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背理法不要論ってどうなん？
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0003１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 21:09:51.93ID:GgVOEH1b
天動説と地動説みたいなもの
どちらも正しい場合は、簡潔で理解しやすい方が選ばれる
0006１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 00:26:54.51ID:vpAiXbDe
自己解決しました
0008１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 12:10:15.27ID:8T70ejct
背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない
0009１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 18:40:12.19ID:iN6s+SGb
背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる
0010１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 19:27:25.48ID:5i6NZYPJ
>>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな
0011１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 00:19:12.92ID:kOsOKsPp
神は不在である
0012１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 06:11:38.40ID:/rLFIGkz
この話、よくわからないのだけど
例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの？
0013１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 09:58:51.04ID:qs0nVYbF
背理法無用論信者による
「√２は無理数」の証明


任意の自然数 a,b につき、
２ * a * a
　素因数２の個数が奇数
b * b
　素因数２の個数が偶数

よって
２ * a * a ≠ b * b

両辺の平方根を取り
√２ * a ≠ b

√２≠ b / a


のように背理法の逆で証明を進める。
0014１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 11:20:15.63ID:9WM3MLT9
それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の矛盾箇所は極めて単純なものなので、「矛盾するので仮定は偽であった」という文言を排しても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる
0015１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 11:23:49.60ID:9WM3MLT9
訂正

各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので
「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる
0016１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 13:24:44.65ID:CvPbHZEO
背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、

「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」

という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。
0017１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 15:56:02.14ID:/rGWmATC
背理法だと偽の命題を仮定することになるから
その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので
証明中に偽の命題が出てこない
という点で>>13はアリなのでしょう
0019１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 16:39:01.57ID:xZaz6ACB
>>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと？使わなくてもできると思うが
もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって
0020１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 16:41:03.20ID:wLf2fNpx
教科書に載ってる√2が無理数であることの証明は背理法ではないらしい
『Q&A数学基礎論入門』
0021１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 16:52:51.54ID:u4xfRisT
よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話（主張そのものを見れば明らかなことだけど）
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず
0022１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 16:59:12.44ID:9WM3MLT9
そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい
0023１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 23:30:18.91ID:9raX2Rje
>>13 の証明方法
ネット上でも叩かれまくり

　＝でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
　素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか？
　分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。

などなど
0024１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 23:59:43.13ID:4eoGWamn
カントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ
証明できなかった訳で。数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ
0027１３２人目の素数さん
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2018/05/19(土) 01:30:08.39ID:aNDPn9PL
>>13
こういうスタイル俺もやるわ。
背理法って要は対偶論法なんだよな。真であることがわかってる命題Aに対して「¬P⇒...⇒¬A」を示して、
そこから対偶で全部ひっくり返して「A⇒...⇒P」とやってPを証明する。
細かいことを言えば頭に量化子がついたりするんだけど、言いたいことは分かると思う。
0029１３２人目の素数さん
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2018/05/19(土) 11:15:58.05ID:WuHGsoBM
背理法と対偶は命題論理の公理として互換性があるので、その意味で同じ
0030１３２人目の素数さん
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2018/05/19(土) 11:52:04.40ID:75GRRlK2
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0032１３２人目の素数さん
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2018/05/19(土) 12:53:11.01ID:aNDPn9PL
>>28
わりぃ、根拠書かないやつは一律に無視してるんだわ
0034１３２人目の素数さん
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2018/05/21(月) 20:47:46.85ID:6mBNuKxt
そんなことはないな
>>23 の論点は重要

これじゃあ背理法を使うべきだな
0035１３２人目の素数さん
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2018/05/21(月) 21:18:35.42ID:x7a2VNRA
明らかに「背理法」が変な証明もあるのでそれは排除した方がよい。
例えばある集合からそれの冪集合への全射がないことを示すのに、
「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、
単に写像であるということだけから値域に入らないものを作ってる。
それで「背理法の仮定に反する」という証明。変だよな。
普通に、「集合から冪集合への写像は全射ではない」と言えばいいだけだから。
0036１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 00:20:16.89ID:CLEbNfNq
>>35
そういうのまれにあるよな
0038１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 08:10:52.20ID:14123UEN
初等的な数学までしか修めていない人は勘違いしがちだが、論理変形だけに目が行って本質を捉え損ねると高度な数学はできないよ
正しさだけを追い求めればいいというものではない
もちろん間違いはないように進める必要はあるが
≠での変形でも、正しさを論理的に確かめてあれば問題はないだろう
どのような手法に基づこうが命題の正しさ自体が保証されることは否定していないし、そこは問題にしていないんじゃないか

命題が論理的に正しいことが理解できるのであれば、その次に重要なのはその命題の証明を含めた理解だよ
ここがおろそかになると真っ当に数学はできない
と、いうよりこの理解度自体が数学における研究に求められる資質の一つ
もちろん、受験数学程度であればそこまで必要はないのかもしれないが
学問として数学を修めるには必要なこと
0039１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 08:19:03.85ID:14123UEN
数学の研究発表においても、
背理法で証明すること自体は問題は無いが
背理法で証明します、なんだかよくわからないけど証明は回ります、というのはやってはいけない
必ず何が本質かということは理解していて、説明できなければならない
だから、背理法を使っていても、何が本質かちゃんと押さえておければいいけれども

例えば学生が重要な命題の証明で何が何だかわからないけど証明だけはできます、という認識だと、理解に重大な影響を及ぼすので教育上よろしくないというのはわかる
0040１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 08:40:44.07ID:14123UEN
とある数学者も言っていたが、物理や化学と違って数学の命題は暗記するものではなく理解する物である
公理さえ定めてしまえば全て道で繋がっている、一つの世界が出来上がるのが素晴らしいところ

そして命題の理解と証明とはとても密接な関係にあるのだから証明のための証明に抵抗を感じる数学者は少なくないだろう

もちろん実践的な研究のうえで背理法が必要になることはあるし、それについては否定していないのでは
あくまで、数学の本質の理解を妨げる危険性に注意しろ、ということであれば納得できるはなし
0041１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 11:20:02.64ID:zqN8zizh
その持論は結構なんだけど、長々と書いた動機が
「≠での変形でも背理法よりかは直感的だと思う」
という頼りない感想なのが頂けない
結局何に当てはめてよいのか分からない空論に聞こえる
0042１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 11:43:54.06ID:rg/W5qSg
≠での変形
良くないな
0044１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 17:05:23.82ID:kx8BkJjt
こいつ理科大の先生じゃね？
0045１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 20:28:31.40ID:Lkf1NvSC
そんな偉い先生が降臨されたらすごいな
0046１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 23:21:55.59ID:GJrEw1mc
背理法を使った手続きの方が、むしろ数学的(論理的)に見えるけどね。
統計検定などでもそうでしょう。いきなり、実証したい仮説を持ってくるのでなく、
まずは無に帰したい方の帰無仮説を用意する。それにp値などのパラメータを
付与して、その帰無仮説の蓋然性を確率的に検討する。そして、その仮説が
なかなか有り得そうにないと判るとそれは棄却されて、検定者が本来、採用したかった
方の仮説である対立仮説が、そこでようやく採択される。

もちろん、それは確率論的な話なので、ここで採用られた仮説が完全に真である保証は
なく擬陽性や偽陰性の可能性も少しは残る。ただ、ここで言いたいのはそのことでなく、
背理法のような一見すると迂遠で冗長なアプローチにこそ、数学的な真理へ至る本質
があるのではなかろうかという私なりの推論ね。
0047１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 00:10:37.58ID:rG9o6+al
>>46
本題から外れるから詳しく言わないけど、仮説検定は哲学的に批判があるよ。
エリオット・ソーバーの『科学と証拠』とかに書いてある。
0048１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 00:11:01.75ID:g5YtXR+9
二重否定の除去
0049１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 00:35:18.04ID:z1HLNiok
>>43
≠を用いることは論理的には何も問題ないのだが、
a≠bからはaがbでないことはわかるがaの構造について何もわからないので、証明はできても理解に繋がりにくい
というようなことが丁寧に38から40に述べられている

個人的には、＝で結ばれるのが一つであるのに対し≠では無数のものが結ばれ得るので考えなければならない対象が多くなるのも問題
多くのものについて議論すると書き手や読み手にとって量的に大変なだけでなく、場合分け漏れがないかも考えねばならないので負担が増える
例えば13の議論は既に23指摘されているように素因数分解の一意性を証明せねばならない、といった具合
0050１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 01:31:34.24ID:9PsVwv3P
>>49
数学は論理だけではできないよ、研究してる体系の本質を理解しないと
直感的な理解が大切
もちろん命題の正しさの保証や計算を回したりする段階では論理が使われるが
それは出来上がったものを使ったり予想の検証をするときに必要になるのであって
直感的な理解をしていないとそもそもそういった数学体系自体が出来上がらない
すでに確立された手法を用いる応用家にはむしろその論理や正しい使い方の面だけでいいけれども、学問としての数学は論理だけでは進まない
そこまでわかって、直感的な理解と証明の本質の理解と合わせてあくまで証明のプロセスの簡略化として背理法を用いるなら問題ない
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/23(水) 01:50:11.90ID:9PsVwv3P
>>49
前半については曲解

最後の行については素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う


要するに論点が違うんだと思うが
背理法を使うのに気をつけろと言ってる人は本質の理解を重視していて
このスレでの批判的な人は証明としての簡略化を重視している

背理法では証明は正しく回っても「なぜ成り立つのか」を本質的に見落とす可能性があるし、途中で出てきた命題は基本的に成り立たない
直感的な証明においては証明の途中においては正しい普遍的な性質が得られているので、なぜそうなっているのかが分かる
0053１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 03:29:42.49ID:u7pncPE+
>>50>>52
なるほど、そういう考え方があるのですね。それって、位相幾何学者の
ブラウワーなどが提唱した背理法や推論規則を捨象する「数学的直観主義」みたいな
立ち位置なのでしょうか？

ただいくら直観的な証明が得られても、やはりそれが真か偽かを論理的に証明してみないと、
そこに誤謬のリスクがあるのではないか。たとえば、古代人にとっての直観は、地球は平面で
あり、かつ、プトレマイオス的な天動説を皆で信じていた。コペルニクスの地動説が
出てくるまでは。だから、直観を使うから対象の本質や普遍に迫れるとは限らないのでは？

むしろ人間の認知の特徴にあるのはバイアスや偏差、歪曲化、恣意性、忖度であるので、
そこを超える為に論理が要請される気がする。
0054１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 04:18:55.82ID:u7pncPE+
哲学者のヒュームは、論理をもっと先鋭化させるか、あるいは科学的な論理性や
真実性をも懐疑にさらす。たとえば、ヒュームは太陽が東から昇り、西へ沈むことは
必ずしも客観的な事象ではないとする。それは、ただの慣習的に見られた認知に過ぎず、
明日も未来もまた必ずそうだとは言えない、といった考えを述べた。

一見すると荒唐無稽なこのヒュームの主張こそが、実は真に論理的なものであると
言える。なぜならこの宇宙空間や地球環境に著しい変異が生じたりした場合には、
既存の科学体系がそのまま適用出来なくなる可能世界も十分に考えられるからだ。
それは非ユークリッド幾何学の世界では、ユークリッド幾何学の価値観だけでは
不十分であるのと同じこと。だから、論理性もそれを先鋭化させていくと、
チューリングマシンのような単なる機械的な自動手続きを超えた真理みたいなものが
垣間見えるかもしれないよ。
0055１３２人目の素数さん
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2018/05/23(水) 13:37:28.34ID:wGqXQ5LE
＞最後の行については素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う

これ数学の否定
0056１３２人目の素数さん
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2018/05/24(木) 05:07:46.34ID:y2M8t/G4
>>52
＞素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う
数学に対しその程度の認識でよくもまあ本質だの一つの世界だの理解だのと宣えたものだ
ツェルメロやフレンケルやヒルベルトといった先人を侮辱しているとしか思えない
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 05:45:32.31ID:P3TFQ+0F
>>55
>>56
おおかた啓蒙書の内容垂れ流してた中学生がボロ出したってとこだろ
可哀想だからほっとけ
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 06:39:50.42ID:Uxl6mYqF
>>53
直観主義までは行き過ぎというか、排中立を認めない数学者はほとんどいないと思う
少なくとも解析、代数、幾何系では


>ただいくら直観的な証明が得られても、やはりそれが真か偽かを論理的に証明してみないと、そこに誤謬のリスクがあるのではないか。

これはもちろんその通りで、論理的に正しいことの証明は必須、前提ではある
論理的に正しいことを確かめたうえで、なぜそうなっているのかの理解が大切ということ
もちろん殆どの数学者は背理法を使っていもそれができているし、取りこぼすことはない
ただ、学生とかがそうならないように気をつけようね、という意味で配慮している先生とかはいる
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 06:41:33.08ID:Uxl6mYqF
>>57
かわいそう
なにか数学にコンプレックスがあるんだね
一方的に見下すことしかできないなんて
かわいそう
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 06:45:41.91ID:Uxl6mYqF
ちなみに私の専門は幾何系で、基礎論とか論理学の深い話はそこまでできないよ
あくまで代数とか幾何とか解析のくくりの数学者のコミュニティや共通認識がある程度わかるだけで
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 07:13:30.10ID:Uxl6mYqF
>>53
ちょっとだけ加えていうと、確かに直感だけでは取りこぼすような所もある
式の上での変形でしか進められないようなものもあるし、直感的な理解がほとんど得られないが証明はでき有用な命題や補題というのもある
そういった意味では、直感によらない論理的な操作がなくてはならない部分、というのは存在していたのだと思う
しかしながら、少なくとも私がこれまで学んできた数学の理論（最新の研究分野も含む）においては、そういった例外は少数であり（もちろん重要なものではあるが）、基本的には各分野は直感的な理解やなんらかの意味付けをもとに体系化が進められていくものであると断言できる
仮によくわからない性質があったとしても、それをそのまま鵜呑みにせず新しくいろんな概念や体系を作り出すことでそこになんらかの意味を見いだそうとする試みが現代までの数学を形作っていると言っても過言ではない
もちろん直感だけでは理解出来ない命題が現れたときに直感によらずある程度証明できるような力は必要だと思うがね




まあ直感ということを強調しすぎたけれども、ざっくりまとめると
論理に基づいてしっかりやることも、直感的に理解することもどちらも大切だということ
数学に慣れてる数学者が背理法を使うことにはなんら問題はないが
あまり慣れてない学生は背理法だけで証明を回して、命題の成り立つ本質を見失ったりしないように気をつけよう、教える側もそうならないよう注意しよう
ということだね

イメージとしては
論理的な力は、足場を固めるための力
直感的な理解は、その体系の本質を理解するため、先へ進めるための力
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 07:36:33.17ID:Uxl6mYqF
>>54
中々興味深い話ではある
先に述べた通り、私のわかる範囲（いわゆる解析学や代数学や幾何学といった分野）の理論は必ず何らかの性質や概念を体系化していくものなので、論理だけでは必要な定義もわからず、体系として形作ることもできない

しかしながら、人間的な要素を排除して、論理を論理だけで繋げていった先に何があるのかは面白い話だと思う
それについてはどうなるか楽しみにはしている
0064DJgensei artchive gemmar
垢版 |
2018/05/24(木) 16:42:04.39ID:O+GZIpbX
明日も同じ繰り返しだと発狂するほど退屈ですか？
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 12:17:13.13ID:BMUerhPJ
言っちゃ悪いけど、宗教者の戯言と同じだね、理屈の類ではない
都合よく「これは神の御業だ、神の試練だ」とか定めて世界観つくってるアレ
信じる者にしか通用しない
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 13:22:46.69ID:mpMsZtdc
その教義における
「背理法を使わない方がわかりやすい」
という点がまるで信じられない
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 22:31:39.67ID:5iqVuWq4
素因数分解の一意性
って本当に背理法じゃないと証明できないの？
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 04:35:31.43ID:x2Q49scf
んなこたーない
排中律がなくてもm＜n∨m＝n∨m＞nは証明できる
後はお馴染みの素因数分解の一意性証明でよい
m＜nとm＞nのときは矛盾するのでm＝nと分かる
0071１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 08:32:02.79ID:x2Q49scf
直観主義論理で証明できるかといえば、できる
m＜nとm＞nのとき矛盾を導くのは、背理法のプロセスではなく、m＜nとm＞nの否定に過ぎない
表面上、背理法の形式をとるかどうかを問題とするなら、既に指摘されたように背理法を対偶に書き換えることで解決済み
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/29(火) 01:32:41.07ID:ZAB9lIJR
背理法で証明できたと思っても計算ミスだったということは起こりがち
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/30(水) 00:40:09.49ID:CmGuvioJ
≠で式を変形するよりはまし
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/30(水) 00:49:21.82ID:uY6vtGQa
背理法不要論はよく分からんけどそれと同じくらい
≠変形よくない論も分からない
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/30(水) 01:00:45.26ID:nZstFZFd
胴上げして突き落とす論法
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 20:43:52.76ID:2atK/LqX
背理法がどうこうじゃ無くて、

数学において
数学において
数学において

1. 証明とは公理から推論出来ると言う意味であり、
2. それ以外の意味は全く無い、

この二つを認めるなら、数学において背理法が正当なものであることは全く明らかであり、認め無いなら数学を理解し行うことは不可能だと言うだけのことだ。
多分数学における背理法の有効性を疑うヤツは、演繹と帰納の区別すら出来てないただのアホだろ。
でなきゃシュレーディンガーの猫ガーとかの、単に混乱を望んでいるだけのキチガイか。
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 20:53:33.69ID:2atK/LqX
背理法とは、結局否定出来ないことを示すと言うことだ。
公理から推論出来ないとしたら辻褄が合わないのだから、公理から推論出来るのだと言うだけのこと。

小学校のとき面積を出すのに引いて出した問題があっただろ。そのほうが計算が簡単だったから。
そんなんと結局同じことだよ。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 21:13:11.63ID:LWh35W+e
＞背理法とは、結局否定出来ないことを示すと言うことだ。
＞公理から推論出来ないとしたら辻褄が合わないのだから、公理から推論出来るのだと言うだけのこと。

全然違う
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 22:40:52.71ID:EOqQyi8Y
>>80
お前がね。
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 22:45:56.40ID:EOqQyi8Y
背理法と言うものを何か特殊なもののように思っているから理解出来ないだけだ。
我々は普通に日常でも背理法を使う。
「～～だとしたら、、、、いやいやそれじゃ～～が～～したことになる。そりゃいくらなんでもおかしい。あり得ん。やっぱり～～のはずだ。」
こういう考えかたは誰でもやるだろう。
これは背理法だ。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 22:59:33.65ID:EOqQyi8Y
あと背理法が構成的でない云々の指摘についても、一見正しそうで的外れだ。
数学の第一義は厳密な証明にある。
「代数方程式は複素数の範囲で必ず根を持つ。」代数学の基本定理だ。
根を求める方法について、全く構成的でない。
では代数学の基本定理は無意味なのか？
「微分と積分は逆演算だ。」解析学の基本定理だ。
しかし積分や微分を求める方法について何も語って居ない。
ではこの解析学の基本定理は無意味なのか？


　
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 23:02:09.53ID:EOqQyi8Y
>>83
バカはお黙り。
0088１３２人目の素数さん
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2018/05/31(木) 23:04:02.91ID:EOqQyi8Y
>>83
「公理から推論出来無いことが証明される。」
「否定が証明される。」
同じだアホｗ
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/31(木) 23:11:45.24ID:LWh35W+e
事実：（ZFCが無矛盾ならば）連続体仮説はZFCから推論できない
誤解：（ZFCが無矛盾ならば）連続体仮説の否定がZFCで証明できる
0090１３２人目の素数さん
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2018/05/31(木) 23:16:06.43ID:EOqQyi8Y
>>89
（ZFCが無矛盾ならば）連続体仮説はZFCから推論できないことが証明される

（ZFCが無矛盾ならば）連続体仮説はZFCから推論できないのは誤りであるとすることの否定が証明される

全く同じですなｗ
0091１３２人目の素数さん
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2018/05/31(木) 23:19:20.32ID:EOqQyi8Y
>>89
連続体仮説はそもそも連続体仮説をZFCと独立な公理とすべきかどうかと言う問いだろう。
公理を固定して話しをしている場合とは違うだろが。
0093１３２人目の素数さん
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2018/06/01(金) 00:11:44.50ID:tE/vX+GX
お前とかなｗ
0094１３２人目の素数さん
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2018/06/01(金) 00:23:31.93ID:MEhb6p3v
ロジックの基本さえ知らないなら公理とか推論とか言わなきゃいいのに
馬の耳に念仏とはこのことだな
自分の使ってる言葉の意味さえ知らない者には処置なしだ
0095１３２人目の素数さん
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2018/06/01(金) 00:24:56.93ID:alFzSTiE
横レスだが。。

公理系を ZFC に固定する。ID:EOqQyi8Y によれば、ZFC の中で記述できるいかなる問題 Q も、

「 Q が ZFC から推論できないことと、￢Q が ZFC で証明できることは同じことだ 」

と言っていることになる。たとえば、Q として

Q： √2 は無理数である

という問題を考えてみると、Q は ZFC から推論できないし、￢Q は ZFC で証明できる。

……ということでいいのか？
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 00:26:27.68ID:alFzSTiE
すまん、Q の中身が逆だった。たとえば、Q として

Q： √2 は有理数である

という問題を考えてみると、Q は ZFC から推論できないし、￢Q は ZFC で証明できる。

……ということでいいのか？
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 00:59:37.51ID:MEhb6p3v
そのQは反例にならない
反例になるのは次のどちらかの場合
・Qは証明できないし、Qの否定も証明できない
・Qは証明できるし、Qの否定も証明できる

前者ならQは独立命題と呼ばれる
後者なら理論は矛盾している
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 01:08:10.55ID:alFzSTiE
>>97
いや、この Q 自体が反例になっている必要は無いんだ。
あくまでも ID:EOqQyi8Y がこの Q のことをどう思ってるのか知りたかった。
あるいは

Q1： RからNへの単射が存在する

とかでもいい。Q1 は ZFC から推論できないし、￢Q2 は ZFC で証明できる。
だから、この Q1 も反例にはならないんだが、反例になっている必要はなくて、
ID:EOqQyi8Y がこの Q1 のことをどう思ってるのかなっていう。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 01:10:44.83ID:alFzSTiE
またミスってる。Q2じゃなくてQ1だ。。

× Q1 は ZFC から推論できないし、￢Q2 は ZFC で証明できる。
〇 Q1 は ZFC から推論できないし、￢Q1 は ZFC で証明できる。
0100１３２人目の素数さん
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2018/06/01(金) 05:09:51.46ID:Dclwe+O2
もし数学に背理法を不要とした場合、どうなるかを背理法で証明してみよう


数学に背理法は不要である(命題)

背理法を使わない数学体系は、夥しい困難と混乱、カオス、狂気に陥った

よって、数学に背理法は不要であるという命題は、数学の成立と整合性と矛盾する

すなわち背理法によって、数学における背理法の必要性が証明された(証明終)



これはトートロジー(恒真命題)ですｗ
0101１３２人目の素数さん
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2018/06/01(金) 08:09:32.66ID:LMxtHqqh
>>78
論点がずれてると思うんだけど
論理としての正しさではなく、直感的な意味を理解するための方法論として議論されていると思うのだけど
君はまず数学をやる前にまず日本語の復習からだな
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 08:24:56.81ID:O3l0fOWD
例えばチャーハンを作るときに

「初めに卵とご飯を混ぜておくとパラパラになりますよ」
という意見に
「後から卵をいれてもチャーハンはできるだろう！？何を言ってるんだ」
と反論してるようなおかしさ

数学を語ろうという人間が論理的に話をできないのは恥ずかしいことだと自覚して欲しい
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 08:45:27.12ID:O3l0fOWD
もうちょっといい例えを思いついたが
プログラムなんかで、ここはifelseよりforを使ったほうが見やすいとか、forより～を使ったほうがわかりやすいとかあると思うが、そういった話でしかない

それに対して、ifでもちゃんと回るんだ、とか、同じ条件を表してるんだ、とか言っても仕方ないだろ
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/01(金) 13:20:53.91ID:Dclwe+O2
>>105
それ戯れに書いただけなので、素で受け取らないでくださいｗ

ただ、数学のテキストを見ると、証明で背理法が使われているのを見ることが多いので、
もし、背理法が不要となったら、世に出回っている数学のテクストが大幅な修正や改訂を
余儀なくされて、困るだろうなという感想を持ちました。

それに、もし、背理法がない方が数学の利便性なり、見通しが良くなる、または数学の本質に
迫りやすくなるということであれば、古の天才数学者、たとえばガウスやオイラー、カントール
などがそうした背理法不要論の考えを少しでも述べていたはずで、それらがないということは、
数学において背理法は必須の道具や要素である、というのが推論できるということです。
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/14(木) 20:05:29.06ID:dbG9pYK6
>>1

矛盾の証明には背理法が必要となる。
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/15(金) 13:18:15.50ID:UmqzfTYH
これが"背理法不要論不要論"の始まりである。
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 08:05:39.94ID:aFi+zhA8
背理法による証明は危険ではある。
1つの間違った命題からすべての命題が導かれてしまう。
普通数学者は自分が使う定理の証明を全てフォローしているわけではない。
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 08:31:41.67ID:aFi+zhA8
>>118
正しくない命題を「証明した」論文は珍しくない。
念のため言っておくが、「結果は正しいが論証が間違っている」のではなく、結果自体が間違っている論文。
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 09:04:22.07ID:aFi+zhA8
ある命題を証明するとき「それが偽だとすると、誰々が示した結果に矛盾するから背理法によりこの命題は正しい。」という論法は普通に使われるでしょ？
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 15:01:49.68ID:aFi+zhA8
関係あるじゃん
研究で使う道具だてを全部厳密に証明チェックしてるわけじゃないんだから
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 15:06:00.35ID:GIIpfy5b
>>124
え、お前チェックしてないの？
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 17:38:26.57ID:ULtD1IQ9
背理法でなくても「誰々が示した結果」を引用するとき常につきまとう問題でしょそれは
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/16(土) 20:34:31.76ID:VA3h4SNB
数学じゃあダメ
引用した文献が間違ってたら、引用者にも責任及ぶ
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 06:39:26.90ID:hSKnHgWy
たとえばπが超越数であることを多くの人は知識として知ってるだけで、実際の証明をフォローした人は数学者でも半分もいないだろう。
しかし円積問題を解いたという論文が有ったらインチキ扱いをする。
このとき暗黙のうちに背理法を使っている。
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 08:44:00.50ID:Pl5P1TzS
少なくとも超越数の論文を書く人はきちんと実際の証明を理解する必要がある
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 17:16:41.13ID:SYehBfRX
>>129
証明に基づかずに主張するやつは数学者じゃねえから
ただの大学職員
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 17:35:51.04ID:Mnf6xpK6
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記　資本主義　株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等（総資産数京円以上）の意向を無視出来ません。旧ソ連　中国共産党　北朝鮮　
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出　東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。　
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後　あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。　
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止　移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。

世界中の人間が知るべきこと

・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。

・トランプ　プーチン　習近平　安部　麻生　テリーザ・メイ　メルケル　文在寅　金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。

・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。
0134１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 23:24:53.62ID:hSKnHgWy
>>132
ヴォエヴォドスキの論文の定理が間違っていて他の数学者は間違いに気付かず引用していた、って話聞いたことない？
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 11:24:49.38ID:PI1pwb8W
>>134
"引用"ってのがそれを正しいこととして主張することを含むなら、そいつら全員数学者じゃねえ
証明を飛ばすって数学者がやっちゃいけないことだからな

その"引用"が「もしこれが正しいならば、・・・が言える」っていうふうに条件文の前件に持ってきてるだけならもちろんセーフ
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 13:44:13.69ID:/pwnfSk1
規範と自然法則を混同してるヤバい人がいるな
「○○しちゃいけない」が「○○なんてあるはずない」にすり替わる
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 14:42:06.24ID:XgdM0/Qg
だから「…とすると○○であることに矛盾する」という論法は○○が長年に渡って確証された命題にしか使えない。
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 14:48:36.43ID:XgdM0/Qg
例えば上に出てきた「素因数分解の一意性」だって、Ｚ[1の原始n乗根]でも成り立つと無根拠に思い込まれていて、
フェルマーの定理を素因数分解の一意性を使って背理法で解こうとする試みがあった。
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 15:21:52.17ID:zfv0gH0G
>>142
>とする試みがあった
あったからって何だよw
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 15:27:20.58ID:XgdM0/Qg
>>143
知らない？コーシーのような大数学者がこのアプローチで解こうとした。
n=3,4のときはそれでうまくいくからね。
0145１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 15:39:37.66ID:Xh2Wn5b/
数学者じゃないと指摘されて動揺したから19世紀までさかのぼって自分と同じことしてるやつ探してるの可愛いね
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 16:03:19.90ID:y1uLOPY4
>>130
πが超越数でないとすると、πは代数的数で、πの有理係数の最小多項式が存在する。
超越数の証明における背理法の議論では、基本的にこのことを念頭において上手に矛盾を導く。
証明方には、オイラ－の公式を用いる方法や、他の方法もある。
πより前に超越性が示されたeでも有理係数の最小多項式の存在性を仮定する点では同じ。
こちらでは、多項式関数や積分を設定して上手に矛盾を導く。
代数的無理数やeの無理数度は2だから、eの超越性の証明にはディオファンタス近似は使えないだろう。
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 16:13:27.82ID:zfv0gH0G
「論文を書け」っていう圧力が強くて証明を読む時間がないんだろうけど、読まないことが正当化されるわけじゃないからな？

真か偽か自分で分かってないことを真だと主張するようなのは数学やってるって言わねえから
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 16:31:01.80ID:y1uLOPY4
>>149
証明はダメもとでも一度自分で試みてみるモノだ。
そうした方が、得られることは大きい。
0152１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/18(月) 21:36:06.10ID:n+eO5UUc
素因数分解の一意性が全ての代数体に当てはまるのではないことは、
今の教科書ではきちんと注意言及されている事
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/20(水) 13:37:22.37ID:fgl9WCRP
１は素数ですか？

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/20(水) 18:58:33.63ID:crNRchAY
連続関数は少なくとも一点で微分可能であると信じられていた時代もあるよぬ
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/20(水) 19:28:30.91ID:fgl9WCRP
5=1・5=1・1・5=1・1・1・5=

ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/23(土) 20:20:36.49ID:ayc/vlBj
>>1
ただのトンデモですな。
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/23(土) 21:51:05.11ID:0NweKHUP
ここでの議論が意味があり、背理法にも欠陥があるとしても
それが理科大のセンセが正しいという結論に直接は結び付かないという当たり前の論理をここに記しておく
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/24(日) 08:53:05.90ID:TsCObCt7
>>12
多項式x^2-2はアイゼンシュタインの既約判定法より有理数体上既約
根pの最小多項式の次数が1であることとp∈Qであることは同値
よって√2は有理数ではなく無理数
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/24(日) 13:45:50.30ID:1cg7gtJy
そのアイゼンシュタインの既約判定法を、背理法なしで証明する必要があるな
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/25(月) 12:20:41.60ID:NAEmjsCK
トロトロ証明を読んでて論文が書けないからって、証明を読み飛ばして論文量産してるやつに噛みつくのやめろよ
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 15:42:10.04ID:DbBzncmw
背理法は対偶証明法の一種か対偶証明法が背理法の一種か
明快に教えてエロい人
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 17:53:06.14ID:prqjFl7D
>>164
形式的にはどっちを仮定してももう一方が出る

哲学的には、背理法は大域的な手法で、論理体系全体の無矛盾性を根拠にしてる
無矛盾性を仮定していい場合には使えるけどそうじゃない場合には使えない
対偶法は局所的な手法で、P→Qと￢Q→￢Pが同値であるようなP、Qのペアがいくつか既知なら
それらを組み合わせて成立する。論理体系全体の無矛盾性については考えなくていい
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 18:07:44.30ID:Vco+aJry
>>164
狭義には違うもの
ウカシェヴィチの公理系では「対偶による証明」、
つまり「¬p→¬qからq→pを推論する」ことはできるが、
「狭義の背理法による証明」は「排中律(公理)」かまたは「二重否定の除去(推論規則)」がないとできない(ウカシェヴィチの公理系では二重否定の導入はあるが上の2つはない)

らしいです
間違ってたらごめんな
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 18:40:29.34ID:ReQouSaa
＞論理体系全体の無矛盾性を根拠にしてる
してません
矛盾していれば何でも証明できるのだから背理法の証明だって常に成り立ちます
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 18:59:44.83ID:prqjFl7D
>>165
注釈だけど一行目は古典論理みたいな無矛盾律かその仲間を仮定した体系を暗に仮定してるから
後半部分と問題意識がずれてる。
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/28(木) 19:07:26.03ID:prqjFl7D
>>167
体系が矛盾してることを知りながら、あるいは矛盾してるかもしれない体系に対して
背理法を公理として導入することが科学哲学的に不正だってことは分かる？
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/04(水) 12:54:14.45ID:8Nj7eEKM
お馬鹿さんのために解説してあげます
全知全能ではない普通の人にとっては、あらゆる体系が「矛盾してるかもしれない体系」なんですよ
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 00:01:48.55ID:ORNJdjzU
体系Tが無矛盾だと証明されている　＝　「Tで矛盾を証明できる」と仮定すると（メタレベルで）矛盾することが（メタレベルで）証明されている

これはTで矛盾を証明できる可能性を否定するものではない
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 11:01:18.31ID:7dN/LoAC
>>181
群論の公理系とか実数体の公理系とか構成的に無矛盾であることが証明されている。
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 15:37:25.74ID:oIUeu8Rw
だから、自己言及のパラドクスなんでしょ。
クレタ人の嘘つきパラドクス。

その島民が全員嘘つきで有名なクレタ人が住むクレタ島。そこから一人のクレタ人が観光客に「わたしは嘘つきです」と言った。この文の言明は、すなわちこの命題は
真なのか偽なのか判らないでしょう。

もし、このクレタ人が本当のことを述べているとしたら、すべてのクレタ人が
嘘つきであるという前提(公理)と矛盾する。また、このクレタ人が嘘を述べて
いる、すなわち、このクレタ人は本当は正直者であるなら、これもまた、
前提であるすべてのクレタ人は嘘つきであるという前提(公理)と矛盾する。

つまり、パラドクスに陥る自己言及は避けなければならない。
その言及システムの外部にいるという前提が必須となる。
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 18:58:59.93ID:e9uqJtph
ラッセルの逆理、どこが？
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 19:24:15.14ID:oIUeu8Rw
まさか、数学板でラッセルの型理論も知らないのではあるまいな。
ホワイトヘッドとの共著「プリンキピア・マテマティカにあるよ
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 20:42:15.25ID:e9uqJtph
それだけ、いいたいことは？
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 21:05:24.05ID:ORNJdjzU
>>182
そのやり方では、公理系のモデルを構成する側の体系の無矛盾性に問題を移し替えただけ
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 22:35:46.98ID:ORNJdjzU
思わせぶりな言葉で周囲のよく分かってない人達を騙そうとするのやめて
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 22:42:13.68ID:mN/BMzK8
>>179
お前マジで1個のりんごと２個のりんごが同じものかもしれないと思ってんの？
爆発律を仮定するなら「矛盾してるかもしれないと思う」ってことはそういうことだから
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/05(木) 23:35:27.74ID:e9uqJtph
そういうことだ。
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/07(土) 00:24:30.86ID:t0pepoZA
解を予想するのと同じ
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/08(日) 10:21:25.10ID:20NtLYCH
論理式の計算に詳しい奴は多いけど、形式理論と現実世界の接続部をちゃんと理解してるやつって少ないよな
そこが科学哲学なんだが
0201１３２人目の素数さん
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2018/07/08(日) 21:35:46.75ID:A5V/CLfK
背理法って、なんか二重否定の除去とそのロジックが似てない？
命題の否定を否定出来れば、その命題の真理値が真となるは、
結論の否定を用いて矛盾命題であることが示せれば、命題の証明となるのだから、
似ている感じもする。
逆問題だとまた違うだろうけど、それでも裏や反対、逆から考えるという
発想自体は似ていると思うので、背理法は数学らしいアプローチやね。
それと、なんで帰謬法という呼び方はあまりされないのかね
0203１３２人目の素数さん
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2018/07/09(月) 13:40:32.23ID:OQabmiZp
ぽっと出てきてバカなこと言って論破されると消えるやつwwwwwwwwwwwwww
0204１３２人目の素数さん
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2018/07/10(火) 21:58:11.47ID:2gQI6Ghi
「無矛盾律を否定する者は、打たれることが打たれないことと同じでないと認めるまで打たれ、焼かれることが焼かれないことと同じではないと認めるまで焼かれるべきだ」って言葉を思い出した
0205１３２人目の素数さん
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2018/07/13(金) 00:29:45.16ID:SilDAaAA
で、このスレの結論は？
0210１３２人目の素数さん
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2018/07/16(月) 10:11:03.10ID:QnSF/a8o
数学が無矛盾なら背理法使っていいってことじゃん
0212１３２人目の素数さん
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2018/08/04(土) 18:12:03.05ID:1Abx8ltf
広田良吾が馬鹿でワロタ
0213１３２人目の素数さん
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2018/08/08(水) 15:39:00.28ID:vfO1OYDF
>>212
誰？背理法と関係あんの？2015年に死んだって書いてあるけど
0214１３２人目の素数さん
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2018/08/08(水) 15:45:35.05ID:0FHluVAI
間違えた
背理法じゃなくて数学的帰納法は嫌いだと書いてあった
ソリトンの人
広田微分で有名
0215１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 05:29:21.66ID:2h9OPLBs
背理法と言いながら背理法の仮定を実質的には使ってないような証明は排除すべきだとは思う。

でも、背理法でない証明を書こうとするする時、まず背理法を使った証明をしてからそれを元に背理法を使わない証明を作るしかないことってあるんじゃない？
0216１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 06:51:27.63ID:/7veEAAF
>>21
>数理論理学でいう背理法云々とは別物
数理論理学でいう背理法って何なの？
0217１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 06:53:45.20ID:/7veEAAF
>>25
なんで？
0218１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 06:57:10.83ID:/7veEAAF
>>35
>「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、
俺の知ってる証明は全射であることを使ってるけど
使わない証明ってどういうのか教えて
0219１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 07:03:38.27ID:/7veEAAF
>>37
a≠-a
だけど
a^2≠(-a)^2
ではないってことを危険と称してるんだろ思う
あの部分は
(√2*a)^2=2*a*a≠b*b=b^2
だから
√2*a≠b
とするべきだと思うけど
それでもf(x)≠f(y)ならばx≠yってのは背理法使うんじゃないの？
0220１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 07:10:03.54ID:/7veEAAF
>>88
違うでしょ
0221１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 18:58:35.93ID:2h9OPLBs
>>218
f：A→P(A)を写像とする。
S＝{x∊A：ｘ∉ｆ(ｘ)}
とすればよい。
S∊P(A)だがｆの値域に入ってない。
0222１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 20:58:10.03ID:2h9OPLBs
>>221
続き(自己レス)
この証明でSがｆの値域に入っていないことを示すには普通は背理法を使うだろう。
しかし、「ｆが全射」という強い仮定を使うことはない。

背理法を使うと実際に証明に必要な仮定より強い仮定をしてしまいがちになり証明の本質が見えにくくなるのは事実だと思う。
しかしだからと言って背理法を一切使うなと言うのもどうかなとも思う。
0225１３２人目の素数さん
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2018/08/13(月) 07:18:12.46ID:VUpIQsOC
ある条件の下で成り立つ命題を証明して、後にその条件を緩めることが可能、というパターンはよくある。
0226１３２人目の素数さん
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2018/08/13(月) 19:17:13.78ID:l7n5GHUN
自然数から複素数に至るまで集合で定義できる
ってのと
#φ^#φを満たす集合は唯一つである
ってので
0^0=1
でしか有り得ないっという背理法不要論者の主張

一方で
lim[x→0](x^(log_x(e)))=e
だよね…
0227１３２人目の素数さん
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2018/08/13(月) 20:08:06.95ID:zQcj074B
0^0の値が何であるかと
x^yが(0,0)で連続でないことは関係ないんでしょ
それ自体は別におかしくないと思うが
0228１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 12:09:44.11ID:iW5n26g8
0の0乗と背理法がなんの関係があるの？
0230１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 13:05:57.19ID:Tp/l7Aeb
>>227
0^0を空集合から空集合への写像の全体と定義するかどうか
(-1)^(-1)とか決められないし
(1/2)^(1/2)もな
べき乗の定義は積までと違って定義する集合によって違う
0232１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 17:30:39.66ID:Umctfcrx
背理法をつかった証明は直接法に機械的になおせるって本当ですか？
コンパクト集合上の連続関数が一様連続である背理法の証明は初頭的だけど直接法はコンパクトの性質をもろに使っていてわかりににくいけどできるのかな？
0233１３２人目の素数さん
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2018/08/16(木) 18:37:57.59ID:Tp/l7Aeb
>>231
それって最初の奴（有限集合間の写像の総数）を拡張してるだけ
拡張の仕方が一意なんてことはないよ
まあ
集合概念を拡張した超現実数なら-1個とか-2個とか有理数個とかできたと思うけど
0234高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」
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2018/08/16(木) 21:20:10.49ID:dZ5ratnn
高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!!　関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
0235１３２人目の素数さん
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2018/08/17(金) 09:59:32.26ID:ZcdKjTja
まあ実際複素関数として考えたら違ってくるけど、そこは常識的に考えるものだろう
0236１３２人目の素数さん
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2018/08/24(金) 18:55:55.69ID:Kd7NnAaL
0^0なんていう使わない概念を真面目に考えてもしょうがないだろ。
俺は0^0=1億と定義するわ。文句あるか？
0239１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 13:07:50.42ID:vfboXXpV
>>12
x^2=2が実解を持つなら±2、±1である。√2は解である。よって√2は無理数。
0240１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 16:16:27.85ID:c5Yc+sxC
>>1
背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ただし証明のルートが二つあるなら、一つ見つけた段階で論文にした方がいい。背理法不要論の先生も、自分の院生が論文を書く場合、
背理法を使うなとは言っていない。背理法が正しい証拠だろう。
背理法が数学的にも論理学的にも正しいことは明らかなのだから、
背理法不要論が意味を持つのは、
背理法が数学教育上悪影響を与えることが実証された場合だけだ。
すなわち、背理法不要論は数学や論理学の問題ではなく、教育の問題だ。
ところが、この部分に関する客観的なデータは皆無だ。
件の先生も自分の主観的な経験を述べているに過ぎない。
この部分について、他者の検証に耐えるデータに基づいて主張しない限り、
科学的でないので誰も相手にしないだろう。そりゃそうだ。
何の興味もない誰かの趣味に付き合う暇人はそうそういない。
今の状態では5chのネタが精一杯だ。5chでもスレオチするかもしれない。
0243１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 13:15:34.97ID:nFkLMuUn
>>240
小保方晴子の「STAPは絶対に存在します!」とのアナロジーがあるということだね

再現性や証明のない自論の固執だけでは、誰も説得できないという、ごく当然の帰結
0245１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 05:24:08.11ID:VJZGB+qY
だがドイツでSTAP細胞の実在が認められ、日本のマスコミの伝え方の劣悪さがまた新たに判明
未だに日本世間ではSTAP細胞の科学的実在性さえ認められていない
0246１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 09:21:49.73ID:KE+Wsnjk
>>245
仮に、それが本当でも
小保方が発見した（作製）出来た事の証明にはならない
例えば、私が「宇宙人はいますっ」て言えば、最初に発見された時の栄誉は私のものになるのか？
0247１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 11:02:30.97ID:VJZGB+qY
>>246
俺が言ったのは実在性の是非で氏の功績の是非じゃないから
マスコミの伝え方・記者質問の仕方は
STAP細胞という概念をトンデモ科学概念と見せかねない報道をした
言ってみればiPS細胞をトンデモ扱いしていた人間の所業に等しい
0248１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 11:36:32.69ID:KE+Wsnjk
>>247
あんた馬鹿だなぁ
もともと、小保方達が作製したと発表した事が批判されていただろ？
STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ
お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ
どっか行け
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/12(水) 13:08:48.66ID:VJZGB+qY
>>248
> STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ

そのあるかも知れないをトンデモに仕立て上げたのがマスコミ

> お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ

お前みたいな既存概念依存人間が状況を覚えてないだけ
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/20(木) 08:04:59.10ID:yX+4jBJk
背理法という証明方法はエレガントな感じがするので、むしろ数学に相応しい気がする。
間接的に真理を求める、といった感じ。直接・直截的なのは、なんか野蛮な感じがしないかい？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/20(木) 09:10:49.18ID:7MI2Fg0q
野蛮かはともかく非構成的な証明を未だに否定してる人がいたら流石にな
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/04(木) 18:11:14.43ID:5lbw13zs
>>245
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/04(木) 18:11:46.42ID:5lbw13zs
>>249
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/05(金) 01:15:36.49ID:GQNkca1D
問: 無理数の無理数乗が有理数となる事はありえるか？
解答: ありえる.

証明:
α ＝ (√2)^(√2) について考える.
(1) α が有理数だとしたら, √2 が無理数なので α自体がその一例である.
(2) α が無理数だとしたら, α^√2 = 2. これも同様.
どっちにしろありえる事が示された.
( 本当のところ α は有理数なの？無理数なの？ 証明においてその知識は不要である.)

背理法否定論者は、この証明も叩きそうだなあ...
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/05(金) 03:26:46.90ID:m6/qGCq6
>>254
君は議論では249に負けているよ。
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/05(金) 05:21:06.38ID:m6/qGCq6
>>255
背理法とどう関係があるの？
0260１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/05(金) 10:01:04.67ID:xrvCMmui
直感主義的方法ではないですね

αが結局どちらかなのか述べていませんから、何も言っていないのと同じです
直感主義では排中律は認められません
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/05(金) 21:30:34.85ID:7L46lsJb
>>257
寝言は寝て言え猿ｗｗ
0262１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/09(火) 23:33:31.46ID:xGB9Dxlt
>>246
小保方氏が細胞を変化させて、その細胞から若山が幹細胞を作った。
ところがそれは若山研究室のES細胞だったと遺伝子解析で判明した。
検証実験は若山は逃げた。小保方氏は細胞を変化させることには成功した。
マスコミは最後まできちんと報道しただろうか？
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/18(火) 10:42:13.90ID:IfqUBkcV
ゾーンの補題でイイジャン
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/18(火) 10:46:21.86ID:IfqUBkcV
>>240
>背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
>このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ちょっとちがくて
背理法というか
排中律無くても二重否定命題は証明可能（埋め込み定理）
でも二重否定命題から命題を証明するのに排中律（背理法）が必要
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/28(金) 18:53:27.53ID:ZjqumJwb
丸大ハムの宣伝を聞くと、背理法を思い出してしまう。
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/04(金) 22:55:53.70ID:jDQH0deZ
最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだがも背理法不要信者が書いたのか
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/09(日) 12:43:07.47ID:WwW0lwkg
背理法不要論を振りかざす奴は、丸大ハンバーグを食べるの禁止。
（昭和のCMを知っていればわかってくれるはず。）
0273１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/09(日) 20:31:44.36ID:MrVM8O/i
たしかに言いたいことはわかる
背理法使ってる証明はココロが掴めない
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/09(日) 21:13:13.89ID:zmPDrO9K
むしろつかめることが多いけど
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/10(月) 09:23:39.38ID:5QoSZ0Vp
背理法が全てが悪いんじゃなくて無根拠な排中律・排重律・排他律の適用が悪いんだけどな｡
とは言え背理法で囲い込んで特定されるより推論過程でピタリと特定される方がしっくり感は有る｡
まぁしっくり感も人間が感じるもんだから怪しむべきっちゃ怪しむべきなんだが｡
人は巷に広められた情報よりも自分で入手した情報を信じ易い、ってな｡
背理法にせよ帰納法にせよ自然結論にせよ、各証明は吟味が必要って事だな｡
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/10(月) 10:51:12.83ID:bFwhjH70
>>276
無内容
0278１３２人目の素数さん
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2020/02/10(月) 12:52:49.56ID:5QoSZ0Vp
ブーメラン自爆ご苦労。その無内容、と言うか可も無く不可も無い事実に気付かず
背理法要否を唱える人間や背理法濫用に気付かない人間が、どれだけ多い事か
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/10(月) 17:58:11.91ID:bFwhjH70
>>278
恥の上塗り
内容のない長文を書いた自分を恥じよ
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/10(月) 19:17:16.54ID:Cj4YNvxv
>>259
背理法の根幹は排中律だからってことでしょ
Pか～Pかしかないってことを使っている
0283１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/11(火) 08:14:17.56ID:Kug1nJMB
アインシュタインは時間は幻想だと言っていた

でも　仮にそれが幻想だとしても　時計の針が逆向きに動くところなど

見たことが無い。。

でもそれは　「それが時計だから」だ

そもそも時計と言う物体はそういう風に作られている　逆になど動かない

前提の代物なのだよ。。　だがその事と　時間が逆行しない　という言説

とは科学的相関性は無い。。
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/11(火) 11:01:29.13ID:QRvz8m/g
>>282
>爆発律って直観的か？
そりゃ直感的だよ
空集合はすべての集合に含まれるってのが爆発律
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/11(火) 15:59:00.02ID:k9bizDpK
爆発律って初耳だからググってみたら
「矛盾から全てが出る」の事じゃねーか
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/12(水) 15:19:44.83ID:DgsV4+VQ
有と無を同列に扱ったが故の矛盾宿命…
だが有と無を隔てる理も無く…
0288１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/12(水) 19:04:40.98ID:jFGbb/Jf
背理法の代わりに対偶法を使えってこと？
￢Q→￢Pだと仮定するのは￢Qだけだけど
P∧￢Q→⊥ならPと￢Qとを仮定できるのでずっと見通しが良くなる
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/12(水) 19:17:23.31ID:EysH9QKZ
>>284
それは違うやろ

たぶん「命題x」と「xの証明全体から成る集合S(x)」、
「xならばy」と「写像S(x)→S(y)」を対応させる埋め込みを考えてるんだろうけど、
“矛盾を空集合に対応させていいのか”という問題がある

矛盾が証明できないという先見的な証拠はないし「真なる矛盾が存在する」という哲学的立場もある(真矛盾主義)
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/13(木) 21:19:20.74ID:q7cwywue
>>289
矛盾を何か神格化してるだけだなそれ
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/13(木) 21:30:50.32ID:klmawLhI
まーた哲学者が暴れてるよ
真なる矛盾なんかあるわけないだろ
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/14(金) 23:31:53.59ID:5CWKFqDB
背理法不要論はまあ背理法使うと公理を一つ余分に入れないといけない点から来てるんだろうと思うけど、
ZFなら正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
ZFCなら排中律を証明できるんだっけ？
0294１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/15(土) 00:43:31.70ID:SksuAgtb
>>293
>正則性公理だってそれほど自然とは思えないんだけどな
え？
何が元か最終的にハッキリしない集合の存在を当然と思うかどうかよ
もちろんそういう集合が合ってもいいという立場も有り得るだろうけど
そっちを自然と感じる？
0296粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
垢版 |
2020/02/15(土) 07:43:54.54ID:hL7d8Bzj
真矛盾って肯定的証明も否定的証明も出来ない矛盾の事と違うたんか？

所で嘘吐きのパラドクスは不合理では有るが実は矛盾ではない｡
――貴方は貴方ですか？」正直 Y.
嘘吐 N.
――貴方は正直ですか？
正直 Y.
嘘吐 Y.

？？=(￢正直)or(￢嘘吐き)

――貴方は正直ですか？Take2
正直 Y.
嘘吐 Y.
￢正直 N.
￢嘘吐 N.
――貴方は貴方ですか？Take2」
正直 Y.
嘘吐 N.
￢正直 N
￢嘘吐 Y
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/15(土) 10:14:53.65ID:SksuAgtb
>>295
この中で
∀X∀Y∀F(∀x(X(x)↔Y(x))→FX=FY)
を公理にしてるのがこの結論を導いてるようだけど
2階の関数ってこの性質を持つべきなのかな
定義は異なるが真偽が一致するX,Yに対して
FXとFYが必ずしも一致しないFを考えても良くない？
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/15(土) 10:36:08.61ID:SksuAgtb
この証明のキモは
選択公理によって
Aの真偽と一致不一致が同値になる関数Kの存在が示せるというところ
Aの真偽を01に対応させる関数が存在することを示しているとも言えそう
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 13:19:22.44ID:xlZ4iTwN
背理法は便利だよ
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 23:10:19.81ID:WMW0bPzH
背理法無しでtan1°が無理数であることを証明して
0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/25(火) 23:15:41.09ID:GI+iZoPX
対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

愚かとしか思えないんだけど。
0303現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/25(火) 23:35:43.84ID:9Ip+NlYg
>>302
＞対偶による証明も背理法の一種だからなぁ。

そういう視点もあるよね
つまり
命題 P→Q
対偶 ￢Q→￢P
背理 ￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で ￢Q∩P＝Φ（空集合））
（要するに、集合で考えると P⊂Q が成立つ ←→ ￢Q∩P＝Φ（空集合））
背理法の利点： ￢Q∧P と2つの条件が使えること。つまり、 対偶 ￢Q→￢P（１つの条件￢Q から ￢Pを導く）よりも、証明の筋道が見えやすい場合が多いってことが、大きな利点です
なので、背理法は非常に有用です！！

（参考）
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由

「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。

図１
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/images/A14M0119/pic02.gif
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/26(水) 21:35:55.42ID:HaxrwfDe
>条件pを満たすもの全体の集合をP
“もの”って何？ラッセルのパラドックスぶつけるぞオラ
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/27(木) 00:49:39.45ID:NmO/Ve82
背理法って全然そうは見えないけど、実はワン・ツー狙いの
ロングクロスでサイドに張る隠れバックスって感じも
0308１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/27(木) 02:27:46.70ID:PLS5pGIm
>>305
``もの''つまり要素になれるものはすべて集合、集合の集まりは一般にはクラス
0310現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/28(金) 11:56:47.48ID:rVGS/+rX
>>307-308
同意

P→Qの証明を
迷路に例えると
１．正攻法：Pから出発して、愚直にQを目指す
２．対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
　（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）
３．背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
　（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

問題毎に、正攻法、対偶法、背理法の３つで、最も適した（最も分かり易い）証明法があるだろう
勿論、背理法で証明された後なら、正攻法でPから出発して Qに至る道を見つけることは、容易なっているだろう

なので、背理法は有用と思うよ
Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 20:14:08.04ID:0w5BC7oq
無内容の長文
0312現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/28(金) 21:04:56.59ID:KGKH9uxv
>>310-311
>無内容の長文

同意
まあ、「背理法は有用です」とか
「Pと￢Qの二つの条件が明示されていることが、そのメリット（証明を考えるのに分かり易い場合がある）」とか
ほぼ自明だからなーｗ

例えば、中学数学の例で、「√2は、無理数である」の証明
１．そもそも、”無理数の定義：実数Rの中で、有理数Q以外” なわけで、”有理数Qの定義：有理数体Q”ってこと
　だから、圧倒的に、有理数Qを出発点にする方が、無理数を出発点にするより、有利だよね
２．そこで、有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」と、「√2の性質：二乗して2になる」と、2つの性質を組合わせて、矛盾を導くという方針が立つ
３．これぞ、背理法であり、極めて自然な証明法である

上記は、いろんな人がいろんな所で書いていることで、知る人ぞ知る、自明と言えば極めて自明なことだよ
上記は、中学数学の簡単な例だが
同じようなことは、数学のいたるところにある

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。
有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。
基本性質
既に述べたように、通常の四則演算のもと、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 22:41:05.53ID:UA+4yeho
>>310
解る気がします
悪乗りですけど
守備は教えられるけど（フォワード）攻撃は教えられない現代サッカーの
視点に立てば、選手の誰もが均一のパスの能力を持つと想定し

① パスがつながればゴールを奪える
② ゴールが奪えないならパスがつながっていない
③ パスがつながっているのにゴールが奪えない　/矛盾

今まではウインガーでもセカンドトップでもサイドハーフでもバックスでも、
つねにセンターやサイドに張らず流動的な戦術の中でめまぐるしくポジションを
変えながら相手の裏をかくようにパスをつないでいく傾向が。こういったスペイン流パス回しでも今はホントありきたり。
往々にしてほとんどの場面で正攻法はすぐばれる気が
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/28(金) 22:46:40.31ID:0xBODeNe
>>310
＞対偶法：Qから出発して、逆にPを目指す
＞（正確には、￢Pと￢Qの地図で、￢Q→￢P、
＞　つまり￢Qから出発して、逆から￢Pを目指す）

「Qから出発して、Pを目指す」のは
「￢Qから出発して、￢Pを目指す」のとは
全く違うけどね

対偶と逆を同じだと思ってる？
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0120.html
0315１３２人目の素数さん
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2020/02/28(金) 22:49:16.80ID:0xBODeNe
>>310
＞背理法：PとQから出発して、どこかの矛盾点（ゴール）を探す
＞（正確には、Pと￢Qの地図で、どこかの矛盾点（ゴール）を探す）

「PとQが矛盾する」のは
「Pと￢Qが矛盾する」のとは
全く違うけどね

Qと￢Qが同値だと思ってる？
0316現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 07:39:00.23ID:MeLF+0EN
>>314-315
全部同意ですよ
話を分り易く書いているのです
細かいところを、省いてね
というのは、この数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
図も書けないしね

もう一度説明すると
１．証明を、迷路に例える
２．通常法はP→Q、つまりPを出発点として、ゴールQに辿り着ければ、証明が終わる
３．だが、Pを出発点として、Qの情報が見えない
４．対偶法は、￢Q→￢Pの迷路に直して、￢Qを出発点とした方が、ゴール￢Pへの道が分り易いとき有効
５．背理法は、￢QとPの2つの情報を使って、矛盾というゴールを探す証明手法

と、こういう説明なんだよ
通常法、対偶法、背理法の３つとも、正しい数学の証明法です
それぞれ、利害得失があるってこと
0317現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 07:49:14.29ID:MeLF+0EN
>>316 補足

背理法の話は、過去にガロアスレでも扱ったよ
下記 目玉焼き さんのコメントを読んでみて

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537363981/82-

URL アマゾン /dp/4903342220
背理法 (数学書房選書) 単行本 ? 2012/5
桂 利行 (著, 編集), 栗原 将人 (著, 編集), 堤 誉志雄 (著, 編集), 深谷 賢治 (著, 編集)
単行本: 128ページ
出版社: 数学書房 (2012/05)

目玉焼き
5つ星のうち5.0「構文」背理法を通して、排中律に重きを置く「こころ」を解説。
2012年10月21日
この本のタイトルである背理法という間接証明法はラディカルな批判者によって一時期不当な評価をされていましたが、現在は議論も一回りし決着が付いているようですのでレビューを書き直しました。

一つ、脱背理法論者の理論の決定的な間違いを指摘しておきましょう。
以下略
0318現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 08:00:06.28ID:MeLF+0EN
>>317 補足の補足

かつて、下記みたいな話があったので
このスレが、あるのでしょうね（>>1ご参照）

（参考）
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01) 2013/07/
(抜粋)
(通常背理法で証明される定理を背理法を用いず証明する)を東京理科大学数学科で実践しています。
略
0319１３２人目の素数さん
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2020/02/29(土) 08:15:52.33ID:JeadSrAR
>>317
肝心なところを省略してどうする
0320現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 08:47:56.06ID:MeLF+0EN
>>318

もう少し書くと
下記安部研究室、”背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明”と書いてあるけど
やっていることは、「P：x＝√2（x^2＝2）→Q：xは無理数」として
P→Qの証明下記で、「Pかつ￢Q→Φ（空集合）」ってこと（ここで￢Q：xは有理数）
つまり、>>303の「背理法 ￢Q∧P→矛盾（集合のベン図で ￢Q∩P＝Φ（空集合））」そのもの
（くどいが、「x^2＝2 かつ xは有理数 を満たすxは存在しない」を示しているだけなのです）
それを示すのに、因数分解の一意性という大定理を使っているだけのこと
そういう見方もできるよね

（参考）
http://abel.a.la9.jp/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科　教授　安部直人
背理法被害者の会 - 安部研究室
安部研究室HP
脱背理法教育(01)2013年02月23日
(抜粋)
　背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明：
　「自然数　a,b につき、
　aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
　で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」
(不要かもしれませんが少し説明を加えます。
　a と b を素数の積で表したとき、その素数(素因数)の個数をそれぞれ s と t とすれば、aa と 2bb の素因数の個数は s+s=2s と 1+t+t=2t+1 です。
　また、2＝(a/b)^2 から √2≠a/b を導くのに背理法を使っていると疑う人がいるので、
　x,y>0 のとき、√x＝√y と x＝y は同値
ですから、　√x≠√y と x≠y も同値です。)
[背理法でもっと簡潔に証明できますか？]
　また、素因数分解の存在と一意性も勿論背理法を用いず証明できます。
0322現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 09:01:59.48ID:MeLF+0EN
>>320

さらに書くと
フェルマー予想
”3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理”

証明される前は、予想だったから
当然、x^n + y^n = z^n の解があるとして、「あるとすれば、その解がどういう性質を持つか」という筋が自然に浮かぶだろう
それが、結果的に、背理法の証明に繋がった

つまり、”自然数の組 (x, y, z) は存在しない”→自然数の組 (x, y, z) が存在する→x^n + y^n = z^nの解を調べる→矛盾→背理法の証明完成 となる
それって、真っ当な数学の手法でしょ？
そういう（自然に背理法を使う）数学の対象が、あるってことです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
(抜粋)
3 以上の自然数 n について
x^n + y^n = z^n
自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである[注釈 1]。
長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった[1]。
目次
1 概略
2 個別研究の時代
2.1 n = 4：フェルマー
2.2 n = 3：オイラー
2.3 n = 5：ジェルマン、ディリクレ、ルジャンドル
2.4 n = 14 ：ディリクレおよび 7 ：ラメ、ルベーグ
2.5 クンマーの理想数
0323１３２人目の素数さん
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2020/02/29(土) 09:31:28.34ID:vhJTPbtc
>>316
＞分り易く書いているのです
＞細かいところを、省いてね

￢の有無を「細かいところ」という人ははじめて見た

実に粗雑ですね

＞数学板では、もともと細かい緻密な議論は無理なのです
＞図も書けないしね

￢は図でなく文字ですけどね

出し方知らない？教えてあげますよ

”のっと”と打って変換すれば出ますよ

￢なんて全然細かくないし緻密でもないですけどね
0325現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 13:02:24.69ID:MeLF+0EN
>>323
>＞図も書けないしね
>￢は図でなく文字ですけどね

いや、そういう意味じゃなく
ベン図とか、ポンチ絵とか、書けば分り易いと思うのだがね
それが、この板では書けない
（例えば、２～３行に渡る斜め矢印とかも書けないから、全てを１行で済ませるしかない。ＪＰＧとかを他にアップしてリンクするのもあるけど、かったるいしね）

そういうことを、言っているのだよ
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/02/29(土) 15:12:57.23ID:JeadSrAR
星座の絵だけ教えて星の配置を教えない説明。
わかってる人が分かりやすく説明しようとして、
かえって分かりにくくなるよくあるパターン
0327現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/02/29(土) 15:54:38.62ID:MeLF+0EN
>>326
いや、仰る通りだよ
まあ、所詮この板では限界があるとは、思っていて、100人の100人に分からせるためには、本一冊いるかも
実際に、>>317の通り本があるし、それ嫁ってこともある

まあ、言いたいことは>>317の書評にもあるように
背理法が自然な数学の対象があるってこと（>>322）

逆に、背理法がまずい場合もあるよね
例えば、「ある式f(x)=0が、有理数解を持つことを示せ」という問題があったとして
背理法を使う人はいないだろう

背理法で、「ｘが有理数でないとして・・」と議論を進める人はいない
ｘが有理数として、x=a/b と置いて、f(a/b)=0 で式変形をするとかが、普通でしょ
かように、普通にP→Q、対偶 ￢Q→￢P、背理法 ￢Q∧P→Φ（空集合） or 矛盾

それぞれ、利害得失がある
それぞれの特徴を知って
うまく使い分ければ良いってこと。背理法を排除する必然性なしってこと
0328現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 08:35:42.41ID:siseuOIi
まあ、数学教員になる人もいるだろうから貼る
あんまり、良い資料とも思えないけど、何かの参考にはなるだろう

https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/4/43403/20170629113159591483/AnnEducRes_45_281.pdf
広島大学 学部・附属学校共同研究機構研究紀要
〈第45号 2017.3〉
間接証明カリキュラムの開発に関する研究
―背理法の学習過程に注目して―
早田 透 上ヶ谷 友佑 袴田 綾斗 岩知道 秀樹
影山 和也 小山 正孝 寺垣内 政一
0329現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 09:40:07.25ID:siseuOIi
>>327 補足
下記のPDFがヒットしたので、貼っておくが
下記にもいろいろ書いてあるけど

典型的な、「√2は無理数である」ことの証明
つまり
P：x=√2 → Q：xは無理数 の証明
これは、「 ”x^2=2” ∧ ”xは有理数" → Φ（空集合）：x^2=2は有理数解を持たない」・・(1) を証明すれば良いという言い換えができる

では、どうすれば、この言い換えを思いつくかというと、背理法なら ￢Q∧P→Φ（空集合） ですんなり出る
　>>320の安部先生がやっていることも
上記(1)の証明に、自然数の因数分解を使っているだけのことです。それで「脱背理法」とかは言えない

さらに、”Q：xは無理数”に注目すると、”￢Q：xは有理数”に書き直した方が、圧倒的に証明しやすいということ
そして、”P：x^2=2”も、同時に証明の最初から使っていきたいのです
そういう数学的構造が背景にあるから、背理法がうまくマッチするのです

つまり、背理法がうまくマッチする数学的対象あるってことです
（因みに、対偶法は相応しくない。例えば （対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね ）

だから、直接証明、対偶法、背理法、それぞれに利害得失があって、適した証明法を選ぶってこと
もちろん、背理法の証明を、直接証明に直すことは可能です
でも、証明を迷路に例えると、如何に見通しよくゴールに辿り着けるかってことで、いろんな手法があっていいのです。背理法を排除するのは、間違い！

（参考）
http://www.st.nanzan-u.ac.jp/info/ma-thesis/2013/KSASAKI/m12mm007.pdf
推論を適切に選択するための数理的手法 M2012MM007 堀場康行 指導教員：佐々木克巳 修士論文要旨 情報分析科学分野 2013
http://www.st.nanzan-u.ac.jp/info/ma-thesis/2013/
南山大学大学院 数理情報研究科 2013年度 修士論文・OJL報告書要旨集
0330現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 14:23:53.93ID:siseuOIi
>>329 補足の補足
>つまり、背理法がうまくマッチする数学的対象あるってことです
>（因みに、対偶法は相応しくない。例えば （対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね ）

要するに、対偶法では、x=√2はゴールです
しかし、x=√2は証明のスタートから使いたいのです
その点、背理法では、x=√2（つまり P：x^2=2） は、スタートなのです
単純なようで、この点は、大きな違いなのです
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/01(日) 16:20:27.57ID:VqKy47Va
>>329
>（対偶法） ”￢Q：xは有理数” → ”￢P：x=√2は解を持たない”
>ってことだけど、そんな証明は迂遠ですね

xは有理数　⇒　(x^2<2∨x^2>2)　なら　意味あるね
0332現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 17:26:57.91ID:siseuOIi
>>331
同意
まあ、証明において、何事もそうだが
最初の証明のあとに
いくつもの、別証明が出てくることがあるよね
その1つとしての意味はあるだろうね
0333１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/01(日) 18:45:52.93ID:G7f3AuQU
背理法で使う「仮定」が一つに見えても、
実際は論理の連鎖の過程で別の「仮定」が知らずに紛れ込むことがあるから
背理法は極めて危険な論法と言わざるを得ない。
0334１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/01(日) 20:01:00.30ID:i7iXTK9i
>>333
それ
照明全般についての注意ってこと気が付いてないみたいな
0335現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 20:48:31.24ID:siseuOIi
>>333-334

ああ、そうだね
でも、そういう証明の失敗が、数学の進歩に繋がることも多いのも、また事実

下記、ラメとコーシーの証明の失敗から、”虚数レベルでの一意的な因数分解”が考察され、理想数の理論からイデアルの理論が生まれた如く
だから、背理法でも、ともかくも、証明を前に進めるということは大事だね

勿論、正しい証明で拍手喝采が理想だけれども、
数学の歴史を見ると、何度かの失敗の後に、証明が完成することも多い

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理

1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するオーギュスタン＝ルイ・コーシーとの間で論争にまでなった。しかしこの解法とは xn + yn = zn の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される[15]。

クンマーの理想数
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する[16]。
これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた[17]。
虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在する[注釈 6]が、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した[19]。
その結果、100 までの全ての奇素数 n について（当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。
0336１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/01(日) 20:56:09.57ID:JC1wj4hq
>>335
>>142で既出
0337現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/01(日) 21:35:17.34ID:siseuOIi
>>336
ご指摘ありがとう
0338１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/02(月) 23:17:58.68ID:POG99/aM
背理法不要論の人、教授だからな
お前らより完全に格上だからな
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 00:55:51.14ID:HrOSkC3X
権威主義っぽい(格上であったとしてそれは正当性を保証しない。教授などのポストを持つ人が完全に誤ったペーパーを出したりすることは珍しくない)
0340１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 01:14:08.36ID:kScGeWtO
>>338
つーかその人なんで不要と言い始めたの？
0341１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 01:42:39.31ID:a9WeM3zA
>>340
背理法が正しいと都合が悪いから
科学なんて捨てていい奴なんてどうでもいい
0342１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 01:49:49.73ID:kScGeWtO
素因数分解可能ということや素因数分解の一意性って
背理法でなくて証明したらエラい長くならない？
0343１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 01:53:11.41ID:kScGeWtO
PならばQを示す代わりにPかつ￢Qならば矛盾を示すのが良くない理由として結局正しくない￢Qを仮定するからと言っているけれどならば対偶法は￢Qならば￢Pを証明するんだから￢Qを仮定するのみならず結論としてそもそも正しくない￢Pを導くという欺瞞
0344１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 02:05:56.15ID:cloWWGBs
人間は全称命題を知覚することは不能であるから
その否定の特称命題を証明する他ない
また全称量化子の元を全称のまま選ぶことはできるが
ある特定の元として選ぶことはできない
つまり全称命題は間接証明しかできないのであるから
その間接法である対偶法を用いることになるのである
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 07:41:48.80ID:g8mbDnEN
>>344
2番目の文章はおかしいように思う
どういう意味で言ってるの？
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 11:00:00.39ID:a9WeM3zA
>>343
まず背理法は正しいことが証明されている
否定したいなら正しくないと証明しないといけない
0347１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 11:25:47.01ID:kScGeWtO
>>346
だから
背理法否定論者の主張が対偶法にも当てはまるのにそれは使っていいと言っているのが欺瞞だって言ったわけ
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 11:37:25.37ID:2hfsOzGN
頭の中の数学モデルで考えるとき背理法の証明はどうイメージしてる？
私は背理法で証明するときは頭の中が文字と記号だけになる。
0350現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/03(火) 14:13:29.59ID:avWRGiKO
>>338
数学では、格上も格下もないよ（＾＾；
0351現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/03(火) 14:18:43.93ID:avWRGiKO
>>343
>PならばQを示す代わりにPかつ￢Qならば矛盾を示すのが良くない理由として結局正しくない￢Qを仮定するからと言っているけれどな

「正しくない￢Qを仮定する」って、違うと思うよ
実数R中で、Q：「Xが有理数」 で、￢Q：「Xが”有理数でない”＝無理数」ってことで、
（￢Qは実数R中の余事象ですよね）
「正しくない￢Qを仮定する」ではないよね
0352１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 14:35:28.03ID:cnjlz2mC
背理法の問題は、否定を仮定するとあら不思議と矛盾が出てくるけど、どこに無理が生じたのかが見えづらいこと
0353１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 15:21:37.49ID:a92R/VEY
>>338
ヒルベルトより格上とはすごいねー

「数学から排中律を奪うのは,天文学者から望遠鏡を,ボクサーから拳を奪うようなものだ」
0354１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 17:22:18.71ID:kScGeWtO
>>351
俺が言ってるんじゃなくって背理法不要論者がそう言ってるのよ
0355１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 17:22:50.66ID:kScGeWtO
>>352
>否定を仮定すると
これが無理だったってことだわ
0356現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/03(火) 20:41:27.58ID:kISPo8R9
>>354
>俺が言ってるんじゃなくって背理法不要論者がそう言ってるのよ

　ID:kScGeWtOさんが、>>343や>>347で書いているけど
「正しくない￢Q」という主張が、おかしいわけですね（背理法不要論者たち）
それは、下記の高校数学で教える 「対偶」についての集合の包含関係による説明を見れば、一目瞭然です

（参考）
https://www.hmathmaster.com/math1/%E5%AF%BE%E5%81%B6%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/
高校数学マスター
対偶の証明について ２０１９年３月２９日
(抜粋)
【目次】
１．集合の包含関係を用いた証明
１－１．命題の推論関係と集合の包含関係が一致
１－２．補集合と包含関係の逆転

(p⇒q)⇔P⊂Q・・・(2)
が成立します。
ベン図を書くと、以下のようになります。
https://www.hmathmaster.com/wp/wp-content/uploads/2019/06/ben1-1.gif

補集合と包含関係の逆転
見方を変えて、集合Pと集合Qのそれぞれの補集合に注目すると、以下のように包含関係が逆転していることが分かります。
https://www.hmathmaster.com/wp/wp-content/uploads/2019/06/ben2.gif

つまり、
￢Q⊂￢Pであることが分かり、ここから、
￢Q⊂￢P⇔P⊂Q・・・(3)
が成り立ちます。
(2)と同様に、
(￢q⇒￢p)⇔￢Q⊂￢P・・・(4)
であることも分かり
0357現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/03(火) 20:57:08.40ID:kISPo8R9
>>316 補足

　>>316に書いた程度のことは、英文版の背理法wikipediaに書いてあるよ
なお、
”Proof by contradiction”：背理法
”Proof by contrapositive”：対偶法
です

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Proof by contradiction
(抜粋)
Relationship with other proof techniques

In the case where the statement to be proven is an implication A → B, then the differences between direct proof, proof by contrapositive, and proof by contradiction can be outlined as follows:

・Direct proof: assume A and show B.
・Proof by contrapositive: assume ￢ B and show ￢ A.
　This corresponds to the equivalence A → B ≡ ￢ B → ￢ A.
・Proof by contradiction: assume A and ￢ B and derive a contradiction.
　This corresponds to the equivalences A → B ≡ ￢ ￢ (A → B) ≡ ￢ (A → B) → ⊥ ≡ (A ∧ ￢ B) → ⊥ .
0358１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/03(火) 22:18:03.81ID:gW5l8+QF
>>312
> 有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」

有理数の非循環節の長さは決定番号に成り得るわけでスレ主の数学では
成り立たないのだからスレ主にとっては間違いでしょ
0359現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/04(水) 00:06:21.07ID:bXHMZi/C
>>358
意味が分からない
皆さんに分かるように、詳しく書いてみなさい
0360現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/04(水) 00:15:50.34ID:bXHMZi/C
>>358
>>312
> 有理数Qは「a/b という分数で表せる数のこと」
>有理数の非循環節の長さは決定番号に成り得るわけでスレ主の数学では
>成り立たないのだからスレ主にとっては間違いでしょ

私、ガロアスレのスレ主は、下記の定義
「有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう」
は否定してはいない
「成り立たない」と言っているのは、時枝記事の数当て論法だよ
時枝記事の数当て不成立は、下記を「現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 357」以降を見て下さい

（参考）
現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/357-

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数

有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。

有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。
0361現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/04(水) 00:27:28.03ID:bXHMZi/C
>>358
混ぜっ返しで、あなたには、下記 筑波大 山崎 隆雄 先生 『ｐ-進世界へようこそ』を、プレゼントします
どぞｗ（＾＾；

（参考）
https://nc.math.tsukuba.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&;block_id=206&active_action=multidatabase_view_main_detail&content_id=21&multidatabase_id=3&block_id=206#_206
筑波大 過去の体験学習
年度 平成１７年度
日付 平成１７年８月４日(木)
概要
『ｐ-進世界へようこそ』
山崎 隆雄 先生
https://nc.math.tsukuba.ac.jp/index.php?action=cabinet_action_main_download&;block_id=282&room_id=80&cabinet_id=1&file_id=6&upload_id=202
p-進世界へようこそ
山崎 隆雄
筑波大学数学系

2 2-進世界を覗いてみる
それでは始めに p = 2 の場合、つまり 2-進世界がどのような世界なのか、少しだ
け覗いてみましょう。一つの極めて特徴的・刺激的な事実は、2-進世界では次の式
が成り立つことです：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ・・・ + 2^n + ・・・ = ?1 (1)
私はこれを、比喩的に成り立つとか心情的に成り立つと言っているのではありま
せん。2-進数の世界では、この式が１００％精密な意味で成り立つのです。これは
かなり奇妙に感じられることでしょう。全くでたらめな世界だと感じられるかも
しれません。
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 00:46:44.18ID:OIAsNswK
>>360
>時枝記事の数当て不成立は、下記を「現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 357」以降を見て下さい
おまえのレス、すべて否定されてて、それに対しおまえ反論できてないじゃん
不都合なレスを黙殺して勝手に勝利宣言するサイコパス（＾＾；
0363１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 01:57:59.97ID:uWikHSI2
>>360
たとえば100個の箱に有理数がそれぞれ1つ入っている場合にそれぞれが分数で表されるのならば
分母(全て異なると仮定する)が最大である有理数が入っている箱を選ばない確率は計算できるでしょ
(分数であらわされるのならば分母は必ず整数で与えられる)

スレ主の理屈だと「裾が発散する超ヘビーな（裾の超重い）分布」だと箱の中身が有理数であっても
分数で表されないから上の確率も計算できないということになるじゃないですか
0364現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/04(水) 08:00:29.32ID:bXHMZi/C
>>362-363
おまいらの屁理屈笑える
それって、哀れな素人氏 と類似の屁理屈（下記）じゃんかｗ

（説明）
・いま、ここに1つの箱がある。箱に任意の実数r∈Rを入れて良い
・なんの手がかりも、無ければ、箱の数当ては無理。的中確率は、0＝1/∞。測度論でいう零集合から従う
・いま、有限で複数の箱(n個)があるとする。iid(独立同分布)を仮定する。どの箱も他の箱と無関係だ
　X1,X2,・・,Xi,・・Xn で、任意のi を残して、他の箱を開けたところで、Xiを的中させる手がかりはない。なので、上記箱が1つの場合に同じ
　（∵ iid(独立同分布)だから）
・n→∞（可算無限）で、考える。確率変数の無限族 X1,X2,・・,Xi,・・Xn,・・・ は、現代確率論・確率過程論の射程内だ
・よって、n→∞（可算無限）でも、n有限と結論は同じですよｗ
QED

なお
続きをやりたければ、現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 へ書け！ ｗ（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/

（参考）
0.99999……は１ではない　その５
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1583048263/1
1 名前：哀れな素人[] 投稿日：2020/03/01(日) 16:37:43.62 ID:DX1hheTs [1/3]
(抜粋)
簡単な証明１
１÷３は永遠に割り切れない。
ゆえに1/3≠0.33333……
ゆえに1≠0.99999……
もっと深いことが知りたい人は
「相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない」参照

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
独立同分布（どくりつどうぶんぷ、英: independent and identically distributed; IID, i.i.d., iid）

（確率変数の無限族の例）
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/probe.htm 講義録等講義関係資料 (pdf files) 秋学期講義スライド 　(0.4MB pdf file)
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/ecproc.pdf
確率論入門II 服部哲弥 慶応
P26
無限回硬貨投げの空間が必要な理由

https://www.wikiwand.com/ja/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
測度論
可測集合 S が μ (S ) = 0 であるとき零集合 (null set ) という。
以上
0365１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 08:40:07.26ID:uWikHSI2
>>365
> n→∞（可算無限）でも、n有限と結論は同じですよｗ

非循環節の長さが有限ならば有理数で分数で表せる
非循環節の長さが可算無限ならば無理数で分数で表せない

有理数と無理数は異なる
有限と無限は異なる

さて分かりやすくするために実数から有理数を選んでgame2を行うとして
出題者は無理数を選んだら即負けとなる場合に独立同分布では循環節は選べないのに
どうやって出題者は有理数を選ぶのでしょう？

> 屁理屈

違いますよ
可算無限は自然数全体の集合の濃度で定義されているので
個別の箱を考えると可算無限は扱えないのです
0366現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/04(水) 10:12:02.99ID:8oFyGLLW
>>365
スレ違いだよ
ここは、背理法スレだよ
0367１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 18:38:08.19ID:OIAsNswK
>>364
>・n→∞（可算無限）で、考える。確率変数の無限族 X1,X2,・・,Xi,・・Xn,・・・ は、現代確率論・確率過程論の射程内だ
時枝戦略は現代確率論・確率過程論の射程外ですね。
実際、時枝戦略における確率変数は k∈{1,2,...,100} なので、無限族論法はまったく的外れですね。
時枝戦略を論ずるなら時枝戦略を正しく理解することから始めましょう（＾＾；
0368１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 18:39:10.49ID:uWikHSI2
>>366

>>364
> 無限回硬貨投げの空間が必要な理由
> n→∞（可算無限）でも、n有限と結論は同じですよｗ

スレ主の主張
game2は不成立であってその理由は
独立同分布で無限回試行をおこなって有理数を選べる
またその選んだ数は(有理数なので)分数であらわせる

> 背理法スレだよ

スレ主の主張が正しいと仮定する
コイントス(0と1の2つの数)であってもその無限回試行全体は非可算無限集合である
有理数全体は可算無限集合であるから矛盾が生じる
0369１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 22:44:25.54ID:aDVD7B8f
無限降下法も背理法の一種だけどこれも否定派なの？
0370１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/04(水) 23:29:09.26ID:gfglnukg
ベルヌーイ試行の全体が非可算無限だなんて
どんなトンデモだよ
0371１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/05(木) 07:15:51.24ID:LD/M+03t
このスレの>>1でもないのにスレ主と呼んでいる時点であの阿呆の術中にはまっている
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/05(木) 16:08:14.00ID:5A6NAdOC
だいたいスレ主というの自体自称にすぎないんだな
そんなものはオラン
0374現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/06(金) 00:15:49.57ID:UEykiR6s
>>372
>だいたいスレ主というの自体自称にすぎないんだな
>そんなものはオラン

それは正しいよ
なお、ガロアスレが無くなったから、空き家の下記を代用することにしたよｗ(゜ロ゜;

現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/
0375現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/06(金) 07:49:46.38ID:UEykiR6s
>>373
私は、名前の議論には乗りません
議論をすることが、誰か第三者の迷惑に成りかねないからね

ところで、このID:VaJI+BR1氏＝”おサル”の紹介をしておく
おサルは、時枝記事（下記）前段の数当てパズルを正しいと信じている落ちこぼれです
某テイ大数学科卒 らしいが、確率論の単位を落としたらしい

時枝記事では、「確率変数の無限族 X1,X2,・・,Xi,・・において
あるXiが存在して確率1-εで的中できる」とする 数学パズルを正しいと信じているのです
確率論を学べば、iid（独立同分布)を仮定すれば、そんなXiは存在しようがないことは自明です

だが、おサルさんは、「時枝記事が否定されれば、選択公理が否定される」と名言?を主張するのです
それって、”選択公理”とか、”数学の推論”等で、完全に スベッている発言じゃないですか？ｗ(゜ロ゜;

（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー 　2015年11月号
箱入り無数目───────────────時枝 正　36

現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/358-
以上
0376１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/06(金) 16:55:50.81ID:4pbuiWn9
>>375
>某テイ大数学科卒 らしいが、確率論の単位を落としたらしい
あなた The Riddle の成立は認めますね？
The Riddle は確率そのものを使ってませんから確率論の単位は無関係ですね。

>時枝記事では、「確率変数の無限族 X1,X2,・・,Xi,・・において
時枝戦略の確率変数は箱の中身ではなく 列番号k∈{1,,...,100} です。

>あるXiが存在して確率1-εで的中できる」とする 数学パズルを正しいと信じているのです
>確率論を学べば、iid（独立同分布)を仮定すれば、そんなXiは存在しようがないことは自明です
ある箱の中身を確率1-εで的中できるわけではありません。当たりの箱を確率1-εで選べるのです。
確率変数の取り方を誤解しているのに「数当てできる」という結果だけ使うからおかしな話になってるだけのことです。

>だが、おサルさんは、「時枝記事が否定されれば、選択公理が否定される」と名言?を主張するのです
>それって、”選択公理”とか、”数学の推論”等で、完全に スベッている発言じゃないですか？ｗ(゜ロ゜;
時枝戦略の仮定は選択公理だけなので、戦略を不成立とするには選択公理を偽とする以外ありません。

時枝戦略について論じたいなら、正しく理解することから始めましょう。
0378１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/06(金) 20:40:50.09ID:4pbuiWn9
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
>274 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:24:32.65
>同値類とか商集合も分かってなさそう
↑
時枝を理解できない原因が既にこの頃から言われてて草
はい、5年半経っても未だ分かってませんｗ
0379１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/06(金) 21:04:51.36ID://zxpzxc
>>375
> iid（独立同分布)を仮定すれば、そんなXiは存在しようがない
> ことは自明

結局自明でごまかすことしかできないのね

>>364
> 有限で複数の箱(n個)があるとする
> Xiを的中させる手がかりはない
> （可算無限）で、考える

手がかりはありますよ
それは箱が可算無限個あってその全てに実数が入っているということ

箱の数が有限か無限か分からない場合に「iid（独立同分布)」を仮定して
ある1つの箱に着目しても有限か無限かは分からない

それでいつものガセ田のガセによってごまかすしか手がない
> よって、n→∞（可算無限）でも、n有限と結論は同じ
0380１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/07(土) 06:56:28.12ID:tWw90EeZ
>同値類とか商集合も分かってなさそう
同値類、商集合が分からないと The Riddle は理解できない。
逆に The Riddle が理解できるなら、その主張は「100列のうちハズレ列は1列以下」なのだから、
時枝定理「100列のいずれかをランダムに選択すれば数当て失敗の確率は1/100以下」も理解できる。
すなわち「時枝定理＝The Riddle+小学生レベルの確率」でしかない。大学4年の確率論？まったく見当違いだ。

瀬田が The Riddle に対する態度を頑なに明かさないのは、確率論という屁理屈ネタが封じられるのと、
同値類、商集合に対する無知に触れられたくないからである。

瀬田は今後も同値類、商集合を勉強することはないだろう。
5年半も前（時枝記事登場よりも前）に指摘されていたにもかかわらず放置していることからも明らかだ。
↓
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
>274 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:24:32.65
>同値類とか商集合も分かってなさそう

結論
瀬田は学部レベルの数学が分かっておらず、時枝記事を読むレベルにない。今後も勉強する見込みは無い。
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/03/07(土) 06:58:43.19ID:tWw90EeZ
>瀬田が The Riddle に対する態度を頑なに明かさないのは、確率論という屁理屈ネタが封じられるのと、
>同値類、商集合に対する無知に触れられたくないからである。

予言しよう、瀬田は今後も The Riddle から逃亡し続けると
0382現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2020/03/07(土) 11:16:27.93ID:4eWv6TZy
>>369
>無限降下法も背理法の一種だけどこれも否定派なの？

無限降下法も有用です
（参考）
http://www.mathlion.jp/article/ar139.html
2019/08/05
無限降下法|思考力を鍛える数学
(抜粋)
無限降下法とは 無限降下法(むげんこうかほう)とは， 自然数あるいは自然数の部分集合には必ず最小の元が存在する という性質を用いた証明法です．
... 代表的には，不定方程式の自然数解の不存在性を証明するときに用いられます．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%B3%95
無限降下法
(抜粋)
背理法の一種であり、数学的帰納法の一型とも見なせる。17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが創始者であり、彼はこの証明法を好んで用いた。紀元前3世紀にユークリッドが（例えば『原論』7-31で）使用していた、との主張もある[要出典]。

概要
自然数に関する命題の証明に威力を発する場合があり、典型的には不定方程式に自然数解が存在しないことを示す際に用いられる。
小さい解を次々に得る様子が「無限に降下」していくように感じられることから、「無限降下法」と呼ばれる。

この証明のポイントは、最も「小さい」ものが存在するはずの、性質の良い「大小関係」を考えることである。必ずしも解そのものの大小関係である必要はなく、解に対してある自然数を対応させる関数の値の大小関係であれば十分である。

歴史
フェルマーは、無限降下法をしばしば「私の方法」と呼び、この方法によって数々の命題を証明したと主張した。彼は詳しい証明をほとんど残していないが、『算術』への45番目の書き込みにおいて、唯一完全に近い証明を残している[1][2]。

この証明中に、不定方程式 x^4 - y^4 = z^2 が非自明な整数解を持たないこと（これよりフェルマーの最終定理の n = 4 の場合が導かれる）を、無限降下法によって示している。

フェルマー以後も、無限降下法の考えはしばしば用いられている。たとえば、楕円曲線の有理点のなす群が有限生成アーベル群であることを主張するモーデルの定理の証明には、有理点の高さに関する、無限降下法と似た議論が用いられる[4]。
0383現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/07(土) 11:22:15.05ID:4eWv6TZy
>>382
ある不定方程式が、自然数解を持たない
ということを証明する場合に

その方程式が、自然数解を持つとして
その解の性質を調べていくことは
数学として、自然な発想であり、自然な流れ
（ひょっとして 自然数解が見つかるかもしれないし、数学研究の場合には、自然数解が あるか ないか ハッキリしていない場合も多いのだし）

それを「背理法だから、ダメ」とか、何言っているの？（＾＾；
0384現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/07(土) 11:57:41.49ID:4eWv6TZy
有限単純群の分類証明でも、最小の反例Gの存在を仮定して、矛盾を導く背理法を使う
普通、「ｘｘを満たす解は存在しない」ということを示すために、「ｘｘを満たす解が存在する」として、
その解の性質を調べるとか、あるいは矛盾が生じないかを調べるのは、数学研究の常套手段だ
それを、否定する理由は全くないと思う

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_pdf/-char/ja
論説 有限単純群の分類 鈴木通夫* 数学 1982 Volume 34 Issue 3 Pages 193-210
P13
分類の基本定理は 次のFeit-Thompsonの定理である.

以下Gは 分類定理にあげられた単純群のいずれとも同形でない最小位数の単純群と仮設する.
この仮設から矛盾を導くのが目的である.
定理3.最小の反例Gは連結な単純群である.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類

目次
1 分類定理の主張
2 有限単純群の一覧
2.1 位数の小さな非可換有限単純群の一覧
3 分類定理の概観
3.1 小さな階数2の群
3.2 成分型の群
3.3 標数2型の群
3.4 単純群の存在と一意性

https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
Classification of finite simple groups
0385現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/08(日) 11:13:59.50ID:TTUqgbD+
>>383
>ある不定方程式が、自然数解を持たない
>ということを証明する場合に

例えば、フェルマー予想
a^n + b^n = c^n n≧3
で、これを満たす整数解があるとして、下記の通り ABC予想から
互いに素な自然数 a, b, c の存在範囲が、有限範囲に絞り込める
その範囲を、計算機で調べれば、任意のｎについて、フェルマー予想 の別証明が得られる
（下記では、”ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想”が成立てば、「この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される」という）

これを、背理法だからと、排除する理由はない

https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
(抜粋)
2 得られる結果の例
得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）、部分的証明となるものもある。
abc予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、abc予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、abc予想は依然として重要な問題であり続けている。

フェルマーの最終定理
ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは K(ε) に依る）。
ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ? 4 に対して証明が可能である。
ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 2]。

注 2^ abc予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)^2 が成り立つ。
互いに素な自然数 a, b, c が a^n + b^n = c^n を満たすと仮定すると、a^n, b^n, c^n は互いに素より、A = a^n, B = b^n, C = c^n を代入して
c^n<( rad a^n * b^n * c^n)^2
が成り立つ。一般に rad x^n= rad x≦ x であるから、 ( rad a^n * b^n * c^n)^2≦ (abc)^2<(c^3)^2=c^6 となる。
ゆえに c^n < c^6, c > 1 より n < 6
n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので定理が証明される (山崎 2010, p. 11)
0386現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/08(日) 11:34:13.24ID:TTUqgbD+
>>385

補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
(抜粋)
参考文献
山崎, 隆雄「フェルマー予想とABC予想」 (pdf) 『数学セミナー』2010年10月、2012年9月19日閲覧。
(引用終り)

この上記 『数学セミナー』2010年10月は、間違い （正しくは、2010年12月号 下記）
かつ、リンク切れている

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5459.html
数学セミナー
2010年12月号　通巻 591号
発刊年月 2010.11
特集=続・解けそうで解けない問題
　多面体の展開図に関する未解決問題／並木誠…8
　フェルマーの最終定理とabc予想／山崎隆雄…13

なので、代用に 谷戸光昭先生の 下記を
http://yato.main.jp/
谷戸光昭のウェブサイト（授業・講義に関する情報 神奈工 ＝ 神奈川工科大学 (厚木市) 中央 ＝ 中央大学 (文京区) 明星 ＝ 明星大学 (日野市)）
http://yato.main.jp/koneta/koneta.htm
谷戸光昭 書き物置き場
http://yato.main.jp/koneta/ABC_conjecture.pdf
谷戸光昭 ABC予想について (2012/11/29)
0388現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/09(月) 10:11:32.78ID:Mi431MVK
おまえが、このスレに来なければいいだけだろ？
0390現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/09(月) 13:01:49.82ID:Mi431MVK
開き直る？
意味わからん

自分の気に入らないから
「どっかいけー」とか、それ 運営以外には権利も権限ないよね

それがルール
一般人は、いやならスルーがルールでしょ？
0392現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/03/09(月) 13:36:39.72ID:Mi431MVK
限度？
意味分からん

定義でしょ
5CHの？　定義を読みましょう～！
0393１３２人目の素数さん
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2020/04/12(日) 20:30:55.44ID:xmjD83Fu
ん？背理法不要論＝対偶不要論＝排中律不要論と違うのか？
もしかして背理法って対偶以外の要素を含んでたりする？
0394現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/13(月) 07:56:46.36ID:DYqPl9DE
>>393
ども

>もしかして背理法って対偶以外の要素を含んでたりする？

１．命題：Ｐ→Ｑ
２．対偶：￢Q→￢Ｐ
３．背理法：￢Q∧Ｐ→Φ（矛盾）

　つまり、集合Ｐ、Ｑで書くと
１．命題：Ｐ⊂Ｑ
２．対偶：￢Q⊂￢Ｐ
３．背理法：￢Q∩Ｐ＝Φ（空集合）

＞背理法不要論＝対偶不要論＝排中律不要論と違うのか？

排中律否定は、ブラウアーの直観論理ですね（）
これは、背理法不要論とは別です

つまり、いまの東京理科大を中心とする 背理法不要論 は、背理法は認めるけれど、不要だという
ブラウアーの直観論理は、背理法を否定するのです
分かり難いかもしれないが、そういうことです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9
数学的直観主義
(抜粋)
来歴と評価
これに類する主張は、カントールの集合論に対抗する形で、クロネッカーやポアンカレによってもなされていたが、最も明確に表明したのは、オランダの位相幾何学者、ブラウワーである。
ブラウワーの立場に対してポアンカレらの立場は前直観主義と言われることがある。
ブラウワーは、数学的概念とは数学者の精神の産物であり、その存在はその構成によって示されるべきだという立場から、無限集合において、背理法によって、非存在の矛盾から存在を示す証明を認めなかった。
それ故、無限集合において「排中律」、すなわち、ある命題は真であるか偽であるかのどちらかであるという推論法則を捨てるべきだと主張し、ヒルベルトとの間に有名な論争を引き起こした。
ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。

ブラウワーの主張は、感覚的で分かりにくかったが、その後ハイティング等によって整備され、結果的には古典論理から排中律を除いた形で形式化されたものが今日、直観主義論理として受け入れられている。
現代では直観主義論理は、数学の証明は全て構成的に為されなければならないという主張（数学的構成主義）と関連が深いと考えられている。
0395現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/13(月) 07:57:58.76ID:DYqPl9DE
>>394　タイポ訂正

排中律否定は、ブラウアーの直観論理ですね（）
　↓
排中律否定は、ブラウアーの直観論理ですね
0396粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
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2020/04/13(月) 08:44:38.57ID:fblTsVTs
何か捻れとる

儂、最近あそこの「 0^0=1 ∵Bourbaki流集合論に基付き#{φ}^#{φ}=1である事ゆ因る 」に疑問｡
集合じゃろうとも同値類どんどんぶっ込み拡張されるじゃろ？
0397現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/13(月) 12:05:12.34ID:my5S7sSz
>>396
粋蕎さん、どうも

> 0^0=1

下記ですな

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97
0の0乗
(抜粋)
0 の 0 乗（ゼロのゼロじょう、英: zero to the power of zero, 0 to the 0th power）は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論、集合論などの文脈ではしばしば 1 と定義される[注 1]一方で、解析学の文脈では二変数関数 xy が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合が多い。

[注 1]
1^ 0 と定義される場合もある。

目次
1 背景
2 1と定義される場合
2.1 モノイド論における扱い
2.2 集合論における扱い
3 定義されない場合
3.1 実解析における扱い
3.2 複素解析における扱い
4 コンピュータにおける扱い
0398粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
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2020/04/14(火) 00:50:49.12ID:x0tX+KLS
>>397
あ否、其れも其うですが「背理法被害者の会」が主張しとる話です｡
「集合に於いてφ乗は只一つ」言い、更に
「竹内外史も『トポス』で『ブルバキ参照』」言っとります｡
こんなん「0乗は只、1」言うんと変わっとらんと思うんです｡
0399現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/14(火) 11:35:57.84ID:PFls8jJA
>>398
>あ否、其れも其うですが「背理法被害者の会」が主張しとる話です｡
>「集合に於いてφ乗は只一つ」言い

知っています
というか、過去にガロアスレで取り上げたことがある
”集合に於いて”という文脈が、判然としませんがねｗ（＾＾
まあ、下記でもご参考：>>397のwikipediaの英文版ですがね
ご注目は、”History of differing points of view”です
そして、各人が自分で判断すれば良いのでは？ｗｗ（＾＾

”集合に於いて”という文脈が、判然としませんが
デデキントの如く、ZFC：”自然数→実数→コーシー＆リーマンまでの解析”で、これZFCの射程とすれば
”集合に於いて”という文脈は、かなり小さい限定された範囲ですね（＾＾；

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero
Zero to the power of zero
(抜粋)
Zero to the power of zero, denoted by 0^0, is a mathematical expression with no agreed-upon value. The most common possibilities are 1 or leaving the expression undefined, with justifications existing for each, depending on context.
In algebra and combinatorics, the generally agreed upon value is 0^0 = 1, whereas in mathematical analysis, the expression is sometimes left undefined. Computer programs also have differing ways of handling this expression.

History of differing points of view
The debate over the definition of 0^0 has been going on at least since the early 19th century.
At that time, most mathematicians agreed that 0^0=1, until in 1821 Cauchy[13] listed 0^0 along with expressions like 0/0 in a table of indeterminate forms.
In the 1830s Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja[14][15] published an unconvincing argument for 0^0=1, and Mobius[16] sided with him, erroneously claiming that lim t → 0^+ f(t)^g(t) ＝ 1 whenever lim t → 0^+ f(t)＝ lim t → 0^+ g(t)＝ 0 .
A commentator who signed his name simply as "S" provided the counterexample of (e^{-1/t )^t , and this quieted the debate for some time.

つづく
0400現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/14(火) 11:36:37.16ID:PFls8jJA
>>399

つづき
More historical details can be found in Knuth (1992).[17]

More recent authors interpret the situation above in different ways:
・Some argue that the best value for 0^0 depends on context, and hence that defining it once and for all is problematic.[18]
According to Benson (1999), "The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness. If we refrain from defining 0^0, then certain assertions become unnecessarily awkward. [...]
The consensus is to use the definition 0^0=1 0^0=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19]

・Others argue that 0^0 should be defined as 1. Knuth (1992) contends strongly that 0^0 "has to be 1", drawing a distinction between the value 0^0, which should equal 1 as advocated by Libri, and the limiting form
(an abbreviation for a limit of f(x)^g(x) where f(x),g(x) → 0 ),
which is necessarily an indeterminate form as listed by Cauchy
: "Both Cauchy and Libri were right, but Libri and his defenders did not understand why truth was on their side."[17]
Vaughn gives several other examples of theorems whose (simplest) statements require 0^0 = 1 as a convention.[20]
(引用終り)
以上
0401現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
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2020/04/14(火) 11:37:48.47ID:PFls8jJA
>>400 タイポ訂正

The consensus is to use the definition 0^0=1 0^0=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19]
　↓
The consensus is to use the definition 0^0=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^0."[19]
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/21(金) 23:22:17.78ID:RM9y96NI
>>3
それ結構深い比喩かもとちょっと思った
0403１３２人目の素数さん
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2020/08/21(金) 23:23:57.06ID:RM9y96NI
>>20
いやいや背理法だよ
0404１３２人目の素数さん
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2020/09/09(水) 22:58:19.73ID:IR7822fG
とんでも数学
0405青戸六丁目被害者の会（本部：葛飾区青戸６－２６－６）
垢版 |
2021/03/09(火) 20:27:49.78ID:5gIZP/7W
●青戸六丁目被害者住民一同「色川高志の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の色川高志を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●龍神連合五代目総長・色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）の挑発
色川高志「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の色川高志の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の色川高志を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者の色川高志
色川高志の住所＝東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３号室
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者である色川高志の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で生活保護費不正受給犯罪者の色川高志によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
そして、大量浣腸。 勢い良く噴出！腸内洗浄状態です。
http://101.dtiblog.com/b/bodytk9690/file/kan01.jpg
浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます
0406１３２人目の素数さん
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2021/05/31(月) 23:26:01.40ID:kl5/EMI8
>>403
有理数と仮定して矛盾が起こるから有理数でないと結論するのは
厳密に言えば背理法ではなく
否定の定義
直観主義で排除しようとした背理法は
何々でないと仮定して矛盾が起こることから何々を結論すること
0407１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 07:11:22.95ID:KrMV1miB
π+ｅとπｅのどちらかは超越数

どちらも代数的とすると(π+ｅ)^2も代数的、(π-ｅ)^2=(π+ｅ)^2-4πｅも代数的、これらの平方根であるπ+ｅ、π-ｅも代数的、よってπも代数的になりπの超越性に矛盾する。

これを背理法抜きで証明できる？
0408１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 08:09:27.21ID:w+r2APAm
それも厳密には背理法ではない
超越数の定義が代数的ではないことだからだよ
代数的だとして矛盾が起こることが
代数的でないことの定義
0409１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 08:30:23.82ID:KrMV1miB
それ間違ってる
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 16:07:18.00ID:+Il9kay+
>>409
間違いではないよ
直観主義論理の採用しなかつたこととは何かということと
否定の定義はなんとされているかを調べてごらん
0412１３２人目の素数さん
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2021/06/01(火) 16:11:38.99ID:+Il9kay+
>>410
恐らく無理じゃないかな
超越数の定義が代数的数ではないことで
代数的数であると仮定して矛盾することが定義だから
これも背理法だと思い込んでると
背理法は使わざるを得ないことになる
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 16:20:21.71ID:+Il9kay+
￢PとPから人が出る
すなわち
￢PからP→人が出て
P→人から￢Pが出る
というのは
直観主義論理より弱い最小論理でも採用してる公理
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/01(火) 16:46:13.55ID:BFiu2xxk
>>412
407は￢(AかつB)から(￢Aまたは￢B)を導いているから
直観主義論理では無効な議論だと思うけど
0416１３２人目の素数さん
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2021/06/01(火) 18:04:49.86ID:KrMV1miB
>>414
「a、bが超越数ならばa+bまたはabは超越数」の証明ならば背理法は不要
πやｅの超越性を前提にした上の話
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/12(日) 14:50:47.63ID:4jyqDRQu
>>407
Π+eとΠeのどちらかは超越数である。

まず、Π+e,とΠ-eのどちらかは超越数である。
何故ならば、Πは超越数かつΠ = {(Π+e)+(Π-e)}/2かつ代数的数全体は体なので。
Π+eが超越数とすると、「Π+eとΠeのどちらかは超越数である」は真。
Π-eが超越数とすると、(Π-e)^2 = (π+ｅ)^2-4πｅかつ代数的数全体は体であることより「Π+eとΠeのどちらかは超越数である」は真。
よってΠ+eとΠeのどちらかは超越数である。
0419１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/12(日) 16:57:31.78ID:AuQR4hDN
開集合は直観論理だと何かに書いてあった
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/15(水) 21:36:14.12ID:Jcoq/m6X
背理法でしかできない証明ってないの？
0422１３２人目の素数さん
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2021/12/16(木) 22:40:00.31ID:9DpUtLsu
>>420
解析学のいくつかの評価式については
背理法以外の証明は知られていない。
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/17(金) 00:55:42.42ID:UGPHpedN
>>422
例えば？
0424１３２人目の素数さん
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2021/12/17(金) 08:55:41.61ID:p5svpt5g
背理法を他の同等の推論に置き換えるという意味だから
古典論理の否定ではないね

その程度の日本語も読めない馬鹿には数学は無理だから諦めろ
0425１３２人目の素数さん
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2021/12/17(金) 13:03:41.52ID:oJ5boE7I
>>423
ヘルマンダーの有名な論文
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/17(金) 17:18:11.99ID:UGPHpedN
>>425
どれ？
FOURIER INTEGRAL OPERATORS ってやつ？
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/17(金) 18:06:52.24ID:oJ5boE7I
とにかくActa Mathに出たやつ
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/12/17(金) 18:27:35.09ID:oJ5boE7I
Proposition 3.4.5
0429１３２人目の素数さん
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2021/12/21(火) 08:55:37.93ID:RnL9rMPq
名著「非圧縮性粘性流の数学的理論」の第89ページの証明中、
「そうでなかったと仮定すると」で始まった文章が
「矛盾する」で終わっていない。
これは「見かけの背理法」か？
0430１３２人目の素数さん
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2022/04/13(水) 23:13:17.51ID:MOUN8VRB
数学的帰納法不要論は？
0431１３２人目の素数さん
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2022/04/14(木) 03:51:07.54ID:uHdSj82h
>>430
bounded arithmeticという分野がその辺りを研究している
0433１３２人目の素数さん
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2022/12/21(水) 11:45:46.59ID:bG514WP3
無矛盾であることが証明された系、または無矛盾であることが証明不可能であることが証明された系でしか背理法は使えないのでは？
矛盾を導出したとして、その原因が「仮定」にあるのか系自体にあるのか判別できないから
0434１３２人目の素数さん
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2022/12/24(土) 02:33:49.00ID:Twzd+IEU
>>433
背理法は偽の命題を導いてその仮定が偽だとする論法
理論の無矛盾性なんて関係ない
つまり、もし偽の命題を導いてその仮定が偽であるかどうか知りたいならそれを証明の中で用いているか調べさえすればいい
0435１３２人目の素数さん
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2022/12/24(土) 04:15:02.18ID:/P8Bw71J
中学生のときに以下のような妄想をした。

命題の論理をつなげて公理から定理、定理、定理とどんどん論理の網を
広げて行く際に、まるで複素関数論の解析接続のように、論理の網を
どんどんと進めていくときに、その経路によって結果に違いが出る
ことが起こらないのかなと。例えばｙ＝√ｘのような代数函数の
リーマン面は原点と無限円点以外では二価になっていて、そのことを
しらなければ、ｘ＝1のときｙ＝1から接続して原点の周りを回ってくると
ｘ＝1でｙ＝－1になるので、よって1＝－1だ、みたいな間違った結果を
導くけれども、それに類したことが起こらないのかという感じの妄想だ。
つまり、命題を証明する手段の網目をつなぐときの経路によって
異なる結果が得られても良いのではないだろうか、それは別のリーマン面の
シートに入り込んだようなものだと考えれば矛盾ではないと。
そういう妄想を抱いたのだ。
0436１３２人目の素数さん
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2022/12/24(土) 09:07:45.43ID:6P5AjeCt
矛盾とは何を指すのかという妄想は湧かなかった？
0437１３２人目の素数さん
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2022/12/24(土) 09:25:24.79ID:OdkKx1mA
>>434
矛盾が導出された理由が追加した仮定にあるのか系自体にあるのかが証明できないので仮定が偽である証明にはならない
0439１３２人目の素数さん
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2023/01/01(日) 10:07:26.27ID:W1uGFZgv
排中律を証明できれば背理法を使ってもいいと思う。YESかNOか2択しかないっていう状況自体をまず証明してその上で背理法を使う。
これなら問題ないはず。
0440１３２人目の素数さん
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2023/01/02(月) 11:01:19.68ID:Tjm8RrUz
ある命題が「正しい」か「正しくない」か「決定不能」であるかの
3種類の"状態"があると思いますが、決定する手順が存在しないで
決定不能であっても、もしもたまたま成立することを示す例が
見付かれば「正しい」になるし、成立しないことを示す例が
見付かれば「正しくない」になるでしょう。

しかしたとえば、平面幾何で平行線公理を除いた体系を考えて、
その中で「平行線公理」を普通の命題のように考えて、
それが正しいか正しくないかを決定しようとしても、
正しいあるいは正しくないという証明はできないはずです。
つまりそのような「決定不能」の場合には、どれだけ成立例
あるいは反例をさがしたとしても、見付かるということは
あり得ませんね。

そうなると、正しいか、正しくないかの二通りだというのは
無理があるのではないでしょうか？　排中律は成り立つのでしょうか？
0441１３２人目の素数さん
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2023/01/02(月) 12:13:58.59ID:g8sppIUg
よく知らないけど直観主義論理はそういった違和感から産み出さたのかな？
0442１３２人目の素数さん
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2023/01/09(月) 20:07:44.17ID:afxohR47
ある程度複雑な体系はその中では真偽を決定出来ない命題が存在する、
とゲーデルがのたまっているそうだから排中律は成り立たないのではないだろうか？

決定できない命題を1つをとり、それを肯定するあるいは否定する命題を公理系に
新たに付け加えたとしても、その拡大された体系の中にも真偽を決定出来ない命題が
存在する，そこでその決定出来なかった命題をまた1つとり、それを肯定あるいは
否定する命題を再度公理系に新たに付け加えたとしても、その拡大された体系の
中には、。。。。。いくらやってもキリがないことになる。

　こんなことでは安心して夜も寝られない。それでも排中律は成り立つと言えるの？　
0443１３２人目の素数さん
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2023/01/10(火) 22:35:57.38ID:sWivYE4V
排中律は証明すべきものではないでしょう。
公理として認めてスタートするか、
認めないとするかを選べばいいだけ。
悩む時間があるなら、どっちかに決めて、
数学を始めた方が有意義。
0444１３２人目の素数さん
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2023/01/20(金) 09:41:28.41ID:A5vIrXQO
決定不能な命題は真であると仮定しても偽であると仮定しても矛盾を導けないので気にする必要はない
0445１３２人目の素数さん
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2023/04/01(土) 10:48:43.51ID:1/gRl0so
＞こんなことでは安心して夜も寝られない。それでも排中律は成り立つと言えるの？
君は排中律の意味が全く理解できていない。
すでにコメントにあるが、決定不能な命題がその理論に存在しても排中律には何の影響も与えない。

理論Tに対して、その理論で決定不能な命題をAとする。
TからはAも￢Aもどちらも証明できないということは、
（1）TにAを加えたT+A
（2）Tに￢Aを加えたT+￢A
という二つの新しい理論が考えられ、そのどちらも矛盾しない。

しかし、排中律が成り立つということは（1）かつ（2）を考えると「Aかつ￢A」となって矛盾する。
ただこれだけのことだ。
0446１３２人目の素数さん
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2023/04/01(土) 11:16:51.79ID:SFuGsu5u
長～い背理法ってウザい
0447１３２人目の素数さん
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2023/04/01(土) 13:09:41.82ID:0oPYJmC1
基礎論バカはまじ不要
0448１３２人目の素数さん
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2023/04/01(土) 13:23:54.15ID:7ziiEkiM
数学バカはもっと不要
0449１３２人目の素数さん
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2023/04/02(日) 15:03:00.34ID:icxGHFsq
>長～い背理法ってウザい
証明の長さに背理法か否かは全く関係がない．
長い証明はうざいかもしれないが，現状その証明しかないのならそれを理解するしかない．
0450１３２人目の素数さん
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2023/04/02(日) 15:05:58.84ID:icxGHFsq
>基礎論バカはまじ不要
>数学バカはもっと不要
確かにバカは不要かもしれんな．

しかし，基礎論や数学に通じている人間は総じてバカではない．
これは他の理学の研究者などでも同じこと．
だから，そんな人間はこの世にほぼいないだろうな．

最もこの世に必要ない連中は，何も学ばずに思い込みで何らかの分野をバカ呼ばわりする本物のバカだけだろう．
0451１３２人目の素数さん
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2023/04/02(日) 15:42:32.72ID:icxGHFsq
>ZFCなら排中律を証明できる
この事実だけなら確か1950年あたりには既に知られているはず．

直感主義論理で解析を実行しようという数学もあるけど，その場合の集合論では選択公理は入れてはいけない．
「Z＋選択公理」を集合論の前提にしてしまうと，論理が直観主義論理でも集合に関する全ての事柄で排中律が成り立ってしまうから，せっかく直観主義論理でやったら古典論理とどう違うのかを考えているのに，古典論理でやったのと区別がつかなくなる．
同じ理由で（普通の）正則性公理を仮定しても排中律が出る．

直観主義的集合論でも選択公理や正則性公理（基礎の公理）の名前は出てくるが，それは通常のZFCのそれらより弱い形のもので別物だ．
0452１３２人目の素数さん
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2023/04/02(日) 15:42:46.97ID:SX50VDhd
本物のバカは希少種
0453１３２人目の素数さん
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2023/04/02(日) 16:08:53.38ID:icxGHFsq
>>411
>直観主義論理の採用しなかつたこととは何かということと
自然演繹（推論）における「否定の導入」という推論規則が別名背理法なんだよ．
そして，背理法の原理はそのままこの否定の導入でもある．
演繹定理があるから否定の導入の推論規則は「公理」の形に書き換えることもできるから，やる意味はないが「対偶の公理」のように「背理法の公理」とすることもできる．

古典論理はこの「否定の導入」だけでなく「排中律」つまり実質は「二重否定の除去」に相当する否定の特徴づけが加えてある．
直観主義論理には否定に関しては「否定の導入」しかない．

理論Γと命題Aを仮定して，それがΓと矛盾する事を示して，¬Aを結論づける論法が背理法（否定の導入に対応）だ．

(1)．Γ,A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よって¬A

対して，最初の仮定をAから¬Aに置き換えたものが

(2)．Γ,¬A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よって¬(¬A)

となる．直観主義論理だと最後の¬(¬A)はAと同じと言い切れないが，古典論理ならおなじになる．

(2’)．Γ,¬A ⊢ P(B,C,D,…）⇛⊥(矛盾)，よってA

そして背理法とは，なんの断りもなければ，(1)，(2’)を自由に扱って良い古典論理の場合の事をさす．
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/02(日) 16:11:57.27ID:icxGHFsq
>>452
希少だが，声がでかいからバカが目立つ．
数学や基礎論に親でも殺されたのかというぐらいにヘイトがあるから真正のバカはすぐ分かる．
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/24(月) 12:44:53.70ID:jbDWs/M5
>>455
基礎論（この場合は証明論）に関する話題で基礎論を排除しようという奴らこそがキチガイ。

料理教室で「料理の先生煩い」と吠えるDQN猿と一緒。
0459１３２人目の素数さん
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2023/05/09(火) 13:33:28.36ID:WePDQ/me
>>453
話の前後関係しらんけど

> 自然演繹（推論）における「否定の導入」という推論規則が別名背理法なんだよ

これは違うだろ
背理法は¬P→⊥からPを結論する
否定の導入はP→⊥から¬Pを結論する
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