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背理法不要論ってどうなん？
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0228１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 12:09:44.11ID:iW5n26g8
0の0乗と背理法がなんの関係があるの？
0230１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 13:05:57.19ID:Tp/l7Aeb
>>227
0^0を空集合から空集合への写像の全体と定義するかどうか
(-1)^(-1)とか決められないし
(1/2)^(1/2)もな
べき乗の定義は積までと違って定義する集合によって違う
0232１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 17:30:39.66ID:Umctfcrx
背理法をつかった証明は直接法に機械的になおせるって本当ですか？
コンパクト集合上の連続関数が一様連続である背理法の証明は初頭的だけど直接法はコンパクトの性質をもろに使っていてわかりににくいけどできるのかな？
0233１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 18:37:57.59ID:Tp/l7Aeb
>>231
それって最初の奴（有限集合間の写像の総数）を拡張してるだけ
拡張の仕方が一意なんてことはないよ
まあ
集合概念を拡張した超現実数なら-1個とか-2個とか有理数個とかできたと思うけど
0234高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」
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2018/08/16(木) 21:20:10.49ID:dZ5ratnn
高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!!　関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
0235１３２人目の素数さん
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2018/08/17(金) 09:59:32.26ID:ZcdKjTja
まあ実際複素関数として考えたら違ってくるけど、そこは常識的に考えるものだろう
0236１３２人目の素数さん
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2018/08/24(金) 18:55:55.69ID:Kd7NnAaL
0^0なんていう使わない概念を真面目に考えてもしょうがないだろ。
俺は0^0=1億と定義するわ。文句あるか？
0239１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 13:07:50.42ID:vfboXXpV
>>12
x^2=2が実解を持つなら±2、±1である。√2は解である。よって√2は無理数。
0240１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 16:16:27.85ID:c5Yc+sxC
>>1
背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ただし証明のルートが二つあるなら、一つ見つけた段階で論文にした方がいい。背理法不要論の先生も、自分の院生が論文を書く場合、
背理法を使うなとは言っていない。背理法が正しい証拠だろう。
背理法が数学的にも論理学的にも正しいことは明らかなのだから、
背理法不要論が意味を持つのは、
背理法が数学教育上悪影響を与えることが実証された場合だけだ。
すなわち、背理法不要論は数学や論理学の問題ではなく、教育の問題だ。
ところが、この部分に関する客観的なデータは皆無だ。
件の先生も自分の主観的な経験を述べているに過ぎない。
この部分について、他者の検証に耐えるデータに基づいて主張しない限り、
科学的でないので誰も相手にしないだろう。そりゃそうだ。
何の興味もない誰かの趣味に付き合う暇人はそうそういない。
今の状態では5chのネタが精一杯だ。5chでもスレオチするかもしれない。
0243１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 13:15:34.97ID:nFkLMuUn
>>240
小保方晴子の「STAPは絶対に存在します!」とのアナロジーがあるということだね

再現性や証明のない自論の固執だけでは、誰も説得できないという、ごく当然の帰結
0245１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 05:24:08.11ID:VJZGB+qY
だがドイツでSTAP細胞の実在が認められ、日本のマスコミの伝え方の劣悪さがまた新たに判明
未だに日本世間ではSTAP細胞の科学的実在性さえ認められていない
0246１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 09:21:49.73ID:KE+Wsnjk
>>245
仮に、それが本当でも
小保方が発見した（作製）出来た事の証明にはならない
例えば、私が「宇宙人はいますっ」て言えば、最初に発見された時の栄誉は私のものになるのか？
0247１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 11:02:30.97ID:VJZGB+qY
>>246
俺が言ったのは実在性の是非で氏の功績の是非じゃないから
マスコミの伝え方・記者質問の仕方は
STAP細胞という概念をトンデモ科学概念と見せかねない報道をした
言ってみればiPS細胞をトンデモ扱いしていた人間の所業に等しい
0248１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 11:36:32.69ID:KE+Wsnjk
>>247
あんた馬鹿だなぁ
もともと、小保方達が作製したと発表した事が批判されていただろ？
STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ
お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ
どっか行け
0249１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 13:08:48.66ID:VJZGB+qY
>>248
> STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ

そのあるかも知れないをトンデモに仕立て上げたのがマスコミ

> お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ

お前みたいな既存概念依存人間が状況を覚えてないだけ
0250１３２人目の素数さん
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2018/09/20(木) 08:04:59.10ID:yX+4jBJk
背理法という証明方法はエレガントな感じがするので、むしろ数学に相応しい気がする。
間接的に真理を求める、といった感じ。直接・直截的なのは、なんか野蛮な感じがしないかい？
0252１３２人目の素数さん
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2018/09/20(木) 09:10:49.18ID:7MI2Fg0q
野蛮かはともかく非構成的な証明を未だに否定してる人がいたら流石にな
0253１３２人目の素数さん
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2018/10/04(木) 18:11:14.43ID:5lbw13zs
>>245
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0254１３２人目の素数さん
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2018/10/04(木) 18:11:46.42ID:5lbw13zs
>>249
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0255１３２人目の素数さん
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2018/10/05(金) 01:15:36.49ID:GQNkca1D
問: 無理数の無理数乗が有理数となる事はありえるか？
解答: ありえる.

証明:
α ＝ (√2)^(√2) について考える.
(1) α が有理数だとしたら, √2 が無理数なので α自体がその一例である.
(2) α が無理数だとしたら, α^√2 = 2. これも同様.
どっちにしろありえる事が示された.
( 本当のところ α は有理数なの？無理数なの？ 証明においてその知識は不要である.)

背理法否定論者は、この証明も叩きそうだなあ...
0257１３２人目の素数さん
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2018/10/05(金) 03:26:46.90ID:m6/qGCq6
>>254
君は議論では249に負けているよ。
0259１３２人目の素数さん
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2018/10/05(金) 05:21:06.38ID:m6/qGCq6
>>255
背理法とどう関係があるの？
0260１３２人目の素数さん
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2018/10/05(金) 10:01:04.67ID:xrvCMmui
直感主義的方法ではないですね

αが結局どちらかなのか述べていませんから、何も言っていないのと同じです
直感主義では排中律は認められません
0261１３２人目の素数さん
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2018/10/05(金) 21:30:34.85ID:7L46lsJb
>>257
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0262１３２人目の素数さん
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2018/10/09(火) 23:33:31.46ID:xGB9Dxlt
>>246
小保方氏が細胞を変化させて、その細胞から若山が幹細胞を作った。
ところがそれは若山研究室のES細胞だったと遺伝子解析で判明した。
検証実験は若山は逃げた。小保方氏は細胞を変化させることには成功した。
マスコミは最後まできちんと報道しただろうか？
0266１３２人目の素数さん
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2018/12/18(火) 10:42:13.90ID:IfqUBkcV
ゾーンの補題でイイジャン
0267１３２人目の素数さん
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2018/12/18(火) 10:46:21.86ID:IfqUBkcV
>>240
>背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
>このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ちょっとちがくて
背理法というか
排中律無くても二重否定命題は証明可能（埋め込み定理）
でも二重否定命題から命題を証明するのに排中律（背理法）が必要
0269１３２人目の素数さん
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2018/12/28(金) 18:53:27.53ID:ZjqumJwb
丸大ハムの宣伝を聞くと、背理法を思い出してしまう。
0270１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 22:55:53.70ID:jDQH0deZ
最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだがも背理法不要信者が書いたのか
0271１３２人目の素数さん
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2020/02/09(日) 12:43:07.47ID:WwW0lwkg
背理法不要論を振りかざす奴は、丸大ハンバーグを食べるの禁止。
（昭和のCMを知っていればわかってくれるはず。）
0273１３２人目の素数さん
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2020/02/09(日) 20:31:44.36ID:MrVM8O/i
たしかに言いたいことはわかる
背理法使ってる証明はココロが掴めない
0274１３２人目の素数さん
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2020/02/09(日) 21:13:13.89ID:zmPDrO9K
むしろつかめることが多いけど
0276１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 09:23:39.38ID:5QoSZ0Vp
背理法が全てが悪いんじゃなくて無根拠な排中律・排重律・排他律の適用が悪いんだけどな｡
とは言え背理法で囲い込んで特定されるより推論過程でピタリと特定される方がしっくり感は有る｡
まぁしっくり感も人間が感じるもんだから怪しむべきっちゃ怪しむべきなんだが｡
人は巷に広められた情報よりも自分で入手した情報を信じ易い、ってな｡
背理法にせよ帰納法にせよ自然結論にせよ、各証明は吟味が必要って事だな｡
0277１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 10:51:12.83ID:bFwhjH70
>>276
無内容
0278１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 12:52:49.56ID:5QoSZ0Vp
ブーメラン自爆ご苦労。その無内容、と言うか可も無く不可も無い事実に気付かず
背理法要否を唱える人間や背理法濫用に気付かない人間が、どれだけ多い事か
0279１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 17:58:11.91ID:bFwhjH70
>>278
恥の上塗り
内容のない長文を書いた自分を恥じよ
0280１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 19:17:16.54ID:Cj4YNvxv
>>259
背理法の根幹は排中律だからってことでしょ
Pか～Pかしかないってことを使っている
0283１３２人目の素数さん
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2020/02/11(火) 08:14:17.56ID:Kug1nJMB
アインシュタインは時間は幻想だと言っていた

でも　仮にそれが幻想だとしても　時計の針が逆向きに動くところなど

見たことが無い。。

でもそれは　「それが時計だから」だ

そもそも時計と言う物体はそういう風に作られている　逆になど動かない

前提の代物なのだよ。。　だがその事と　時間が逆行しない　という言説

とは科学的相関性は無い。。
0284１３２人目の素数さん
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2020/02/11(火) 11:01:29.13ID:QRvz8m/g
>>282
>爆発律って直観的か？
そりゃ直感的だよ
空集合はすべての集合に含まれるってのが爆発律
0285１３２人目の素数さん
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2020/02/11(火) 15:59:00.02ID:k9bizDpK
爆発律って初耳だからググってみたら
「矛盾から全てが出る」の事じゃねーか
0287１３２人目の素数さん
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2020/02/12(水) 15:19:44.83ID:DgsV4+VQ
有と無を同列に扱ったが故の矛盾宿命…
だが有と無を隔てる理も無く…
0288１３２人目の素数さん
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2020/02/12(水) 19:04:40.98ID:jFGbb/Jf
背理法の代わりに対偶法を使えってこと？
￢Q→￢Pだと仮定するのは￢Qだけだけど
P∧￢Q→⊥ならPと￢Qとを仮定できるのでずっと見通しが良くなる
0289１３２人目の素数さん
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2020/02/12(水) 19:17:23.31ID:EysH9QKZ
>>284
それは違うやろ

たぶん「命題x」と「xの証明全体から成る集合S(x)」、
「xならばy」と「写像S(x)→S(y)」を対応させる埋め込みを考えてるんだろうけど、
“矛盾を空集合に対応させていいのか”という問題がある

矛盾が証明できないという先見的な証拠はないし「真なる矛盾が存在する」という哲学的立場もある(真矛盾主義)
0291１３２人目の素数さん
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2020/02/13(木) 21:19:20.74ID:q7cwywue
>>289
矛盾を何か神格化してるだけだなそれ
0292１３２人目の素数さん
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2020/02/13(木) 21:30:50.32ID:klmawLhI
まーた哲学者が暴れてるよ
真なる矛盾なんかあるわけないだろ
0293１３２人目の素数さん
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2020/02/14(金) 23:31:53.59ID:5CWKFqDB
背理法不要論はまあ背理法使うと公理を一つ余分に入れないといけない点から来てるんだろうと思うけど、
ZFなら正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
ZFCなら排中律を証明できるんだっけ？
0294１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 00:43:31.70ID:SksuAgtb
>>293
>正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
え？
何が元か最終的にハッキリしない集合の存在を当然と思うかどうかよ
もちろんそういう集合が合ってもいいという立場も有り得るだろうけど
そっちを自然と感じる？
0296粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
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2020/02/15(土) 07:43:54.54ID:hL7d8Bzj
真矛盾って肯定的証明も否定的証明も出来ない矛盾の事と違うたんか？

所で嘘吐きのパラドクスは不合理では有るが実は矛盾ではない｡
――貴方は貴方ですか？」正直 Y.
嘘吐 N.
――貴方は正直ですか？
正直 Y.
嘘吐 Y.

？？=(￢正直)or(￢嘘吐き)

――貴方は正直ですか？Take2
正直 Y.
嘘吐 Y.
￢正直 N.
￢嘘吐 N.
――貴方は貴方ですか？Take2」
正直 Y.
嘘吐 N.
￢正直 N
￢嘘吐 Y
0297１３２人目の素数さん
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2020/02/15(土) 10:14:53.65ID:SksuAgtb
>>295
この中で
∀X∀Y∀F(∀x(X(x)↔Y(x))→FX=FY)
を公理にしてるのがこの結論を導いてるようだけど
2階の関数ってこの性質を持つべきなのかな
定義は異なるが真偽が一致するX,Yに対して
FXとFYが必ずしも一致しないFを考えても良くない？
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/15(土) 10:36:08.61ID:SksuAgtb
この証明のキモは
選択公理によって
Aの真偽と一致不一致が同値になる関数Kの存在が示せるというところ
Aの真偽を01に対応させる関数が存在することを示しているとも言えそう
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 13:19:22.44ID:xlZ4iTwN
背理法は便利だよ
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 23:10:19.81ID:WMW0bPzH
背理法無しでtan1°が無理数であることを証明して
0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 23:15:41.09ID:GI+iZoPX
対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

愚かとしか思えないんだけど。
0303現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/25(火) 23:35:43.84ID:9Ip+NlYg
>>302
＞対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

そういう視点もあるよね
つまり
命題 P→Q
対偶 ￢Q→￢P
背理 ￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で ￢Q∩P＝Φ（空集合））
（要するに、集合で考えると P⊂Q が成立つ ←→ ￢Q∩P＝Φ（空集合））
背理法の利点： ￢Q∧P と2つの条件が使えること。つまり、 対偶 ￢Q→￢P（１つの条件￢Q から ￢Pを導く）よりも、証明の筋道が見えやすい場合が多いってことが、大きな利点です
なので、背理法は非常に有用です！！

（参考）
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由

「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。

図１
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/images/A14M0119/pic02.gif
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/26(水) 21:35:55.42ID:HaxrwfDe
>条件pを満たすもの全体の集合をP
“もの”って何？ラッセルのパラドックスぶつけるぞオラ
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/27(木) 00:49:39.45ID:NmO/Ve82
背理法って全然そうは見えないけど、実はワン・ツー狙いの
ロングクロスでサイドに張る隠れバックスって感じも
0308１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/27(木) 02:27:46.70ID:PLS5pGIm
>>305
``もの''つまり要素になれるものはすべて集合、集合の集まりは一般にはクラス
0310現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/28(金) 11:56:47.48ID:rVGS/+rX
>>307-308
同意

P→Qの証明を
迷路に例えると
１．正攻法：Pから出発して、愚直にQを目指す
２．対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
　（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）
３．背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
　（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

問題毎に、正攻法、対偶法、背理法の３つで、最も適した（最も分かり易い）証明法があるだろう
勿論、背理法で証明された後なら、正攻法でPから出発して Qに至る道を見つけることは、容易なっているだろう

なので、背理法は有用と思うよ
Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 20:14:08.04ID:0w5BC7oq
無内容の長文
0312現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/28(金) 21:04:56.59ID:KGKH9uxv
>>310-311
>無内容の長文

同意
まあ、「背理法は有用です」とか
「Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）」とか
ほぼ自明だからなーｗ

例えば、中学数学の例で、「√2は、無理数である」の証明
１．そもそも、”無理数の定義：実数Rの中で、有理数Q以外” なわけで、”有理数Qの定義：有理数体Q”ってこと
　だから、圧倒的に、有理数Qを出発点にする方が、無理数を出発点にするより、有利だよね
２．そこで、有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」と、「√2の性質：二乗して2になる」と、2つの性質を組合わせて、矛盾を導くという方針が立つ
３．これぞ、背理法であり、極めて自然な証明法である

上記は、いろんな人がいろんな所で書いていることで、知る人ぞ知る、自明と言えば極めて自明なことだよ
上記は、中学数学の簡単な例だが
同じようなことは、数学のいたるところにある

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。
有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。
基本性質
既に述べたように、通常の四則演算のもと、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 22:41:05.53ID:UA+4yeho
>>310
解る気がします
悪乗りですけど
守備は教えられるけど（フォワード）攻撃は教えられない現代サッカーの
視点に立てば、選手の誰もが均一のパスの能力を持つと想定し

① パスがつながればゴールを奪える
② ゴールが奪えないならパスがつながっていない
③ パスがつながっているのにゴールが奪えない　/矛盾

今まではウインガーでもセカンドトップでもサイドハーフでもバックスでも、
つねにセンターやサイドに張らず流動的な戦術の中でめまぐるしくポジションを
変えながら相手の裏をかくようにパスをつないでいく傾向が。こういったスペイン流パス回しでも今はホントありきたり。
往々にしてほとんどの場面で正攻法はすぐばれる気が
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 22:46:40.31ID:0xBODeNe
>>310
＞対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
＞（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、
＞　つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）

「Qから出発して、Pを目指す」のは
「￢Qから出発して、￢Pを目指す」のとは
全く違うけどね

対偶と逆を同じだと思ってる？
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0120.html
0315１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 22:49:16.80ID:0xBODeNe
>>310
＞背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
＞（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

「PとQが矛盾する」のは
「Pと￢Qが矛盾する」のとは
全く違うけどね

Qと￢Qが同値だと思ってる？
0316現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/02/29(土) 07:39:00.23ID:MeLF+0EN
>>314-315
全部同意ですよ
話を分り易く書いているのです
細かいところを、省いてね
というのは、この数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
図も書けないしね

もう一度説明すると
１．証明を、迷路に例える
２．通常法はP→Q、つまりPを出発点として、ゴールQに辿り着ければ、証明が終わる
３．だが、Pを出発点として、Qの情報が見えない
４．対偶法は、￢Q→￢Pの迷路に直して、￢Qを出発点とした方が、ゴール￢Pへの道が分り易いとき有効
５．背理法は、￢QとPの2つの情報を使って、矛盾というゴールを探す証明手法

と、こういう説明なんだよ
通常法、対偶法、背理法の３つとも、正しい数学の証明法です
それぞれ、利害得失があるってこと
0317現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 07:49:14.29ID:MeLF+0EN
>>316 補足

背理法の話は、過去にガロアスレでも扱ったよ
下記 目玉焼き さんのコメントを読んでみて

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/82-

URL アマゾン /dp/4903342220
背理法 (数学書房選書) 単行本 ? 2012/5
桂 利行 (著, 編集), 栗原 将人 (著, 編集), 堤 誉志雄 (著, 編集), 深谷 賢治 (著, 編集)
単行本: 128ページ
出版社: 数学書房 (2012/05)

目玉焼き
5つ星のうち5.0「構文」背理法を通して、排中律に重きを置く「こころ」を解説。
2012年10月21日
この本のタイトルである背理法という間接証明法はラディカルな批判者によって一時期不当な評価をされていましたが、現在は議論も一回りし決着が付いているようですのでレビューを書き直しました。

一つ、脱背理法論者の理論の決定的な間違いを指摘しておきましょう。
以下略
0318現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/02/29(土) 08:00:06.28ID:MeLF+0EN
>>317 補足の補足

かつて、下記みたいな話があったので
このスレが、あるのでしょうね（>>1ご参照）

（参考）
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01) 2013/07/
(抜粋)
(通常背理法で証明される定理を背理法を用いず証明する)を東京理科大学数学科で実践しています。
略
0319１３２人目の素数さん
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2020/02/29(土) 08:15:52.33ID:JeadSrAR
>>317
肝心なところを省略してどうする
0320現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 08:47:56.06ID:MeLF+0EN
>>318

もう少し書くと
下記安部研究室、”背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明”と書いてあるけど
やっていることは、「P：x＝√2（x^2＝2）→Q：xは無理数」として
P→Qの証明下記で、「Pかつ￢Q→Φ（空集合）」ってこと（ここで￢Q：xは有理数）
つまり、>>303の「背理法 ￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で ￢Q∩P＝Φ（空集合））」そのもの
（くどいが、「x^2＝2 かつ xは有理数 を満たすxは存在しない」を示しているだけなのです）
それを示すのに、因数分解の一意性という大定理を使っているだけのこと
そういう見方もできるよね

（参考）
http://abel.a.la9.jp/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01)2013年02月23日
(抜粋)
　背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明：
　「自然数　a,b につき、
　aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」
(不要かもしれませんが少し説明を加えます。
　a と b を素数の積で表したとき、その素数(素因数)の個数をそれぞれ s と t とすれば、aa と 2bb の素因数の個数は s+s=2s と 1+t+t=2t+1 です。
　また、2＝(a/b)^2 から √2≠a/b を導くのに背理法を使っていると疑う人がいるので、
　x,y>0 のとき、√x＝√y と x＝y は同値
ですから、　√x≠√y と x≠y も同値です。)
[背理法でもっと簡潔に証明できますか？]
　また、素因数分解の存在と一意性も勿論背理法を用いず証明できます。
0322現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/02/29(土) 09:01:59.48ID:MeLF+0EN
>>320

さらに書くと
フェルマー予想
”3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理”

証明される前は、予想だったから
当然、x^n + y^n = z^n の解があるとして、「あるとすれば、その解がどういう性質を持つか」という筋が自然に浮かぶだろう
それが、結果的に、背理法の証明に繋がった

つまり、”自然数の組 (x, y, z) は存在しない”→自然数の組 (x, y, z) が存在する→x^n + y^n = z^nの解を調べる→矛盾→背理法の証明完成 となる
それって、真っ当な数学の手法でしょ？
そういう（自然に背理法を使う）数学の対象が、あるってことです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
(抜粋)
3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである[注釈 1]。
長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった[1]。
目次
1 概略
2 個別研究の時代
2.1 n = 4：フェルマー
2.2 n = 3：オイラー
2.3 n = 5：ジェルマン、ディリクレ、ルジャンドル
2.4 n = 14 ：ディリクレおよび 7 ：ラメ、ルベーグ
2.5 クンマーの理想数
0323１３２人目の素数さん
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2020/02/29(土) 09:31:28.34ID:vhJTPbtc
>>316
＞分り易く書いているのです
＞細かいところを、省いてね

￢の有無を「細かいところ」という人ははじめて見た

実に粗雑ですね

＞数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
＞図も書けないしね

￢は図でなく文字ですけどね

出し方知らない？教えてあげますよ

”のっと”と打って変換すれば出ますよ

￢なんて全然細かくないし緻密でもないですけどね
0325現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/02/29(土) 13:02:24.69ID:MeLF+0EN
>>323
>＞図も書けないしね
>￢は図でなく文字ですけどね

いや、そういう意味じゃなく
ベン図とか、ポンチ絵とか、書けば分り易いと思うのだがね
それが、この板では書けない
（例えば、２～３行に渡る斜め矢印とかも書けないから、全てを１行で済ませるしかない。ＪＰＧとかを他にアップしてリンクするのもあるけど、かったるいしね）

そういうことを、言っているのだよ
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/29(土) 15:12:57.23ID:JeadSrAR
星座の絵だけ教えて星の配置を教えない説明。
わかってる人が分かりやすく説明しようとして、
かえって分かりにくくなるよくあるパターン
0327現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/02/29(土) 15:54:38.62ID:MeLF+0EN
>>326
いや、仰る通りだよ
まあ、所詮この板では限界があるとは、思っていて、100人の100人に分からせるためには、本一冊いるかも
実際に、>>317の通り本があるし、それ嫁ってこともある

まあ、言いたいことは>>317の書評にもあるように
背理法が自然な数学の対象があるってこと（>>322）

逆に、背理法がまずい場合もあるよね
例えば、「ある式f(x)=0が、有理数解を持つことを示せ」という問題があったとして
背理法を使う人はいないだろう

背理法で、「ｘが有理数でないとして・・」と議論を進める人はいない
ｘが有理数として、x=a/b と置いて、f(a/b)=0 で式変形をするとかが、普通でしょ
かように、普通にP→Q、対偶 ￢Q→￢P、背理法 ￢Q∧P→Φ（空集合） or 矛盾

それぞれ、利害得失がある
それぞれの特徴を知って
うまく使い分ければ良いってこと。背理法を排除する必然性なしってこと
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