背理法不要論ってどうなん?
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天動説と地動説みたいなもの
どちらも正しい場合は、簡潔で理解しやすい方が選ばれる 背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない 背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる >>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな この話、よくわからないのだけど
例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの? 背理法無用論信者による
「√2は無理数」の証明
任意の自然数 a,b につき、
2 * a * a
素因数2の個数が奇数
b * b
素因数2の個数が偶数
よって
2 * a * a ≠ b * b
両辺の平方根を取り
√2 * a ≠ b
√2≠ b / a
のように背理法の逆で証明を進める。 それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の矛盾箇所は極めて単純なものなので、「矛盾するので仮定は偽であった」という文言を排しても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる 訂正
各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので
「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる 背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、
「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」
という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。 背理法だと偽の命題を仮定することになるから
その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので
証明中に偽の命題が出てこない
という点で>>13はアリなのでしょう >>14
一応途中で間違った命題が入ってないんだから、背理法とは別モノでしょう >>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと?使わなくてもできると思うが
もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって 教科書に載ってる√2が無理数であることの証明は背理法ではないらしい
『Q&A数学基礎論入門』 よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話(主張そのものを見れば明らかなことだけど)
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい >>13 の証明方法
ネット上でも叩かれまくり
=でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか?
分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。
などなど カントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ
証明できなかった訳で。数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ >>24
√2の無理数性の証明と対角線論法は背理法といっても違うらしい ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています