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 06:19:57.61

大学への数学の宿題とエレ解って、どちらの方が難しいの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 09:55:34.52

>>21
つーか問題１は一発ネタのような気がするが。
小谷善行先生は不調なのかな？
それとも「存在しない」を証明するのが難しいのか？

「遠山啓先生に敬意を表して、それっぽく説く」
というのもアリな気がするが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 13:10:52.79

>>25
「荒らしに構うのも荒らし」とは云われるが、
いちおう言っとこう。
受験数学より真剣勝負の数学の研究のほうが大変なので、
傾向としては
『エレガントな解答を求む』>『大学への数学』の宿題
だが、エレ解も「いちおう解答は用意されている」し、
たまに「小手試し」的な出題もあるので、
予備校生にとってはエレ解のほうが手ごわいと思う。
まぁ、「お子ちゃまには、エレ解の味はわかんないよな（笑）」
みたいな優越感はあると思われ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 13:16:43.95

ようやく題意がわかったように思う。
「示せ」っつーところに重点があるような気がするので
（「それは、数学的に厳密な証明なのか！？」とか
言われると、数学の博士号を取得していないと
解答できなくなる）、「一般的に納得されやすい証明」と
いうことになろうかと思う。

**Mr.Moto** · 2018/10/12(金) 17:22:58.62

二〇一八年十一月号の問題１について。

四辺形以上の多角形（＝多辺形）については、
凸でない場合があって、「凸多辺形」「凸多角形」という
言葉がある。それはいい。線形計画法なんかでは、
「多凸性」というのは、重要な概念だからな。
同時に、四辺形以上の多辺形については、
「辺が交差する」場合がありうる。このとき、
そういった多辺形を、なんと呼ぶべきか？
たとえばの話、五芒星や六芒星を「多辺形」と
認めるのかどうか？
また、その場合、「面積」について、二つの定義があるうる。
どちらを採用するかについて、「数学的な呼び名」、
あるいは定義というのはあるのだろうか。また、それぞれについて、
「数学的な一般的名称」というものがあるんだろうか。
あるとすれば、それは何に準拠しているのか。

そのあたりの意見を聞きたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 17:49:29.41

エレカ、柏原先生、森重文先生、辻雄先生、神保先生etcも昔解答されておられます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 23:48:09.81

>>30
> 森重文先生、
まじか。出典キボンヌ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:31:09.88

森重文先生は、京大時代に解答されておられる。エレガントな解答を求む問題集1集or2集
探してみてください。柏原先生、神保先生、辻先生は３集に、名前残してる。皆数学少年じゃったのじゃよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:32:13.28

やっぱ、NOTE掲載を目指そう。
有限体上の楕円曲線研究で。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 11:33:15.57

2018年10月号の講評です：

■出題１：レベル6～7（常連正解率60～80％）
※スツルムの定理不使用の場合レベル10（正解者0～2名）

時弘男塾長の出題。例年通り題材は力学系。
正整数kに対し、P_0＝1, P_1＝x－1, P_n＝x^k * P_{n－1}－P_{n－2}でP_n(x)を定め、
小問(1)x＞0、(2)kを奇数としてx＜0、(3)kを偶数としてx＜－1における零点の個数を求める問題。

彼の問題はいつも難しく2015年は正解者たったの2名（昨年はめずらしく易しかったが）。
今回も『どうやって解くんじゃい…』とまず途方に暮れるところから始まる。

が、本問はスツルムの定理を使えば比較的簡単に解ける。
使わずに解くことを要求しているとすれば難易度はレベル10に跳ね上がる。

■出題２：レベル５（常連正解率95％）

加古先生の出題。
複素数z, w, 実数λに対してF＝sup|λ－z|/|λ－w|（λ∈R）と定めたとき、
Im(w)の絶対値を∞に飛ばすとFはどうなるか？という問題。

・各複素数の実部虚部を適切に限定して、問題をほぐす。
・素直にFの挙動を調べて極限を考える
という正攻法で解けるので難易度は高くない。

エレガントに解くことを至上命題と考えている猛者は腕の見せ所。
いろんな考え方がありそうです（既に本スレでも示されていますが）。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:09:38.13

高木寛通先生は、大学への数学の宿題解答者だったみたいだ。
数学少年？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:12:12.90

>>32
> 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS（新数学者集団）とかの話とか、なんか載ってる本とかない？

自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:14:48.59

>>35
そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ（笑）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 16:58:20.46

ロシアの謎の高校生向け数学物理雑誌、Kvant、レベル高いで。
将来の数学者発掘が目的。ドリンフェルトも愛読？？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 18:03:14.86

>>38
いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う（数学は世界の共通言語だ）んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃやらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする（笑）。

**とあるエレ解常連** · 2018/10/14(日) 10:21:10.93

コテを付け忘れてた。コテなんて要らない気もするが
昔コテ付け忘れるなハゲとか罵倒されたので泣く泣く付けた

11月号はいったいどうしたことだ
出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
出題２は一昔前の高校教科書の例題レベル
はっきり言おう、糞であると。

今月はp.40の数オリを解いて楽しめということか・・
というわけで数オリを解いているのですが、どれもこれもエレガントな良問ばかりですばらしい
解答もエレガントさ（センスの良さ）を要求しているところがまたすばらしい
易しくてもエレ解難易度6以上といったところ

数オリ開催日にオーバーエイジ枠を同時開催してくれたらいいのに
エレ解常連がチームを組んで戦うのです。萌えますね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 11:59:11.33

エレカも総問題数、1300問になる。
たまには、一休みも必要です。
末永く継続してもらわんといかんからな。
数学者の皆様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:04:03.84

フィールズﾒﾀﾞﾘｽﾄ、ショルツ先生、ＩＭＯ金メダリストらしいな。
その他のフィールズ受賞者、ネバリンナ受賞者はどうよ。
佐藤ーテイト予想のテイラーもイギリス代表らしい
量子素因数分解のショアもアメリカ代表らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:56:31.65

IMOはレベル高いのおーーー
谷山ー志村予想のテイラー先生も出場者だったのか。
ピーター　ショアもそうらしい。

学術 · 2018/10/14(日) 13:12:43.13

数学は実戦的だから、スポーツボケを、排除できる司令官に向くだろう。

学術 · 2018/10/14(日) 13:13:20.37

賞をとれることは、戦果として賞金をもらえることだから。結果がよろしい。

学術 · 2018/10/14(日) 13:13:58.01

賞やメダルが、主体的じゃない生き方がおすすめです。若い人は特に。

**Mr.Moto** · 2018/10/14(日) 21:20:04.78

>>40
> はっきり言おう、糞であると。
いや、問題２はともかくも、
問題１はけっこう深いぞ？
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか？」
（べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
考えどころはありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:37:27.35

>>47
こんばんは。返信どうも
自分はあんまり研究とか発展とか考えずに喋っております
研究肌の方のコメントは深みがありますな

> （べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか

Motoさんだったらどのように実数へ拡張しますか？

> 点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
> その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、

面白いですね。それは考えなかったです
この問題を特にあたっては心配無用なので・・

> それを考えた上で
> 「エレガントな解答」を出そうと思うと、
> それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。

なんか30秒でそれなりにエレガントな解答ができちゃったので、もう今月は羽を伸ばして紅葉にでも行こうかとｗ
でもそれじゃ知的満足が得られないってんで数オリに手をだしたら問題が美しすぎてうっとり
エレ解もこうならんかなと

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 08:33:06.32

>>48
> どのように実数へ拡張しますか？
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 09:22:05.84

すまん。大事な条件を見落としていた。
問題１は「辺の長さが順に 1, 2, 3, … N」なんだな。
見た感じ、「魔円陣」（完全ゴロム環）の
バリエーションみたいな感じだ。
例示された図は
４＋６＝８＋２＝１０
５＋３＝７＋１＝８
だ。Nが４以上の偶数だというのは確定だが、
N=４では解がないのので６以上。
で、８のときに解があるのも例で示されている。
エレガントに解こうとすると、けっこう手ごわいぞ、
これ。プログラム書いて数値実験で追っかけまわして
法則性を割り出す、とかやんないとダメかな？

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 15:23:24.03

>>40
> 出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
お互い恥をかいたので許そう(-_-!)。
早とちりはイカン、っちゅーこっちゃね。

**Mr.Moto** · 2018/10/15(月) 15:41:36.89

>>33
「岡、NOTE をねらえ！」

判定の場（court。法廷。「テニスコート」の「コート」も
同義）では誰でも独り独りきり
私の（数学への）愛も私の苦しみも
数セミ読者しかわかってくれない

続きは誰か書いてくれ。

Mb · 2018/10/15(月) 15:56:09.92

言っとくけど、うちの馬鹿（Mr.Moto）は三味線弾いてるっつーか、
「ヒントとか出しているようで、じつは引っ掛け」とかだから、
信用しないように。
「もっと困れ」（by 横井庄一）じゃないけど、
「もっと苦しめ」という助言も上のほうからあったので、
せいぜい苦しんでくれ。