分からない問題はここに書いてね444
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Erdős–Gallaiの定理の等号が成立する事は、完全グラフである事と同値ですか? >>161
S_n = Σ[k=0,n] (k+1)r^k (r≠1)
とおくと
(1-r)S_n = Σ[k=0,n] (k+1)r^k - Σ[k=0,n] (k+1)r^(k+1)
= Σ[k=0,n] (k+1)r^k - Σ[k=0,n+1] k r^k
= Σ[k=0,n] r^k - (n+1)r^(n+1)
= {1 - r^(n+1)}/(1-r) - (n+1)r^(n+1)
= 1/(1-r) -{(n+1) + 1/(1-r)}r^(n+1),
Σ[k=0,n] (k+1)/3^k = (9/4){1 -(1/3)^(n+1)} - (1/2)(n+1)(1/3)^n
= 9/4 - (2n+5)/{4(3^n)} >>167
(1)
det(A-xI) = (5/2-x)^2 - (3/2)^2 = (x-1)(x-4),
題意より λ1 = 1, λ2 = 2.
T = [ t1,t2]
[-t1,t2]
T^(-1) = [t1,-t1]
[t2, t2]
t1 = ±1/√2,t2 = ±1/√2,
(2)
Ω = T Ωo T^(-1),
また定義により
exp(T Z T^(-1)) = T exp(Z) T^(-1),
∴ D(z) = exp(zΩo),
exp(zΩ) = T exp(zΩo) T^(-1),
(3)
(d/dz) exp(zΩo) = Ωo exp(zΩo),
(d/dz) exp(zΩ) = Ω exp(zΩ), 1/(p^2 + a^2) のフーリエ変換の積分を教えてください。量子力学の問題で出てきました。
解きたいのは
ψ(x) = ∫[ {1/(p^2 + a^2)} * exp(ipx) ] dp
です。積分区間は -∞〜∞です。
答えは (π/a)*exp(-ax) とわかっているのですが、全然解き方がわかりません。
1/(p^2 + a^2) 部分が arctan で π/a はわかりますが、指数関数がどう出てくるのか…。 >>172
ψ(x) = ∫[ {1/(p^2 + a^2)} * exp(ipx) ] dp
=2πiRes(Im p>0)({1/(p^2 + a^2)} * exp(ipx))
=2πiRes(Im p>0)(1/(2ai)*(1/(p-ai)-1/(p+ai))*exp(ipx))
=2πi[1/(2ai)*(exp(-ax))]
=π/a*exp(-ap) >>173
このスピードでの回答、ありがとうございます。
留数定理、すっかり頭から抜けていました…。 nを自然数、aを実数、αを複素数とする。
xについての以下の方程式が実数解を持つとき、aとαが満たす条件を求めよ。
(a-αx)^(1/n)=(1-x)^a >>175
αが複素数なら左辺多価関数になるやん。
そこの扱いを明示しないと答えだせないやん。
logの分岐を一個指定してるのか、多価関数として答えるのかで大分ちがうでしょ?
その手のexcuseがいらないのは 正の実数^複素数 か 複素数^整数 の形に限られるやん。 >>176
>その手のexcuseがいらないのは 正の実数^複素数 か 複素数^整数 の形に限られるやん。
なぜですか? >>177
なぜもへったくれも
正の実数^複素数はa^b = exp(b log a)という定義でaが正の実数なら多価性なしに一意に定まるし
複素数^整数は帰納的に一意に値が定まる。
この2つの異なる冪の定義は定義域が共通のところでは値が一致するからどっちの意味で使われてるかは読者に自分で判断させるというのがみとめられてるけど、それ以外の場合ではlogの多価性のためにa^bは多価値になる。
だから関数論で複素数^複素数の型がでてきたら、まず100%そこの扱いについて指示があるやん。たとえば数学辞典の特殊関数のコンタワー積分表示のとことかみてみるといい。全部 “ただしlog××の偏角は××とする” とかいちいちついてるから。 関数列 fn(x)=(x/(1+x^2))^n が一様収束か判定する問題なのですが
極限関数すら求められずに困ってますので助けて下さい >>178
>正の実数^複素数はa^b = exp(b log a)という定義でaが正の実数なら多価性なしに一意に定まるし
なぜですか? 小さい方から数えてn番目の素数をpn、pnを3で割った余りをrnとする。
例えばp1=2,p2=3,...であり、r1=2,r2=0,...である。次の極限が収束するかどうかを判定せよ。
lim[n→∞] (Σ[i=1,...,n] ri)/(3n) >>179
極限関数なら、単に (実数)^n の形の極限なので
|x/(1+x^2)| と 1 の大小を考えればわかる >>145 >>150
頂点の座標を
A (0,0,a/√2)
B (0,0,-a/√2)
P (a/√2,0,0)
(-a/√2,0,0)、(0,±a/√2,0)
とおく。
平面Π: z=0 (xy-平面)
(1) 2平面
x+y+z = ±a/√2
の距離は
La = (√6)/3 a,
(2)
切断面と平面Πの交線を QQ~ とおく。
切断面は菱形で、対角線の長さは
AB = (√2)a,
QQ~ = (√2)/(|sinθ|+|cosθ|) a,
S(θ) = (1/2)AB・QQ~ = 1/(|sinθ|+|cosθ|) aa,
(3)
Sa = (2/π)∫[0,π/2] S(θ)dθ = {(2√2)/π}log(1+√2) aa = 0.793515021 aa,
(4)
(Vの体積) = (√2)/3 a^3 = 0.47140452 a^3,
Sa・La / (Vの体積) = {2(√6)/π}log(1+√2) = 1.374408333 >>181
コピペ貼り付けするならコテ付けてくれ
NGしやすいように >>144
(3)
a = b = c(cc + 3ddp),
m = n = d(3cc + ddp),
α = c + d√p,
β = c - d√p,
f(x) = g(x) = (x-c)^2 - pdd,
c,d は正の整数かつ、cc - ddp = αβ > 0, >>188
> かつ、cc - ddp = αβ > 0,
は余計だったか… 教えちくり。
半径1の円に外接する三角形について、その面積が最小となるのは正三角形となるときであることを示し、最小値を求めよ。 >>190
教えちゃる。
内心Iから各辺に垂線を下ろす。垂線の長さ(=半径)は1である。
IA,IB,ICを斜辺とする直角 が2つずつできる。
頂角は A/2,etc. で直角を挟む2辺が1とcot(A/2) etc. ゆえ面積は (1/2)cot(A/2),
S = cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2) (← 下に凸)
≧ 3cot((A+B+C)/6)
= 3cot(π/6)
= 3√3,
これはπより大きい…
等号成立は A=B=C すなわち正3角形のとき。 C1=1、Cn+1=1+1/(Cn+1)
数列{Cn}は収束するか、収束するならば極限値を求めよ。
分かりづらくて申し訳ありませんが左辺はn+1項、右辺はn項に+1です 半径1の円板Cが空間に固定されている。
半径1の円板DがCと少なくとも1点を共有するように動く。
空間内の、Dの動きうる領域の体積を求めよ。 (3a)/4は途中式だってことなんじゃないですか?
3a÷4を計算せよ、って問題で3a÷4とそのまま書いたらバツですよね 俺の教科書では(3a)/4としてもよいと書いてあったけど、指導要領が変わったんだろうか? >>192
(C_k - √2)/(C_k + √2) = a_k
とおくと、
a_1 = - (√2 -1)^2 = -0.171572875
a_n = r・a_{n-1} = … = r^(n-1)・a_1 = r^n,
ここに r = - (√2 -1)^2 = -0.171572875
C_n = (√2)(1+a_n)/(1-a_n) = (√2)(1+r^n)/(1-r^n),
C_n → √2 (n→∞), 曲線C:y=x^3-xをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線をDとする。
(1)CとDが相異なる3点で交わるとき、p,qの満たす条件を求めよ。
(2)(1)の条件を満たすp,qに対し、平面上の点K(p,q)を考える。Kの存在領域に外周を加えた領域Tの面積を求めよ。 x^3 + 2次式 = x^3 + 2次式 が3個の解 (3b^15)^0
の答えは1で良いですか?
1bと書くべきですか? >>203
0乗は1になるのにbに数値が代入されたら1に限らなくなってしまうわけですか!!ありがとうございました!! >>204
0^0=1って定義した方が都合が良いから出来るようになってるはず 不定もしくは1じゃね
それよか
x+y=0
が同次方程式というのは0が0次じゃないってことだけど
0は0次次数無し-∞次のどれが一番都合よいかな ∫(sinx)^2 dxについて
cosの倍角定理使えば求まるのはわかるのですが、部分積分を使ってやってみようと思い
∫(sinx)*(sinx)=(-cos x)*(sinx) - ∫(-cos x)*(cosx)
=(-cos x)*(sinx) + ∫(cos x)^2
∫(cos x)^2 = (sinx)*(cosx) - ∫(sinx)*(-sinx)=sinx*cosx + ∫(sinx)^2
代入して
∫(sinx)^2=(-cos x)*(sinx) + sinx*cosx + ∫(sinx)^2
∫(sinx)^2=0 となってしまいます
計算ミスのはずなのですが、どこに計算間違いがあるのか分からなくて困っています
どなたかご教授お願いしますm(_ _)m (sinx)^2=-(cos (2x))/2 + 1/2
なので∫(-(cos (2x))/2 + 1/2) = (x/2) - (1/4)*sin2x
が正答でゼロにはならないですよね? それが何か?
>>210では部分積分を二回繰り返して ∫(sinx)^2dx=∫(sinx)^2dx となっただけ。 だから 0=0。
やってることは
A+B=0 のとき A=-B。 A+B=0なので -B=A。よって A=-B=A。 >>210
∫(sinx)^2dx=(-cos x)*(sinx) - ∫(-cos x)*(cosx)dx
=(-cos x)*(sinx) + ∫(cos x)^2dx
=(-cos x)*(sinx) + ∫(1-(sin x)^2)dx
=(-cos x)*(sinx) + x-∫(sin x)^2)dx
よって
2∫(sin x)^2)dx=(-cos x)*(sinx) + x
これより
∫(sin x)^2)dx=(-cos x)*(sinx)/2 + x/2=x/2-(1/4)sin2x あぶねえ・・・>>215とほぼ同じことを書いて被るとこだったぜ。
確認してよかった。 >>200
(1)
D: y = (x-p)^3 -(x-p) +q
CとDの差をとって
p(-3xx+3px-pp+1)+q = 0
2次式が相異なる3個の解をもつ。 >>201
p=q=0 >>200 の〔類題〕
曲線C:y=x^3-xをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線をDとする。
(1)CとDが相異なる2点で交わるとき、p,qの満たす条件を求めよ。
(2)(1)の条件を満たすp,qに対し、平面上の点K(p,q)を考える。Kの存在領域に外周を加えた領域Tの面積を求めよ。 >>219
(1)
Affine変換して条件は
(x+p/2)^3 = (x-p/2)^3 +qが異なる2解をもつ
と同値。これは
3px^2 = q - p^3/4
が異なる2つの実数解をもつとき。
p=0で解無し、
p>0においては q>p^3/4。
p<0においては q<p^3/4。
(2)∞ (1)
条件:3px^2-3p^2x+p^3-q=0が異なる2つの実数解もつ。
p=0で解無し。
p>0で
9p^4-12p(p^3-q)>0
-3p^3+12q>0
q>p^3/4
p<0で
9p^4-12p(p^3-q)>0
-3p^3+12q<0
q<p^3/4
(2)∞
あ、やっぱりAffine不変や。y=x^3-xをy=x^3に移すAffine変換で平行移動と可換なものが存在するから大丈夫ね。 >>219
(1)
D:y = (x-p)^3 -(x-p) +q,
C,Dの交点では
3pxx -3ppx +p^3 -p = q, >>217
が異なる2つの実数解をもつとき。
xx -px +(1/3)(pp -1 -q/p) = 0,
p=0 では 解なし。
p≠0 においては
判別式 = pp - (4/3)(pp -1 -q/p)
= -(4/3)(pp/4 -1 -q/p)
> 0,
∴ q/p > pp/4 -1, あ、やっぱりAffine不変でなかった?x軸方向への移動と可換じゃないのか。 ジョルダン零集合の定義において閉矩形を開矩形と変えても問題無いとあったのですが何故でしょうか
面積や被覆で問題が出てしまいそうなのですが >>210
>代入して
>∫(sinx)^2=(-cos x)*(sinx) + sinx*cosx + ∫(sinx)^2
そっから
>∫(sinx)^2=0 となってしまいます
に持って行くまでが遠足ですよ 頭が良くなりたいのに全然よくなりません
自殺するべきでしょうか? >>193
Dをやめて直径(長さL=2の線分)だけにしても、たぶん同じ。
∴ 凸体のシュタイナーの公式
V(L) = V(0) + S(0)L + M(0)LL + (4π/3)L^3
で V(0) = 0,S(0) = 2π,M(0) = ππ,L=2 とおく。 >>232
ぐぐってもでてこん。解説おながいします。 わからないのなら、
「わかりません、すいません、そこまで頭良くありません。」
って言えよ。 >>235
わかりません、すいません、そこまで頭良くありません。
解説おながいします。 をっと、間違った。
>>233 >>234
稜の両側の面の2面角θ,長さd とする。
体積の増分は、稜線を軸とする 半径L、中心角θの扇形柱なので、{(1/2)θLL}・d
M(0) = (1/2)Σ[i] θ_i d_i
となる。これは多面体の場合。
本問の∂Cは円周なので θ_i = π(裏返し)、|∂C|= 2π とする。
∴ M(0) = ππ >>239
なるほどね。thx。
wikipediaに乗ってる定義なら一般の凸体で成立するけど、結局それではV(K,B,B)という厄介な量を計算しないといけないけど、多面体の場合には簡単に計算できるのね。
まだまだ知らないテクニックあるなぁ。 1辺の長さが1の正二十面体の体積をV1、1辺の長さが1の正十二面体の体積をV2とする。
(1)V1とV2の大小を比較せよ。
(2)比{min(V1,V2)}/{max(V1,V2)}の値をrとする。rと2/(1+√5)の大小を比較せよ。 置換積分でわからなくなったので教えて下さい
∫((logx)/(x*(3+logx)))
t=3+logxと置換して
x=e^(t-3)
dx/dt=e^(t-3)
∫ (t-3)/ (e^t-3 * t) *(dx/dt) dt
=∫ (t-3)/ t dt
=∫1 - 3/t dt
=t - 3log t
t=3+logxを代入して
3+logx - 3log(3+logx)
が答えだと思ったのですが、どうやら違うようです
どこに計算間違いがあるのか教えていただけないでしょうか? >>242
頭の 3 が積分定数と一緒になってるだけじゃね
あと最後の log は ( ) ではなくて | | じゃね あーそっか積分定数か!ありがとうございます!
wolframで調べたら絶対値ついてなかったのでこれでもいいのかな?と思ったけどやっぱダメなんですかね x>0でlog(4x)を微分すると1/xになりますが、これはlog(x)の微分と同じです
これはどういうことなんでしょう?
1/xを積分すると2通りの関数が出てきてしまうということにはならないのですか? 原始関数には定数項の差の任意性があるということ。
小難しく言えば、ある関数の原始関数とは、単に微分してその関数になるという意味での個別関数のことではなく、
微分して当該関数になる関数全部がなす集合の任意の代表元、と呼ぶべきもの。
だから関数からその原始関数を一意に指定することはできない。
それゆえ、原始関数を与える積分結果を不定積分、という。 >>241
(1)
V1 = (5/24)(1+√5)^2 = (5/6)φ^2 = 2.181695
V2 = (15+7√5)/4 = 7.663119
(2)
r = V1 / V2 = 0.284700
1/(1+√5) = 1/(2φ) = 0.309017
r < 1/(1+√5), >>247
あ〜〜アホすぎてすみません・・・ありがとうございます!
もう一つ質問です
https://i.imgur.com/PB74UfY.png
この変形がなんで成り立つのか全く分かりません
誰か教えて下さい・・・・・・・・・・ >>252
sin x, cos x は、それぞれ x=π/2 を対称軸とした偶関数、奇関数みたいなもの >>254
すいません、全く分からないので
できれば具体的な式の変形を書いてもらえるとありがたいです。 あーすいません分かりました!!!
アホすぎる・・・・・ ∫(0~1) x^2 * √(x-x^2) dx を積分しろという問題で
x-x^2を平方完成するために、x-1/2 = 1/2 sin θと置換して
(1/16)*∫(-π/2~π/2) (1+sinθ)^2 * (cosθ)^2 dθと変形できて
∫(-π/2~π/2) (1+sinθ)^2 * (cosθ)^2 dθ
=∫(-π/2~π/2) (1+2sinθ+(sinθ)^2) * (1 - (sinθ)^2) dθ
=∫(-π/2~π/2) 1+2sinθ+(sinθ)^2 - (sinθ)^2- 2(sinθ)^3 - (sinθ)^4
sinは奇関数なので、奇数乗の項は消えて
=∫(-π/2~π/2) 1- sin^4 θ
となってしまったんですが、これだとπと分数を含む汚い数値になってしまって、正解と異なります
式変形のどこでミスってしまったんでしょうか?
ご教授いただけると幸いです >>255
式の変形はしない
グラフの形状をイメージして、積分値が0だと見抜いてるだけ
つまり君はグラフのイメージができてない。奇関数と偶関数の積分についてググってみな 一行ごとにwolfram先生にうちこめばどこでミスったかわかる。 >>258 ありがとうございます。
>>260
すいません、最後の積分で自分が計算ミスをしてました。
式はこれであってました。ありがとうございます。 グーグル経由の広告で
(x+15)^(1/2) + x^(1/2) = 15
を解けってのがあって、答え自体は49
もう少し一般化して、
(x+a)^(1/2) + x^(1/2) = a
の解は、
x=(a-1)^2/4
(a>=1)
なんだけど、この式って何か理由のある式なのでしょうか? >>240
一般の凸体では、
(θ,φ) 方向に垂直な2枚の支持平面の間隔を H(θ,φ) とする。(支持函数)
M(0) = (1/2)∫ H(θ,φ) dΩ
= (1/2)∬ H(θ,φ) sinθ dθ dφ
= π∫[0,π] H(θ) sinθ dθ … V(K,B,B)/B^2 に相当
円板Cでは H(θ) = 2sinθ なので… >>259
空間は物理。
時間は数学。
時間は無限にさかのぼれれば、
あなたが生まれてくるその時に、
永遠にたどり着かないはず。 >>265
>M(0) = (1/2)∫ H(θ,φ) dΩ
はどうやって導くんですか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています