コラッツ予想がとけたらいいな　その2

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/10(木) 22:10:23.74

コラッツ予想に挑戦するスレです。

前スレ　コラッツ予想がとけたらいいな
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/

>>1の証明（未検証）
https://github.com/righ1113/collatzProof

それより弱い成果もあります（未検証）
コラッツのループはあるとしてもとても長い
https://github.com/righ1113/collatzLongLoop

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 00:58:06.31

あとは方程式 (a)～(d) の解の存在を示せばよい。
とりあえずここまで。

前にもあったけど、こうやって代数方程式に帰着できたのは個人的に面白いと思った。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/20(日) 03:49:10.15

ところで流れと関係ない質問ですが、
プログラムの3のところを5に変えたら、
5x+1問題を論じている事になりますか？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 09:48:45.09

>>55
なると思います。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 16:32:50.23

>>53の続き

補題4
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
は、(Z/pZ)* に解を持つ。

証明
以下、≡ を＝で書くことにし、「mod p」は省略する。
まず (a) を考える。方程式は
　y^2-x^2=1
　(y+x)(y-x)=1
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/t である。
y+x=t
y-x=1/t
を x,y について解くと、x=(t^2-1)/(2t), y=(t^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、t^2-1≠0, t^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (a) の解になる。
t^2-1=0 となる t は t=±1 の2個。
t^2+1=0 となる t は存在しない (p≡3 (mod 4) より)。
よって、(a) は p-3 個の解を持つ。

次の方程式に移る前に、(a) の解に現れる x が何通りかを見ておく。
(x,y)=(x0,y0) をひとつの解とすると (x,y)=(x0,-y0) も解であり、
x0 を固定したとき対応する y は ±y0 しかない (y について 2 次方程式だから)。
よって、p-3 個の解には同じ x が2回ずつ現れるので、
x は (p-3)/2 通り。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 16:33:24.36

(b) x^2+1=λy^2 について考える。
(a) の解に現れる x は (p-3)/2 通りであった。
これはすなわち、x^2+1 が 0 でない平方数となるような x は (p-3)/2 通りあるということに他ならない。
x^2+1 は 0 にならないので、残りの (p-1)-(p-3)/2=(p+1)/2 個の x に対しては
x^2+1 は平方数でない数になる。
このとき x^2+1∈A2, したがって補題1より、ある y で x^2+1=λy^2 が成り立つ。
これは (b) の解である。
((b) の解が p+1 個であることも分かる)

(c)も(b)と同様に考えられる。
(a) の解に現れる y は、x と同様に (p-3)/2 通り。
したがって、y^2-1 が 0 でない平方数となるような y は (p-3)/2 通りある。
y^2-1 は y=±1 のとき 0 になるので、これも除いて残りの (p-1)-2-(p-3)/2=(p-3)/2個の y に対しては
y^2-1 は平方数でない数になる。
あとは (b) と同様に λx^2+1=y^2 の解を得る。
((c) の解は p-3 個ある)

(d)は(a)と同様に計算できる。方程式は
　y^2-x^2=1/λ
　(y+x)(y-x)=1/λ
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/(λt) である。
y+x=t
y-x=1/(λt)
を x,y について解くと、x=(λt^2-1)/(2λt), y=(λt^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、λt^2-1≠0, λt^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (d) の解になる。
λt^2-1=0 となる t は存在しない (λが平方数でないから)。
λt^2+1=0 となる t は 2 個 (-1,λが共に平方数でないから、-1/λ は平方数)。
よって、(d) は p-3 個の解を持つ。□

補題3,4によって以下が示された。

定理
p が 5 以上の素数で、Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) であるとき、
n=p, k=1,…p-1 の場合に予想が成り立つ。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 16:36:22.12

あ、あと訂正。
>>43で「指数1, mod 3 で 1」の欄に 131 があるけど、
131 は「指数1, mod 3 で 2」の欄でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 17:38:06.32

ぬおー複雑すぎてついていくのがしんどいorz
平方数がどうとかいうのは群論でも普通によく使われるテクニックなんですか？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/20(日) 18:16:56.14

>>60
群論というより、どちらかというと整数論ですかね。
少なくとも自分はよく使います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 22:31:52.19

>>1は理解できてる？
基本このスレには3人しかいないから俺がだめなら>>1しかいない。。。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/21(月) 01:21:10.42

>>62
いや～4割ぐらいっすねー

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:37:31.44

とりあえず、この場合の平方数というのは

可換体 K の乗法群 K* の部分集合 {x2 | x ∈ K} （直積集合と紛れるおそれのないときには
これを (K*)2 などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。（wikipediaより）

であってますかね？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/21(月) 21:02:18.85

>>64
あってます。
Z/pZ の場合は「平方剰余」という呼ばれ方をすることが多いですが、
私は「平方数」の方が慣れているのでそうしました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 21:25:13.58

誠に申し訳ないが乗法群の説明がwikiじゃよくわからんorz.
むかし学校で習ったような気もするがあまりに昔の話で記憶が霞んでるorz.

とりあえずこのページ見つけたけどこれでいい？
https://math-note.xyz/algebra/basis-of-algebra/

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/21(月) 21:59:04.76

>>66
>>51で扱っているものは「環の乗法群」あるいは「体の乗法群」というもので
そこには載ってないですね…

乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
Z/nZ の場合、これは 0 から n-1 のうちで n と互いに素な数だけを集めたものになります。
したがって、
Z/pZ の乗法群は {1,2,...,p-1}
Z/3pZ の乗法群は 3 の倍数でも p の倍数でもない元全体の集合
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 22:24:15.94

>>67
おお、ありがとうございます。
群に関して解説しているお勧めページありましたら教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 22:54:59.90

あ～すいません。
群じゃなくて環、体なんですかね？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/21(月) 23:20:03.77

有名ですけどこの辺りとか

物理のかぎしっぽ - 代数学
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8

群、環、体について基本的なことが載っています。
Z/nZ の話に絞れば、例えば

Excel VBA 数学教室 - 数学辞典 - 整数論入門講座
http://excelmath.atelierkobato.com/kosiki/elementary-number/

この辺りも詳しそうです。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/21(月) 23:34:55.13

ざっと見たところ、上記のサイトには
>>52で用いた直積の話 ((Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型) が載ってなさそうです。
探したらこれに載ってました。

http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2016/08.pdf
(学習院大学の講義資料)

講義資料一覧はこちらから見られるようです。
http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 23:45:47.55

ありがとうございます。
1から勉強だなこりゃ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 20:15:30.49

私が勉強追いつくのは結構時間かかると思うのでスレは自由に進めてくださいねｗ

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/22(火) 23:49:30.33

>>73
まあこちらもそんなに大きな進展はないですけどね。

>>11の②の場合 (n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3)) で
k=0 だけ抜けてるのをやはり何とかしたいので考え中。

まだ証明はできてませんが、この場合ほとんどの p ではアルゴリズムが C で終わりそうです。
実際、200 以下の出力では n=13 を除いて全ての場合でアルゴリズムが C で終わっています。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/23(水) 00:52:33.04

一旦理屈をすっ飛ばしますが、
n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3) で k=0 のとき、
とりあえず以下の方法で検証できることが分かりました。

(1) 縦２マス横 (p-1)/2 マスのマス目を考え、図のように３色で塗り分ける。
https://i.imgur.com/D3N6fXO.jpg

(2) Z/pZ における数列 {a[n]} を
a[1]=(2p+1)/3
a[n+1]=4a[n]+1　(n≧2)
で定義し、図のようにマス目に添える。
https://i.imgur.com/3goOSBZ.jpg

※ {a[n]} の一般項は ((2p+2)4^(n-1)-1)/3 である。

※ a[n+(p-1)/2] ≡ a[n] (mod p) が成り立ち、周期的な数列となる。

(3) a[i] が Z/pZ で平方数であればその列の下側のマスに印をつける。
そうでなければ上側のマスに印をつける。
https://i.imgur.com/5H1VKGX.jpg

(4) ３色とも少なくとも１つのマスに印がついていれば予想が成り立つ。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/23(水) 00:56:44.28

あ、>>75の(4)は「予想が成り立つ」より「アルゴリズムが C で終わる」の方が適切です。

n=13 の場合、次のような結果になります。
https://i.imgur.com/4grIMIw.jpg
黄色マスに印がつかないので、アルゴリズムは C で終わりません。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/23(水) 01:21:25.86

プログラムでイレギュラーを見つけました。

プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての3a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。

詳しい説明は今晩します。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/23(水) 01:31:18.18

正確にはこうです。

プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、19a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての19a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 12:01:38.73

　整数論関係で盛り上がっているところで申し訳ないのだが、
二進数表記で ON ビットが二個以上連結すると、
上（偶数に向かうシークエンス）というのが、
ON ビット n に対して n - 1 個連続する。

　２の倍数を XY 座標のの X に取るとすると、
偶数は、「２で割る」操作のどっかでシークエンスに引っかかる
（つーか、奇数になる）。

　コラッツ操作がカオティックな挙動をするというのは、
「３ｎ＋１の結果が奇数でありつづける」（つまり、下位のビットが
ON でありつづける）と、「２で割り続ける」と、「偶数は割り続けると、
どこかで奇数になる」という、周期３のループに引っかかっている
せいではないかという気がしてきた。

　「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。

　つーことは、「下位がオンビットの値（奇数）で受けとめきれない」
偶数があるかどうか、みたいな話になりそうな気がする。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/23(水) 19:18:42.10

>>79
>　「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
>（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。
詳しく知りたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 20:35:47.24

>>80
　メルセンヌ数（2^n - 1）は、たぶん奇数である。

　とはいえ、2^0 - 1 は 1 - 1 なので、「0 は偶数だ」という反論はあると思う。

　これくらいのネタを振っておかないと、数学関係では馬鹿にされるので、とりあえず。

　すべての「“メルセンヌ数”ではない、4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）、かつ 11 （1 + 2 + 8）以上の自然数」は、

　(2^p - 1) + 2^p + (2^( p + 2) × q)

で表される。なんでかというと、二進法で表したときに、「二個以上の 1 と 0 のあと（つーか、上位）に、 0 のみではないビット列が並んでいる」からだ。

　そこに、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」を繰り返すと、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の部分に「三倍して２を足す」操作を p 回繰り返すのと同じことになる。

　その間、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の桁数が増えた結果、そのビット列に p 個以上の 1 が現れて、元の p よりも数が増えると、これは発散してしまう恐れがある。

　実際に、それらしい例はある。 31 の場合、31 - 47 - 71 - 107 - 161 の列から 319 - 479 - 719 - 1079 - 1619 - 2029 を経る場合がある。

　ただ、これが「無限に連鎖するか？」という話になると、「メルセンヌ素数は無限に存在するか？」みたいな話になるので、「今のところ、わからん」と言うしかない。

　とりあえず、「すべての自然数が、コラッツ操作によって p と q の網（木）に引っかかるか？」を考えている。

　ただ、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」の回数は、 p を超えることはないことが判っている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 20:40:42.01

×　> そのビット列に p 個以上の 1 が現れて
〇　> そのビット列に p 個以上連続した 1 が現れて

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 20:43:34.27

あかん。
>> 4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）
は余計だった。すまぬ。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/23(水) 21:07:48.22

>>81
なるほど。下位の連続した1のビットに注目しているのですね。
自分もコラッツパターンで考えていました。
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/touch/20120514/1336979899

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 21:36:38.24

お、新人さんかい？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/24(木) 00:50:30.75

>>77>>78
これ気になるんで詳細待ってます。
正常に動いていれば Nothing 以外も出てくるはずですが…

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/24(木) 01:01:12.08

>>86
すいません今晩はムリでした(>_<)

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/24(木) 01:22:11.96

>>87
さいですか。
まあ、気長に待ちますんでお気になさらず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 10:37:42.13

　また通りすがりのプログラマが覗きにきました。お邪魔します。

　「奇数 →（奇数 →）６で割って２余る偶数 → 奇数」

というループに乗っていないのは１だけ。

　「奇数 → 偶数」というルートを通らないのは２の冪乗数だけ。

　それ以外で、“ループではない”「奇数 → ６で割って２余る偶数 → 奇数」という
“ルート”に乗って“いる”のは２の冪乗のうち「６で割って２余る偶数」だけ。

　つまり、ここから先は、上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいい。

　ここからは、単純に上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいいような気がする。

　このあたりから始めて、「コラッツ操作を根っこのほうから逆に辿って、
枝がどう伸びているか」を逆に辿ってみようとしているのだが、
辿ってみた結果をどう整理したらいいのかが、正直わからん。484 と 485 とか、
変なところでニアピンしてる奴がいるんだよなぁ（どっちも３ステップ後に
182 を通る）。

　これは三次元表示とかを考えたほうがいいのかね？　映像として見ることで、
なんかしらの法則性が見えてくるということもあるわけだし。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/24(木) 17:50:33.60

>>89
「6で割って2余る数」か「奇数」かたっぽだけ調べれば良いような気がします。

画像表示はカオティックなものしか得られずにう～ん……という感じです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 19:31:53.90

>>90
確かにカオスって「断面」で見るからそういう感じはするんだよね orz
つーても一次元で見ても傾向がわからんような気が。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/24(木) 19:35:11.39

>>88
お待たせしました。プログラムとログです。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84bx%2B1

19x+1でn=7は、
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
です。最初の二つは問題ないです。
最後がC'でオールNothingとなり、C''でカラになります。ここで止めました。

どこかプログラムがバグってるんですかね。
自分はてっきり、これが無限走行へ至る道かと思ったのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 19:40:13.49

漏れは航空宇宙工学科出身なので
「可視化」っつーのは重要だとは思ってるんだけど、
カオス系のように「見えたからって、なんも解決せん」とか、
f^-1 ゆらぎのように「実際に計測してみたら、単なる
対数分布だった」（ラーメンの汁に浮いてる油滴なんかがそう）とか、
ハズレが多いのは分かってるんだが ……
なんかしら別視点に期待する部分はあると思われ。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/24(木) 20:30:26.05

>>92
>>86は B の段階で全て Nothing になったのだと勘違いしていました
ちゃんと見てみます。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/24(木) 20:34:17.94

ああすみません。
>>78の書き方が悪かったです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 20:52:34.74

可視化はいいけどどうやって可視化するかはアイディアあんのか？
３次元表示だけじゃ具体性に乏しい。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/24(木) 21:45:42.25

>>92
とりあえずこの出力結果は間違ってなさそうです。
詳細は後ほど。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/24(木) 22:08:44.37

おお~~

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 22:53:57.29

>>97
新展開ですか？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/25(金) 00:00:11.96

出力結果が正しいことの説明もしたいところですが、その前に別の話を。

まず一応誤解のないように言っておきますが、
この結果から即座に「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけられません。

ここで「コラッツ予想の 19n+1 版」とはそもそもなんなのかを考えなければなりませんが、
ここでは
「木を同様に定義したとき、自然数全体の集合が一つの木となる」
というものだとします。
（先行研究は特に知りません。情報があれば教えてください。）

今回の結果の意義について述べるために、改めてコラッツ操作についてまとめます。
一般化して、奇数 k を固定して「奇数は k 倍して 1 を加える」というルールだとします。

操作1：奇数に k をかけて 1 を加える。
操作2：偶数を 2 で割る。
操作3：mod k で 1 であるような偶数から 1 を引いて k で割る。
操作4：数に 2 をかける。

操作1,2 を「コラッツ操作」、操作3,4 を「コラッツ逆操作」と呼ぶことにします。

どんな数から始めても、操作1～4の繰り返しで目的の数にたどり着けるか、というのが（一般化された）コラッツ予想。
この「目的の数」を mod n で考えたものが私の予想です。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/25(金) 00:01:05.77

で、お気づきかもしれませんが、現在のアルゴリズムはコラッツ逆操作しか考えていません。
これが「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけらない理由です。
（コラッツ逆操作しか考えていない理由は、これだけでもさしあたってうまくいっていたことと、コラッツ操作まで考えると一気に複雑さが増すことということです）
（逆操作だけというのはかなり制限しているように見えますが、実はそれほどでもありません。また今度話します。）

今回の結果についてですが、
まず出力結果にある C' は「mod 133(=7*19) で 2 のべきである数の集合」になります。（これもまた今度）
このことから今回の結果を次のように述べることができます。

定理
コラッツ予想の 19n+1 版を考える。
このとき、mod 133 で 2 のべきである数からコラッツ逆操作を繰り返しても、
mod 133 で 2 のべきである数以外は得られない。

これはちょっと予想外でした。
3n+1 では今までコラッツ逆操作だけでうまくいってたけど、
そのうちコラッツ操作も考えなきゃいけなくなるかもしれない…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/25(金) 05:24:49.37

>>96
n が 127 以下については、手で描いてみた（A4 の 5mm 方眼紙四枚とか）。
以前誰かが書いてたように、「場合分けが面倒臭いことに
なって手に負えなくなる」という感じのある錯綜したケース
（確かに127 以下はけっこうややこしい）を脱して
ある程度規則性が見えてくるのは、ここより先
（255 とか 1023 とか 2047 とか）らしいんだよね。
そうすると、もう手描きだと追いつかなくなるのと、関係が錯綜して
見づらくなる（つーか、局所的な関係はわかるんだが、全体像が
把握できなくなる）ので、「２で割る」「３n + 1 して 2 で割る」
「その数の大きさ」みたいに次元を分けて空間的に散らばらせて、
ぐるっと見渡せれば何かわかるかな、と。
乱数の品質とかも、二次元空間にマッピングすると「あ、この
アルゴリズムだと、品質悪いな」とか判ったりするじゃん？
あんな感じ。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/25(金) 22:16:46.77

>>100-101
う～む、そんなに単純ではないのですね。

ちなみに、
コラッツ予想の19n+1版において
7で割って
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
これは言えるのでしょうか？

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/25(金) 23:19:00.95

>>103
それが言えちゃうとまさに「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」になっちゃいます。

・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
これはプログラムによって証明できていますが、

・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
こっちは証明できていません。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/25(金) 23:32:11.70

なるほど～失礼しましたー

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/25(金) 23:45:29.86

しかし実際問題として19n+1版の反例というのはそんなに簡単には見つからないものなんですか？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/26(土) 00:04:16.67

>>106
bn+1版でbが大きくなると、遷移の上昇幅も大きくなるから、無限大に発散する可能性は高くなると思います。
適当にプログラムを走らせて、どんどん大きくなっていくようなら、この初期値は無限大に発散する可能性が高い、とは言えると思います。
「無限大に発散する!」という証明はかなり難しいと思います。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/26(土) 00:08:59.09

>>106
どうでしょうね…あまり考えたことはないので、難易度も分かりません。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/26(土) 00:55:24.03

「コラッツ逆操作だけ」というのがそれほど強い制限でないという話。

まず、コラッツ逆操作では操作 3 を行うか操作 4 を行うかで分岐が起こりますが、
コラッツ操作では分岐は起きません。
なので、例えばある数にコラッツ逆操作を行ってからコラッツ操作を行うと、元の数に戻ることになります。

予想を証明するには、
「ある数 a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返してある数 b にたどり着けるか」
を考える必要がありますが、上記のことから
「ある数 a から何度かコラッツ操作を行い、その後何度かコラッツ逆操作を行うことである数 b にたどり着けるか」
という道筋だけ考えればいいということになります。

そうすると、コラッツ逆操作だけを考えるというのは大体、操作の後半だけを考えるということになります。
これが強い制限と思うかどうかは人それぞれですが、
実際にこれまでは多くの場合にうまくいっているので、大した制限じゃないのだろうと私は思っています。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/26(土) 00:55:45.59

ちなみにこれまで「コラッツ操作」の方を全く考えていない訳ではなく、

前スレ>>787の

命題
T を木とし、k=1 or 2 とする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod 3) となる。

や、前スレ>>851の

補題
n を 5 以上の奇数とする。
任意の木には、3 の倍数でも n の倍数でもない数が含まれる。
（元々は奇数でなく素数としていたが、全く同じ証明で奇数の場合も示せる）

ではコラッツ操作を用いています。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/26(土) 05:32:28.98

通常のコラッツ予想3x+1ですが、

①プログラムが無限走行→オールNothing出る
(Cを繰り返すと集合が1つになる事が使えないか)

②オールNothing出ない→プログラムは停止

③全てのnでオールNothing出ない(難しい?)

④全てのnでプログラムは停止する

というのを考えたのですが、
実際証明するとなると難しいですかね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 06:33:58.67

　また邪魔なプログラマが通りますよ

　コラッツ逆問題（３ｎ＋１版。「1 から出発して、すべての自然数に
到達できるか」）について、「（有限な）すべての偶数は、２で割り続ける
ことによって奇数に帰着するので、奇数についてだけ証明できれば足りる」
のは確か。

　逆コラッツ操作は、

　１）ｎを２倍する。
　２）ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれるなら、それ（２ｎ－１）を
３で割る。

が可能。

　で、このとき、「ｎが３で割りきれる場合は、（１）の操作によって
『ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれる数』が出てこない」ことが
判っていて、ｎの偶奇によらず（１）の操作の結果は偶数になるので、けっきょく
奇数は出てこないことがわかる。

　（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、このとき（ｎの
偶奇によらず）３の倍数が出てきたときは逆コラッツ操作の
（１）（“右へ向かうルート”。こちらは際限なく右に延長できる）は
考慮しなくていい。

　なお、“縦のルート”は、最下位ビットが「２個以上の連続するオンビット」である
状態と関連している。

　この制約条件のもとで、「１を出発点として、すべての奇数に到達できるか？」が、
コラッツの逆問題となる。

　で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
だから、それを満たす数について考えればいい ―― ような気がする。

　だけど、コラッツ予想に関する議論で「mod 12」って話が出てきたのを
見た記憶がオレにはないんだよな (-_-!)。

　これって、オレがなにか盛大な勘違いをしているってぇコトなのか？

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/26(土) 15:26:37.54

>>112
>「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に至る“縦のルート”

ここが分かりません。
具体的な一連の数とかありますか?

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 17:07:34.51

>>113
とりあえずこんな感じかな？

242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311

詳細はのちほど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 17:11:05.80

つーか、「コラッツ操作」ということを考えたら、
「->」じゃなくて「<-」のほうが判りやすかったかも。
あ、「3n + 1」じゃなくて、「(3n + 1) / 2」で
表示してるのは、このスレを見てるような人だったら
察してくれるよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 17:16:10.29

言うまでもないけど、
“☆”がついている値は、
「３の倍数なので、2 の冪乗を掛けても
『2n - 1 が 3 で割りきれる数にならんので、
下に延びる枝（3n + 1 操作の逆操作）がない枝』」
っちゅーことです。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/26(土) 17:54:29.76

>>114-116

>>112は大体理解できました。mod12は分かりません。

>　で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
>それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
>だから、それを満たす数について考えればいい >―― ような気がする。
例えば17を見ると、4で割って1余る。
コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 18:02:39.81

>>113
ごめん。
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
っつーのは、
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「（３ｎ＋１）／ 2」という操作（←ここ重要）を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
という意味だ。
とりあえずツッコミは歓迎なのだが、いまは遠山啓先生の『初等整数論』で
理論武装中なので、殲滅的攻撃は勘弁してくれいm(_ _)m。

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/26(土) 18:19:59.67

>>118
すみません、つい熱くなってしまって……

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 18:20:36.68

>>117
> 例えば17を見ると、4で割って1余る。
> コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
> しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
> コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?
典型的な例を挙げたので分かりにくかったと思うが、
(26 ->)17 -> 11 -> 7 というのは確かにあって、
「必ず 3 の倍数で終わる」とかいう話ではないのだ。

つーか、「どのあたりで齟齬が生じているか」について、
数学屋さんと電算屋の間では分かりにくいのだ。
「素数には必ず原始根がある」というのは納得するにせよ、
「原始根って複数あるんじゃないの？　そのあたりはどうなの」とか、
「そもそも『指数』という概念がよくわからん」とか、
「QRコードとか乱数生成とか、リクツは判らんでもないけど、
原始多項式うんぬんとか言われても、正直な話、小分かりがせんのよ」
みたいな感想がある。

そもそも「Z/pZ」っつーのが、「演算を定義せんと意味がねぇ」みたいな
話があって、よくわからん（加法なのか乗法なのかとか）。

せっかく大勢の人が見てくれているのだから、「数学的に厳密な記述」
ではない「わかりやすい説明」（まぁ、「『分かりやすい説明』は、
嘘の温床だ」という意見は確かにあるのだが）っつーのも
試みてくれんか。このスレで（見ているだけの奴もいるし、
書いている奴もいるわけだが）“解っている” 人間も
少なかろうと思うので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 18:35:17.86

>> 119
> すみません、つい熱くなってしまって……
いや、熱くなるのはまったく問題ないので、「こちらこそ、数学の門外漢が
半煮えの議論を持ち出してすまん m(_ _)m」とお詫びしたい。
とはいえ、実験数学が未解決問題の解決に貢献することもあるし、
「素人目線からの、視覚化だのなんだの」が有効なことがあるのだ。
数学屋さんには数式という武器があり、
電算屋にはプログラミング言語という武器がある。
（個人的に Wolfram は気に入らないが）Mathematica みたいに
その間を繋ぐツールもある。
とりあえず「共通の土俵」っつーのを用意したいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 19:04:19.46

具体的にプログラム言語は何使えんのよ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 19:04:56.28

ちなみに>>1はhaskell使いらしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 19:52:05.47

>>122
> 具体的にプログラム言語は何使えんのよ？
わしゃぁのう、年寄りじゃけん、本当はアセンブラしか解らんのじゃ。
じゃけんども、C とか LISP とかは、理屈がよう分るんじゃ。
Pascal は、P-system があったんで、Java んような「中間言語」とか
「仮想マシン」っちゅーたらコンセプトは分らんでもないんじゃ。
年取ったけん、IDE がなけりゃプログラムなんぞ書けんように
なってしもうた。
そんなわけで、ようやく Java を使ってなんとかプログラムを
書いとるんじゃ。
ごめんつかぁさい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 20:15:39.62

中身のある話振ってくれるなら歓迎するけどね。
アイディアがあるなら具体的に頼む。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 20:56:17.99

>>125
> アイディアがあるなら具体的に頼む。
ありがとう。

生煮えなので申し訳ないのだが、右（２の冪乗）から来る
値は、n ≡ 1(mod 3)か n ≡ 2(mod 3) だというのが
解っている（3 の倍数だったら、下((2n -1 が 3 の倍数になるので、
(3n + 1) / 2 の逆操作ができない)へ行けない)）と思う。
そうすると、わりとスケスケな感じで自然数の空間が
視えてくるような気はするのだが、「数直線」という
言葉があるように、フツーは自然数というのは一次元なんだよな？

そのあたり、なんかしらのパラダイム・シフトが必要な気はするんだが、
「それが具体的に何か」と訊かれても、「う～ん …」になっちゃうのだ。

「6 で割って 2 余る」とか「4 で割って 1 余る」とかいった話は
あるんだけど、6 と 4 の最小公倍数って 12 なんで、「(mod 12) って
ありそうな感じじゃねぇ？」とか言ってみただけな部分はあるわけですよ。

具体的な話をすると、「場合分けがパンクする」っつっても、
Tic-Tack-Toe＜（n-th Queen ではない）8-Queen ＜ make 10
＜ペントミノ＜四色問題と並べてみると、組合せ的な話であれば
ペントミノ程度の話なんじゃねーかと思ってるワケですよ。

ただ、「どういうコンセプトで捉えたら、数学的かつ計算器数学的な
問題に落とせるか」っていう切り口がわからんのよね。

そんなわけで、「アイディアがあるなら具体的に頼む。」という問いには、
「こっちが知りてぇよ」と応えざるを得ない。済まぬ m(_ _)m。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 22:12:44.62

逆にxn+1問題で無限大に発散する場合もあるxを探すというのは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 22:44:42.03

コラッツ予想をセルオートマトンで可視化する事を試してみました。

ttps://dotup.org/uploda/dotup.org1543060.zip.html

キーは3nplus1です。

大まかに４つのパターンを図示してみました。
1）完全にランダムなパターン
2）1のビットが長く続くパターン(2^n-1)
3）最下位ビットと最上位ビットの間が0のビットで隔てられてるパターン(2^n+1)
4）1のビットが長く続き、さらに離れて最上位ビットが存在するパターン((2^n+1)*2^m-1)

最下位ビットが0の行は赤に塗ってあります。

プログラムに間違いがあればすいませんが、結構興味深い遷移がみられました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 23:12:06.85

>128 まとめ

○コラッツ操作を行った際に操作前よりも数が増えるのは最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合のみ。それで増加する桁数は連続していた1の桁数よりもおそらく少なくなる。
○0が2ビット以上続いた箇所でグループを分けた場合(1011001101→1011　001101)、コラッツ操作3n+1のうち+1の影響を受けるのは最下位のグループのみ。それ以上のグループは3nの挙動となる。
○n桁の連続した1は3n+1操作で10(n-2桁の1)01になる。これが最下位グループなら+1操作で最下位ビットが繰り上がり10(n-1桁数の1)となる。

とりあえず挙げられるのはこんなところでしょうか。
既知の情報でしたら申し訳ない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 23:26:44.26

整数をビット列とみなして考えるのは>>1がかなりやってたから>>1の意見を聞きたいね。
まあ、この程度の成果では驚きはないだろうけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 23:31:56.87

結構きれいな絵だけどきれいなものだけ抜き出したの？
よくわからんが全部きれいになるならもしかして凄いのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 00:11:19.66

>131

綺麗なパターンが出る値を選んでます。
大抵は増えて減ってを繰り返すパターンになると思いますが、その出現に規則性が見られるように思えます。
まぁ勘違いかもしれないんですが orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 07:33:04.20

>>129
「最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合」については、
以下のようなことを考えたことがある。

「ここで、新たな操作を追加する。

　（３）n' = 3n + 2

である。
　たとえば "11101" のように、左に '1' が二個以上連続した部分（m 個）が
あるとする。これを、m - 1 個の '1' と '1' に分ける。 "11101" だったら
"11" と "101" だ。このとき、"11101" は、"**"と「 "101" に（３）の操作を
二回施した結果」で表される。

"11" -> "*" + "101"
"111" -> "**" + "10001"
"1101" -> "*" + "10001"
"1111" -> "***" + "101011"
"11001" -> "*" + "10111"」

その他の悪戦苦闘っぷりは
http://animaleconomicus.blog106.fc2.com/blog-category-33.html
を参照されたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 08:58:45.44

逆コラッツ操作を行なうプログラムの中で、ずっと
「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれたら３で割る」
とかいうロジックを使っていたのだが、よく考えたら
「ｎを３で割って２余る」（n ≡ 2(mod 3)）でよかったことに、
いま気づいた。

2*(m + 2) - 1 = 2m + 4 - 1 = 2m + 3

なんだから、3|m（「m が 3 で割切れる」あるいは「m は 3 の倍数」。
遠山啓さんの『初等整数論』のスタイルだと「3)m」）なら
当たりまえじゃん（だから数学は苦手なんだと(ry）。

　そうすると、

１）ｎを３で割って２余るなら、二倍して１を引いてから２で割る。（それが終わったら、次にｎを二倍して右を探す）
２）ｎを３で割って１余るなら、右に逃げる（ｎを二倍して右を探す）。
３）ｎが３で割りきれるなら、下には行けないし右側にも奇数へ向かう枝が出ないので、ひとつ前（根に近い数）に戻る。

という操作で再帰をかければ、「逆コラッツ操作で出てくる奇数の木を探索する」ことができるはずだ。

こうなったら奇数偶数関係ねぇじゃん。orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 13:50:43.81

個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数にちょっとした発見があるんだけど需要ある??

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 13:53:03.11

あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性やn次のコラッツ、コラッツに群の導入などなど

**righ1113** ◆OPKWA8uhcY · 2018/05/27(日) 14:30:36.56

>>128-129
残念だけど目新しい情報はないかなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 17:28:34.65

>>135
> 個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数に
> ちょっとした発見があるんだけど需要ある??

>>136
> あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性や、n 次のコラッツ、コラッツに群の
> 導入などなど

ここは、たぶん「『需要ある??』とか、つまんねぇ遠慮なんかしてるんじゃねぇ！　さっさと晒せよ！」
…… っつースレですから。燃料を投下していただければ、いくらでも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 19:19:29.97

スレがにぎわい始めましたね。
あとは>>786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 19:52:38.57

>> 139
> あとは（前スレの）＞＞786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。

つーても、数学板は敷居が高いのよ。
前スレの＞＞8 の
> 最初に偶数はアウト（１に収束）
> ４の倍数になったらアウト

っつーのも、

×「最初に偶数はアウト」
〇「最初に２の冪乗数はアウト」（つーか、２で割り続ければ奇数に帰着するので、
奇数について証明できればオッケー。てなワケで「４の倍数になったらアウト」と
いうのも、ここに帰着）

とかいったツッコミ（つーか、解説）を誰かしてくれよ、みたいな話にはなる。

むしろ、素人目線の解説を丁寧にしてくれるヒトがいてくれると、もっと盛り上がる
ような気がするのだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 21:51:55.33

藤林丈司

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/27(日) 22:57:17.76

なんだか盛り上がってますが
とりあえず>>92の出力が正しいことの説明がやっと書けそうなので、投下してから見ます。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/28(月) 00:37:34.73

頭の中では図と数式だけしかないから大したことない議論に思えるけど
ちゃんと書こうとするとどうも長くなってしまう…

>>92の出力が正しいことの説明。

Z/nZ を図で表すイメージを導入します。

まず n が素数のときは、アルゴリズム (1) のようにグループ分けし、
https://i.imgur.com/h7RBsuk.jpg
図のように 2 倍すると右に 1 マス進むように数を並べます。
各グループの左端と右端は繋がっているイメージです。

n が素数べきの場合も同様です。
さらに一般の n でも同様の表現が可能ですが、ここでは別の表現を導入します。

p,q を相異なる素数とするとき、Z/pqZ は
Z/pZ を横軸、Z/qZ を縦軸にとった二次元配列で表せます。
https://i.imgur.com/tboXYk0.jpg
「Z/pqZ は (Z/pZ)×(Z/qZ) と同型」というのはこのことを表します。
例えば下図の赤マスは
https://i.imgur.com/ulP84EU.jpg
mod 7 で 4、mod 3 で 2 であるような数、すなわち 11 を表します。

Z/pqZ の図で数を 2 倍すると、右上のマスに移ります。
ただし、各ブロックで左右の端、上下の端はそれぞれつながっています。
https://i.imgur.com/bvi0vDc.jpg
図は一部のみ示していますが、どの矢印も 2 倍を表しています。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/28(月) 00:38:11.51

ここから>>92の出力の話。
19n+1 版で、プログラムに 7 を入力して、A'={3,5,6} とした状況を考えます。
B は Z/133Z において、
「 19 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 3,5,6 出ない数」
を考えるので、Z/133Z の下図の部分だけを見れば十分です。
https://i.imgur.com/TH0hekY.jpg

グループ分けを考えると、2 倍すると右上に進むことから
図のように 3 つのグループに分かれます。
https://i.imgur.com/twmrZQa.jpg
縦のマス数 18 が 3 の倍数であることに注意。

次に {3,5,6} に 19 をかけて 1 を足すと
3*19+1=58≡2 (mod 7)
5*19+1=96≡5 (mod 7)
6*19+1=115≡3 (mod 7)
より 3 に対してのみ B のグループが対応します。
58≡1 (mod 19)、58≡2 (mod 7) より
58 は図の位置になります。
https://i.imgur.com/Lr4sVXl.jpg
よって、緑グループのみ得られます。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/28(月) 00:38:52.08

次の C は、Z/(7・19^2)Z において下図の部分を考えることになります
https://i.imgur.com/9mmsWTp.jpg
縦は 18・19 マスです。グループは 2 つ得られます。

緑マスの数に 19 をかけて 1 を足すわけですが、まず mod 7 だけで考えると
1*19+1=20≡6 (mod 7)
2*19+1=39≡4 (mod 7)
4*19+1=77≡0 (mod 7)
なので、緑マスの中でも mod 7 で 2 である数しか C のグループに対応し得ません。
対応するマスは mod 7 で 4 の列 (一番右の列) のどこかになります。

一方 mod 19 で考えると、ある数に 19 をかけて 1 を足すわけですから、
当然結果は mod 19 で 1 になります。
Z/(19^2)Z で 1 に 2 をかけていくと、mod 19 で 1 である数は 18 回に 1 回現れます。(2 が Z/19Z の原始根であることから)
したがって、緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、下から数えて 18k+1 (k∈N) 番目に現れます。

mod 7、mod 19 の話を合わせれば、
緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、青グループにしか対応しないことが分かります。
プログラムの出力でいえば、C のうち 1 つだけが得られた、という部分に当たります。

最後に C' の部分ですが、
青グループの数に 19 をかけて 1 を足すことを考えると、
C での議論と全く同じになり、黄グループの数に対応しないことが分かります。
したがって、出力は>>92の通りになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 06:02:47.38

>>129 と >>132 から、なんとなく証明への道筋らしきものが見えてきた。
もちろん“道筋らしきもの”なので、完璧な証明に到達できるかどうかは別の話なのだが。

まず、ごく初歩的な話だが、「メルセンヌ数」の話をしておく。「メルセンヌ数」を「メルセンンヌ素数」だと思っているような人は
数学板にはいないだろうが、「素数であるメルセンヌ数」が「メルセンヌ素数」で
あって、メルセンヌ数は単なる「2^n - 1」の形をした数である。
　メルセンヌ数が素数であるかどうかは「リュカ検定（ルーカス・テスト）」に
よって比較的効率よく行えるので、「メルセンヌ素数は無限に存在するか？」
「（偶数の）完全数は無限に」という問題と関連して、コンピュータによる
探索が行なわれている。そうやって見つかった素数は桁数が大きいので
「現在知られている最大の素数」みたいな形で話題になる。

つぎに、任意の有限な数 n をビット列で表したときの、最初のオンビットから
最後のオンビットまでの部分を、“コラッツむし”と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 06:04:45.60

４で割って１余る（n ≡ 1(mod 3)）コラッツむし以外のコラッツむしは、
下位に「２個以上連続したオンビット部分」を持っている。ここで、m 個並んだ
オンビットがあるとして、そのうちの下位側の m - 1 個のビットを
「メルセンヌ部分」、残りを「本体」とする。このとき、本体部分に m - 1 回の
「3n + 2」操作を行なったものが、コラッツむしの“真の体長”だと
思うことにしよう。
つまり、n がメルセンヌ部分を持っているときは、メルセンヌむしは
“縮んでいる”わけだ。

3n + 1 操作を受けた“伸びた”コラッツむしの下位側には、0（二進数表記。
オフビット）が現れる。ただし、任意個の 0 は“ないのと一緒”なので、
コラッツむしの体長には含まれない。

そこで、「コラッツ予想が正しいかどうか？」は、「コラッツむしの“真の体長”が
際限なく伸びてゆく場合があるか？」という問題に帰着する。

そうなると、本体部分は「４で割って１余る素数」だ。これに 3n + 1 操作を
行なったときに、メルセンヌ部分がどう表れるかという話になる。この
メルセンヌ部分が際限なく表れると、コラッツむしの真の体長が伸びて、
メルセンヌ予想が破綻する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 06:06:43.64

じゃあ、「『メルセンヌ部分を持たないコラッツむし』が『メルセンヌ部分を
持つコラッツむし』に変態する頻度と、変態後の“真の体長”の変化は、
どのようなものか？」という話になる。

“真の体長”が伸びる可能性があるとすれば、それは操作 3n + 1 による。
このとき、3n + 1 操作が可能なのは n ≡ 2(mod 3) の場合だけだ。で、
これに 3n + 1 操作を行なうと、n' は n' ≡ 1(mod 3) になるので 3n + 1 操作は
「一回休み」になる。

2n 操作によって、mod 3 は 1 -> 2 -> 1 -> 2 と変化する。
また、メルセンヌ数の mod 3 は、桁数が多くなるごとに 1・２・１・２と
変わる。

つまるところ、「真の体長を伸ばすようなメルセンヌ部分が、どれだけ
出てくるか？」という話になる。

「山よりでかい猪は出ない」わけで、真の体長よりも“長い”メルセンヌ部分が
出ることはない。これを踏まえて、「コラッツむしの真の体長が無限に伸びる
ことがあるのか？」という話になる。このあたりが mod 3 と mod 4 の
絡み合いで組合せによって解決できて、「伸びるにしても限度がある」ことが
示されれば、メルセンヌ予想は肯定的に解かれたことになる。

こう考えるとわりと単純な話なので、数学の素人でも手を出しやすいような気が
する。もっとも、コラッツ問題自体が「素人にも手をだしやすいが、素人の手には
負えない」問題なんだから、解けるかどうかはまた別の問題なのだが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 08:14:16.23

一応、まとめてみる。

自然数 p と q を考えよう。

とりあえず、p は措いておいて q について考える。

2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。いちおう、
「q が 1 のとき、結果がマイナスになるのだが、ちゃんと考えてるか？」
とかいった話もあるが、ここでは正の数だけを考えることにする。

つぎに、メルセンヌ数 p^2 - 1 を考える。これは p - 1 桁の数になる。

これを結合したビット列を考えよう。それは (2^p - 1) + 2^p × (2^q - 3) であり、
桁数としては (p - 1)+(q - 1) 桁であるから、p + q - 2 となる。

このとき、「2^q - 3 に『三倍して２を足す』操作を p 回繰り返した結果に
コラッツ操作を施すことで、どれほどの桁数（これを n とする）になり、
最下位に何桁（これを m とする）のメルセンヌ数が出てくるか？」を
考える（m < n であることに注意）。

m と n を p と q の関数で表して、 n - m が q - 1 よりもどんどん大きく
なっていったら、コラッツ予想は「はずれ」だということになる。

おそらく、最悪のケースで見積もると、“爆発”（無限大に発散）すると思う。
そうでなかったら、コラッツ問題はとっくに解決しているはずだ。
だから、相当にややこしいテクニックを駆使して「最悪のケース」を避けて
「無限大には発散しない」ことが示せれば、コラッツ予想は肯定的に証明される
ことになる。

そんなにうまくゆくとも思えないし、可能だとしても相当に苦労するだろうとは
思うのだが、方向性としてはちょっと新しいように思うので、「難しい」とか
「ダメっぽい」とか「ここから先で行き詰まった」くらいの実績は残しておいても
いいと思う。
コラッツ予想に関する「やってみたけどダメだった」的な論文というのは
山ほどあるのだから、いまさら何本かのクズ論文が増えたところで
文句を言う奴もおるまい。

**128** · 2018/05/28(月) 08:25:18.74

>137
既知の情報だったようですね。失礼いたしました

>146
何かしらのお役に立てたのなら幸いです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 09:44:13.47

>>150 ＞＞128
> 既知の情報だったようですね。失礼いたしました
いやいや、２ちゃん（今は「５ちゃん」だが）でガイシュツは恥ではない。
お気にならさず。

> 何かしらのお役に立てたのなら幸いです。
本当に役に立った。ありがとう m(_ _)m

ついでながら、>>149 の
> 2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。
というのは、「５以上の４で割って１余る奇数」のうち、いちばん
みっしりビットが詰まったやつのことである。
このあたりのコンセプトの整理には、本スレに参加している諸氏の意見が
非常に役立った。併せて感謝申し上げる。ありがとうm(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 12:54:56.22

ようやく前786氏の言ってることがちょっとだけ理解できたような気がする。
「Z/pZ」（つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
配慮があるんだろうと思う）というのは、単なる剰余系であって、
「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな？

そもそも、「+1 する」という操作に対して p の剰余系 Z/pZ は閉じているので、
「Z/nZ（+1）」は閉じているわけだ。

で、n が p の原始根だとすると、Z/pN が「Z/nZ（×n）について閉じていて、
しかも網羅的である」っつー話なんだよな？

だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ（×i）というのは
、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
なるんだよな？

で、たぶん前786氏は、「そのあたりを、（Z/pZの）すべての p に対して
（すべての i に対して）ツブしていけば、どっかで何とかなりそうな気がする」と
いう気がするので、「i = 2」に関してツブしてゆこう、という話ではないかと思う。

オレは何かヘンなことを言っていると思ったら、ツッコミを入れてほしい。歓迎する。

**前786** ◆5A/gU5yzeU · 2018/05/28(月) 15:03:52.79

2 に注目しているのは、
コラッツ操作の「偶数を 2 で割る」
逆操作の「2 をかける」
から来ています。
証明を考えていくと自然とそうなりました。

>「Z/pZ」（つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
>それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
>配慮があるんだろうと思う）というのは、単なる剰余系であって、
>「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな？
ここで何を気にされてるのかいまいちよく分かりませんが、
「閉じている」という表現は全体の一部分を見ているときに使う表現なので、この場合適切でないと思います。

例. 整数全体の中の奇数の集合は、積について閉じていて和について閉じていない。

「どういう演算を考えているか」を気にしているということでしょうか？

あと一応もう一つ言葉にツッコんでおきますと、
>だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ（×i）というのは
>、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
>なるんだよな？
この「部分群」もちょっと用法がおかしいです。
例えば Z/7Z を {0},{1,2,4},{3,5,6} に分ける、というような操作に関しての発言だと思いますが、
これを表現したければ「軌道」と言うのが適切かと思います（群論の言葉です）。