幾何の問題作ったので、解いて評価して下さい
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あと、自分は大学数学に詳しくないので、解答は出来るだけ高校数学でお願いします ■出題1
長さが1の線分だけを使って図形を描きます。
描かれた図形によって、線分どうしの相対的な位置関係が一意に決まる部分があるとき、
その部分は「作図できた」と考えることにします。
(1) 8本で 90°を作図してください。
(2) 8本で 20°を作図してください。 (1)
点Oを頂点にもつ2つの正3角形OAB, OCD を描く。
AとC、BとDが近いとき、点O以外の3点E,F,Gで交差する。
AD // BC // EG ⊥ OF 〔補題〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な折線L1 と 任意の曲線L2 がある。
L1が内側(左)に、L2が外側(右)にあり、交差しないとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
(略証)
最初に L=L2とする。
L1の第一辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
→ △不等式により、L2より短くなる。
L1の第二辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
・・・・
これを繰り返すと、単調に短くなり、最後には L=L1 に至る。(終)
〔系〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な曲線C'がある。
C'に内接する折線L1 と C'の外側の任意の曲線L2 も2点A,Bを結ぶとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
ぬるぽ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1429353046/224
解析概論スレ5 〔出題1〕
△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とします。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにします。
問1 △ABCの3頂点、外心O、垂心Hが垂足チェヴァ点であることを示せ。
問2 Pが垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点であることを示せ。 f(P) = (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB),
とおく。ここで3点 D,E,F は問題文のように定める。
チェヴァの定理より
Pが垂足チェヴァ点 ⇔ f(P)=1
問1
外心Oから辺BCまたは延長上に引いた垂線の足Mは、辺BC中点。
∴ (BM/MC) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(O) = 1,
チェヴァの定理の逆より、外心Oは垂足チェヴァ点である。
Pが△ABCの垂心Hのとき、HはAD,BE,CFの交点。
∴ 垂心Hは垂足チェヴァ点である。
問2
3点 P,O,P~ から辺BCまたは延長上に引いた垂線の足を D,M,D~ とする。
P, P~は点Oに関して対称。
∴ D, D~ は中点Mに関して対称。
∴ BD = D~C, DC = BD~
∴ (BD/DC)(BD~/D~C) = 1,
∴ f(P)f(P~) = 1,
なお、外心Oに関して垂心Hと対称な点はド・ロンシャン点と呼ぶらしい。。。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています