コラッツ予想がとけたらいいな その2
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覗いてみたらコラッツ展開が注目されてて嬉しい。
コラッツ展開については私も色々考えていますが、>>544で書いた通り 3x+1 に限らず任意の px+q (p,q は奇数) で同様のことができるので、
3x+1 の特殊性をどう出すかが悩みどころ。
>>738
プログラムのことは良くわかりませんが、定理7-2 では 0 の全ての拡張完全割数列が有限項であることを示しているのですか？ >>740
お久しぶりです。
最近プログラムに大きく手を入れたのですが、そこちょっと引っかかっていました。
示せてないです…… 1つ前のバージョンでは、レベルというものを導入していて、
『レベル2の』0の全ての拡張完全割数列が有限項であること
は実際に計算できたので、それを証明としていました。 >>741
やはりそうですか…。
了解です。
ついでに添削
ch01
・コラッツ予想
＞コラッツ操作をおこなう数を 「コラッツ値」 と呼ぶことにする。
既に同じ意味で「初期値」という言葉が使われているので「初期値」で統一してはどうでしょうか。
「コラッツ値」を残すにしても、『初期値のことを「コラッツ値」とも呼ぶ』などと定義した方が意味がはっきりします。
・定義1-1
これも分かりにくいので、
自然数 n を初期値としてコラッツ操作を連続して行ったとき、各操作において 2 で割った回数を並べてできる数列を n の割数列と呼ぶ。
とか。
有限列になる場合、無限列になる場合もここではっきりさせておくべき。
また、「コラッツ列」が未定義なので付け加えるか表現を変えるか。
・定義1-2
＞初期値が3の倍数の…
上で提案した定義に則るなら「初期値が」は不要。
このままにしたければ定義1-1を「初期値が n の割数列」に変更。
・3の倍数だけ調べれば良い
「コラッツ逆操作」が未定義。
ch02
・定義2-1
＞A[6,-4] or B[1,-2]をつける
「つける」では通じないので、
有限または無限数列 [a_1, a_2, a_3, ...] を数列 [6, a_1-4, a_2, a_3, ...] に写す変換を A[6,-4] と書く。
とか。
また、この時点ではまだ完全割数列を完全割数列に写すことが示されていないので、
その旨を削るか、書くとすれば「すぐ後で示すが」などと書き加えた方がいいと思います。
(重要)
・全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる
ある数が完全割数列で表わされる、という文言がそもそもおかしいですが、
なにより 3 の倍数の割数列が完全割数列であるというのは完全割数列の定義そのもので、ここで示されることではありません。。
タイトルを何かしら変えるべきでしょう。ここで示されているのは
「star変換は完全割数列を完全割数列に写す」
「任意の完全割数列は、ある完全割数列にstar変換を施したものとして得られる」
です。 >>743
添削ありがとうございます。
すごく有難いです。 (重要)
ch03
コラッツ値が非負整数にならないものは禁止するのかしないのかはっきりさせて下さい。
禁止するならば、定義3-1は
n≧0 を 3 の倍数とする。整数列 [a_1, a_2, ...] が n の拡張完全割数列であるとは、
ある 3 の倍数 n'≧0 が存在して
・n' の割数列に、0 や負数が現れることも許してstar変換を有限回施すと数列[a_1, a_2, ...] が得られ、かつ
・n' に対応するコラッツ値の変換を施すと n が得られる
を満たすことを言う。
ってところですかね。
(重要)
ch04
「拡張コラッツ予想」とありますが、これは操作を定義しているだけで予想になっていません。
「拡張コラッツ操作」などと呼ぶべきでしょう。また、ここでも「1回の操作」をはっきり定義しておくといいでしょう。
拡張コラッツ予想とは
任意の拡張完全割数列は有限項である。
とかでしょうか。
あとはプログラムが分からないのでパスで >>743
プログラムを変更して、
帰納法のbase caseは、『（拡張でない）完全割数列が有限項』を示せば良いようにしました。
0の完全割数列は[]と定義するので、有限項です。 GitHubのWikiとprogram3は直しかけです。
証明の流れは以下です。
①まず、二つの述語を用意します。
FirstLimited x ： xの完全割数列は有限長である
AllLimited x ： xの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
②次に、パースの法則の述語論理版を用意します。
"∀x::nat. ￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
-> (∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
-> P x"
これは定理証明支援系Isabelleで自動証明したので間違いないと思います。
③(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
のP, QにFirstLimited, AllLimitedを代入したものを証明します。
無限降下法はやめて、整礎帰納法を使います。
④ (x -> FirstLimited x -> AllLimited x) は、排中律により真か偽のどちらかです。
・真の場合
これと③を使って(a)が証明できます。
・偽の場合
これと③とパースの法則を使って(a)が証明できます。 >>750
> 示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
？？？
x は単なる自然数でしょ？ なのに、x -> ・・・ と含意命題の仮定部に出て来るとは？？？
示したい命題って、AllLimited x -> FirstLimited x ですか？ となると④の命題は
任意の自然数xに対して「FirstLimited x ならば AllLimited x」
ですか。
②は
命題 -> 命題 -> 命題
の形になってるけどどういう意味？ ②は
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
です。 ＞ 命題 -> 命題 -> 命題
は、
十分条件1 -> 十分条件2 -> 命題
と書いても良いと思います。 A -> B -> C は
・「A ならば B」かつ「B ならば C」
・「A ならば B」ならば C
・A ならば 「B ならば C」
のどれかかと思ったけど
・「A かつ B」ならば C
ってこと？ あ、それとも
・「A または B」ならば C
ですか？ >>756
・A ならば 「B ならば C」
です。
（右結合といいます） 分かりました。
あとは③の証明がちゃんとできてるかどうかですね。 >>752
はぁ～、依存型サポートしてる関数プログラミング言語のIdris独特の記法なのね、、、 >>754の記号を使うと、②は
α：￢A
β：A -> B
の形をしていて、α が真なら β も常に真、したがって β があってもなくても変わらない
となってしまっているように見えますが、これも括弧の書き方のせいですかね。 >>762
>>754は間違いでした。
自分が不用意に括弧を付け足したせいです。
(Isabelleも>>754にはNGを返します)
正しくは以下です。
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
しかしこれだと、βに(∀z::nat. (P z -> Q z))を渡せないので、
コラッツ予想の証明には使えません。 ②のαを少し変えて
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：(∀z::nat. ￢(P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
とすると、IsabelleもOKを返します。
これを使って上手いこと出来ないか考え中です。 >>750の③からIdrisで直接(∀n::nat. FirstLimited n)を証明できる
目処が立ちました。
パースの法則は使わずに済みそうです。
Isabelleも使わずに済みそうです。
Idrisプログラムを書き上げる事とWikiを手直しする事が必要ですが、
3か月くらいかけてじっくり取り組もうと思います。 テレンスタオ氏によって
コラッツ予想に進展があったみたいですね。 とりあえず出だしだけ見てみた。
この結果は Korec の結果を一般化(厳密にはちょっと違う)したもの。
・Korec の結果
自然数 N を初期値としてコラッツ操作を施して得られる数の最小値を Col_min(N) と書く。(コラッツ予想が正しければ常に Col_min(N)=1)
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < N^θ (ここで θ=(log3)/(log4)) が成り立つ。
「ほとんどすべての」というのは数学用語で、密度というものを使って定義される概念。
密度には種類があり、異なる密度に対しては「ほとんどすべての」の意味が異なる。
Korec が用いたのは natural density (自然密度？) というもの。
・Terence Tao の結果
上の N^θ の部分を一般化したもの。
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすものとする。
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < f(N) が成り立つ。
ただし、Korec とは異なり logarithmic density (対数的密度？) という密度を用いている。 カンタン言うと無限大には多分発散しないよってこと？ じゃなくて必ず元の値より小さくなるよってことだろうか？ Col_minってなんか微妙な表現だな。
Col_minの上限が言えても無限大に発散しないことは言えなくない？ 5ページの (1.8) に現れる数列は割数列(の最初のn項)ですね！
論文では n-Syracuse valuation と名付けられています。
その後「n-Syracuse valuation と n-Syracuse offset map について理解する必要がある。前者のために…」というくだりがあって次の話に続いているようです。
これ割数列がなかなか活躍してるのでは。 >>774
そのとおり。無限大に発散しないことは言えない。
個人的には、この手法を応用して
・ an＋b問題(ただしa≧5)ではほとんどの初期値で発散する
という予想が証明できることを期待したい。
・・・と思ったが、ブログのコメント欄を見てみると、
Tao氏本人が「今回の手法ではムリ」と書いていた。
どんだけ闇が深いんだこの問題ｗ なんか言葉では表せないが、3n+1の抜けがないことを証明出来ないか。
https://i.imgur.com/k3Mk0LT.jpg >777
Excelで書いてみました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/190918/collatzRes777.xlsx
（Downloadボタンを押してください）
ここから先はよく分からないのですが、
3の倍数の×印で全て覆える、という事でしょうか？ >>778
ありがとうございます。
論文を見てそう考えました。
スラッシュしてあるのは前項により固定になっている所です。
それで固定になっていない所の位置変化に注目してます。
2^nになれば収束するので2^nの位置変化と3n+1の箇所が2^nを内包するn^2のシートを使われているかもと考えました。 追記
3n+1がどのような代謝をするか考えると3n+1は初期のn/2は代謝させないで
後半のn/2をすべて代謝させるだけで初期のn/2で深度？がわかるようなそうじゃないような…
https://i.imgur.com/S4Fmyod.jpg >>779
Excel更新しました。......が、あまりうまくいかないです。
3*奇数+1
はn^2正方形の辺上に並ぶかと思いましたが、違うようです。
>>781
OE : (3/2)n+1
が何故3n+1になるか分からないです。 お疲れ様です。
16がうまくいってるだけで正方マスはうまくいかないのかもしれないです。結局変化おこるのが斜めにずれて噛み合ってになるので2^nマスでしか起こらないのかもしれないです。
もうひとつの方なにやら壮大な計算ミスが起こっているようですごめんなさい。 3715
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) なんかワケわからんくなってきた。
コラッツ予想ってどうなれば解けると言えるんだ？ 反例を見つけるか、すべての自然数がコラッツ操作によって１に収束することがいればいい。 整数を代入した表通りに辿ると各整数で計算した値になるからそのままグラフにして座標のもう片方の数字を辿ってみた。
初めの数字はy座標から始めてyxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
x/2だけは逆数でもたどれるからy=2xを介しても良い(逆数を介さなくてもそのまま行ける)
だから座標上の数列3式で全て対応可能だと思うよね。
というか対応可能じゃないと代入しただけだから困るが。
矢印の線は一例 >>790
斜めのx/2介さない方が一貫性あるかなと思うんだが、この法則で1に収束すると言えないかな >>791
う～ん、1に収束するかどうかは何とも言えないですねぇ。
もう少し、1に収束する根拠というか、詳細を書いてもらえないでしょうか。 https://i.imgur.com/MASHMeJ.jpg
なんかこういう感じの式で見たらメルセンヌの素数判定式と同じ類いの証明が出来そうな気がする。
それはコラッツ問題においてはn/2は0が原点となるし、3n+1は(1.0)もしくは(0.1)を取り問題帰着するし、
何処の座標でも合同の距離ベクトルであると言えるから代謝構成も同じと言えないか？
息抜きでかじった程度なので分からんが。 >>793
すぐにはコメントできないですねぇ。
じっくり考えてみます。 移動座標
xyは座標目盛り
40x、20y、10x、5y、16x、8y(真横)、4x
、2y(真横)、1x(END)
は並べかえると、
x:40、10、16、8、4、1
y:20、5、8、2、
ベクトル距離は、
x:-30、6、-12、-2、2
y:-15、3、-6、2、-3
(x.y)=(-19.-36)で初め(40.20)からでENDの読みがXだからyからxを足すと1が出てくるな 5x+1のループを描いてみました。÷2の描き方は変えてあります。
10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, ...
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1um71zmHr1ZBSsfYAbYPPSINeaL4EznCeEFsuv18iqPo/edit?usp=sharing
シート2です。（見づらくてすみません）
3x+1でもこのような可能性があるので、難しいと思いました。 ちょっとかんがえてみるわ
でも5x+1の時は特殊性あって16で限定でx/2に対応する式だと思う。
そういう計算をしてるブログあるしトリガーを16で持たせたと言って過言じゃないと思う
xy対応グラフはn/2と3n+1限定の対応グラフだからトリガーがy=n/2とy=2xとy=x/3-1/3しか対応してない。
それは(-2.-1)の共有点もって無いと対応しない。y=2xの共有点はx/2
逆数なので、x=y 2n+1→6n+4→3n+2
2n+2→n+1
どちらも和は4n+3で同じ
奇数と奇数+1の2つの数を変換しても和は保存された >>799
x=16の直線上に5、8、32は同じ直線上に居るようにxだけ読めればyの値を読むのでちゃんと結ぶよ なるほど。
ちょっと今日分かったとこワードで纏めるわ >>803
なるほど、4本の直線の間をぐるぐるしながら遷移するのですね。
4-2-1ループは例えば、
(2,1)→(4,1)→(4,2)→(1,2)→(1,4)→(2,4)→(2,1)→...
と遷移すれば良いかなと思いました。 >>804
そかそか、見落としとった
1は3n+1か！ コラッツ問題の定義に従えば
y=x,3x+1,x/2の3本の間を
3x+1→x
↑奇数
x
↓偶数
x/2→x
とx軸/y軸方向に行ったり来たりすることで表現できる
これを適宜y=xで反転して
・y=xで曲がらない
・折り返すところを省略
とやってる感じですかねー >>806
逆数の式の線上の座標が経由されてるのがよくわかりませんが、値が保存されるので収束するのがよくわかります。 y=3x+1, y=(1/3)x-(1/3) を奇数ライン
y=2x, y=x/2 を偶数ラインと呼ぶことにすると
奇数ラインからは偶数ラインにのみ移る。
この際、近い方の偶数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインからは奇数ライン、偶数ライン両方に移り得る。
奇数ラインに移るときは上と同様、近い方の奇数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインに移るときは原点に近づく方向に進む。
という動き方になっていますね。
外側で増加、内側で減少を繰り返していることになります。
あと個人的には、奇数に対して「3倍して1を加えて2で割る」までをひとつの操作とした場合どうなるか、というのも気になります。 あ、もう反例や否定意見が出てこないから、
さらに色々またワードに纏めるわ
今度はかなり遅れます。 >>811
次はこのスレの住人なら自分の頭の中を全部吐き出せば何か他の法則が見つかるのかなって感じ。まだ頭の中整理出来てないから1週間位掛かるかも >>809
偶数ラインの外側で増加、内側で減少しているのですね。
それとはちょっと違うかもですが、コラッツ操作で1に辿り着く時は、
『始点=3の倍数の奇数』
『最大点』
『終点=1』
の三つのポイントがあって、
『始点』→『最大点』を<上り>のフロー
『最大点』→『終点』を<下り>のフロー
として遷移するのかなあと思いました。 ちょっと教えてください。
5n+1ではy=2xとなる点は無いの？ >>814
>>803にならえば、
例えば5n+1で1→6→3→16→8→4→2→1→...は、
(2,1)→(6,1)→(6,3)→(16,3)→(16,8)→*(4,8)→(4,2)→
→*(1,2)→(1,6)→*(3,6)→(3,16)→*(8,16)→(8,4)→*(2,4)→(2,1)...
となって、印をつけた点がy=2x上にあります。 >>815
なるほど。ありがとうございます。
それなら3n+1も同一処理になりますね >>766
うまくいきません。
「3か月で完成させる」は撤回します。
現状
----------
(ロ)二つの述語を用意します。
P(d, n) : FirstLimited(d, n) : nの完全割数列は有限長である
Q(d, n) : AllLimited(d, n) : nの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、∀d.∀n.FirstLimited(d, n) です。 ---(a)
(ハ)補題を二つ証明します。
makeFtoA : ∀d.∀n.(∀z.P(d, z) -> (P(d, n) -> Q(d, n)))
makeLimitedDivSeq : ∀d.∀n.(∀z.(P(d, z) -> Q(d, z)) -> P(d, n))
※これは達成できました。
(ニ)
補題を使って、(a)を、相互再帰で証明します。
※ここがうまくいきません。
---------- ベクトルの面積で処理するのかなり難しい
ループするときの数式処理が難しくて結局0ベクトルになるから厳しかった。まだ諦めないけど ベクトルの面積を処理しているのですか。
かなりオリジナリティ溢れる展開ですね。 この場合の面積ってコラッツ問題における何の量を表しているんだろう？ >>820
う～ん、パッとはひらめかないですねー。 ぐちゃぐちゃだけど雰囲気だけとりあえず見てくれ
確定だと思われる所まで貼るよ
結局ループ場合AnとDnはx=yで同じにならんといけないので固定
BnとCnの係数比になるから交点からの面積求めて差分の面積を係数比較したかったけどそこの所は無理っぽさがあった
https://i.imgur.com/Ano9U4v.jpg
https://i.imgur.com/L8fl6Dz.jpg
https://i.imgur.com/20xBG2f.jpg
https://i.imgur.com/JITWi02.jpg 一枚貼れてなかったすまぬ。
それとベクトルの向きと操作は前のは間違ってる。すまん
これが正しい
https://i.imgur.com/JKvfzqw.jpg >>825
ベクトルのところは、以下のように計算するのかな、と思いました。
（何も言えないですけど）
B→C：(0, -3)
C→D：(2, 0)
D→C：(0, 1)
C→B：(-3, 0)
B→A：(0, 2)
A→B：(1, 0)
--------------
総和：(0, 0) >>825
ベクトルじゃなくて座標系スキームやな
あとなんで複素平面の所y/2xなん？
>∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
>arctan(y/2x)+π if x<0 and y>=0
>arctan(y/2x)-π if x<0 and y<0
ここはx/2で見てる訳じゃないので
∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
arctan(y/x)+π if x<0 and y>=0
arctan(y/x)-π if x<0 and y<0
Π/2 if x =0 and y>0
-Π/2 if x =0 and y<0
になると思うで >>826
そうですね！書いてるのベクトルじゃないじゃんってことですよね。ごめんなさい。ただの座標で書いてるのにベクトルって書いてますね。
(2.4)→(2.1)の４→１の時と同じような未知数で増減ループの場合以下となると思ったのでこれにしました。
B→C：(0 , y/3 - 1/3)
C→D：(2x , 0)
D→C：(0 , 2y)
C→B：(y/3 - 1/3 , 0)
B→A：(0 , 2y)
A→B：(2x , 0) >>827
arctan(y/x)+πだと第一象限？全体を示すような気がして...
ｙ＝ｘ/2～ｙ＝2ｘまでを差したい場合はどうしたら...うーむ シンプルに疑問なんだけど、ここでそういうアイディアを書きながら証明するの怖くないの？普通に盗まれる気がするんだけど >>830
自分はこことGitHubに上げてるのですが、
GitHubのソースコードにはライセンスを付けているし、
全ての更新記録と日時が残っているので、
なんとかなるんじゃね?、って感じです。 >>830
自分は数学板に10月頭からまだ心臓部のアイデアを載せていません。
人のアイデアを盗むのと自分のアイデアで書き上げてジャーナルに出すのどっちのほうが正確で早いでしょうか？
ちなみに自分のアイデアは自分の中の解決済みの穴については触れていません。小予想うｐろだから消え得ちゃったし誰も気づかんやろって感じです。 ライバルだなんて////
righ1113さんすなば珈琲でお茶会しましょ//// 嬉しいのですが、
ちょっと遠いです...(*_*) 進展は？
メビウスの輪の二回巻きも普通のメビウスの輪とは違うように8の字型で2重のとかループありそうだけどその辺どうなんだろ >>837
1つの項は最大2つの前項を持つけど次項は常に1つしかないから8の字にはならない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
