巨大数探索スレッド14
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안녕하세요!今回はアッカーマン関数の応用編です。
1.多変数アッカーマン
定義
X : 0個以上の0以上の整数
Y : 0個以上の0
a, b : 0以上の整数
A(Y,a)=a+1
A(X,b+1,0)=A(X,b,1)
A(X,b+1,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,a))
A(X,b+1,0,Y,a)=A(X,b,a,Y,a)
2.F1の近似
F1≒A(1,0,1,63)
どうでしたか？次回は膨張、爆発、爆轟です。それでは、안녕! 巨大数を作った場合って、どこに投下したら精査してくれるの？ konnnitiha!今回は膨張、爆発、爆轟です。
1.a{b}c=a↑^b c
膨張は、
a{a{⋯{a}⋯}a}a(中心からb個のa)
となります。
爆発は、
a {{{1}}} b=a {{a {{a・・b times・・{{a}}・・・b times・a}} a}} a
となり、爆轟は
a{{{{{1}}}}}bとなります。
医科がでしたか？次回はF3を解説します。
それでは、sayounara! これがビジービーバー関数の定義だといってもその定義文をビジービーバー関数の定義として解読する環境を記述することができない。「ビジービーバー関数」という言葉でちゃんと同じ関数を共有できているかを形式的に保証するすべが存在しない。計算可能であれば存在する。
グーゴロジストなら気にしないのかもしれない。
しかしラヨ関数からの拡張って計算可能レベルに還元して考えるとあまり大したことないような、
それに定義する前の問題としてユニバースをどうするかとか >>174
停止性が自明となる→停止性の決定可能性が自明となる たまにこのスレで見るplatnist universeって何なの？
数学的プラトニズムっぽいのは分かるが qonnnitiwa!今回は今までのおさらいです。
1.チェーン 3→4→2=? 4→2→2=?
2.F1 S(2,x+2)=? S(4,x+3)=?
3.E# E10#2=? E(3)3#3#3=?
4.多変数アッカーマン A(0,0,4,1)=? A(0,1,2,0)=?
5.爆発 3{{1}}2=? 4{{1}}2=?
wakalimasuka?soredeha,sayounala! うーん 自分で考えた配列の評価に時間がかかるーーー むしろ簡単に評価できてしまうほうじゃないかね
評価が定まっていないのならラヨ関数以降の巨大数とかがそうだし まずplatnist universeを認める派と認めない派にわかれる 任意のチューリングマシンが停止するか停止しないかが決まってるとか、そんな数学ではとらえきれない宇宙、なんだろう 宇宙って集合論のモデルだと思ってたんだけど、集合論のメタである計算機科学の概念なの？ 矢印使ってる時は定義をしっかり吟味して地道に具体的に計算してたのに 集合論に足を踏み入れた瞬間用語の定義やら具体例やらすっ飛ばしてサラダを量産するの 少し悲しい こ〜たえ
3↑↑4 （何兆桁もの数）256
わからん」わからん「
10^10^10 わくぁらん
65533 うぁくぁるぁん
3↑^3↑↑↑3 3 4↑^4↑↑↑↑4 4
以上ｄえす 集合論関連はTaranovsky先生もapproximatelyとお茶を濁してる。
チューリングマシンの停止性はそりゃ決まってるもんだけど形式的にはそうでもないというやつで、
前ビジービーバー関数がwell definedでないと言ってたのは今思うとそのへんのことを言ってたのだろうか？
いづれにせよビジービーバー関数ってそういうもんでもないんだけど 理解の範囲を越えてるから原始的な方法を語る
ってだけだろ
計算可能な手続きによる巨大数の定義は
具体的に計算アルゴリズムを示せることが唯一の取り柄
だから具体的な計算アルゴリズムの形で定義しないと
チューリングマシン語でも普通のコンピューター言語でもフローチャートでも何でも良いけど ZFは無矛盾かどうか決まってるけど分からないのと同じ？ 計算不可能関数は原理的に形式的な理解が不可能で、そういうところ人によってはけっこう気にするんだと思うわ
数学的プラトニズムを定義に認めない専門家もいることだし、とはいえこの件は数学的プラトニズムを数学的に明らかにしていないというのが問題なだけかもしらんが >>206
そんなところかね。無矛盾かどうかは最初から決まっている、しかし無から明らかにする方法が存在しない ビジービーバー関数ならまだしも、ラヨ関数あたりはどういうのを定義と認めるかがデリケートで、それにグーゴロジーを言語の追究と考えるのであれば計算可能か不可能かとかいうのは問題にならなくて、
たとえばラヨ関数のもととなっているFOSTよりも計算可能なCoCのほうがある意味言語としては強い
platnist universeを数学的に明らかにしないグーゴロジストの怠慢という批判はあるかもしれない 「言語」と言う言葉のつかいかたにすこし揺れがあって、ただ純粋に論理としての言語を指すのであればFOSTでビジービーバー関数を無条件で定義することはできないし、そういう解釈だとラヨ関数もビジービーバー関数と変わらない BEAFのレギオン配列と次元とレベルrの配列表記がよくわかりません
わかりやすく教えてください。 急増加関数が１つの自然数と１つの順序数からより大きな自然数を作るように
１つの順序数と１つの順序数を超えたなにかからより大きな順序数を作ることは
出来るのでしょうか 順序数を越えたなにかですか
まずはすべての順序数の存在を明らかにしたらその後に見えてくるかも？ 急増加関数は
非可算無限に到達出来ない
また(定義可能な)全ての急増加関数は
ある可算順序数に対する急増加関数で抑える事が出来る Hardyの急増加関数は
順序数を与えただけでは定義にならない >>210
結局
ある言語を定義して
その言語n文字で定義可能な最大の実数
をその言語のビジービーバー関数
とするわけだよね
今厳密に(細部まで含めて)定義出来てる言語って
チューリングマシン語とその派生以外に何がある？ n文字じゃなくて、
ゲーデル数にした時のn以下
の方が良いかな 記号としての言語ならそれこそ0と1だけでどんな関数も定義できてしまうし、ユニバースの問題だという見識は共有できてるという前提でいいんだろうか >>217
ビジービーバー関数だと「定義可能であること」の定義がいたちごっこになって数学的にはナンセンスになる。
「厳密に(細部まで含めて)」というのが定義文をどう解釈してもひとつの関数の定義になっていることをいうのであれば、
ビジービーバー関数を定義できる言語は存在しない、不完全性定理から導かれる 「定義可能な言語として」存在しないと言っとかないとだめだった 定義可能であることが厳密でないことはよく分かったが、そこにplatnist universeが出るのは謎
まずこのuniverseはグロタンディーク宇宙などの宇宙と同じでいいの？ >>219
言語は当然定義しないとダメだよ
◯◯言語による記述
ゲーデル数がn以下の物の中で実数の定義になってる物だけを選んで
その中の最大値をf(n)とする
n以下で実数の定義になってる物が1個もなければ
f(n)=0とでもしておく
あとは言語を定義するだけ ゲーデル数でなくても
n以下の記述が有限通りであれば
文字数でも何でもいい 正しい実数の定義になってるかどうか
をその◯◯言語で出来る必要はない
(◯◯言語の記述を◯◯言語で判別するのは無理だから当然) 関数自体(f)を◯◯言語で記述する必要も無い
定義が正しいかどうかは定義とは別の領域で行う
(証明が正しいことを証明するのと同じ) その定義かどうかの議論が計算不可能レベルだとどういう領域をとっても形式的に構成していくのが不可能で、
これがある種の厳密性の限界になる。
計算可能レベルでもZFCとかを無条件で信じること前提になってるだろといわれればその通りだが、
計算不可能レベルだと実際に構成された理論を前提とすることもかなわなくなる。 ただ単に記号の集まりと言うのであればFOSTによる記述の判別をFOSTで記述するのは可能で、
無矛盾性の強さやモデルの取り方の問題だったりする。
ラヨ関数で言うFOSTは何らかの宇宙を前提とした話だろう >>228
◯◯言語の特定の表現が実数が定義されてるかされてないか
なんて考える必要はない
言語自体の定義が正しくされてるかだけを
(考えたい人が)考えれば良い
>>229
ちゃんと定義された物だと
チューリングマシン語 チューリングマシン語
停止する表現のみ実数が定義され、
停止した時の1の個数をその実数の定義とする >>229
もっと簡単なのだと
0〜9までの数字を使って普通の10進数を表記する言語
0〜9 とべき乗の記号 ^ からなる言語
など
厳密に決める為には
「0文字の場合は実数定義にはなっていない」
「0^0 が現れた場合には実数定義にはなっていない」
など細部が明確になっている必要がある より一般的に
自然数全体をN
ある言語の表現全体の集合をL
Nから(Lの部分集合)への写像をa
ある集合S
LからS∪{undefinef}への写像b
{Sの部分集合}xNからNへの写像c
f(n) = c(b(a(n)), n)
が言語Lのビジービーバー関数 普通のビジービーバー関数の場合
L : 2記号のチューリングマシンすべて
a(n) : nステートのチューリングマシン
S : 自然数全体
b(l) : チューリングマシンlが停止する場合は停止時の1の個数、停止しない場合は'undeflined'
C([自然数の部分集合], n) : [自然数の部分集合]の最大値 巨大な実数探索なので
R 実数全体
{Sの部分集合}xNからRへの写像c
ですね Sを直接実数としなかったのは
Sが順序数だったり関数だったり自然数の部分集合だったり
って事があるかなと思って
たとえば
Sが順序数の部分集合で
言語Lによって順序数を定義すれば
そのままHardyの急増加関数になる あとは表現力の大きな言語Lを定義するだけ
表現力が大きすぎるとbの定義が難しくなっちゃったりもするけど >>235
細かいところは色々と間違ったけど
意味はわかるよね？ もうちょっと簡単に
N : 自然数全体
L : ある言語の表現全体の集合 (ある集合)
L[n]: Lの部分集合
val : L ---> N∪{'undefined'}
とし、
∀n∈Nに対して、val(L[n]) は有限集合であるとする
この時、
関数fを以下のように定義する
BB[L, L[n], val](n) = max(N∩val(L[n])∪{0}) >>231のあとに>>238というのはつまり大枠だけ定義して中身は各自自分で考えればいいという理解でおｋ？
表現と言うのは複数の解釈があってもなんとなく、数学的な根拠はないけどこういう解釈をすればこういう意味になることを指すのか、
それともどう解釈しても一意に定まるようでなければならないのか？ 前者の意味であれば万能でもないチューリングマシンが扱う言語でビジービーバー関数を表現できる いや、
自然数全体が曖昧
とか言い出したらそれはこのスレの範疇ではないでしょ
複数の解釈なんてありません
表現に対して、1個の数値が定まるか定まらないかの何れかです
そういう物が数学板で扱う言語と言うもののと思います
>>234的にはただの集合とその元
自然言語は数学の範疇では無いと思います 曖昧って言ってたのは自然言語をイメージしてたって事かな？
そりゃ曖昧なのは当たり前ですね
チューリングマシン語と、それによるビジービーバー関数の定義は曖昧性はないですよね
>>240でいうところの、
L, L[n], valとも明確です 「自然数全体」という自然言語の言葉が意味するものを形式言語でどう解釈してもひとつの意味を表すように表現することが不可能(超準モデルを否定しきれない)で、
同様にビジービーバー関数もどう解釈しても同じ関数を意味するように形式言語で表現することができない。
特定のメタ理論が扱う情報としてのメタ自然数として部分的に「自然数全体」を扱って一部のチューリングマシンの停止性を決定するくらい
だからビジービーバー関数以降は完全無矛盾な理論のように帰納的公理化不可能な理論が必要となる。
そのような形式的にwell definedに記述できない宇宙の是非をどう判定するかが問題となる
...という事情だろうか ひとつ気になるけど、「ビジービーバー関数の値が形式言語で無条件で自明になりえない」というのに反対で、
ビジービーバー関数は形式言語で、なにも前提とする知識なく自明に、どう解釈しても同じ値をとるようにに定義できて、
曖昧なところはなにもない、という考えですか >>246
帰納的公理化が可能だったり不可能だったりするのは文字通り公理系で、理論(=閉論理式の集合)ではなくね
それと宇宙っていうのはZF公理系の議論領域のことで、形式言語というメタレベルでは使わなくね >>248
ビジービーバー関数を定義してるのは自然言語 (数学で通常用いられる言葉)
well-definedかどうかの検証も当然人間が行う
数学で通常用いられる言葉を否定するなら
これは数学の全否定になる
チューリングマシン語は形式言語
この言語で「自然数とは何か」なんて定義はしない
チューリングマシン語の表現全体という
単なる集合の各元に対して
自然数∪{undefined}の元が対応付けられてるだけ
この形式言語と>>240とを組み合わせることで
ビジービーバー関数の定義となる 自然言語で定義してもいいけど、まとめると形式的に共通の理解が（頭が悪いとかじゃなくて原理的に）不可能という意味で
ある種の厳密性の限界となっている、というのはすでに述べた通りで、ビジービーバー関数は形式主義の上限という分かりやすい指標があるからまだいいけど、
実際ラヨ関数となると「1階集合論の対角化」という自然言語（形式言語で申し訳程度に補足されてるけど）をどう解釈するかで強さが全然変わってくるし、
現在統一されてない状態が続いている。 このスレで言われている強い言語の追究というのは数学的プラトニズムの追究を意味するんだろうが、
これは形式主義の限界を抜きにしてもひどくあやふやで強い弱いがはっきりしなかったりする、
そもそも正しい式が一意に定まるのかどうか非自明だし、一意でないとだめだけど、それでまた議論になりそうだけど。
それに数の大きささけを追究したいのならどの言語を対角化するかはあまり問題にならないし、表現を解読するルールのほうが大事でそれこそ
FOSTによる表現の対角化がただの計算可能レベルになったり不可能レベルに化けたりする。
そしてFOSTでは扱えないクラスやクラスのクラスを扱える高階述語論理を実装したCoCは計算不可能レベルよりは真に弱かったりする。 自然言語による定義の否定は数学の否定
これ以上は他の板でやってください 表現の解読が言語にとって重要なのは当たり前
>>240のLだけならアスキー文字列で足りる
valが解読
表記と解読がセットで言語として機能する べつに自然言語を否定してはいないです。
たとえば対角化してラヨ関数になるFOSTでビジービーバー関数を定義するさい、解読をどう定義します？
「強い言語」というのが数学的にはっきりしないという話です。
ビジービーバー関数をFOSTで定義するだけなら自然言語で「オラクルで停止するチューリングマシンのコードが与えられている」、とか言っておけばいいんですけど
自然言語による定義を受け入れてもこの先がはっきりしないんです。
選択公理をを「認める」か「認めない」かとか、どちらかが矛盾しているのか、していないのかとか もうあれだ、1階のすべての無矛盾な公理やplatnist universeも全部オラクルで与えられている、ということにしよう
これで全部はっきりとした定義になる。
海外のグーゴロジストはこれくらいのノリなのかもな。
でも巨大基数公理と同じように強ければ強いほど無矛盾性が疑われるようになる >>258
> でも巨大基数公理と同じように強ければ強いほど無矛盾性が疑われるようになる
そりゃそうだ
矛盾スレスレを狙うのが巨大数探索
もちろんそのレベルだと無矛盾かどうかの証明も不可能
でもビジービーバー関数は明確だ
疑う余地はない >>258
言語の機能として(定義が明確であれば)与えられるものは与えていい
当然だ
ビジービーバー関数を与えてもいいし、
特定の言語の停止判定機能を(別の言語に)加えても良い
巨大数を定義することが目的
巨大数の定義がwell-definedかどうかは定義とは別
それが矛盾スレスレだと判別出来ないかもしれない 計算可能な手続きによる定義と
計算可能ではない手続きによる定義
ここに線を引きたがるのが不思議だ
ヒドラゲームとビジービーバー関数、
well-defined性はビジービーバーの方が簡単と思う もちろん解釈によって値が変わるようなのは定義としては不十分 あー、ZFCの矛盾を直接探すチューリングマシンってのが構成できちゃうのか。すごいな
確かにビジービーバー関数が自然数を返すって言われても、
それは俺たちの知ってる自然数か？って疑問は生まれるなあ
実際どうなんだろう 別スレでも話題に上がってたultimate Lが前提ってことでいいんじゃね
お前ら頑張って見つけてくれ ちゃんと矛盾なく曖昧性なく定義出来てるかってこと
日本語変だった？ 名詞＋性→○○性
well defined←形容詞 d/dx*Σcos(y*logk)/k^x=Σ-logk*cos(y*logk)/k^x=-log1*cos(y*log1)/1^x-log2*cos(y*log2)/2^x-log3*cos(y*log3)/3^x-log4*cos(y*log4)/4^x-・・・
-log(1^(cos(y*log1)/1^x)*2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・)=log1=0
1=(cos(y*log1)/1^x)=log(1/(2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・))/log1
(2^(cos(y*log2)/2^x)*3^(cos(y*log3)/3^x)*4^(cos(y*log4)/4^x)*5^(cos(y*log5)/5^x)*・・・)=1
Πk^(cos(y*logk)/k^x)=1 解釈によって値が変わらないことの構成的な証明が計算不可能レベルには存在しないから、
構成的な数学との区切りの意味合いもある。
自然言語による定義だけでいいのならオラクルで与えられた無矛盾な形式言語のクラスの対角化
といっておけば今のところ最強になる。ＦＧＨでf[ω_1]と評価されるやつ。 >>270
解釈によって値が変わらない証明なんて
計算可能な関数でも不可能
あと、
「オラクルで与えられた無矛盾な形式言語のクラスの対角化」
これのどこが定義？ 計算可能ならZFCなんかで証明することができる。
f[ω_1]についてはたまに海外でも話題になる >>273
well-definedであればそれを証明することが出来る
ということがわかっているだけではなんの意味もない
具体的に証明してみないと >>274
計算可能レベルでは証明の存在を証明できるし実際に具体的に証明してみせることができる。
不可能レベルだと実際に具体的に証明することができない 実際に具体的に示すことができることを「構成的」と言ったのです f[ω_1]相当の関数は定義不可能だと思う
この関数が定義できたと仮定すると
この関数をオラクルに持つチューリングマシン語で
f[ω_1未満の任意の順序数]相当の関数を記述することが出来る
ω_1未満の順序数は非可算個
チューリングマシン語で記述可能な関数は可算個
明確に矛盾する >>277
>ω1未満の順序数は非可算個
モデルによるのでは？ ω_1は最小の非可算順序数なんだから当然非可算じゃないの？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
