あと、自分は大学数学に詳しくないので、解答は出来るだけ高校数学でお願いします
幾何の問題作ったので、解いて評価して下さい
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あと、自分は大学数学に詳しくないので、解答は出来るだけ高校数学でお願いします
γ⌒'⌒''⌒;⌒'ヽ､
./ ヽ
（_ノ人ノノ人ﾉﾍ）ヽｿ,_）
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|. ┌=＝=┐ .| 優秀なんですよね
ヽ ヽ ./ / お仕事何されてますか？
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ゆとり世代
∠ABC＜60°のとき
円周角の定理より∠BOA=120°で、OA=OBより∠OAB=30°
直線AOとBCの交点をXとすると、
∠AXB=180°-(∠ABC+∠OAB)＞90°となるので、
Bを通りAOと垂直な直線は△ABCの内部を通らない。
これは、BP⊥AOで、点Pが△ABCの内部にあることと矛盾する。
∠ABC≧60°のとき
∠B≧∠C≧∠Aとなるので、CA≧AB≧BC
このとき、点Aと点Cは、Bを中心とした半径CAの円の周または内部にあり、
△ABC全体がこの円の周または内部に含まれる。
これは、この円周上にある点Pが△ABCの内部にあることと矛盾する。
以上より、この問題の設定のように点Pをとることは不可能である。
終了
上の画像の外心は三角形APCです。読みにくかったらすみません
あとそれとは別に不備があったので、角PBC+30°=角PACを追加して下さい
これで解けるはずです。
あと、ヒントを出すと、答えは整数値では無いですし、小数でも無いです。
幾何の問題かと思って真面目にやって損したわ
いえ、sinの値しか出ないとかそういう問題では無いです。きちんと値として出ますし、解法は小学生でも解けるようにしています。
∠OAC=∠OCA=a、∠PBC=bとおき、
BOの延長線とACの交点をQとすると、△OAPは底角45°の直角二等辺三角形で、三角形QBCの内角の和は、
a+45°+45°+b+60°=180°
∴a+b=30°――①
追加条件より、
b+30°=45°+a
∴b-a=15°――②
①②を辺々引くと、
2a=15°
∴a=7.5°
②に代入し、
b=15°+a=15°+7.5°=22.5°
∠OPC=∠OCP=(180°-45°-45°-2a)÷2=37.5°
∠ACP=∠OCA+∠OCP
=∠OAC+∠OPC
(∵△OPC、△OCAは二等辺三角形だから底角が等しい)
∴∠ACP=∠OCA+∠OCP
=7.5°+37.5°=45°
文字化けがなければあってると思う。おもしろかった。
PB=ACが使えてるか否か気になるところではありますが、整数値ではないというヒントを忖度し、弧度法で表すと、
∠ACP=45°=π/4
問題文の条件は角POA=90°ではなく、BPとAOが直角で交わっているということです。
あとで図と文字をもう一度きれいに書いてからあげます。
http://imgur.com/1JfiP6X.png
さて、どうやって解くか…
そうです。
ありがとうございます。
∠PAC-∠PBC=30°もないんじゃないの？
前>>18
自分の見た限りではこの図は結構正確だです。もし30°も差がなかったとしても、この図で解いていて、支障が出ることはないと思います。
∠PBC+30°=∠PACとなるように描いてください。
前>>21
B(48,375)
C(600,375)
P(346,172)
∠PAC 64.15418627°
∠PBC 34.26300622°
この画面の精度だと0.1度くらいの誤差は出てしまうがそれは勘弁してほしい。
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∠ACP=xﾟとおくと、
（(-_-)7x+30=180
（っц)~ ∴x=150/7
｢￣￣￣￣];;;;
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b=∠PBC=45-x/2
a=∠CAP=∠PBC+30=75-x/2
c=∠OCA=15-x/2
b+c+x=60
∠AOP=2x
∠APB=180-x
∠POC=150-x
∠PCB=60-x
∠BPC=120+x-∠PBC
=75+3x/2
∠OPC=x+15-x/2
=15+x/2
BPの延長線とOAの交点をQとすると、
∠OPQ=90-2x
やっぱりBP=ACが使えてないのかな。
半直線BPとACの交点をQ、BQとACの交点をRとすると、
△APR∽△ACR
∵2角が等しい(∠CAP共通=a、∠APR=∠ACP=x)
これを使うのは、BP=ACを使ったことにならない。
BP=ACより三角形の残りの二辺が等しいことにつなげたいような。
△APCと合同な三角形またはその鏡像をBPにACを接着させて配置してみるか。
（以下度数法の「°」は省略）
∠PCA=2x-30，∠PAC=90-x，∠APC=120-x，∠BCP=90-2x，∠PBC=60-x
∠BCP>0より，0<x<45
正弦定理とAC=BPより
sin(90-x)sin(90-2x)=sin(120-x)sin(60-x)
整理すると
8(cosx)^3-4(cosx)^2-4cosx+1=0
cosx≠-1なので、両辺にcosx+1をかけると
8(cosx)^4+4(cosx)^3-8(cosx)^2-3cosx+1=0
∴ cos4x+cos3x=0
2cos(7x/2)cos(x/2)=0
0<x<45の範囲でこれを解くと
x=180/7
∴ ∠PCA=150/7
ギリギリ高校数学の知識で。（ただし、>>16の図の配置とならないケースを排除できてない）
初等幾何ではどうするんだ？
でもカンが当たったみたいでうれしい。前>>28
どうにかxや2xを足し集めて7xが作れないものか。
前>>30
見た感じ、このうすい角度の５倍なら実感が湧く。
すみません、忘れてました。解答です。
なるほど、7辺の長さの等しい凸多角形の7つの内角のうち5つが等しいことがわかり、
そこからそれが正7角形であることを示すのですね。
ところで、一般にnを5以上の整数として
n辺の長さの等しい凸n角形のn個の内角のうちn-2個が等しいとき、
この凸n角形は正n角形であると言えるでしょうか。
ただし、等しいn-2個はn個の内角のうちどのn-2個であるかは不明であるものとします。
n=5,7では、ざっくり考えて成り立ちそうです。
n=4では成り立たないのは明らかです。（ひし形になるケースが除外できない）
∠AOPが∠ACPの２倍になることはすぐ気づきましたが、
逆に∠POCも∠PACの２倍になる、と。
前>>31
PB=ACが使えてなかったんで、PBに二等辺三角形OACを貼りつけるまではできたんですが。
まさか△ABCの中に正七角形の辺が三個半隠れてるとは。
[∠ACP=x゜とおいた場合]
∠PBC=b、∠OCA=cとおくと、
b-c=30
b+c+x=60
∠AOP=2x
∠COP=2(b+30)=2(c+60)
=900/7
(∵正七角形の一つの内角は180×5/7)
2c=900/7-120=30-x
900/7+x=150
7x=150×7-900=150
x=150/7
七つの辺の長さが同じというだけでは正七角形とは言えないわけか。
求める角∠AOP=x°として、
∠COP=150°-x°はわかる。
BCで折り返すとして、O'からBCへの垂線O'H(辺の長さの1/2、∵30°の直角三角形の対辺)を引くと、
∠OPO'と∠PO'Hがそれぞれ(150-x)°になることを示さないと、カンで答えだけ、
x=150/7 (°)と出したのと変わらない。
七つの角のうち五つは、
150-x
とわかるが、あとの二つは違う値になる。
∠OPO'とそのBCについて対称な角の二つ。
なぜだ。
ただの計算間違いか。
未定の二角については、BC以外の辺を持つ四角形の合同から、ほかの五つの角と等しいことが導ける、と。
∠ACP=x、∠CAP=a、∠PBC=b、∠OCA=cとすると、
b=∠PBC=45-x/2
a=∠CAP=b+30=75-x/2
c=∠OCA=15-x/2
∠AOP=2x、∠APB=180-x
∠POC=150-x、∠PCB=60-x
∠BPC=120+x-∠PBC
=120+x-(45-x/2)
=75+3x/2
∠OPC=x+∠OCA
=x+(15-x/2)
=15+x/2
BPの延長線とOAの交点をQとすると、∠OPQ=90-2x
b+c+x=60
b-c=30
x=90-2b=30-2c
（xは20°より少し大きいぐらい。少数じゃなく、分母が7なら、カンで、
7x=150 ∴x=150/7と推測できる。
BP=ACを使うために、BPに△OACを貼りつけ、△OACと合同な二等辺三角形O'PBを描く。
∠AOP=2x(∠AOC=xの２倍)と同様、∠COPは∠CAPの２倍。
∠COP=2(b+30°)
=2(c+30°+30°)
=2c+120°
x+2c=30°
∠COP=30°-x+120°
=150°-x
∠O'BC=b-c=30°
O'からBCに垂線O'Hを下ろすと、
O'H=(1/2)O'B=(1/2)O'P
題意よりCO=OP=PO'
五角形COPO'HとBCについて線対称な図形をあわせ、正七角形になる場合、内角はすべて、
(180×5)/7=900/7(°)
150-x=900/7
x=150-900/7
=(1050-900)/7
=150/7
ただ七つの辺の長さが同じというだけで、五角形COPO'HとBCについて線対称な図形をあわせ、正七角形になるとは言えない。カンで答えだけ(150/7)°と出したのと変わらない。
検証する。
∠COP=150-x
∠OPO'=∠OPC+∠CPO'
=∠OPC+∠CPB-∠O'PB
=x+c+180-b-(60-x)-c
=120+2x-b
=120+2x-(45-x/2)
=75+(5/2)x ←あれ？ いっしょじゃない。
∠PO'H=360-(150+x)-60
=150-x
2∠OCB=2×(60+c)
=120+2c
=120+(30-x)
=150-x
∠OPO'が違うということはこれとBCについて対称な角も違う。七つの角のうち五つは、
150-x――①
だが、あとの二つは、
75+(5/2)x――②
五角形COPO'HとBCについて線対称な図形をあわせて、七つの辺の長さが同じで、七つの角のうち五つが同じならあとの二つも同じになるしかない。つまり正七角形になる。①②より、
150-x=75+(5/2)x
7x/2=75
x=150/7(°)
面白いじゃん
>>29
cosx+1をかけてcos4x+cos3xに持ち込むのうまい
>>16 >>24
何のソフト使ってるか教えてください
GeoGebraじゃね
ありがとうございます
名前だけは聞いたことありましたが触ったことはなかったです
インストールしてみます
>>29 は、8t^3-4t^2-4t+1=0の解がcos(π/7)，cos(3π/7)，cos(5π/7)となることを
高校数学の範囲でどう説明するかを考えた結果。答えから逆算した無理やりな式変形です。
長さが1の線分だけを使って図形を描きます。
描かれた図形によって、線分どうしの相対的な位置関係が一意に決まる部分があるとき、
その部分は「作図できた」と考えることにします。
(1) 8本で 90°を作図してください。
(2) 8本で 20°を作図してください。
点Oを頂点にもつ2つの正3角形OAB, OCD を描く。
AとC、BとDが近いとき、点O以外の3点E,F,Gで交差する。
AD // BC // EG ⊥ OF
2点A,Bを結ぶ、右に凸な折線L1 と 任意の曲線L2 がある。
L1が内側(左)に、L2が外側(右)にあり、交差しないとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
(略証)
最初に L=L2とする。
L1の第一辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
→ △不等式により、L2より短くなる。
L1の第二辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
････
これを繰り返すと、単調に短くなり、最後には L=L1 に至る。(終)
〔系〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な曲線C'がある。
C'に内接する折線L1 と C'の外側の任意の曲線L2 も2点A,Bを結ぶとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
ぬるぽ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1429353046/224
解析概論スレ５
△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とします。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにします。
問1 △ABCの3頂点、外心O、垂心Hが垂足チェヴァ点であることを示せ。
問2 Pが垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点であることを示せ。
とおく。ここで3点 D,E,F は問題文のように定める。
チェヴァの定理より
Pが垂足チェヴァ点 ⇔ f(P)=1
問1
外心Oから辺BCまたは延長上に引いた垂線の足Mは、辺BC中点。
∴ (BM/MC) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(O) = 1,
チェヴァの定理の逆より、外心Oは垂足チェヴァ点である。
Pが△ABCの垂心Hのとき、HはAD,BE,CFの交点。
∴ 垂心Hは垂足チェヴァ点である。
問2
3点 P,O,P~ から辺BCまたは延長上に引いた垂線の足を D,M,D~ とする。
P, P~は点Oに関して対称。
∴ D, D~ は中点Mに関して対称。
∴ BD = D~C, DC = BD~
∴ (BD/DC)(BD~/D~C) = 1,
∴ f(P)f(P~) = 1,
なお、外心Oに関して垂心Hと対称な点はド・ロンシャン点と呼ぶらしい。。。
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