>>17

N-169 が4個の平方数の和のとき
　13^2 をたす。
N-169 が3個の平方数の和のとき
　5^2 + 12^2 をたす。
N-169 が2個の平方数の和のとき
　3^2 + 4^2 + 12^2 をたす。
N-169 が平方数のとき
　1^2 + 2^2 + 8^2 + 10^2 をたす。
N-169=0 のとき
　1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 + 12^2.

（//ja.wikipedia.org/wiki/四平方定理）

N.C.Ankeny: "Sums of three squares" (1957) は2次形式の理論を使うし、難しそう。