コラッツ予想がとけたらいいな その2
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>>750の③からIdrisで直接(∀n::nat. FirstLimited n)を証明できる
目処が立ちました。
パースの法則は使わずに済みそうです。
Isabelleも使わずに済みそうです。
Idrisプログラムを書き上げる事とWikiを手直しする事が必要ですが、
3か月くらいかけてじっくり取り組もうと思います。 テレンスタオ氏によって
コラッツ予想に進展があったみたいですね。 とりあえず出だしだけ見てみた。
この結果は Korec の結果を一般化(厳密にはちょっと違う)したもの。
・Korec の結果
自然数 N を初期値としてコラッツ操作を施して得られる数の最小値を Col_min(N) と書く。(コラッツ予想が正しければ常に Col_min(N)=1)
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < N^θ (ここで θ=(log3)/(log4)) が成り立つ。
「ほとんどすべての」というのは数学用語で、密度というものを使って定義される概念。
密度には種類があり、異なる密度に対しては「ほとんどすべての」の意味が異なる。
Korec が用いたのは natural density (自然密度？) というもの。
・Terence Tao の結果
上の N^θ の部分を一般化したもの。
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすものとする。
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < f(N) が成り立つ。
ただし、Korec とは異なり logarithmic density (対数的密度？) という密度を用いている。 カンタン言うと無限大には多分発散しないよってこと？ じゃなくて必ず元の値より小さくなるよってことだろうか？ Col_minってなんか微妙な表現だな。
Col_minの上限が言えても無限大に発散しないことは言えなくない？ 5ページの (1.8) に現れる数列は割数列(の最初のn項)ですね！
論文では n-Syracuse valuation と名付けられています。
その後「n-Syracuse valuation と n-Syracuse offset map について理解する必要がある。前者のために…」というくだりがあって次の話に続いているようです。
これ割数列がなかなか活躍してるのでは。 >>774
そのとおり。無限大に発散しないことは言えない。
個人的には、この手法を応用して
・ an＋b問題(ただしa≧5)ではほとんどの初期値で発散する
という予想が証明できることを期待したい。
・・・と思ったが、ブログのコメント欄を見てみると、
Tao氏本人が「今回の手法ではムリ」と書いていた。
どんだけ闇が深いんだこの問題ｗ なんか言葉では表せないが、3n+1の抜けがないことを証明出来ないか。
https://i.imgur.com/k3Mk0LT.jpg >777
Excelで書いてみました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/190918/collatzRes777.xlsx
（Downloadボタンを押してください）
ここから先はよく分からないのですが、
3の倍数の×印で全て覆える、という事でしょうか？ >>778
ありがとうございます。
論文を見てそう考えました。
スラッシュしてあるのは前項により固定になっている所です。
それで固定になっていない所の位置変化に注目してます。
2^nになれば収束するので2^nの位置変化と3n+1の箇所が2^nを内包するn^2のシートを使われているかもと考えました。 追記
3n+1がどのような代謝をするか考えると3n+1は初期のn/2は代謝させないで
後半のn/2をすべて代謝させるだけで初期のn/2で深度？がわかるようなそうじゃないような…
https://i.imgur.com/S4Fmyod.jpg >>779
Excel更新しました。......が、あまりうまくいかないです。
3*奇数+1
はn^2正方形の辺上に並ぶかと思いましたが、違うようです。
>>781
OE : (3/2)n+1
が何故3n+1になるか分からないです。 お疲れ様です。
16がうまくいってるだけで正方マスはうまくいかないのかもしれないです。結局変化おこるのが斜めにずれて噛み合ってになるので2^nマスでしか起こらないのかもしれないです。
もうひとつの方なにやら壮大な計算ミスが起こっているようですごめんなさい。 3715
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) なんかワケわからんくなってきた。
コラッツ予想ってどうなれば解けると言えるんだ？ 反例を見つけるか、すべての自然数がコラッツ操作によって１に収束することがいればいい。 整数を代入した表通りに辿ると各整数で計算した値になるからそのままグラフにして座標のもう片方の数字を辿ってみた。
初めの数字はy座標から始めてyxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
x/2だけは逆数でもたどれるからy=2xを介しても良い(逆数を介さなくてもそのまま行ける)
だから座標上の数列3式で全て対応可能だと思うよね。
というか対応可能じゃないと代入しただけだから困るが。
矢印の線は一例 >>790
斜めのx/2介さない方が一貫性あるかなと思うんだが、この法則で1に収束すると言えないかな >>791
う～ん、1に収束するかどうかは何とも言えないですねぇ。
もう少し、1に収束する根拠というか、詳細を書いてもらえないでしょうか。 https://i.imgur.com/MASHMeJ.jpg
なんかこういう感じの式で見たらメルセンヌの素数判定式と同じ類いの証明が出来そうな気がする。
それはコラッツ問題においてはn/2は0が原点となるし、3n+1は(1.0)もしくは(0.1)を取り問題帰着するし、
何処の座標でも合同の距離ベクトルであると言えるから代謝構成も同じと言えないか？
息抜きでかじった程度なので分からんが。 >>793
すぐにはコメントできないですねぇ。
じっくり考えてみます。 移動座標
xyは座標目盛り
40x、20y、10x、5y、16x、8y(真横)、4x
、2y(真横)、1x(END)
は並べかえると、
x:40、10、16、8、4、1
y:20、5、8、2、
ベクトル距離は、
x:-30、6、-12、-2、2
y:-15、3、-6、2、-3
(x.y)=(-19.-36)で初め(40.20)からでENDの読みがXだからyからxを足すと1が出てくるな 5x+1のループを描いてみました。÷2の描き方は変えてあります。
10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, ...
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1um71zmHr1ZBSsfYAbYPPSINeaL4EznCeEFsuv18iqPo/edit?usp=sharing
シート2です。（見づらくてすみません）
3x+1でもこのような可能性があるので、難しいと思いました。 ちょっとかんがえてみるわ
でも5x+1の時は特殊性あって16で限定でx/2に対応する式だと思う。
そういう計算をしてるブログあるしトリガーを16で持たせたと言って過言じゃないと思う
xy対応グラフはn/2と3n+1限定の対応グラフだからトリガーがy=n/2とy=2xとy=x/3-1/3しか対応してない。
それは(-2.-1)の共有点もって無いと対応しない。y=2xの共有点はx/2
逆数なので、x=y 2n+1→6n+4→3n+2
2n+2→n+1
どちらも和は4n+3で同じ
奇数と奇数+1の2つの数を変換しても和は保存された >>799
x=16の直線上に5、8、32は同じ直線上に居るようにxだけ読めればyの値を読むのでちゃんと結ぶよ なるほど。
ちょっと今日分かったとこワードで纏めるわ >>803
なるほど、4本の直線の間をぐるぐるしながら遷移するのですね。
4-2-1ループは例えば、
(2,1)→(4,1)→(4,2)→(1,2)→(1,4)→(2,4)→(2,1)→...
と遷移すれば良いかなと思いました。 >>804
そかそか、見落としとった
1は3n+1か！ コラッツ問題の定義に従えば
y=x,3x+1,x/2の3本の間を
3x+1→x
↑奇数
x
↓偶数
x/2→x
とx軸/y軸方向に行ったり来たりすることで表現できる
これを適宜y=xで反転して
・y=xで曲がらない
・折り返すところを省略
とやってる感じですかねー >>806
逆数の式の線上の座標が経由されてるのがよくわかりませんが、値が保存されるので収束するのがよくわかります。 y=3x+1, y=(1/3)x-(1/3) を奇数ライン
y=2x, y=x/2 を偶数ラインと呼ぶことにすると
奇数ラインからは偶数ラインにのみ移る。
この際、近い方の偶数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインからは奇数ライン、偶数ライン両方に移り得る。
奇数ラインに移るときは上と同様、近い方の奇数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインに移るときは原点に近づく方向に進む。
という動き方になっていますね。
外側で増加、内側で減少を繰り返していることになります。
あと個人的には、奇数に対して「3倍して1を加えて2で割る」までをひとつの操作とした場合どうなるか、というのも気になります。 あ、もう反例や否定意見が出てこないから、
さらに色々またワードに纏めるわ
今度はかなり遅れます。 >>811
次はこのスレの住人なら自分の頭の中を全部吐き出せば何か他の法則が見つかるのかなって感じ。まだ頭の中整理出来てないから1週間位掛かるかも >>809
偶数ラインの外側で増加、内側で減少しているのですね。
それとはちょっと違うかもですが、コラッツ操作で1に辿り着く時は、
『始点=3の倍数の奇数』
『最大点』
『終点=1』
の三つのポイントがあって、
『始点』→『最大点』を<上り>のフロー
『最大点』→『終点』を<下り>のフロー
として遷移するのかなあと思いました。 ちょっと教えてください。
5n+1ではy=2xとなる点は無いの？ >>814
>>803にならえば、
例えば5n+1で1→6→3→16→8→4→2→1→...は、
(2,1)→(6,1)→(6,3)→(16,3)→(16,8)→*(4,8)→(4,2)→
→*(1,2)→(1,6)→*(3,6)→(3,16)→*(8,16)→(8,4)→*(2,4)→(2,1)...
となって、印をつけた点がy=2x上にあります。 >>815
なるほど。ありがとうございます。
それなら3n+1も同一処理になりますね >>766
うまくいきません。
「3か月で完成させる」は撤回します。
現状
----------
(ロ)二つの述語を用意します。
P(d, n) : FirstLimited(d, n) : nの完全割数列は有限長である
Q(d, n) : AllLimited(d, n) : nの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、∀d.∀n.FirstLimited(d, n) です。 ---(a)
(ハ)補題を二つ証明します。
makeFtoA : ∀d.∀n.(∀z.P(d, z) -> (P(d, n) -> Q(d, n)))
makeLimitedDivSeq : ∀d.∀n.(∀z.(P(d, z) -> Q(d, z)) -> P(d, n))
※これは達成できました。
(ニ)
補題を使って、(a)を、相互再帰で証明します。
※ここがうまくいきません。
---------- ベクトルの面積で処理するのかなり難しい
ループするときの数式処理が難しくて結局0ベクトルになるから厳しかった。まだ諦めないけど ベクトルの面積を処理しているのですか。
かなりオリジナリティ溢れる展開ですね。 この場合の面積ってコラッツ問題における何の量を表しているんだろう？ >>820
う～ん、パッとはひらめかないですねー。 ぐちゃぐちゃだけど雰囲気だけとりあえず見てくれ
確定だと思われる所まで貼るよ
結局ループ場合AnとDnはx=yで同じにならんといけないので固定
BnとCnの係数比になるから交点からの面積求めて差分の面積を係数比較したかったけどそこの所は無理っぽさがあった
https://i.imgur.com/Ano9U4v.jpg
https://i.imgur.com/L8fl6Dz.jpg
https://i.imgur.com/20xBG2f.jpg
https://i.imgur.com/JITWi02.jpg 一枚貼れてなかったすまぬ。
それとベクトルの向きと操作は前のは間違ってる。すまん
これが正しい
https://i.imgur.com/JKvfzqw.jpg >>825
ベクトルのところは、以下のように計算するのかな、と思いました。
（何も言えないですけど）
B→C：(0, -3)
C→D：(2, 0)
D→C：(0, 1)
C→B：(-3, 0)
B→A：(0, 2)
A→B：(1, 0)
--------------
総和：(0, 0) >>825
ベクトルじゃなくて座標系スキームやな
あとなんで複素平面の所y/2xなん？
>∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
>arctan(y/2x)+π if x<0 and y>=0
>arctan(y/2x)-π if x<0 and y<0
ここはx/2で見てる訳じゃないので
∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
arctan(y/x)+π if x<0 and y>=0
arctan(y/x)-π if x<0 and y<0
Π/2 if x =0 and y>0
-Π/2 if x =0 and y<0
になると思うで >>826
そうですね！書いてるのベクトルじゃないじゃんってことですよね。ごめんなさい。ただの座標で書いてるのにベクトルって書いてますね。
(2.4)→(2.1)の４→１の時と同じような未知数で増減ループの場合以下となると思ったのでこれにしました。
B→C：(0 , y/3 - 1/3)
C→D：(2x , 0)
D→C：(0 , 2y)
C→B：(y/3 - 1/3 , 0)
B→A：(0 , 2y)
A→B：(2x , 0) >>827
arctan(y/x)+πだと第一象限？全体を示すような気がして...
ｙ＝ｘ/2～ｙ＝2ｘまでを差したい場合はどうしたら...うーむ シンプルに疑問なんだけど、ここでそういうアイディアを書きながら証明するの怖くないの？普通に盗まれる気がするんだけど >>830
自分はこことGitHubに上げてるのですが、
GitHubのソースコードにはライセンスを付けているし、
全ての更新記録と日時が残っているので、
なんとかなるんじゃね?、って感じです。 >>830
自分は数学板に10月頭からまだ心臓部のアイデアを載せていません。
人のアイデアを盗むのと自分のアイデアで書き上げてジャーナルに出すのどっちのほうが正確で早いでしょうか？
ちなみに自分のアイデアは自分の中の解決済みの穴については触れていません。小予想うｐろだから消え得ちゃったし誰も気づかんやろって感じです。 ライバルだなんて////
righ1113さんすなば珈琲でお茶会しましょ//// 嬉しいのですが、
ちょっと遠いです...(*_*) 進展は？
メビウスの輪の二回巻きも普通のメビウスの輪とは違うように8の字型で2重のとかループありそうだけどその辺どうなんだろ >>837
1つの項は最大2つの前項を持つけど次項は常に1つしかないから8の字にはならない >>838
常に一つ？
x/2と3x+1の値が同じ所は分岐するけど2回続いたら4つ取れるよ？
そしたら1つコラッツ数被るんじゃない？ >>839
こういう事だと思いますが、
→・→...→・→
↑ ↑
流入矢印3つ、流出矢印1つなので、
（準）8の字も作れないと思います。 >>839
皆さんの言うとおりコラッツ座標はコラッツ数を1つずつ受けついていくので二重にはなりません
あと継承の構造上2xよりも大きい数枝分かれが起こりません
継承が2重で行われる場合単独のループとなりますから、ループ因子を持ってる事になりますし、4214のループに継承される以外の関数が合同変換される事になります >> 817
割数列を使った証明もうまくいかないので、
自分はコラッツ予想をギブしようと思います。ありがとうございました。
次スレもいらないかな。 >>842
残念です。
お疲れさまでした。
righ1113様に代わりましてBLACKXがお送りします。
次スレは1さんの意向により無しの方向で。
現在次元拡張での証明で書き切り、校正業者に投げてあります。 スレ主また気が向いたら戻って来てな
BLACKX氏、あららもう出しちゃったかい？
もう遅いかもしれんが偏角はどうなった？
座標の移動先についての範囲を決めるならA→B間、B→C間、C→D間の3つ必要になるんじゃないかな。でもそれが1に帰着するか因数が変動するから言えないんじゃない？ VIPから見つけた
どっか間違いあるんじゃないの？
とりあえず乙 複素実数ｚ=x+iyでy=0でｘが偶数だとx/2、xが奇数だと3n+1になるような
関数 z'=f(z)を見つけて（作って）、その関数の挙動を調べる方法はなし？ >>848じゃないけど
f(z)=((3z+1)/2)*(1-cos(πz))+(z/4)*(1+cos(πz))
実際にどこかの文献で使われてたと思う >>848
y→xの場合のみZ'(x)で立てることが出来ますのでx→yの場合をフーリエ変換して複素的にどうぞ。
私のは(clatzX,clatzX')を使ってやってるのでp←qを満たせなくて校正添削の時点でNGだったので諦めましたので是非どうぞ。 現在私は複素アプローチをやめて相似構成でループがないことの幾何学的証明に修正してます。 >>850をテイラー展開すると何か出てきたりするのだろうか？ >>854
近似はするからやってみると良いと思う
俺の頭が空っぽなだけかもしれないけど収束性は言えない気がする。 >>855
wolfram alpha 先生 に教えてもらった。
1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) cos(π z)) = 1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) sum_(k=0)^∞ ((-1)^k π^(2 k) z^(2 k))/((2 k)!))
ここから何か言えるかどうかは全くアイディアなしｗ >>856
ワロタｗあとは任せたって感じだな笑
区間を意識しないといけないのでは？ロルの定理だっけな 一つの数xでなく、範囲で調べるとどうなのだろう
1～2^n-1(2^n個の数)全体を変換して合計がどうなるか なるほど
ループ長がどうなるか計算してみようかな。
セットグループのメッシュが切れるか分からんけど xにコラッツの操作をn回掛けたものを考えたとき
nを実数に拡張するのは可能？ xにコラッツの操作をn回かけたものをcol(x,n)と置いたとき
col(x,a+b)=col(col(x,a),b)
が成り立ってほしいが多分難しいんだろな。。。 例えば多項式なら関数の適用回数の実数拡張可能なのだろうか？
もしそうなら>>856とあわせて何か言えるかも？ 偶数のみ、奇数のみのnなら可能かと思う。だがそしたらkが成り立たないから偶数のみ、奇数のみ、の多項式に分解する必要がある f(x)=2x
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=2^nx
f(x)=3x+1
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=3^nx+Σi=0_(n-1)3^i
=3^nx+(3^n-1)/2
かな g(g(x,a),b)=
g(3^ax+(3^a-1)/2,b)=
3^b(3^ax+(3^a-1)/2)+(3^b-1)/2=
3^(a+b)x+(3^(a+b)-3^b+3^b-1)/2=
3^(a+b)+(3^(a+b)-1)/2=
g(x,a+b)
うまく行ってるっぽい？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
