p が奇数の完全数の唯一の多重度奇数の素数という意味なら b = Π p_i^q_i が(p+)/2の倍数という主張は正しい。
実際

(1+p+…+p^n)Π(1+p_1+…+p_i^q_i) = 2 p^n Π p_i
で左辺はnが奇数よりmodulo (p+1)/2で0に合同。
右辺2は(p+1)/2が奇数(∵ Eulerの定理よりp ≡ 1 (mod 4))だから2はmodulo (p+1)/2で可逆。
明らかにp^nはmodulo (p+1)/2で可逆。
∴ Π p_i^q_i はmodulo (p+1)/2で0に合同。

まあ、途中で p の意味変わるらしいけどね。
まぁ、初めて論文よんでみて読みにくさに圧倒されたし、もうこれ以上読む気はサラサラ起きないけど。