>>16の図の配置を前提とすると，途中は省略するが、x=∠OPCとして、
（以下度数法の「°」は省略）
∠PCA=2x-30，∠PAC=90-x，∠APC=120-x，∠BCP=90-2x，∠PBC=60-x
∠BCP>0より，0<x<45
正弦定理とAC=BPより
sin(90-x)sin(90-2x)=sin(120-x)sin(60-x)
整理すると
8(cosx)^3-4(cosx)^2-4cosx+1=0
cosx≠-1なので、両辺にcosx+1をかけると
8(cosx)^4+4(cosx)^3-8(cosx)^2-3cosx+1=0
∴ cos4x+cos3x=0
2cos(7x/2)cos(x/2)=0
0<x<45の範囲でこれを解くと
x=180/7
∴ ∠PCA=150/7

ギリギリ高校数学の知識で。（ただし、>>16の図の配置とならないケースを排除できてない）
初等幾何ではどうするんだ？