背理法不要論ってどうなん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 20:43:44.69

東京理科大の先生頑張ってるけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 20:54:59.29

背理法は不要であると仮定しよう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 21:09:51.93

天動説と地動説みたいなもの
どちらも正しい場合は、簡潔で理解しやすい方が選ばれる

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 00:05:29.45

実用品の計算機だと有限の立場が普通だけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 00:15:31.06

有限の立場は背理法を拒否しません

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 00:26:54.51

自己解決しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 06:43:31.93

まだこれやってたのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 12:10:15.27

背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 18:40:12.19

背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 19:27:25.48

>>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 00:19:12.92

神は不在である

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 06:11:38.40

この話、よくわからないのだけど
例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 09:58:51.04

背理法無用論信者による
「√２は無理数」の証明

任意の自然数 a,b につき、
２ * a * a
　素因数２の個数が奇数
b * b
　素因数２の個数が偶数

よって
２ * a * a ≠ b * b

両辺の平方根を取り
√２ * a ≠ b

√２≠ b / a

のように背理法の逆で証明を進める。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 11:20:15.63

それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の矛盾箇所は極めて単純なものなので、「矛盾するので仮定は偽であった」という文言を排しても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 11:23:49.60

訂正

各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので
「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:24:44.65

背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、

「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」

という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 15:56:02.14

背理法だと偽の命題を仮定することになるから
その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので
証明中に偽の命題が出てこない
という点で>>13はアリなのでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:17:28.20

>>14
一応途中で間違った命題が入ってないんだから、背理法とは別モノでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:39:01.57

>>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと？使わなくてもできると思うが
もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:41:03.20

教科書に載ってる√2が無理数であることの証明は背理法ではないらしい
『Q&A数学基礎論入門』

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:52:51.54

よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話（主張そのものを見れば明らかなことだけど）
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず