コラッツ予想がとけたらいいな その2
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
今は前スレ>>786氏の予想を検証しています。
自然数aに対し、集合T(a)を
T(a)={b∈N|aとbはコラッツ操作によって同じ数に到達する}
と定める。
T(a)の形の集合を木と呼ぶ。
コラッツ予想が真であることは、自然数全体が１つの木をなすことと同値である。
で、次のように予想した。
予想
Tを木とし、n,kを自然数とする。
このとき、あるa∈Tが存在してa≡k(mod n)が成り立つ。
あるn,kについて予想が正しければ、
「コラッツ予想はa≡k(mod n)を満たす自然数aが初期値の場合だけ調べればいい」 前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
以下、0≦k≦n-1 とします。
・n=1,k=0
・n=3^e, e∈N, k は任意
・n が 5 以上の素数、Z/nZ において 2 が原始根、k≠0
・n が 5 以上の素数、Z/nZ において 2 が原始根、n≡2 (mod 3), k=0
・n は 83 以下の奇数, k は任意 (righ1113氏のプログラムによる検証)
また、次が分かっています。
・m∈N とする。もし n=3m の場合に任意の k で予想が正しければ、n=2m の場合も任意の k で予想は正しい。
これにより、n が偶数の場合は n が奇数の場合に帰着されます。 アルゴリズムのどこに無駄があったのかという話
（前スレ>>967の出力結果を参照してください）
詳しい理屈は後で述べますが、例えば n=15 でいうと
(3) のところは A3 と B1 の組を探す必要がありません。
さらに、A'=A3 としたときの C は [5,10,…] の方のグループは不要です。
新しい方のアルゴリズムでは、このあたりを除いています。
以下、詳しい理屈。
例えば n=15, k=5 の証明をしたいとします。
まずは普通に進めます。
～～～～～～～～～
T を木とし、3 の倍数でない b∈T を任意に取る。
(i) b≡5,10 (mod 15) の場合
b≡5 (mod 15) または 2b≡5 (mod 15) なのでOK。
～～～～～～～～～
次に b が 5 の倍数でない場合ですが、この場合
「偶数から 1 引いて 3 で割る」によって 5 か 10 を作るという方針で考えます。
逆に 5, 10 に 3 をかけて 1 を加えると、それぞれ 16, 31 になるので、
T が mod 45 で 16 か 31 である数を含めばよいことになります。
ここで、Z/45Z の 3 の倍数でも 5 の倍数でもない元をアルゴリズム (1) のようにグループ分けすると
B0=[1,2,4,8,16,17,19,23,31,32,34,38],B2=[7,11,13,14,22,26,28,29,37,41,43,44]
となります。
16,31 は B0 に属していることが分かります。
以上の操作は、アルゴリズムでいうところの
A3=[5,10] と B の組をつくる
という部分にあたります。結果として、(A3,B0) という組が得られます。
上で見た通り、A3 と B1 の組ができるかどうかはそもそも考える必要がありません。
ここに無駄がありました。 証明は次のように進みます。
～～～～～～～～～～
(ii) b が mod 45 で B0={1,2,4,8,16,17,19,23,31,32,34,38} に属する場合
b に何度か 2 をかけると mod 45 で 16 になるので、
そこから 1 を引いて 3 で割ることによって、mod 15 で 5 である元を得る。
～～～～～～～～～～
あとは mod45 で B2 に属する元について調べるのみです。
B2 の元は mod 135 では
C1=[7,11,13,14,22,26,28,29,37,41,43,44,52,56,58,59,67,71,73,74,82,86,88,89,97,101,103,104,112,116,118,119,127,131,133,134]
に含まるので、ある B0 の元に 3 をかけて 1 を加えて C1 に属せばOKです。
実際、2∈B0, 2*3+1=7∈C1 なので、証明が完了します。
ここの操作は、アルゴリズムでいうところの
B2=[5,10] と C の組をつくるという部分にあたります。
ここでも B2 と C0 の組ができる必要はありませんが、アルゴリズムではそのような組を探してしまっています。
ちなみに証明の残りの部分は次のようになります。
～～～～～～～～～～
(iii) それ以外の場合
b に何度か 2 をかけると mod 135 で 7 になるので、
そこから 1 を引いて 3 で割ることによって、mod 45 で 2 である元を得る。
あとは(ii)に帰着される。□
～～～～～～～～～～
新しいアルゴリズムでは、先に A' を決めておくことによって
必要なグループのみ扱うようにしています。 俺はあんまり素数についてのノウハウ知らないんだよね。
素数のノウハウあれば「n=q,n=qで予想が成り立つ」から「n=pqで予想が成り立つ」へ繋げるアイディアももっと湧くのかもしれない、等と思ったり。 とりあえず、目の前に大量のデータがあるわけだけど、
こういうのから何か法則を見出すのって、コツとかあるのかな とりあえず 5 以上の奇数を次のように分類してみる。
①素数かつ 2 が原始根かつ mod 3 で 2：5,11,29,53,59,83,…
②素数かつ 2 が原始根かつ mod 3 で 1：13,19,37,61,67,…
③素数かつ 2 が原始根でない：7,17,23,31,41,43,47,71,73,79,89,97,…
④合成数：15,21,25,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,85,87,91,93,95,99,…
①は任意の k で証明済み。
②は n の倍数でない k で証明済み。
現行のプログラムでは、
・A' の候補は {0} のみ、
・B は 2 グループになり、A' と組ができる B は片方のみ
・C は 3 グループに分かれる
というところまでは確実。
その後どうなるか要検証。
③はまだよく分からない。
とりあえず A は {0} 以外に複数のグループに分かれる、というぐらい。
もっと細かく分類する必要がありそう。
④はもっと分からない。
これもさらなる分類が必要と思われる。 ふーむ、まずは分類ですか。
まあいきなりきれいな法則は見つかりそうにないし、正しい方針かも。 プログラミングは3割ぐらい進みました。
あと2,3日には出来ると思います。
アルゴリズムも進化して、こちらもコーディングのやりやすさを感じています。 あ、3 の累乗は証明済みなので、>>11では抜いてあります。 なんかこの予想に名前つけたいですね。
名前あったほうが議論しやすいですよね？
>>786なにか名前考えてもらえませんか？ なんかこの予想が肯定的に解決するなら素因数分解が多項式時間でとけちゃうとか、重大な結果に繋がったりしないかな？ｗ ジェバンニが一晩でやってくれました
*Main> main
5以上の奇数nを入力してください
7
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
[0]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(0,Just 0)]
一度も現れなかったBi : [1]
C : [[5,10,17,20,34,40],[13,19,26,38,41,52],[31,47,55,59,61,62]]
(6) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 1),(8,Nothing),(11,Just 0),(16,Nothing)]
一度も現れなかったCi : [2]
C' : [[31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188]]
(6)' tuple : [(5,Nothing),(10,Just 0),(17,Nothing),(20,Just 0),(34,Nothing),(40,Nothing),(13,Nothing),(19,Nothing),(26,Nothing),(38,Nothing),(41,Just 0),(52,Just 0)]
一度も現れなかったCi' : []
[1,2,4]
B : [[5,10,13,17,19,20],[1,2,4,8,11,16]]
(4) tuple : [(1,Just 1),(2,Nothing),(4,Just 0)]
一度も現れなかったBi : []
[3,5,6]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(3,Just 1),(5,Just 0),(6,Just 1)]
一度も現れなかったBi : []
プログラムは正常終了しました。
*Main> >>18
はやいｗ
乙です。
(6) でいちいち全部出力すると後々大変なことになりそうな予感。
もちろんデータが多いのは利点でもあるけど、うーむ >>15
剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)とかですかね。
英語で書くとそれっぽく見える不思議。 初代プログラムで121試したら一晩かけても答えでなかったのに２代目だと一瞬で出たんだが？
そんなにパフォーマンス変わってる？
それとも初代で１晩かかったのがおかしいの？ >>22
かなりの高速化に成功しています。
あと実は、初代ではn=85などでうまくいかない不具合がありました。二代目では直っています。 ここのところスレとして毎日なにかしらの成果が挙がってる感じですが
そろそろ停滞しはじめてもおかしくない時期ですかね？
なにか壁がありそうな予感。 >>22>>23
初代プログラムでは、上に書いた通り本来探す必要のない組を探す必要がありました。
なので多分、その「本来探す必要のない組」の中に「どう頑張っても得られない組」が混ざっていたんだと思います。
出力結果を見せていただければはっきりすると思いますが、
まあ旧版の話なのでそこまで調べる必要も無いですかね。
こういうことが起こる可能性があるということは早くから気づいていて、
実はその解消のため作ったのが二代目です。
なので、初代に不具合があったと聞いてむしろ安心しました。
そうでないと二代目を作った意味がないのでｗ
それにしても、体感できるほど速度が上がるというのは想定以上ですね。
もしよければ、また出力結果をまとめてアップしてくれると嬉しいです。 うーんまだアルゴリズムをしっかり理解できてないな。
まずはそこからか… >>20
Nothing消します？重要でない情報なら。 >>28
今のは今ので残しておいて、別バージョンとして例えば
(4) では得られた B のみ、(6) では得られた C のみ
という風に出力するのは作れるでしょうか。
アルゴリズムを進めるにはその情報だけで十分なので。
それで、大量の n を調べるときは別バージョン、
個別の n を調べるときは今のという風に使い分けていければ一番良いと思います。 >>29なるほど良いアイデアですね。
ではそのように。 大量実行バージョン作りました。ノーマルとの違いは2点です。
・(4)では得られたBのみ、(6)では得られたCのみ出力
・初期値nをコマンドライン引数で入れる
> CollatzMod02Bigdata 85 のように使います。
ログは5から99、101から199まで取ってみました。
両方とも5分以内で実行できました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/%E4%BA%8C%E4%BB%A3%E7%9B%AE >>31
乙です。
とりあえずざっと見たところ、ほとんどの処理が C' までで終わってますね。
C'' で検索すると 合わせて 4 つしか出てこない (73, 85, 127, 133)。
C''' まで出てくることはあるんだろうか。 よく見たら想定した挙動とちょっと違うような…
「3 の倍数でも n の倍数でもなく、mod n で見た時 A' に属さない」の
「mod n で見た時 A' に属さない」の部分が上手く判定できてないかもしれない。
例えば前スレ>>989の例を見ると、
A'={1,2,4} としたとき B は {5,10,13,17,19,20} だけ出力されるとなっていますが
>>18 では
B : [[5,10,13,17,19,20],[1,2,4,8,11,16]]
と二組出力されています。
ちょっと見てみてもらえませんか？
これが直ればさらに速度も上がると思います。 >>33
これが正しい出力ですかね。
*Main> main
5以上の奇数nを入力してください
7
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
[0]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(0,Just 0)]
一度も現れなかったBi : [1]
C : [[5,10,17,20,34,40],[13,19,26,38,41,52],[31,47,55,59,61,62]]
(6) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 1),(8,Nothing),(11,Just 0),(16,Nothing)]
一度も現れなかったCi : [2]
C' : [[31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188]]
(6)' tuple : [(5,Nothing),(10,Just 0),(17,Nothing),(20,Just 0),(34,Nothing),(40,Nothing),(13,Nothing),(19,Nothing),(26,Nothing),(38,Nothing),(41,Just 0),(52,Just 0)]
一度も現れなかったCi' : []
[1,2,4]
B : [[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 0)]
一度も現れなかったBi : []
[3,5,6]
B : [[1,2,4,8,11,16]]
(4) tuple : [(3,Nothing),(5,Just 0),(6,Nothing)]
一度も現れなかったBi : []
プログラムは正常終了しました。 >>34
これなら想定通りです。
てっきり「mod n で見た時 A' に属さない」を入れたおかげで早くなったのだと思っていたんですが。
そうじゃなかったんですね。 >>35
初代が遅かった原因は、自分のコーディングのまずさにあったと思っています。
プログラム、アップロードしました。失礼しました。 1つ実行するのに20分ぐらいかかったので、
ここいらへんが限界のようです。 >>37
やっぱ出ましたか。
こうなると理論上はいくらでも長くなりそう。
455=5*7*13
(Z/5Z)*, (Z/7Z)*, (Z/13Z)* それぞれで 2 の位数は 4, 3, 12
(Z/455Z)* での 2 の位数はその最小公倍数である 12
n がたくさんの素因数を持てば持つほど、また、2 の位数が小さければ小さいほど最初の Z/nZ の分割が多くなるので
わりと納得の結果です。 証明がちょっと進んだけど
余白が……ではなく時間が足りない。 ほう、ちょっとづつだとしても毎日前進してるというのは凄いですな。
アイディアだけでも先行で聞かせてほしい。 とりあえず状況の整理だけ
n が素数 p である場合を考える。
(Z/pZ)* において 2 が生成する部分群の指数ごとに素数を分類する。
（高校数学の言葉でいえば、2^n≡1 (mod p) となる最小の正の n に対し、(p-1)/n で定まる値が指数である。）
5 以上 200 以下の素数は次の通り。
指数 1 だけは、さらに mod 3 で分けておく。
指数1, mod 3 で 2
5,11,29,53,59,83,101,107,149,173,179,197
指数1, mod 3 で 1
13,19,37,61,67,131,139,163,181
指数2
7,17,23,41,47,71,79,97,103,137,167,191,193,199
指数3
43,109,157
指数4
113
指数6
31
指数8
73,89
指数10
151
指数18
127
概ね指数が大きいほどアルゴリズムの計算量が増えることが見て取れる。
今回は、指数 2 の場合に部分的に予想が証明できた。 ほほう、>>786は群論の知識があるのか。
俺にはないorz. でもまあ着実に外堀が埋まっていってる感じですかね？ 群論的な観点でいえば合成数の場合を素数の場合に帰着する望みはありそうなんですか？ >>46
n と m が互いに素であるとき Z/mnZ は (Z/mZ)×(Z/nZ) に同型なので
何かしら関連付けることはできるかもしれませんが、
完全に帰着させるのは難しそうというのが正直なところ。
これには根拠がありまして、プログラムの出力結果を見ると
例えば n=35 にかかった計算量は
n=5 と n=7 の計算量の合計よりかなり多いということが見て取れます。
そうすると、n=35 を n=5 と n=7 に帰着させるのは苦しいんじゃないかなあと思うわけです。 >>47
ふーむそうなのか。
ありがとうございます。
先は長そうですな。 このままだと、場合分けが延々と広がって収拾がつかなくなる、
といういつもの感じになりそうな雰囲気がぷんぷんしますけどね。
とりあえず示せたのはこちら。
定理
>>43において指数が 2 であり、かつ p≡3 (mod 4) のとき、
k=1,2,…,p-1 に対して予想が成り立つ。
証明は後日。 mod 4 ですか？ 意外な数字がでてきましたね。
まあ、証明を楽しみに待ちます。 途中まで。
p は 5 以上の素数で Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) と仮定する。
乗法群 (Z/pZ)* において、2 で生成される部分群を A1 とし、
A1 に属さない元の全体を A2 とおく。
指数が 2 という仮定より |A1|=|A2|=(p-1)/2。
補題1
(1) A1 は (Z/pZ)* における平方数全体の集合に一致する。
(2) A2 は (Z/pZ)* において λ*(平方数) の形で表せる元全体の集合に一致する。ただし λ は平方数でない任意の (Z/pZ)* の元。
証明
(1) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
ある d で α^d≡2 (mod p) となる。
両辺を (p-1)/2 乗すると
α^(d(p-1)/2)≡1 (mod p)
α の位数は p-1 だから、d(p-1)/2 は p-1 の倍数。
よって d は偶数。α^d≡2 (mod p) より 2 は平方数である。
A1 の元は 2 の累乗なので全て平方数。
A1 の要素数は (p-1)/2、(Z/pZ)* の平方数の個数も (p-1)/2 なので、
A1 は平方数全体に等しい。
(2) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
A1 は α の偶数乗全体なので、A2 は α の奇数乗全体。
λは平方数でないので、αの奇数乗。
よって λ*(平方数) もαの奇数乗。
したがって、λ*(平方数) の形の元は A2 に属する。
λ*(平方数) の形で表せる元は (p-1)/2 個。A2 の要素数も (p-1)/2 なので、
A2 はλ*(平方数) の形で表せる元全体に等しい。□ 次に (Z/3pZ)* におけるグループ分けを考える。
そのために 2 の位数を考える。
(Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型で、
(Z/3Z)*, (Z/pZ)* それぞれにおいて 2 の位数は 2, (p-1)/2。
p≡3 (mod 4) より (p-1)/2 は奇数。
よって、(Z/3pZ)* における 2 の位数は 2, (p-1)/2 の最小公倍数である p-1。
一方、(Z/3pZ)* の要素の個数は 2(p-1)。
(Z/3pZ)* において 2 で生成される部分群を B1 とし
B1 以外の元全体を B2 とおくと、|B1|=|B2|=p-1。
補題2
3 の倍数でも p の倍数でもない整数 b に対し、
(1) b が mod 3p で B1 に属する ⇔ b が mod p で A1 に属する
(2) b が mod 3p で B2 に属する ⇔ b が mod p で A2 に属する
証明
(1)のみ示せば十分である。
まず b が mod 3p で B1 に属するとすると、ある d で
b≡2^d (mod 3p)
と書ける。このとき b≡2^d (mod p) も成り立つので、b は mod p で A1 に属する。
したがって ⇒ が成り立つ。
ここで、射影 π:(Z/3pZ)* → (Z/pZ)* を考える。πは全射。
さらに (Z/3pZ)*, (Z/pZ)* の要素数がそれぞれ 2(p-1), p-1 であることから、πは2対1写像。
⇒ が成り立つことから π(B1)⊂A1 が成り立つが、要素数を比較して π(B1)=A1 を得る。
したがって ⇔ が成り立つ。□ 補題3
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
が、(Z/pZ)* に解を持てば、n=p, k=1,…,p-1 の場合に予想が成り立つ。
証明
・k が mod p で A1 に属する場合
T を木とし、3 の倍数でも p の倍数でもない b∈T を任意に取る。
b は mod p で A1 か A2 のいずれかに属するが、A1 の場合は
b*2^d≡k (mod p)
となる d が存在するのでOK。
b が mod p で A2 に属するとする。b は mod 3p で B2 に属する。
このときは、
「ある c∈A1 が存在して 3c+1∈B2」 …(*)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(*)は
3x^2+1≡λy^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
λx^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。
・k が mod p で A2 に属する場合
上の場合において、A1 と A2, B1 と B2 を入れ替えれば同様に議論でき、
「ある c∈A2 が存在して 3c+1∈B1」 …(**)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(**)は
3λx^2+1≡y^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
λx^2+1≡y^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。□ あとは方程式 (a)～(d) の解の存在を示せばよい。
とりあえずここまで。
前にもあったけど、こうやって代数方程式に帰着できたのは個人的に面白いと思った。 ところで流れと関係ない質問ですが、
プログラムの3のところを5に変えたら、
5x+1問題を論じている事になりますか？ >>53の続き
補題4
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
は、(Z/pZ)* に解を持つ。
証明
以下、≡ を ＝ で書くことにし、「mod p」は省略する。
まず (a) を考える。方程式は
y^2-x^2=1
(y+x)(y-x)=1
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/t である。
y+x=t
y-x=1/t
を x,y について解くと、x=(t^2-1)/(2t), y=(t^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、t^2-1≠0, t^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (a) の解になる。
t^2-1=0 となる t は t=±1 の2個。
t^2+1=0 となる t は存在しない (p≡3 (mod 4) より)。
よって、(a) は p-3 個の解を持つ。
次の方程式に移る前に、(a) の解に現れる x が何通りかを見ておく。
(x,y)=(x0,y0) をひとつの解とすると (x,y)=(x0,-y0) も解であり、
x0 を固定したとき対応する y は ±y0 しかない (y について 2 次方程式だから)。
よって、p-3 個の解には同じ x が2回ずつ現れるので、
x は (p-3)/2 通り。 (b) x^2+1=λy^2 について考える。
(a) の解に現れる x は (p-3)/2 通りであった。
これはすなわち、x^2+1 が 0 でない平方数となるような x は (p-3)/2 通りあるということに他ならない。
x^2+1 は 0 にならないので、残りの (p-1)-(p-3)/2=(p+1)/2 個の x に対しては
x^2+1 は平方数でない数になる。
このとき x^2+1∈A2, したがって補題1より、ある y で x^2+1=λy^2 が成り立つ。
これは (b) の解である。
((b) の解が p+1 個であることも分かる)
(c)も(b)と同様に考えられる。
(a) の解に現れる y は、x と同様に (p-3)/2 通り。
したがって、y^2-1 が 0 でない平方数となるような y は (p-3)/2 通りある。
y^2-1 は y=±1 のとき 0 になるので、これも除いて残りの (p-1)-2-(p-3)/2=(p-3)/2個の y に対しては
y^2-1 は平方数でない数になる。
あとは (b) と同様に λx^2+1=y^2 の解を得る。
((c) の解は p-3 個ある)
(d)は(a)と同様に計算できる。方程式は
y^2-x^2=1/λ
(y+x)(y-x)=1/λ
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/(λt) である。
y+x=t
y-x=1/(λt)
を x,y について解くと、x=(λt^2-1)/(2λt), y=(λt^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、λt^2-1≠0, λt^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (d) の解になる。
λt^2-1=0 となる t は存在しない (λが平方数でないから)。
λt^2+1=0 となる t は 2 個 (-1,λが共に平方数でないから、-1/λ は平方数)。
よって、(d) は p-3 個の解を持つ。□
補題3,4によって以下が示された。
定理
p が 5 以上の素数で、Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) であるとき、
n=p, k=1,…p-1 の場合に予想が成り立つ。 あ、あと訂正。
>>43で「指数1, mod 3 で 1」の欄に 131 があるけど、
131 は「指数1, mod 3 で 2」の欄でした。 ぬおー複雑すぎてついていくのがしんどいorz
平方数がどうとかいうのは群論でも普通によく使われるテクニックなんですか？ >>60
群論というより、どちらかというと整数論ですかね。
少なくとも自分はよく使います。 >>1は理解できてる？
基本このスレには3人しかいないから俺がだめなら>>1しかいない。。。 とりあえず、この場合の平方数というのは
可換体 K の乗法群 K* の部分集合 {x2 | x ∈ K} （直積集合と紛れるおそれのないときには
これを (K*)2 などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。（wikipediaより）
であってますかね？ >>64
あってます。
Z/pZ の場合は「平方剰余」という呼ばれ方をすることが多いですが、
私は「平方数」の方が慣れているのでそうしました。 誠に申し訳ないが乗法群の説明がwikiじゃよくわからんorz.
むかし学校で習ったような気もするがあまりに昔の話で記憶が霞んでるorz.
とりあえずこのページ見つけたけどこれでいい？
https://math-note.xyz/algebra/basis-of-algebra/ >>66
>>51で扱っているものは「環の乗法群」あるいは「体の乗法群」というもので
そこには載ってないですね…
乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
Z/nZ の場合、これは 0 から n-1 のうちで n と互いに素な数だけを集めたものになります。
したがって、
Z/pZ の乗法群は {1,2,...,p-1}
Z/3pZ の乗法群は 3 の倍数でも p の倍数でもない元全体の集合
となります。 >>67
おお、ありがとうございます。
群に関して解説しているお勧めページありましたら教えてください。 あ～すいません。
群じゃなくて環、体なんですかね？ 有名ですけどこの辺りとか
物理のかぎしっぽ - 代数学
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
群、環、体について基本的なことが載っています。
Z/nZ の話に絞れば、例えば
Excel VBA 数学教室 - 数学辞典 - 整数論入門講座
http://excelmath.atelierkobato.com/kosiki/elementary-number/
この辺りも詳しそうです。 ざっと見たところ、上記のサイトには
>>52で用いた直積の話 ((Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型) が載ってなさそうです。
探したらこれに載ってました。
http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2016/08.pdf
(学習院大学の講義資料)
講義資料一覧はこちらから見られるようです。
http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/ 私が勉強追いつくのは結構時間かかると思うのでスレは自由に進めてくださいねｗ >>73
まあこちらもそんなに大きな進展はないですけどね。
>>11の②の場合 (n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3)) で
k=0 だけ抜けてるのをやはり何とかしたいので考え中。
まだ証明はできてませんが、この場合ほとんどの p ではアルゴリズムが C で終わりそうです。
実際、200 以下の出力では n=13 を除いて全ての場合でアルゴリズムが C で終わっています。 一旦理屈をすっ飛ばしますが、
n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3) で k=0 のとき、
とりあえず以下の方法で検証できることが分かりました。
(1) 縦２マス横 (p-1)/2 マスのマス目を考え、図のように３色で塗り分ける。
https://i.imgur.com/D3N6fXO.jpg
(2) Z/pZ における数列 {a[n]} を
a[1]=(2p+1)/3
a[n+1]=4a[n]+1 (n≧2)
で定義し、図のようにマス目に添える。
https://i.imgur.com/3goOSBZ.jpg
※ {a[n]} の一般項は ((2p+2)4^(n-1)-1)/3 である。
※ a[n+(p-1)/2] ≡ a[n] (mod p) が成り立ち、周期的な数列となる。
(3) a[i] が Z/pZ で平方数であればその列の下側のマスに印をつける。
そうでなければ上側のマスに印をつける。
https://i.imgur.com/5H1VKGX.jpg
(4) ３色とも少なくとも１つのマスに印がついていれば予想が成り立つ。 あ、>>75の(4)は「予想が成り立つ」より「アルゴリズムが C で終わる」の方が適切です。
n=13 の場合、次のような結果になります。
https://i.imgur.com/4grIMIw.jpg
黄色マスに印がつかないので、アルゴリズムは C で終わりません。 プログラムでイレギュラーを見つけました。
プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての3a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。
詳しい説明は今晩します。 正確にはこうです。
プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、19a+1 がどの Bi に属すかを見る。（どの Bi にも属さないこともある）
---
で全ての19a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。 整数論関係で盛り上がっているところで申し訳ないのだが、
二進数表記で ON ビットが二個以上連結すると、
上（偶数に向かうシークエンス）というのが、
ON ビット n に対して n - 1 個連続する。
２の倍数を XY 座標の の X に取るとすると、
偶数は、「２で割る」操作のどっかでシークエンスに引っかかる
（つーか、奇数になる）。
コラッツ操作がカオティックな挙動をするというのは、
「３ｎ＋１の結果が奇数でありつづける」（つまり、下位のビットが
ON でありつづける）と、「２で割り続ける」と、「偶数は割り続けると、
どこかで奇数になる」という、周期３のループに引っかかっている
せいではないかという気がしてきた。
「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。
つーことは、「下位がオンビットの値（奇数）で受けとめきれない」
偶数があるかどうか、みたいな話になりそうな気がする。 >>79
> 「３ｎ＋１」で無限大に発散することはありえない
>（メルセンヌ数との関連で、それは自明）。
詳しく知りたいです。 >>80
メルセンヌ数（2^n - 1）は、たぶん奇数である。
とはいえ、2^0 - 1 は 1 - 1 なので、「0 は偶数だ」という反論はあると思う。
これくらいのネタを振っておかないと、数学関係では馬鹿にされるので、とりあえず。
すべての「“メルセンヌ数”ではない、4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）、かつ 11 （1 + 2 + 8）以上の自然数」は、
(2^p - 1) + 2^p + (2^( p + 2) × q)
で表される。なんでかというと、二進法で表したときに、「二個以上の 1 と 0 のあと（つーか、上位）に、 0 のみではないビット列が並んでいる」からだ。
そこに、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」を繰り返すと、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の部分に「三倍して２を足す」操作を p 回繰り返すのと同じことになる。
その間、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の桁数が増えた結果、そのビット列に p 個以上の 1 が現れて、元の p よりも数が増えると、これは発散してしまう恐れがある。
実際に、それらしい例はある。 31 の場合、31 - 47 - 71 - 107 - 161 の列から 319 - 479 - 719 - 1079 - 1619 - 2029 を経る場合がある。
ただ、これが「無限に連鎖するか？」という話になると、「メルセンヌ素数は無限に存在するか？」みたいな話になるので、「今のところ、わからん」と言うしかない。
とりあえず、「すべての自然数が、コラッツ操作によって p と q の網（木）に引っかかるか？」を考えている。
ただ、「三倍して１を足す（ 3n + 1 ）操作」の回数は、 p を超えることはないことが判っている。 × > そのビット列に p 個以上の 1 が現れて
〇 > そのビット列に p 個以上連続した 1 が現れて あかん。
>> 4 で割って 3 余る奇数（n mod 4 = 3）
は余計だった。すまぬ。 >>77>>78
これ気になるんで詳細待ってます。
正常に動いていれば Nothing 以外も出てくるはずですが… >>87
さいですか。
まあ、気長に待ちますんでお気になさらず。 また通りすがりのプログラマが覗きにきました。お邪魔します。
「奇数 →（奇数 →）６で割って２余る偶数 → 奇数」
というループに乗っていないのは１だけ。
「奇数 → 偶数」というルートを通らないのは２の冪乗数だけ。
それ以外で、“ループではない”「奇数 → ６で割って２余る偶数 → 奇数」という
“ルート”に乗って“いる”のは２の冪乗のうち「６で割って２余る偶数」だけ。
つまり、ここから先は、上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいい。
ここからは、単純に上記の条件に引っかからない「６で割って２余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいいような気がする。
このあたりから始めて、「コラッツ操作を根っこのほうから逆に辿って、
枝がどう伸びているか」を逆に辿ってみようとしているのだが、
辿ってみた結果を どう整理したらいいのかが、正直わからん。484 と 485 とか、
変なところでニアピンしてる奴がいるんだよなぁ（どっちも３ステップ後に
182 を通る）。
これは三次元表示とかを考えたほうがいいのかね？ 映像として見ることで、
なんかしらの法則性が見えてくるということも あるわけだし。 >>89
「6で割って2余る数 」か「奇数 」かたっぽだけ調べれば良いような気がします。
画像表示はカオティックなものしか得られずにう～ん……という感じです。 >>90
確かにカオスって「断面」で見るからそういう感じはするんだよね orz
つーても一次元で見ても傾向がわからんような気が。 >>88
お待たせしました。プログラムとログです。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84bx%2B1
19x+1でn=7は、
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
です。最初の二つは問題ないです。
最後がC'でオールNothingとなり、C''でカラになります。ここで止めました。
どこかプログラムがバグってるんですかね。
自分はてっきり、これが無限走行へ至る道かと思ったのですが。 漏れは航空宇宙工学科出身なので
「可視化」っつーのは重要だとは思ってるんだけど、
カオス系のように「見えたからって、なんも解決せん」とか、
f^-1 ゆらぎのように「実際に計測してみたら、単なる
対数分布だった」（ラーメンの汁に浮いてる油滴なんかがそう）とか、
ハズレが多いのは分かってるんだが ……
なんかしら別視点に期待する部分は あると思われ。 >>92
>>86は B の段階で全て Nothing になったのだと勘違いしていました
ちゃんと見てみます。 ああすみません。
>>78の書き方が悪かったです。 可視化はいいけどどうやって可視化するかはアイディアあんのか？
３次元表示だけじゃ具体性に乏しい。 >>92
とりあえずこの出力結果は間違ってなさそうです。
詳細は後ほど。 出力結果が正しいことの説明もしたいところですが、その前に別の話を。
まず一応誤解のないように言っておきますが、
この結果から即座に「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけられません。
ここで「コラッツ予想の 19n+1 版」とはそもそもなんなのかを考えなければなりませんが、
ここでは
「木を同様に定義したとき、自然数全体の集合が一つの木となる」
というものだとします。
（先行研究は特に知りません。情報があれば教えてください。）
今回の結果の意義について述べるために、改めてコラッツ操作についてまとめます。
一般化して、奇数 k を固定して「奇数は k 倍して 1 を加える」というルールだとします。
操作1：奇数に k をかけて 1 を加える。
操作2：偶数を 2 で割る。
操作3：mod k で 1 であるような偶数から 1 を引いて k で割る。
操作4：数に 2 をかける。
操作1,2 を「コラッツ操作」、操作3,4 を「コラッツ逆操作」と呼ぶことにします。
どんな数から始めても、操作1～4の繰り返しで目的の数にたどり着けるか、というのが（一般化された）コラッツ予想。
この「目的の数」を mod n で考えたものが私の予想です。 で、お気づきかもしれませんが、現在のアルゴリズムはコラッツ逆操作しか考えていません。
これが「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけらない理由です。
（コラッツ逆操作しか考えていない理由は、これだけでもさしあたってうまくいっていたことと、コラッツ操作まで考えると一気に複雑さが増すことということです）
（逆操作だけというのはかなり制限しているように見えますが、実はそれほどでもありません。また今度話します。）
今回の結果についてですが、
まず出力結果にある C' は「mod 133(=7*19) で 2 のべきである数の集合」になります。（これもまた今度）
このことから今回の結果を次のように述べることができます。
定理
コラッツ予想の 19n+1 版を考える。
このとき、mod 133 で 2 のべきである数からコラッツ逆操作を繰り返しても、
mod 133 で 2 のべきである数以外は得られない。
これはちょっと予想外でした。
3n+1 では今までコラッツ逆操作だけでうまくいってたけど、
そのうちコラッツ操作も考えなきゃいけなくなるかもしれない… >>96
n が 127 以下については、手で描いてみた（A4 の 5mm 方眼紙四枚とか）。
以前誰かが書いてたように、「場合分けが面倒臭いことに
なって手に負えなくなる」という感じのある錯綜したケース
（確かに127 以下はけっこうややこしい）を脱して
ある程度規則性が見えてくるのは、ここより先
（255 とか 1023 とか 2047 とか）らしいんだよね。
そうすると、もう手描きだと追いつかなくなるのと、関係が錯綜して
見づらくなる（つーか、局所的な関係はわかるんだが、全体像が
把握できなくなる）ので、「２で割る」「３n + 1 して 2 で割る」
「その数の大きさ」みたいに次元を分けて空間的に散らばらせて、
ぐるっと見渡せれば何かわかるかな、と。
乱数の品質とかも、二次元空間にマッピングすると「あ、この
アルゴリズムだと、品質悪いな」とか判ったりするじゃん？
あんな感じ。 >>100-101
う～む、そんなに単純ではないのですね。
ちなみに、
コラッツ予想の19n+1版において
7で割って
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
これは言えるのでしょうか？ >>103
それが言えちゃうとまさに「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」になっちゃいます。
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
これはプログラムによって証明できていますが、
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
こっちは証明できていません。 しかし実際問題として19n+1版の反例というのはそんなに簡単には見つからないものなんですか？ >>106
bn+1版でbが大きくなると、遷移の上昇幅も大きくなるから、無限大に発散する可能性は高くなると思います。
適当にプログラムを走らせて、どんどん大きくなっていくようなら、この初期値は無限大に発散する可能性が高い、とは言えると思います。
「無限大に発散する!」という証明はかなり難しいと思います。 >>106
どうでしょうね…あまり考えたことはないので、難易度も分かりません。 「コラッツ逆操作だけ」というのがそれほど強い制限でないという話。
まず、コラッツ逆操作では操作 3 を行うか操作 4 を行うかで分岐が起こりますが、
コラッツ操作では分岐は起きません。
なので、例えばある数にコラッツ逆操作を行ってからコラッツ操作を行うと、元の数に戻ることになります。
予想を証明するには、
「ある数 a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返してある数 b にたどり着けるか」
を考える必要がありますが、上記のことから
「ある数 a から何度かコラッツ操作を行い、その後何度かコラッツ逆操作を行うことである数 b にたどり着けるか」
という道筋だけ考えればいいということになります。
そうすると、コラッツ逆操作だけを考えるというのは大体、操作の後半だけを考えるということになります。
これが強い制限と思うかどうかは人それぞれですが、
実際にこれまでは多くの場合にうまくいっているので、大した制限じゃないのだろうと私は思っています。 ちなみにこれまで「コラッツ操作」の方を全く考えていない訳ではなく、
前スレ>>787の
命題
T を木とし、k=1 or 2 とする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod 3) となる。
や、前スレ>>851の
補題
n を 5 以上の奇数とする。
任意の木には、3 の倍数でも n の倍数でもない数が含まれる。
（元々は奇数でなく素数としていたが、全く同じ証明で奇数の場合も示せる）
ではコラッツ操作を用いています。 通常のコラッツ予想3x+1ですが、
①プログラムが無限走行→オールNothing出る
(Cを繰り返すと集合が1つになる事が使えないか)
②オールNothing出ない→プログラムは停止
③全てのnでオールNothing出ない(難しい?)
④全てのnでプログラムは停止する
というのを考えたのですが、
実際証明するとなると難しいですかね。 また邪魔なプログラマが通りますよ
コラッツ逆問題（３ｎ＋１版。「1 から出発して、すべての自然数に
到達できるか」）について、「（有限な）すべての偶数は、２で割り続ける
ことによって奇数に帰着するので、奇数についてだけ証明できれば足りる」
のは確か。
逆コラッツ操作は、
１）ｎを２倍する。
２）ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれるなら、それ（２ｎ－１）を
３で割る。
が可能。
で、このとき、「ｎが３で割りきれる場合は、（１）の操作によって
『ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれる数』が出てこない」ことが
判っていて、ｎの偶奇によらず（１）の操作の結果は偶数になるので、けっきょく
奇数は出てこないことがわかる。
（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、このとき（ｎの
偶奇によらず）３の倍数が出てきたときは逆コラッツ操作の
（１）（“右へ向かうルート”。こちらは際限なく右に延長できる）は
考慮しなくていい。
なお、“縦のルート”は、最下位ビットが「２個以上の連続するオンビット」である
状態と関連している。
この制約条件のもとで、「１を出発点として、すべての奇数に到達できるか？」が、
コラッツの逆問題となる。
で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
だから、それを満たす数について考えればいい ―― ような気がする。
だけど、コラッツ予想に関する議論で「mod 12」って話が出てきたのを
見た記憶がオレにはないんだよな (-_-!)。
これって、オレが なにか盛大な勘違いをしているってぇコトなのか？ >>112
>「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に至る“縦のルート”
ここが分かりません。
具体的な一連の数とかありますか? >>113
とりあえずこんな感じかな？
242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
詳細は のちほど。 つーか、「コラッツ操作」ということを考えたら、
「->」じゃなくて「<-」のほうが判りやすかったかも。
あ、「3n + 1」じゃなくて、「(3n + 1) / 2」で
表示してるのは、このスレを見てるような人だったら
察してくれるよね？ 言うまでもないけど、
“☆”がついている値は、
「３の倍数なので、2 の冪乗を掛けても
『2n - 1 が 3 で割りきれる数にならんので、
下に延びる枝（3n + 1 操作の逆操作）がない枝』」
っちゅーことです。 >>114-116
>>112は大体理解できました。mod12は分かりません。
> で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「４で割って１余るｎ」であり、
>それが正のコラッツ操作（２）によって「６で割って２になる数」に変換されるはず
>だから、それを満たす数について考えればいい >―― ような気がする。
例えば17を見ると、4で割って1余る。
コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの? >>113
ごめん。
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「２ｎ＋１」操作を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
っつーのは、
>（２）に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「ｎを二倍して１を引いたものが
３で割りきれない数」に「（３ｎ＋１）／ 2」という操作（←ここ重要）を繰り返して「６で割って２余る偶数」に
至る“縦のルート”（有限長の上下のルート）を描くことであり、
という意味だ。
とりあえずツッコミは歓迎なのだが、いまは遠山 啓先生の『初等整数論』で
理論武装中なので、殲滅的攻撃は勘弁してくれいm(_ _)m。 >>118
すみません、つい熱くなってしまって…… >>117
> 例えば17を見ると、4で割って1余る。
> コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
> しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
> コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?
典型的な例を挙げたので分かりにくかったと思うが、
(26 ->)17 -> 11 -> 7 というのは確かにあって、
「必ず 3 の倍数で終わる」とかいう話ではないのだ。
つーか、「どのあたりで齟齬が生じているか」について、
数学屋さんと電算屋の間では分かりにくいのだ。
「素数には必ず原始根がある」というのは納得するにせよ、
「原始根って複数あるんじゃないの？ そのあたりはどうなの」とか、
「そもそも『指数』という概念がよくわからん」とか、
「QRコードとか乱数生成とか、リクツは判らんでもないけど、
原始多項式うんぬんとか言われても、正直な話、小分かりがせんのよ」
みたいな感想がある。
そもそも「Z/pZ」っつーのが、「演算を定義せんと意味がねぇ」みたいな
話があって、よくわからん（加法なのか乗法なのかとか）。
せっかく大勢の人が見てくれているのだから、「数学的に厳密な記述」
ではない「わかりやすい説明」（まぁ、「『分かりやすい説明』は、
嘘の温床だ」という意見は確かにあるのだが）っつーのも
試みてくれんか。このスレで（見ているだけの奴もいるし、
書いている奴もいるわけだが）“解っている” 人間も
少なかろうと思うので。 >> 119
> すみません、つい熱くなってしまって……
いや、熱くなるのはまったく問題ないので、「こちらこそ、数学の門外漢が
半煮えの議論を持ち出してすまん m(_ _)m」とお詫びしたい。
とはいえ、実験数学が未解決問題の解決に貢献することもあるし、
「素人目線からの、視覚化だのなんだの」が有効なことが あるのだ。
数学屋さんには数式という武器があり、
電算屋にはプログラミング言語という武器がある。
（個人的に Wolfram は気に入らないが）Mathematica みたいに
その間を繋ぐツールもある。
とりあえず「共通の土俵」っつーのを用意したいと思う。 >>122
> 具体的にプログラム言語は何使えんのよ？
わしゃぁのう、年寄りじゃけん、本当はアセンブラしか解らんのじゃ。
じゃけんども、C とか LISP とかは、理屈がよう分るんじゃ。
Pascal は、P-system があったんで、Java んような「中間言語」とか
「仮想マシン」っちゅーたらコンセプトは分らんでもないんじゃ。
年取ったけん、IDE がなけりゃプログラムなんぞ書けんように
なってしもうた。
そんなわけで、ようやく Java を使ってなんとかプログラムを
書いとるんじゃ。
ごめんつかぁさい。 中身のある話振ってくれるなら歓迎するけどね。
アイディアがあるなら具体的に頼む。 >>125
> アイディアがあるなら具体的に頼む。
ありがとう。
生煮えなので申し訳ないのだが、右（２の冪乗）から来る
値は、n ≡ 1(mod 3)か n ≡ 2(mod 3) だというのが
解っている（3 の倍数だったら、下((2n -1 が 3 の倍数になるので、
(3n + 1) / 2 の逆操作ができない)へ行けない)）と思う。
そうすると、わりとスケスケな感じで自然数の空間が
視えてくるような気はするのだが、「数直線」という
言葉があるように、フツーは自然数というのは一次元なんだよな？
そのあたり、なんかしらのパラダイム・シフトが必要な気はするんだが、
「それが具体的に何か」と訊かれても、「う～ん …」になっちゃうのだ。
「6 で割って 2 余る」とか「4 で割って 1 余る」とかいった話は
あるんだけど、6 と 4 の最小公倍数って 12 なんで、「(mod 12) って
ありそうな感じじゃねぇ？」とか言ってみただけな部分はあるわけですよ。
具体的な話をすると、「場合分けがパンクする」っつっても、
Tic-Tack-Toe＜（n-th Queen ではない）8-Queen ＜ make 10
＜ ペントミノ ＜ 四色問題 と並べてみると、組合せ的な話であれば
ペントミノ程度の話なんじゃねーかと思ってるワケですよ。
ただ、「どういうコンセプトで捉えたら、数学的かつ計算器数学的な
問題に落とせるか」っていう切り口がわからんのよね。
そんなわけで、「アイディアがあるなら具体的に頼む。」という問いには、
「こっちが知りてぇよ」と応えざるを得ない。済まぬ m(_ _)m。 逆にxn+1問題で無限大に発散する場合もあるxを探すというのは？ コラッツ予想をセルオートマトンで可視化する事を試してみました。
ttps://dotup.org/uploda/dotup.org1543060.zip.html
キーは3nplus1です。
大まかに４つのパターンを図示してみました。
1）完全にランダムなパターン
2）1のビットが長く続くパターン(2^n-1)
3）最下位ビットと最上位ビットの間が0のビットで隔てられてるパターン(2^n+1)
4）1のビットが長く続き、さらに離れて最上位ビットが存在するパターン((2^n+1)*2^m-1)
最下位ビットが0の行は赤に塗ってあります。
プログラムに間違いがあればすいませんが、結構興味深い遷移がみられました。 >128 まとめ
○コラッツ操作を行った際に操作前よりも数が増えるのは最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合のみ。それで増加する桁数は連続していた1の桁数よりもおそらく少なくなる。
○0が2ビット以上続いた箇所でグループを分けた場合(1011001101→1011 001101)、コラッツ操作3n+1のうち+1の影響を受けるのは最下位のグループのみ。それ以上のグループは3nの挙動となる。
○n桁の連続した1は3n+1操作で10(n-2桁の1)01になる。これが最下位グループなら+1操作で最下位ビットが繰り上がり10(n-1桁数の1)となる。
とりあえず挙げられるのはこんなところでしょうか。
既知の情報でしたら申し訳ない。 整数をビット列とみなして考えるのは>>1がかなりやってたから>>1の意見を聞きたいね。
まあ、この程度の成果では驚きはないだろうけど。 結構きれいな絵だけどきれいなものだけ抜き出したの？
よくわからんが全部きれいになるならもしかして凄いのかな？ >131
綺麗なパターンが出る値を選んでます。
大抵は増えて減ってを繰り返すパターンになると思いますが、その出現に規則性が見られるように思えます。
まぁ勘違いかもしれないんですが orz >>129
「最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合」については、
以下のようなことを考えたことがある。
「ここで、新たな操作を追加する。
（３）n' = 3n + 2
である。
たとえば "11101" のように、左に '1' が二個以上連続した部分（m 個）が
あるとする。これを、m - 1 個の '1' と '1' に分ける。 "11101" だったら
"11" と "101" だ。このとき、"11101" は、"**"と「 "101" に（３）の操作を
二回施した結果」で表される。
"11" -> "*" + "101"
"111" -> "**" + "10001"
"1101" -> "*" + "10001"
"1111" -> "***" + "101011"
"11001" -> "*" + "10111"」
その他の悪戦苦闘っぷりは
http://animaleconomicus.blog106.fc2.com/blog-category-33.html
を参照されたい。 逆コラッツ操作を行なうプログラムの中で、ずっと
「ｎを二倍して１を引いたものが３で割りきれたら３で割る」
とかいうロジックを使っていたのだが、よく考えたら
「ｎを３で割って２余る」（n ≡ 2(mod 3)）でよかったことに、
いま気づいた。
2*(m + 2) - 1 = 2m + 4 - 1 = 2m + 3
なんだから、3|m（「m が 3 で割切れる」あるいは「m は 3 の倍数」。
遠山 啓さんの『初等整数論』のスタイルだと「3)m」）なら
当たりまえじゃん（だから数学は苦手なんだと(ry）。
そうすると、
１）ｎを３で割って２余るなら、二倍して１を引いてから２で割る。（それが終わったら、次にｎを二倍して右を探す）
２）ｎを３で割って１余るなら、右に逃げる（ｎを二倍して右を探す）。
３）ｎが３で割りきれるなら、下には行けないし右側にも奇数へ向かう枝が出ないので、ひとつ前（根に近い数）に戻る。
という操作で再帰をかければ、「逆コラッツ操作で出てくる奇数の木を探索する」ことができるはずだ。
こうなったら奇数偶数関係ねぇじゃん。orz 個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数にちょっとした発見があるんだけど需要ある?? あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性やn次のコラッツ、コラッツに群の導入などなど >>128-129
残念だけど目新しい情報はないかなあ。 >>135
> 個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数に
> ちょっとした発見があるんだけど需要ある??
>>136
> あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性や、n 次のコラッツ、コラッツに群の
> 導入などなど
ここは、たぶん「『需要ある??』とか、つまんねぇ遠慮なんかしてるんじゃねぇ！ さっさと晒せよ！」
…… っつースレですから。燃料を投下していただければ、いくらでも。 スレがにぎわい始めましたね。
あとは>>786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。 >> 139
> あとは（前スレの）＞＞786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。
つーても、数学板は敷居が高いのよ。
前スレの ＞＞8 の
> 最初に偶数はアウト（１に収束）
> ４の倍数になったらアウト
っつーのも、
×「最初に偶数はアウト」
〇「最初に２の冪乗数はアウト」（つーか、２で割り続ければ奇数に帰着するので、
奇数について証明できればオッケー。てなワケで「４の倍数になったらアウト」と
いうのも、ここに帰着）
とかいったツッコミ（つーか、解説）を誰かしてくれよ、みたいな話にはなる。
むしろ、素人目線の解説を丁寧に してくれるヒトがいてくれると、もっと盛り上がる
ような気がするのだが。 なんだか盛り上がってますが
とりあえず>>92の出力が正しいことの説明がやっと書けそうなので、投下してから見ます。 頭の中では図と数式だけしかないから大したことない議論に思えるけど
ちゃんと書こうとするとどうも長くなってしまう…
>>92の出力が正しいことの説明。
Z/nZ を図で表すイメージを導入します。
まず n が素数のときは、アルゴリズム (1) のようにグループ分けし、
https://i.imgur.com/h7RBsuk.jpg
図のように 2 倍すると右に 1 マス進むように数を並べます。
各グループの左端と右端は繋がっているイメージです。
n が素数べきの場合も同様です。
さらに一般の n でも同様の表現が可能ですが、ここでは別の表現を導入します。
p,q を相異なる素数とするとき、Z/pqZ は
Z/pZ を横軸、Z/qZ を縦軸にとった二次元配列で表せます。
https://i.imgur.com/tboXYk0.jpg
「Z/pqZ は (Z/pZ)×(Z/qZ) と同型」というのはこのことを表します。
例えば下図の赤マスは
https://i.imgur.com/ulP84EU.jpg
mod 7 で 4、mod 3 で 2 であるような数、すなわち 11 を表します。
Z/pqZ の図で数を 2 倍すると、右上のマスに移ります。
ただし、各ブロックで左右の端、上下の端はそれぞれつながっています。
https://i.imgur.com/bvi0vDc.jpg
図は一部のみ示していますが、どの矢印も 2 倍を表しています。 ここから>>92の出力の話。
19n+1 版で、プログラムに 7 を入力して、A'={3,5,6} とした状況を考えます。
B は Z/133Z において、
「 19 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 3,5,6 出ない数」
を考えるので、Z/133Z の下図の部分だけを見れば十分です。
https://i.imgur.com/TH0hekY.jpg
グループ分けを考えると、2 倍すると右上に進むことから
図のように 3 つのグループに分かれます。
https://i.imgur.com/twmrZQa.jpg
縦のマス数 18 が 3 の倍数であることに注意。
次に {3,5,6} に 19 をかけて 1 を足すと
3*19+1=58≡2 (mod 7)
5*19+1=96≡5 (mod 7)
6*19+1=115≡3 (mod 7)
より 3 に対してのみ B のグループが対応します。
58≡1 (mod 19)、58≡2 (mod 7) より
58 は図の位置になります。
https://i.imgur.com/Lr4sVXl.jpg
よって、緑グループのみ得られます。 次の C は、Z/(7・19^2)Z において下図の部分を考えることになります
https://i.imgur.com/9mmsWTp.jpg
縦は 18・19 マスです。グループは 2 つ得られます。
緑マスの数に 19 をかけて 1 を足すわけですが、まず mod 7 だけで考えると
1*19+1=20≡6 (mod 7)
2*19+1=39≡4 (mod 7)
4*19+1=77≡0 (mod 7)
なので、緑マスの中でも mod 7 で 2 である数しか C のグループに対応し得ません。
対応するマスは mod 7 で 4 の列 (一番右の列) のどこかになります。
一方 mod 19 で考えると、ある数に 19 をかけて 1 を足すわけですから、
当然結果は mod 19 で 1 になります。
Z/(19^2)Z で 1 に 2 をかけていくと、mod 19 で 1 である数は 18 回に 1 回現れます。(2 が Z/19Z の原始根であることから)
したがって、緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、下から数えて 18k+1 (k∈N) 番目に現れます。
mod 7、mod 19 の話を合わせれば、
緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、青グループにしか対応しないことが分かります。
プログラムの出力でいえば、C のうち 1 つだけが得られた、という部分に当たります。
最後に C' の部分ですが、
青グループの数に 19 をかけて 1 を足すことを考えると、
C での議論と全く同じになり、黄グループの数に対応しないことが分かります。
したがって、出力は>>92の通りになります。 >>129 と >>132 から、なんとなく証明への道筋らしきものが見えてきた。
もちろん“道筋らしきもの”なので、完璧な証明に到達できるかどうかは別の話なのだが。
まず、ごく初歩的な話だが、「メルセンヌ数」の話をしておく。「メルセンヌ数」を「メルセンンヌ素数」だと思っているような人は
数学板にはいないだろうが、「素数であるメルセンヌ数」が「メルセンヌ素数」で
あって、メルセンヌ数は単なる「2^n - 1」の形をした数である。
メルセンヌ数が素数であるかどうかは「リュカ検定（ルーカス・テスト）」に
よって比較的効率よく行えるので、「メルセンヌ素数は無限に存在するか？」
「（偶数の）完全数は無限に」という問題と関連して、コンピュータによる
探索が行なわれている。そうやって見つかった素数は桁数が大きいので
「現在知られている最大の素数」みたいな形で話題になる。
つぎに、任意の有限な数 n をビット列で表したときの、最初のオンビットから
最後のオンビットまでの部分を、“コラッツむし”と呼ぶ。 ４で割って１余る（n ≡ 1(mod 3)）コラッツむし以外のコラッツむしは、
下位に「２個以上連続したオンビット部分」を持っている。ここで、m 個並んだ
オンビットがあるとして、そのうちの下位側の m - 1 個のビットを
「メルセンヌ部分」、残りを「本体」とする。このとき、本体部分に m - 1 回の
「3n + 2」操作を行なったものが、コラッツむしの“真の体長”だと
思うことにしよう。
つまり、n が メルセンヌ部分を持っているときは、メルセンヌむしは
“縮んでいる”わけだ。
3n + 1 操作を受けた“伸びた”コラッツむしの下位側には、0（二進数表記。
オフビット）が現れる。ただし、任意個の 0 は“ないのと一緒”なので、
コラッツむしの体長には含まれない。
そこで、「コラッツ予想が正しいかどうか？」は、「コラッツむしの“真の体長”が
際限なく伸びてゆく場合があるか？」という問題に帰着する。
そうなると、本体部分は「４で割って１余る素数」だ。これに 3n + 1 操作を
行なったときに、メルセンヌ部分がどう表れるかという話になる。この
メルセンヌ部分が際限なく表れると、コラッツむしの真の体長が伸びて、
メルセンヌ予想が破綻する。 じゃあ、「『メルセンヌ部分を持たないコラッツむし』が『メルセンヌ部分を
持つコラッツむし』に変態する頻度と、変態後の“真の体長”の変化は、
どのようなものか？」という話になる。
“真の体長”が伸びる可能性があるとすれば、それは操作 3n + 1 による。
このとき、3n + 1 操作が可能なのは n ≡ 2(mod 3) の場合だけだ。で、
これに 3n + 1 操作を行なうと、n' は n' ≡ 1(mod 3) になるので 3n + 1 操作は
「一回休み」になる。
2n 操作によって、mod 3 は 1 -> 2 -> 1 -> 2 と変化する。
また、メルセンヌ数の mod 3 は、桁数が多くなるごとに 1・２・１・２ と
変わる。
つまるところ、「真の体長を伸ばすようなメルセンヌ部分が、どれだけ
出てくるか？」という話になる。
「山よりでかい猪は出ない」わけで、真の体長よりも“長い”メルセンヌ部分が
出ることはない。これを踏まえて、「コラッツむしの真の体長が無限に伸びる
ことがあるのか？」という話になる。このあたりが mod 3 と mod 4 の
絡み合いで組合せによって解決できて、「伸びるにしても限度がある」ことが
示されれば、メルセンヌ予想は肯定的に解かれたことになる。
こう考えると わりと単純な話なので、数学の素人でも手を出しやすいような気が
する。もっとも、コラッツ問題自体が「素人にも手をだしやすいが、素人の手には
負えない」問題なんだから、解けるかどうかはまた別の問題なのだが。 一応、まとめてみる。
自然数 p と q を考えよう。
とりあえず、p は措いておいて q について考える。
2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。いちおう、
「q が 1 のとき、結果がマイナスになるのだが、ちゃんと考えてるか？」
とかいった話もあるが、ここでは正の数だけを考えることにする。
つぎに、メルセンヌ数 p^2 - 1 を考える。これは p - 1 桁の数になる。
これを結合したビット列を考えよう。それは (2^p - 1) + 2^p × (2^q - 3) であり、
桁数としては (p - 1)+(q - 1) 桁であるから、p + q - 2 となる。
このとき、「2^q - 3 に『三倍して２を足す』操作を p 回繰り返した結果に
コラッツ操作を施すことで、どれほどの桁数（これを n とする）になり、
最下位に何桁（これを m とする）のメルセンヌ数が出てくるか？」を
考える（m < n であることに注意）。
m と n を p と q の関数で表して、 n - m が q - 1 よりもどんどん大きく
なっていったら、コラッツ予想は「はずれ」だということになる。
おそらく、最悪のケースで見積もると、“爆発”（無限大に発散）すると思う。
そうでなかったら、コラッツ問題はとっくに解決しているはずだ。
だから、相当に ややこしいテクニックを駆使して「最悪のケース」を避けて
「無限大には発散しない」ことが示せれば、コラッツ予想は肯定的に証明される
ことになる。
そんなにうまくゆくとも思えないし、可能だとしても相当に苦労するだろうとは
思うのだが、方向性としては ちょっと新しいように思うので、「難しい」とか
「ダメっぽい」とか「ここから先で行き詰まった」くらいの実績は残しておいても
いいと思う。
コラッツ予想に関する「やってみたけどダメだった」的な論文というのは
山ほどあるのだから、いまさら何本かのクズ論文が増えたところで
文句を言う奴もおるまい。 >137
既知の情報だったようですね。失礼いたしました
>146
何かしらのお役に立てたのなら幸いです。 >>150 ＞＞128
> 既知の情報だったようですね。失礼いたしました
いやいや、２ちゃん（今は「５ちゃん」だが）でガイシュツは恥ではない。
お気にならさず。
> 何かしらのお役に立てたのなら幸いです。
本当に役に立った。ありがとう m(_ _)m
ついでながら、>>149 の
> 2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。
というのは、「５以上の４で割って１余る奇数」のうち、いちばん
みっしりビットが詰まったやつのことである。
このあたりのコンセプトの整理には、本スレに参加している諸氏の意見が
非常に役立った。併せて感謝申し上げる。ありがとうm(_ _)m ようやく前786氏の言ってることが ちょっとだけ理解できたような気がする。
「Z/pZ」（つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
配慮があるんだろうと思う）というのは、単なる剰余系であって、
「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな？
そもそも、「+1 する」という操作に対して p の剰余系 Z/pZ は閉じているので、
「Z/nZ（+1）」は閉じているわけだ。
で、n が p の原始根だとすると、Z/pN が「Z/nZ（×n）について閉じていて、
しかも網羅的である」っつー話なんだよな？
だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ（×i）というのは
、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
なるんだよな？
で、たぶん前786氏は、「そのあたりを、（Z/pZの）すべての p に対して
（すべての i に対して）ツブしていけば、どっかで何とかなりそうな気がする」と
いう気がするので、「i = 2」に関してツブしてゆこう、という話ではないかと思う。
オレは何かヘンなことを言っていると思ったら、ツッコミを入れてほしい。歓迎する。 2 に注目しているのは、
コラッツ操作の「偶数を 2 で割る」
逆操作の「2 をかける」
から来ています。
証明を考えていくと自然とそうなりました。
>「Z/pZ」（つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
>それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
>配慮があるんだろうと思う）というのは、単なる剰余系であって、
>「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな？
ここで何を気にされてるのかいまいちよく分かりませんが、
「閉じている」という表現は全体の一部分を見ているときに使う表現なので、この場合適切でないと思います。
例. 整数全体の中の奇数の集合は、積について閉じていて和について閉じていない。
「どういう演算を考えているか」を気にしているということでしょうか？
あと一応もう一つ言葉にツッコんでおきますと、
>だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ（×i）というのは
>、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
>なるんだよな？
この「部分群」もちょっと用法がおかしいです。
例えば Z/7Z を {0},{1,2,4},{3,5,6} に分ける、というような操作に関しての発言だと思いますが、
これを表現したければ「軌道」と言うのが適切かと思います（群論の言葉です）。 2 に注目していることについては、
例えば次のような問題を考えれば納得できると思います。
問. どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで 9 の倍数に到達できるか？ スレの流れからいうと不規則発言なので、「そういうコトを言っている香具師がいる」
くらいに思ってほしい。
なんとなく問題の本質が見えてきたような気がするので、「コラッツ予想」
「コラッツ問題」に関して「他の研究者は、どんなアプローチを取っているんだろうか？」と
思って検索してみた。
そうすると、「3n + 1 問題」の 3 を「一般の k に拡張したときに」とかいう話が
多いんだよね。
「逃げちゃダメだ、逃げちゃダメだ、逃げちゃダメだ」と思う。そんなもん、
「3n + 1」を解決してから考えろ、と思う。
mod k からアプローチするのは、基本的に“あり”だと思う。だけど整数論
（群とか環とか体とか）に関していうと、あんまり道具としては使いやすくないので
、「果たして有効だろうか？」と思う。まぁ、数学の素人が言う こったから、
「ふぅーん、あんたはそう思うのね？」くらいの感じで聞き流してくれても
まったく問題がないのだが。
だいたい、「数学」っつーのは“無限”を相手にすることが多い。「実用的な範囲で、
どれくらい抑え込めるのか？」っつーのは、どっちかっていうと有限組合せ数学とか
の範囲の仕事なのだ。だから、純粋数学畑の人はあんまり興味を持たないと思うし、
数式処理システムとか実験数学とかいったものとかとは距離を置きたいと思うのが
当然だと思う。
あとは「整数論方面のほうからのアプローチが どこまで通じるか」という期待が
あるのだが、そっち方面の研究って、あんまり進んでないような気がする。
「有限束の数え上げ」とか「魔円陣（完全ゴロム環）」とかいった話題は、
もう十年以上も取りあげられていないような気がする。
てなワケで、燃料を投下してみた。敲いてくださって結構。かかってらっしゃい。
数学はまるでダメだが、伊達に長年ネットで のたくっていたワケでもないので、
口だけは達者だ。 >>153
おお、数学屋さんがマトモに応答してくれるとは光栄だ。これは皮肉ではない。
本当にそう思っている。
> 2 に注目しているのは、
> コラッツ操作の「偶数を 2 で割る」
> 逆操作の「2 をかける」
> から来ています。
私はビット列として考えているので、“コラッツむし”みたいな概念で「シフト演算」
あるいは「ヌルビットの除去」というイメージで捉えているのだ。このあたり、
プログラマという商売柄がある。そんなわけで、「だったら、コテハン（固定ハンドル）を
使って立場を明確にしろ」ということであれば、対応するつもりだ。 >>153 つづき
>>「Z/pZ」（つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
>> それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
>> 配慮があるんだろうと思う）というのは、単なる剰余系であって、
>> 「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな？
> ここで何を気にされてるのかいまいちよく分かりませんが、
> 「閉じている」という表現は全体の一部分を見ているときに使う表現なので、
> この場合適切でないと思います。
>
> 例. 整数全体の中の奇数の集合は、積について閉じていて和について閉じていない。
>
> 「どういう演算を考えているか」を気にしているということでしょうか？
「群論」というと、整数論をちょっと齧った人間としては、まず「循環群」
（その集合の要素をすべて網羅すること）を連想してしまうのだよ。
だから、「2 をかける」という操作よりも、「3n + 1 という操作に関して、
その有限集合が閉じているか？」が気になってしまうのだ。そういう意味では、
「どういう演算を考えているか」が気になる。 >>153 さらにつづき
> あと一応もう一つ言葉にツッコんでおきますと、
>> だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ（×i）というのは、
>> 「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
>> なるんだよな？
> この「部分群」もちょっと用法がおかしいです。
> 例えば Z/7Z を {0},{1,2,4},{3,5,6} に分ける、というような操作に関しての
> 発言だと思いますが、
> これを表現したければ「軌道」と言うのが適切かと思います（群論の言葉です）。
済まぬ m(_ _)m。「軌道」という言葉は別のサイトで使っちゃってたので、
あえて避けた部分がある。
「軌道」によって排他的（重なる要素がない）集合に分割される「群」の
部分集合、という意味で「部分群」という言葉を使っただけだ。
コラッツ集合を表す「木」という言葉も、「根本のほうで循環してるんだから、
『木』っておかしくねぇか？」みたいな議論は前スレでもあったと思うが、
「ビット列の中で、最初のオンビットから最後のオンビットまでを
“コラッツむし”と命名する」みたいなコンセプトで、「根っこが 1 ビットである
木構造」と捉えると、「木」と呼んでも しっくりくると思うのだが。 >>154
> 問）どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで
> 9 の倍数に到達できるか？
なんとなく意味は分かるのだが、どういう問題意識があるのかがピンとこない。
mod p の木に奇数 m があり、mod q の木に奇数 q があったとすると、（p と q が
互いに素だとして）Z/pqZ 上では「根である 1 まで下がって、また上がってくりゃ
いいだけの話じゃん？」と思う。
「p と q の直近の（いちばん近い）共通の奇数 x があり、それぞれコラッツ操作に
よって x -> p と x -> q に至るルートを（効率よく）求める方法を（コラッツ操作と
コラッツ逆操作を それぞれ用いることで）示せ」っつーんなら、「ひょっとしたら、
なんとかなるかも知れん（オレが出来るとは言わんが）」くらいのことは言えるが。 >>159
私が考えているのは
「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
というのがどんな n, k についても成り立つか、という問題です。
それを証明するための一つの手段として、
「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで n で割って k 余る数に到達できる」
を示そうと思っています。
ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、何の話でしょうか。
Z/pqZ 上では「根である 1 まで下がって、また上がってくりゃいいだけの話じゃん？」、というのも意味がよく分かりません。 >>160
要するに、
> 「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
> というのがどんな n, k についても成り立つか
というのは、
「コラッツ予想は、x ≡ k(mod n) だけ考えれば十分であるというのが、
どんな n, k についても成り立つか？」っつーのと同じことを謂っているように
思うのだが、うちらは「そのあたりに関しては、mod 3 と mod 4 の絡み合いに
関係していそうなので、なんだかんだで場合分けがややこしいことになりそうだ」
という話をしているだけなのだ。
そこで、
> それを証明するための一つの手段として、
> 「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで
> n で割って k 余る数に到達できる」
> を示そうと思っています。
というのが、「コラッツ操作」と「コラッツ逆操作」を混在させてしまうと、
なんとなく迷走してしまいそうで、心配しているだけだ。
その発想だと、「共通の“節点”であるどこか」を経由しないと いかんような気が
するので、「根であるところの 1 へのルートをそれぞれについて求めて、
その差分を取る」みたいなアプローチが成功しそうに思う。
あくまで個人的な感想なのだが。 >>160
> ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、
> 何の話でしょうか。
原始根は複数個ありうるので、巡回群（剰余系における、全部の要素を辿る乗数系）も
複数個ありうるのだが、「一部の要素」をフォローする（単一の）乗数と、「その他の
要素」をフォローする乗数（その他大勢）が、全体として Z/pZ を隈なく覆う、
という「グループとしての、木の集まり」というものを考えて、「その集まりを
考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを
謂っているんだろうと思っているのだ。
それを考えると、「どこかの木に属している」ということは、「他の木に属していない」
という意味になりそうな気がするわけで、そうした「排他的な木」としての
「mod p の木」とか 「mod q の木」という概念はあっていいような気がするし、
それぞれの木が排他的に「すべての自然数」を所有しているとすると、
「グループとしての、木の集まり」がコラッツ問題をカバーしていることになり、
Z/(全部の木の基数の積)Z の存在を示すことができれば、コラッツ予想が肯定的に
証明できることになるような気がする。 >>161
mod 3 と mod 4 の絡み合いでややこしくなるとか、コラッツ操作とコラッツ逆操作を混在させて迷走しそうとか
心配はありがたいのですが、既に多数の n や k について証明できているのは見ていただけてるでしょうか。
「なんとなく」の印象だけで話されても困ります。
>>162
>「一部の要素」をフォローする（単一の）乗数
原始根にならない元のことでしょうか。よく分かりません。
数学の言葉でお願いします。
>「その他の要素」をフォローする乗数（その他大勢）
ここはもっとよく分かりません。
>Z/pZ を隈なく覆う、という「グループとしての、木の集まり」
軌道のことでしょうか。
>「その集まりを考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを謂っている
なんのことでしょうか。 >>142-145
説明ありがとうございます。完全に理解したとは言えないのですが……
このプログラムの実行には12時間以上かかったので、無駄にならなくて良かったです。 若干スレが荒れぎみですがこれも2chの華ですかね？ >>164
よく粘りましたねｗ
逆に言えば、プログラムで数千、数万回計算して得られた結論がたった３レスで説明できた訳ですから、
この考え方をうまくプログラムに落としこめれば計算量を大幅に削減できる可能性も……
>>165
私の発言でそう思わせてしまったなら申し訳ありません。 「すべての自然数 N に対して、偶数は（素因数分解したときの 2 の乗数について
割ったら）奇数に帰着する。
「『４で割って３余る奇数』は、ビット列で表現したときに、下位のオンビット列
（一個以上のビット列が並んでいるビットパターン）」に帰着するので、
「４で割って３余る奇数」に帰着する。
そうすると、「４で割って１余る奇数」に帰着するすべての自然数が、3n + 1 操作に
対して、「４で割って１余る奇数」に帰着するかどうかが問題になるわけだから、
「ある『n ≡ 1(mod 4)の数が、(3n + 1)/2 操作によって、『n' ≡ 1(mod 4)の数』に
なるとき、n' が単調増加して無限大に発散するかどうか？」という話に帰着する。
そんなわけで、そのとき、2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」という話になる。
自分は数学屋ではないので、数式を追っかけて解決する自信がない。
数値実験で見当をつけようと思う。
ロジックに穴があったら指摘していただきたい。m(_ _)m >>167
最後がよく分からないです。
> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」
詳しい説明が欲しいです。
例えば、ビット列で言うとこう、とか
プログラム(アルゴリズム)で書くとこう、とか。 >>166
まあここまでが順調過ぎましたからね
今の方が本来の2chの姿に近いかも
あまりガッカリせずに気長に行きましょう >>167
> 最後がよく分からないです。
>> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」
> 詳しい説明が欲しいです。
あ、ごめん。言葉が足りなかった。
最下位に「連続した２個以上のオンビットがある」というのが
n ≡ 3(mod 4)
ということなわけで、
その場合は「下位のメルセンヌ部分を除去したビット列に、
3n + 2 操作を行ないつづけることで、n ≡ 1(mod 4) に帰着する」
ということが謂える。
だから、「メルセンヌ部分を除いた本体が、増えるか減るか」が
肝心なところであって、「最下位に一個以上の 0 があって、本体の長さが
減る」のか、「最下位に二個以上の 1 が現れて、本体の長さが増える」のかが
問題になるわけだ。
その部分に着目すると、コラッツ操作の逆操作を考えたときに、かなり計算量が
減るように思うので、「コラッツ予想は 5 × 2^60 までは成り立つ」みたいな
ショボい話（IEEE の long よりも小さい）ではなくて、メルセンヌ素数的な
デカい数まで（たとえば 10^100 とかまで）コラッツ予想は成り立つことが、
“数値実験的に”ではなく、“数学的に”（といっても、コンピュータによる
実験的な検証が入っているので、数学的な厳密性に欠けているという点については
完璧ではないのだが）「コラッツ予想は成立する」と断言しちゃっていい、
みたいな話になると思うのだ。 少なくとも、「フツーにプログラムを動かしていたら、例外が見つかった」とか、
飛行機が堕ちて死ぬとか巨大彗星が堕ちてきて人類が滅亡するとか、そういった
確率の何百万分の１以下のところまで絞りこめれば、「実用的には、コラッツ問題は
解決した」（とはいえ、コラッツ問題の実用性というのが、あるとは思えないが）と
言っちゃっていいと思う。
暗号理論だって、「偶然、解読のための鍵が見つかっちゃう確率は 0 ではない」という
意味では完璧ではないわけで、「じゃあ、具体的には、コラッツ予想は、どこまでの
範囲で成り立つのか？」という限界を、「可能性がありそうな部分を、一個づつ
ブルート・フォース・アプローチによって潰してゆく」より効率のよさそうな方法で
ツブしてゆくというアプローチがありそうに思う。
で、その過程で、「なんか、こっから先には なんにもなさそうな気がする」という
限界が うっすらと見えてきたら、そこから逆に「じゃあ、このあたりには何があるの？」とかいった見当がつくのかもしれない、と思う。
コラッツ予想はメルセンヌ素数 8,191 に絡んで、2^8191 - 1 あたりで組合せ論的には
頭打ちになると思う。実際にメルセンヌ数から出発してメルセンヌ数に落ちるケースは
127 かなんかが最高だったので、あとは「メルセンヌ数ではない数から出発して、
3n + 1 操作“のみ”によってメルセンヌ数に落ちる」ケースを潰してゆけば、
コラッツ予想が成立する限界点は もっと先まで確認できるように思うし、
ひょっとしたら（四色問題や有限群の分類みたいに）「この先は、組合せ論的にいって
ありえない」みたいなコトになるかもしれない（とはいえ、私は数学の専門家では
ないので、数学者の誰かが証明できたとしても、その証明を理解できる自信は
まったくないのだが(-_-!)）。
てなワケで、現在探索を続行中。 >>171
探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
なんなら>>1みたいに晒してくれてもいいのよ？ >>168
ごちゃごちゃ長文を書いてしまって申し訳ない。m(_ _)m
要するに、「いままで、『n 以下までにはコラッツ予想の
反例はない』というのを示すのに O(n) の手間がかかって
いたのだが、それを O(lon(n)) に持ってくことができたら、
5*2^60 とかいう ショボい話じゃなくて、 2^127 くらい
までは（できれば 2^4095 くらいまでは）持ってけねぇか？」
っつー話。
>>172
> 探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
『Java の宿題ここで答えます』の回答者側の常連だったので、
「とりあえず動く」レベルのものはあるのだが、やっつけで
書いたもんだから（これが Hacker というものだ）あんまり
フツーのプログラマが見て分かりやすいモンじゃねぇんだよな(-_-!)
自前でやってる WebLog のほうに、近々さらすことにして、
ソーズは もうちょっと洗濯させてくれ m(_ _)m >>173
今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。 やはり>>786が論理を構築し>>1がその論理をプログラムで実装するというのがこのスレのベストプラクティス。
なにかいいネタはないかな。 いまいちよくわかってないんだが>>111の①②③はそれぞれ別々に証明する必要があるってこと？
で①②③がいえれば④がいえるってこと？ >>175
プログラムの結果を参考にして証明を進める、までできれば私としてはベストですね。
今は>>166で書いた案について考え中。
>>176
>>111の①はなんとかなるかもしれません。
「繰り返すと１つになる」というよりは「繰り返しても集合の個数が増えない」という論法になりそうです。
ちょうど>>166のアイデアにも関連します。
このあと軽く説明します。 >>177
①と②は対偶関係なので、
①を証明する→③を証明する→④が言える
です。 そもそも>>92の説明がなぜあれだけで済んだのかというと
・mod 7*19 で考えるところを、mod 7 と mod19 に分けた。
・mod 7*19^2 で考えるところを mod 7 と mod 19^2 に分け、
さらに mod 19^2 で考えるところは実質 mod 19 で考えるだけで済んだ。
ということが効いているんじゃないかと思います。
それで、一つ目はおいといて二つ目の
mod 19^2 で考えるところが mod 19 で済む
という部分がポイントで、
こういうのが許されるのはちょうど「C を繰り返して集合が増えないとき」になりそうなんです。
さらに、プログラムを進めていくとどこかで「繰り返しても集合が増えない」となることも証明できそうなので、
これを利用してプログラムの計算量を減らせそう、という考えです。
時間があるときにちゃんと考えようと思います。 （実際のところ、>>154が分かる人がどのくらいるのかちょっと気になる） 2倍の繰り返しで
1→2→4→8→16≡7→14≡5→10≡1
0→1
3の倍数が残るけど2で割り続けて奇数になったあと
3n→3n×3+1≡1
でおしまい
2倍は「好きなだけ遡れる」ところがポイントかね 13 だったらまだ理解できるんだがな。
1 → 2 → 4 → 8 → 16 ≡ 3 → 6 → 12 → 11 → 9
→ 18 ≡ 5 → 10 → 20 ≡ 7
つーても、これがコラッツ予想の解決とどう結びつくのかがわからんが。 あ、
× 12 → 11 → 9
〇 12 → 24 ≡ 11 → 22 ≡ 9
だった。 mod 7、三倍（原始根は 3）
1 → 3 → 9 ≡2 → 6 → 18 ≡ 4 → 12 ≡ 5 → 15 ≡ 1
mod 19、二倍（原始根は 2）
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 ≡ 13 → 26 ≡ 7 → 14 →
28 ≡ 9 → 18 → 36 ≡ 10 → 20 ≡ 1
あたりが関係してくるらしいのは見当がつくんだが、
3n + 1 で巡回することを考えてみたらいいのか、
それとも 3 で割って 2 余る数について逆操作の (2n - 1)/3 を
考えたらいいのか …… わからん。 >>183
残念
Z/9Z において 0→1 (3倍して1を足す) は可逆でないので、これだと不十分です。
実際、この方針で例えば 16 から 9 の倍数を作ろうとすると、
2 を 2 回かけて 16→32→64
1 を引いて 3 で割って 64→21
で、9 の倍数になりません。
>>184
確かに私の予想が証明できてもすぐにはコラッツ予想に繋がりませんが、
まあ外堀を埋めるような感覚です。
それに、もし万が一私の予想に反例が見つかれば、その時点でコラッツ予想も不成立となるので、
そういう意味ではコラッツ予想を直接攻めていると言えなくもないかなと。 >> 174
> 今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
ただ待たせっぱなしにするのも気づまりなので、
「メルセンヌ数から 1 に落ちる途中で メルセンヌ数を経由する」
という例は挙げておこうと思う。
7 <- メルセンヌ素数の 2 番
31 <- メルセンヌ素数の 3 番
127 <- 1 メルセンヌ素数の 4 番
511: 7 を経由
2047: 127 を経由
4095: 127 を経由
8191: 127 を経由
16383: 127 を経由
131071 <- メルセンヌ素数の 6 番。経由せず。
262143: メルセンヌ素数の 7 番。経由せず。
524287: 7 を経由
1048575: 7 を経由
2097151: 31 を経由
4194303: 31 を経由
でもって、
2^61 - 1 -> 31
2^62 - 1 -> 31
2^63 - 1 -> 31
2^64 - 1 -> 31
とかいう話になっているので、「コラッツ予想は数値実験によって
5*2^60 まで正しいことが確認されている」とかいった WikiPedia の
記述は、このあたりに絡んでいるのかもしれないと思う。 >>189
下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
ますます分からなくなる(>_<) >>190
> 下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
> ますます分からなくなる(>_<)
だからコラッツ問題は面白いんじゃないですか (^_^)v そういえば剰余コラッツ予想(前>>786の予想)の反例が見つかったと仮定して、
その反例から元のコラッツ予想の反例を求めることは簡単なの？ >>192
（その名前使ってくれてありがとう）
これは簡単です。
剰余コラッツ予想の反例があるということは、
ある自然数 a,n,k が存在して
「a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返しても、n で割って k 余る数に到達できない」
ということです。
このとき特に、a から k に到達することができません。
ここで、もし a,k が共にコラッツ操作で 1 になるとすると、
a→1→k のルートで a から k に到達できてしまい矛盾します。
したがって、a,k のいずれかがコラッツ予想の反例となります。 え、じゃあa,kのいずれかは5*2^60より大きくなきゃいけないってことか >>194
あ、ほんとだ
素で気づいてませんでした。
ちょっとこれは認識を改めないといけないかもしれない >>195
ちなみに今のプログラムで反例が見つかっても>>193に繋げられる? >>197
ちょっとまだ分かりません。
反例が見つかったら考えようと思っていました。
ちなみに今のプログラムは剰余コラッツ予想を完全に確かめられるものではない（>>101の話）ので、
5*2^60 以下でもプログラムでの反例が見つかる可能性はあります。 n ≡ 1 (mod 4) に 3n + 2 操作を（連続して）行なったときに
何が出てくるかと、
n ≡ 1 (mod 4)に 3n + 1 操作を行なったときに、
n ≡ 0 (mod 2) と 1 ≡ 3 (mod 4) がどんなふうに
出てくるかと、
四進法で 11111 …… がどんなふうに出てくるかで
（これはどっちかというと効率上の問題）、
どうやら 2^63 の壁は突破できそう。
ただ、アルゴリズムの効率がいまひとつなので計算機パワーに
頼っているのと、数学的に理解しやすい表現に落ちないんだよな ……
連分数による無理数の近似を行なおうとすると、φがいちばん
誤差が収束しづらいとか、そんな話になりそうなんだよな。
遠山 啓先生の『初等整数論』の終わりのほうにもそんな話が
出てきてて、「うーん、オレが求めているのは、
そういう結果じゃないんだけどな」と思ってはいるんだが。 >>202
「大丈夫だ。問題ない」… とは言えんな。
いまのところ２つのアプローチを考えている。
「下位のオンビット列を切り離して、3n + 2 操作を繰り返したあとに
残った 1(mod 4) に 3n + 1 操作を加えたときに
下位に何が（オンの連続かオフの連続か）出るか（そこで 0(mod 4) が
出るまではいいとしても）」、数学的に考えると「下位のオンビット列を
切り離す」操作をどう考えたらいいかとか、操作が複数になるので
理論的にややこしくなるという問題がある。
かといってそれを素直にビット列で考えてコンピュータで
処理しようと思うと、桁数が多くなる（2^63 を超えたあたり）と
31（2^5 - 1）とかが出てきて収拾がつかなくなりそうな
気がする。
数学的素養にしろコンピュータの性能にしろ、
「そんな装備で大丈夫か？」的な不安はある。 数学板でこれを言ったらボロクソに叩かれるのは承知しているが、
「1 ビットに収束する という制約を外して、セルオートマトンで表現する」
とかいった形で画像にしてみて、
その画像に FFT とか ウェーブレット変換とかをかけて挙動を推測する、
とかいうアプローチは あるんじゃねぇ？
画像で表現したときに、「最終的にONな 1 ビットが移動するだけ」になるのは
（実験的には）確認されているんだから、画像的に逆三角形が「どん」という
感じで出現するかどうか、っつー話なわけだから。 >>206
> アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
解ってる。問題は「他にできる奴がいねぇ」っつー点なんだわ。
やんなくていいから、せめて まともなツッコミくらい
入れてくれないと、気分が萎えるんだよ。 まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
まだ突っ込み云々の段階じゃないだろ。 >>208
> まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
わかった。要するにお前は
「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
至る数の性質を明らかにしろ」っつーコトだな？
そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz >>209
> そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
いや待て。ちょっと待て。
> 「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
> 3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
> 至る数の性質を明らかにしろ」
っつても、「偶数を経由せずに」じゃなくて、
「1(mod 4)を経由せずに」なんじゃねぇの？
（末尾が二進数で 00 とか 01 とか 11 だったら、
別のケースに帰着しちゃうんだから）
これだったら結構 効率よく追っかけられそうな
気はするんだよな
頑張ってみる。サンクス。>>208 >>210
× 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)を経由せずに」
〇 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)だけを経由して」 プログラムを使って、
n=3037から6367までの素数396個、全て正常終了を確認しました。
オールNothing出ないですね…… ちなみに素数に絞ったのはなにか根拠があるんですか？
それともなんとなくですか？ 本当はむしろ合成数をやりたかったのです。
素数なら30分で終わるところが、合成数だと2時間かかったり。
ほんで素数にしました。 >>212
とりあえずコラッツ予想の反例が出なかった、という意味では
順当な結果だと思います。ともあれご苦労様ですm(_ _)m
そうすると、現時点で「コラッツ予想が成立する数の上限値」と
いうのは、どの程度なんでしょうか。
IEEE の 64 bit INT（＝Java の long）までは反例がない、
とかいった話ではあるんでしょうか。 >>216
>>189の後半に
>「コラッツ予想は数値実験によって
>5*2^60 まで正しいことが確認されている」
>とかいった WikiPedia の記述
があるからそれだと思います。 >128ですが、また別のアプローチを試みてみたところ、少し面白い結果が得られたのでご報告。既知の情報だったら申し訳ないですが…
「ある奇数にコラッツ操作(3n+1→奇数になるまで2で割る)を試みた結果どんな数になるか」をまとめたところ、以下のような規則性があるのに気づきました。
操作後の数をＡとして、Ａを３で割った余りが
○1(1.7.13…)の場合：(Ａ*4-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる
(1←1.5.21.85…)(7←9.37.149.597…)
○2(5.11.17…)の場合：(Ａ*2-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる
(5←3.13.53.213…)(11←7.29.117.469…)
○0(3.9.15…)の場合：コラッツ操作でＡになる数は存在しない
一旦切ります。 続きです。
で、余り0はほっといて、余り1と余り2をそれぞれまとめてみました。
1： 1. 5. 21. 85. 341. 1365…
7： 9. 37.149. 597. 2389. 9557…
13：17. 69.277.1109. 4437.17749…
19：25.101.405.1621. 6485.25941…
25：33.133.533.2133. 8533.34133…
31：41.165.661.2645.10581.42325…
5： 3.13. 53. 213. 853. 3413…
11： 7.29.117. 469.1877. 7509…
17：11.45.181. 725.2901.11605…
23：15.61.245. 981.3925.15701…
29：19.77.309.1237.4949.19797…
35：23.93.373.1493.5973.23893…
…縦と横を入れ替えると、全部等差数列になってるんですよね、これ。
もう少し続きます。 続きです。長くなってしまって申し訳ない。
3.7.11.5.19.23 初項3 公差4
1.9.17.25.33.41 初項1 公差8
13.29.45.61.77.93 初項13 公差16
5.37.69.101.133.165 初項5 公差32
53.117.181.245.309.373 初項53 公差64
21.149.277.405.533.661 初項21 公差128
213.469.725.981.1237.1493 初項213 公差256
85.597.1109.1621.2133.2645 初項85 公差512
853.1877.2901.3925.4949.5973 初項853 公差1024
341.2389.4437.6485.8533.10581 初項341 公差2048
3413.7509.11605.15701.19797.23893 初項3413 公差4096
1365.9557.17749.25941.34133.42325 初項1365 公差8192
…。
1+2=3
3+2=5
5+8=13
13+8=21
21+32=53
53+32=85
85+128=213
213+128=341
341+512=853
853+512=1365
1365+2048=3413
なんていう分布を見ると、「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
以上、気づいた点のご報告でした。
スレ汚し失礼いたしました。 初項2x+1 (x:整数)
漸化式 a_(n+1)=4 a_n+1
で与えられる数列の各項はコラッツ予想の操作で合流する
(2x+1)×3+1=6x+4
(4(2x+1)+1)×3+1=24x+16=4(6x+4)
一般項a_n=((6x+4)/3)^n-1/3 重ならないように、というのは、
×4+1した隙間の奇数が次々に出てくるのかな >>202
> 「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。
コラッツ予想は、言い方を変えると「４で割って３余るすべての奇数は、
『３倍して１を足す』『２で割る』という二つの操作によって、
１を根とした二分木上に一意に配置される」ということだから、
その認識は正しいと思います。
> 素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
まぁまぁ、そうおっしゃらずに。数学者は数学的な道具の取り扱いに長けているので、
つい自分の使い慣れた道具で扱おうとして、結果的に灯下探索症候群に
陥ることもあるようですから、素人目線も重要ですよ。
行列を使って永らく未解決だった問題が、連分数や図的解法（古代メソポタミアでは
普通に使われていましたが、二十一世紀に再評価されるまで、ほとんど博物館の
展示物扱いでした）で あっさり解けちゃった例もありますし。
ヘヴィサイドの演算子法みたいに、「とにかく解けるんだからいいじゃないか」と
いうのに後から数学的なリクツがついてきた、という例もあるので。 >>218 の指摘は、「二分木上に一意に配置される」という観点からいうと、
ある「４で割って1 余る奇数」を d （odd の d です。o だとゼロと紛らわしい
ので）としたとき、「d が d≡0(mod 3)のときには、そこより先に（次の数 d' が
出てくるような）枝はない」「d が d≡1(mod 3)のときには、奇数枝が出ないので、
あるとすれば偶数枝の先に d' がある」「d が d≡2(mod 3)のときには奇数枝も
出るので、奇数枝と偶数枝の両方の先に d' （とか d'' とか）がある可能性がある」という
話になるんじゃないか、と思います。ですから、非常に納得のゆく視点です。
等差級数うんぬんの話というのは、そこから自然に導かれる帰結なのでは
ないでしょうか。 >>224
ごめんなさい。「奇数枝」というのは、「(3n + 1) / 2 操作によって
奇数に至るルート」なので、途中で偶数を経由しています。したがって、
「3n + 1 操作」ベースで考えると、「それは偶数枝として一般的に
扱ったほうが適切なんじゃねぇんの？」という批判は（たぶん）
あるかと思います。 1
2
4←1
8
16←5
32
64←21
128
256←85
512
…
5
10←3
20
40←13
80
160←53
320
640←213
1280
… 一般化するとこんな感じで枝分かれを繰り返してくわけだが
6n+1
12n+2
24n+4←8n+1
48n+8
96n+16←16n+5
192n+32
384n+64←128n+13
…
6n+5
12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
24n+20
48n+40←16n+13
96n+80
192n+160←64n+53
… >>227
> 12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
よく分からんが、たぶんそうだと思う。
>>114 の再録になるが、
> 242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
> 728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
> 1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
> 1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
> 2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
> 2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
> 3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
> 3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
> 4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
> 4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
> 5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
> 5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
> 6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
> 6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
> 7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
> 7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
> 8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
> 8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
> 8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
> 9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
> 9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
みたいな系列だ。 あ、念のため。
このスレに集っている方々にとっては常識だろうけれど、
‘☆’がついてるのは、三の倍数（n ≡ 0 (mod 3)）の場合な？
「偉そうに」とか「上から目線」とか、そう思われるのは
不本意なので。 >>230
> 同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
つーか、似たようなことを考えてる輩（やから）が
このスレに集まってるんだろうがよ（笑）。 >222
>220を初項の小さい順に並べ直してみると、
1.9.17.25.33.41…a
3.7.11.15.19.23…b
5.37.69.101.133.165…c
13.29.45.61.77.93…d
21.149.277.405.533.661…e
53.117.181.245.309.373…f
a___a___a___a___a___a___a___a___a
_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_
__c_______________c______________
______d_______d_______d_______d__
__________e______________________
__________________________f______
と、フラクタル的な配置が出現しているように思います。
言い換えれば、全ての奇数がこの配置のどこかに格納される事が証明できれば、「とんでもなく大きな数で例外が現れる」可能性を除去できるのではないかと考えたんですが、いかがでしょうか？
あとは、この数列が例外なくコラッツ操作後1に繋がる(1.5.21.85.341.1365…)の数列に帰結する事が証明できれば、コラッツ予想を証明したと言えるのではないかと。
(「そんなんできねーよw」と自分では思ってたんですが、>221が糸口になりそう？)
頓珍漢な事を言ってたら申し訳ないです。 >>232
いや、発想としては順当だろうと思う。>>205 も発想としては同じだろう。
下向きの三角形というのは、一次元セルオートマトンではしょっちゅう
出てくるパターンだし、タガヤサンミナシ（イモガイの一種）の模様にも
あるような普遍的なパターンなので、シェルピンスキーの三角形みたいに
大きな三角形が「ずどん」と出るケースをうまく避けられれば
証明に結びつくと思う。
…… つーか、そのネタはウラムも思いついていて、ノイマンあたりと一緒に
追いかけてたかもしれない。それでコラッツ→ウラム→ノイマン→角谷と
伝わって、ここでこうして議論されているという話はありうる。 ×シェルピンスキーの三角形
〇シェルピンスキーのギャスケット あと、厳密な（解析的な）解決には結びつきそうもないが、
セルオートマトン → チューリング → 二重勾配 → 形態形成
→ フィボナッチ螺旋 → 互除法 → 連分数 みたいなルートは
なんとなく臭い、と思う。「二重勾配」あたりに位置するのが、
「ビットシフト」と「算術演算」（2n + n + 1 ＝ 3n + 1）
であり（こっちが速い過程）、結果的に起きるキャリー（繰上り）の
連鎖とビットパターンの分布の相互作用（こっちが遅い過程）
ではないかと。そのあたりが話をややこしくしているように思う。 オートマトンといえば昔考えた、
×3+1を計算する有限オートマトン
文字: 0,1,空白
先頭が下位の2進数、後は空白のテープを考える
状態: 0(×3+0), 1(×3+1, 初期状態), 2(×3+2), 3(停止).
遷移表:(移動は常に右)
遷移|0 |1 |空
s0|0/s0|1/s1|空/s3|
s1|1/s0|0/s2|1/s3|
s2|0/s1|1/s2|0/s1|
例:7×3+1=22
s1: [1]11空空空
s2: 0[1]1空空空
s2: 01[1]空空空
s2: 011[空]空空
s1: 0110[空]空
s3: 01101[空]
停止せずに折り返して先頭の0を空白に置き換えるように改造すればコラッツ問題を再現するけど、停止しなくなる
1…10と0…01が状態s1を保つので、これでうまく分類できないかなぁ、まで考えた >>236
> まで考えた
Java の開発環境があるなら、前にも「それなりに頑張ってるんだけど」
的な話をしたので、 Java のソース貼るけど？
ただ、ム板（プログラム技術板）でも「ソース貼られると
読んでて邪魔だ」と言われて嫌われて、
「どっかいけ」みたいな感じで追い出されたのだが。
『★★ Java の宿題ここで答えます Part 74 ★★』とかに
“出題”してくれれば、名目が立つんだが。 >>1みたいにgithub使えばよろし
まあ、無理にとは言わんが >>238
> github使えばよろし
> まあ、無理にとは言わんが
WikiPedia によれば、GitHub は
> 2018年にマイクロソフトによる買収が発表されている
そうだ。
ゲイツが死んで三十年くらい経ったら考えてみてもいい。 もしかして言語がJavaなのもアンチゲイツのせいなのか？ｗ >>240
Eclipse を使ってるのもアンチゲイツのせいだw
Eclipse の原型は OS/2 で動いてた VisualAge C/C++ なんだぜ。 ところで、このスレはコンピュータ使いが多いと思うんだが、
・計算器で限界に挑戦するなら C 言語
・プログラマが本業だったら、仕事にも使える Java
・研究とかも含めて、ロジックとか そっちの方にも視野を
向けてるんだったら Lisp 系
・教育のほうに向いているんなら N-BASIC とか Mathematica とか
みたいな言語ごとの棲み分けみたいなのがありそうに思うんだが、
お前ら何（＝どんな言語）使ってる？ そういやコラッツてプッシュダウンオートマトンとかで実装できるの？ >>243
なんかしら Wolfram がチューリングマシンをどうこうして、
どっかの学生が証明したのなんだの、という話が
二三日前の新聞にあったような。
ggrks 、とセルフつっこみ。 JavaScript で実装してみた
たぶん新しめのブラウザでないと動かない
最上位の1は暗黙の存在とし、内部的には全部'_'になって止まる
第1引数は下位を先頭とする2進数の文字列
(※最上位の1は入力からは除外する)
第2引数は途中で止めたい時用に処理する最大桁数
出力は途中経過の配列(最上位の1は補完)
function collatz(a,m){
const STT=[
['___','___','___'], // 停止
['10L','11L','6_R'], // 最下位まで戻る
['___','___','10L'], // 繰り上がり処理
['30R','41R','11L'], // ×3+0
['31R','50R','20R'], // ×3+1
['40R','51R','21R'], // ×3+2
['6_R','5_R','0_R'], // 割る2
];
let s=6, i=0, r=[a+1];
a=[...a];
while(s>0&&i<m){
let c='01'[a[i]]||'2';
let n=STT[s][c];
s=n[0]; // 状態
a[i]=n[1]; // 文字
i+=(n[2]=='R')?1:-1; // 移動
if(s==6)r.push(a.join('')+1);
}
return r;
} >>247
ん、これコラッツのプッシュダウンオートマトンなの？ なお出力の途中経過は×3+1,÷2のいずれかが完了したところだけ出してる 有限オートマトンのこと？
コラッツってそんな弱いの？ 弱い強いはよくわからんが
「ある整数からコラッツ問題の通りに計算を続けて1に到達する」と
「ある整数に対応する初期状態から開始すると止まる」が同値になるオートマトンは作れるかな？
というわけで作ってみたのだが うーん、プログラムが正しくオートマトンの制限を守ってるかどうか判断できない orz
パッと見、チューリングマシンのようにも見える。LとかRとかあるし。 オートマトンは進む一方か……
チューリングマシンだったねこれ とりあえずwikipediaで定義を見直してきましたが、チューリングマシンと呼ぶべきですね
チューリングマシンをオートマトンの一種とするならオートマトンといえなくもないかもですが……
有限オートマトンではありません
なんかごっちゃになってましたねー まあ、プッシュダウンオートマトンでコラッツを実装で来たらそれはそれで一定の成果なのかな？
コラッツ予想が真なら究極的には1状態有限オートマトンでもおｋなわけだから無い話ではないはず。 プッシュダウンオートマトンで実装で来たら無限に発散しないことが言えてしまう？ すっかり別の話が進んでいるようですし、
私の方はなかなか次の話ができる見込みがないので、
私から剰余コラッツ予想についての話題を出すのは一旦休みたいと思います。
ここまでお付き合い下さった皆様、ありがとうございました。 解決に結びつくような話ではないのでスレ違いなんだが、
アラン・チューリングがチューリング・マシンの論文を
発表したのが一九三六年で、ローター・コラッツが
コラッツ予想を提出したのが一九三七年だろ？
なんかしらの関係はあったんだろうかね？ やべぇ。コラッツ予想は連続体仮説や選択公理みたいに、
証明不能であるかもしれないという疑惑が出てきた。
>>244 >>245
で話題になってたのは Wolfram が提出した問題なんだが
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
（>>245 の動画は、その実行例のデモ）。
そうなると、コラッツ予想は万能チューリングマシンの
停止性問題に帰着しそうな気がするんだが、どうだろう。
それとも「遷移規則をうまく構成する」ことで万能チューリングマシンを
実現することができるだけなので、「コラッツ予想を説くための
具体的な遷移規則」を与えたときに停止性が謂えるかどうかは、
まったくの別問題なのかな？ >>262
Wolframが提示して学生が解いたチューリングマシンは2状態3色で、8状態3色のコラッツとは別物ですね。
https://ja.osdn.net/projects/descartes/wiki/ExPzWTuring
またおっしゃる通り、万能チューリングマシンに具体的な遷移規則を与えると、ある1つのチューリングマシンと等価になるので、万能性は消失すると思います。 コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
これソースあるなら教えてくれる？
ひょっとしたら万能性が消失してないという話なのかもしれないので。
可能性は低いと思うけど。 >>126
論文はこちら
ttp://www.wolframscience.com/prizes/tm23/TM23Proof.pdf
あとはこことか
ttp://reference.wolfram.com/language/example/VisualizeTheEvolutionOfATuringMachine.html.ja
動画はガイシュツだけどこれ
ttps://m.youtube.com/watch?v=t9nbkS-5bv8# あとはこれも
ttp://www.wolframscience.com/prizes/tm23/ オートマトン関係ないけど、本筋的にはこんなのも
ttp://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html >>266
コラッツがチューリング完全とは書いてないっぽい 「何か進展はあるか？」みたいな話だとスレが進まないだろうけど、
「こういうアプローチはどうだろう？」みたいな
雑談っぽい話はあってもいいように思う。
このスレの住民は、悪戦苦闘したあげくに
このスレにいるわけだから、
たぶんバカにしたりとはしないぞ？
中学生とかが「こんな感じなんですけど、どうでしょうか？」
みたいな話をしたら、たぶん懇切丁寧に説明してくれるはずだ
（逆に、そういう初心者をバカにしたりしたら、総がかりで
ボコられると思う）。
このスレは数学板の中では、かなり優しいスレのうちに
入ると思う。 この手の問題は何をしたら証明したことになるのかが難しい
すぐに思いつくのは反例を見つけることだけど見つかる気がしない
この予想が正しかったら証明する方法なくね？って思ってしまう >>271
とりあえず、ルートを逆に辿ることはできるんだから、
一意性は成り立っているわけだ。
だから、「任意の『４で割って１余る数』について、
なんかしらの順序的な保存量が定義できる」というのが表せれば、
証明になるんじゃないか？
現状、コラッツ操作によって値が上がったり下がったりするから、
「順序的な保存量」というのが定義できないわけだから。 >>271
あ、保存量として「何ステップで１に到達するか」を取るってのは
ナシだぞ？（笑） 「有限のステップで、必ず１に到達する」って
いうのが証明されてないわけだから。 >>271
問題構造としては、「原始ピタゴラス数が三分木で表される」って
いうのと、ほぼ逆なんだよな。あっちは「最小の元から初めて、
三つの操作によってすべての元が一意に表せる」ことが解ってて、
「任意の元から最小の元へのルートが求められない」つーのが
問題だった。
コラッツ問題の場合は、「任意の元から最小の元へのルートが求められる
ことは、かなり確からしい（ただし、本当に最小の元へのルートがあるかは、
不明）」。で、「最小の元に二種類の操作を行なうことによって、
すべての元（任意の自然数）が一意に表される」かどうかは、
いまのところ不明であると。
なんか、自然数域から何か別の空間への写像を考えて、その別空間の
なかで、ある量に対する半順序構造が成り立つ、みたいなアプローチに
なるのかな？
たとえば f(128) < f(31) とか。 わかりきったことを雑多に書くので落書きみたいなことに
なってしまうが、いちおう書いてみる。すまぬ。
2^∞＝∞で、「２で割る」操作が無限回必要だから、これは考えない。
したがって、[1, ∞) という自然数の開集合の中で考える。
n が偶数の場合は、n/2 に帰着するので、
「[1, ∞)の中の奇数」（{n|n は奇数かつ n∊[1, ∞)}）について考えれば足りる。
で、たしか
n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
「{n|n ≡ 1(mod 4) ∧ n∊[1, ∞)}」について考えれば足りる。
みたいな話になってたような気がするんだけど、これで議論は
足りてるかな？ >>275
あ、ぜんぜん足りてねぇな。
n ≡ 0 (mod 3) のケースについての話がなんにもない。
そのあたり、真面目に（高校生にも解るように）書いてると、
なんかしらスレを消費するだけなんだよな。
誰か（スレ主とか）が「やれ」って言ってくれりゃあ、
やるけど。 ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
自分で考えてて思いついたのは数学的帰納法くらいで
1～kの自然数が1に収束するならk+1も1に収束する、ということが言えれば証明できるのかなと
k+1が偶数なら次が(k+1)/2 < kだから1に収束する
k+1が4で割って1余るならkは4の倍数で次の3k+4も4の倍数
次の次が(3/4)k+1 < kだから1に収束する
あとはk+1が4で割って3余る場合を考えればいい
でもその先はパターンが無限の組み合わせになりそうだからこの方法では解けなさそう >>275
ここってどういう意味?
> n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、 >>277
> ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
いや、数学的には正確になんというか知らんのだが、
全部の要素が順番に並んでて、
「最初のものについて成り立つ」
「あるものについて成り立つならば、“その次のもの”について成り立つ」
「だったら、全部のものについて成り立つ」
っていうのが、数学的帰納法だろ？
現代数学って、「次の数」ベースで成立してる（ペアノの公準。「数え主義」
あるいは「順序数による」定義）で成り立っているので、「加法が成立する」っていう「量に基づく
考え方」（基数による定義）とは、ちょっと相性が悪いんだ。
「１は自然数である」「自然数＋自然数は自然数である」みたいなやりかたは、
現代数学じゃなくって、むしろ「算数」の考え方なんだよ。 >>278
すまん。言葉が足りなかった。
そのあたりは、いちおう前のほうのエントリで議論は尽くされて
いると思うので、あらためて整理してからまた書く。
しばらく待っててくれ。 話はかなり基礎的な話になる。
コラッツ予想は、“すべての有限な自然数”は、「偶数だったら２で割る」
「奇数だったら三倍して１を足す」という操作を繰り返してゆくと、
“有限回で” “必ず”１に到達する（そして１→４→２→１という
ループに落ちる）という話だ。
コラッツ予想の対偶は、逆操作である「２倍する」「１を引いて３で割る」という
操作を、１に対して有限回おこなうことで、“すべての数”に到達することができる、
というものだ。つまり、有限な自然数は、「２倍する」「１を引いて３で割る」
という二つの操作によって、１を根とした（有限の高さの）二分木構造を
なす、ということだ。
ここまでは、変なことは言ってないと思う。
２^∞を除く2の冪乗数は、プリミティブだから考えなくていい。
すべての偶数は、根のほうから見ると、奇数に2の冪乗数を
乗じたもので表されるから、「奇数の先にある」し
「奇数と奇数の間に出てくる」わけだから、考えなくていい。
このとき、 n が奇数のとき、3n + 1 は必ず偶数になるので、
コラッツ操作 3n + 1 は (3n + 1)/2 とし、逆問題が
「すべての有限な自然数」ではなくて「少なくともすべての有限な
基数（途中に出てくる偶数は、勘定に入れなくていい）」について
証明すれば足りる。 ある奇数が 3 の倍数のとき、「×２」の操作を何度行なっても、
3 の倍数になる。そうすると、(3n + 1)/2 の逆操作が行なえない
（結果が自然数でなく分数になってしまう）ので、
「（n ではなく d（odd の d）と表記するとして）3 の剰余群
{0, 1, 2} のうち、d ≡ 1 または 2 のすべての有限な奇数が、1 を
根とした木の上にあることが示されれば、コラッツ予想は肯定的に
証明されることになる」と謂える。 これをもう一段絞りこんで、4 の剰余群 {0, 1, 2, 3} のうち、d ≡ 1 (mod 4) の
場合にだけ注目すればいい、という話にならないか？ということ。
d ≡ 0 (mod 4) と d ≡ 2 (mod 4) は偶数なので、（逆操作の途中には
出てくるけれども）、証明の本質にはかかわってこない。
d ≡ 3 (mod 4) ということは、「下位ビットが 2 個以上の連続した
オンビット」なので、途中には出てくるけれど、d ≡ 1 (mod 4) の場合に
帰着する（つまり、d ≡ 1 (mod 4) の場合に吸収される）はずだ。
その結果、コラッツ予想は 3 と 4 の剰余群の直積集合上で考えていいわけで、
mod 12 で考えても一般性を失わないはず。
ただし、それで証明ができるかは別問題なんだが (-_-!) >>278
× > n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
〇 > n が n≡0(mod 3) のときは、そこから先に奇数の枝が出てこないので、 以下、左が下位の2進表現とする
x→3x+1
10→00 10
01→11 10
10 01→00 11 10
10 01 01→00 11 11 10
10 01 01 01→00 11 11 11 10
…
27みたいなのはこういうパターンを踏んで大きくなるのか 最下位に 1 が連続して出てくると、そこからが
厄介なんですよ。
11 11 11 0### みたいなパターンを
[11 11 1 ]+[10###] と分けたとするでしょう？
そうすると、全体に五回 3x+1 操作を加えることは、
[10###] に５回 3x+2 操作を行なうのと等価になる。
それで 1 への収束が遅れるらしい。
だから、コラッツ予想を (m, n) という２変数に対する操作と
考えて、有限回で (0, 1) に到達するかどうか、と
言い換えるのはどうだろうか、と考えたことがある。 31 だと、
11111
*111101
**1110001
***1101011
****10000101
（中略）
*****/*/1101101
*****/*/*10010001
*****/*/**/1110011
*****/*/**/*11011001
*****/*/**/**10010111
*****/*/**/***/11110101
*****/*/**/***/*111000001
*****/*/**/***/**110100011
*****/*/**/***/***1000101001
（中略）
*****/*/**/***/****/*//***/**/111111001
*****/*/**/***/****/*//***/**/*111110111
*****/*/**/***/****/*//***/**/**1111001101
*****/*/**/***/****/*//***/**/***11101100001
*****/*/**/***/****/*//***/**/****11001010011
*****/*/**/***/****/*//***/**/*****101111101001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//1111000111
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//*11101010101
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//**110000000001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//***101000000011
と、途中で何度も 1 の連続が出てくるんで、なかなか収束しない。 f(x):=(3x+1)/2
b_k:=2^k-1 (k>1)
とおくと
f(2^(k+1)x+b_k)
=3 2^(k+1)x+3 2^k-2
=2^(k+1)×(3x+1) + (2^k-1) -1
=2^(k+1)f(x)+b_k-1
k>1の場合は
f(2^(k+1)x+b_k)=2×(2^(k)f(x)+b_(k-1))
2で割って以下繰り返すと最後(k=1)は
2f^k(x)になる、と。
なんというか……振り出しに戻された感が。 >>288
> なんというか……振り出しに戻された感が。
あるある（笑）
連分数とかやってると、なんだかんだで
また φ に戻ってくるとかな。
とはいえ数学って、「既存のアイディアの世界から
出る」つーのがエポックメーキングな仕事になる場合が
多いみたいな気がするから、そのあたりは宿命だと
思って諦めるしかないと思う。 >>288
ひょっとして、けっこう昔からプログラマやってる方？
「:=」って、Pascal とかでしょ。
数学屋さんだったら、
b_k:=2^k-1 (k>1)
より
Me(n) = 2^n - 1 (n = 0 のとき偶数。0 < n のとき奇数)
とか書きそうな気がした。私も元がプログラミング畑だから、
数学の分野の言い回しに慣れるのに時間がかかったな。 プログラマでもあるけど、
数学でも定義で:=表記を使うことはあるよ
卒論はどうだったかなー、とレジュメ見たら使ってたし >>291
そうか。深読みしすぎてゴメン。
なんにせよ数学畑の人が、
このスレに興味を持ってくれているのが
嬉しい（個人的な感想だから、そのあたりは
スレ主との合意が必要なんだが）。 スレ主の 78righ1113 氏と相談なんだが、
コテハン（＝固定ハンドル）のほうが、たぶん分かりやすいので、
使っちゃっていいかな？
（別板から変なのが来て、荒れると不本意なので） >>294
ありがとうございます。
お婆ちゃんだけど、よろしこ。
前のエントリを明らかにしようと思ったら、
「レスアンカーが多すぎます！」とか言われてハネられちゃったわ。
「梅干し婆」と呼ばれるけれど
鶯泣かせた春もある n を普通の二進数で表すときに「(2)」と表記し、
たとえば 10 = 0101(2)と表すことにする。
これを左右ひっくり返したものを 「(r2)」と
表記することにすると、10 = 0101(2) = 1010(r2) と
なる。
Me(k) = 2^k - 1
とおいて、
X(n) = {Me(p) + 2^p × q}
を、
(p, q)
と表記することにする。
q ≡ 3 (mod 4) のとき、q は (r2) で表したときに、
q は 11### … #(r2) で表される。このとき、
操作 A について、A(p, q) は (p + 1, (q - 1)/2) であるとする。
また、q が偶数であるとき、
操作 B について B(p, q) は (p, q / 2) であるとする。
さらに、1 < p のとき、
操作 C について、C(p, q) は (p - 1, (q × 3) + 2) であるとする。
n = 1 のとき、n = (p, q) = (0, 1) である。これをかりに e とおく。
コラッツ予想は、すべての有限の自然数である n について、
n = BBABCAB……e が有限長の記号列である、という主張と
同義である。
―― みたいなコトを考えたんだけど、これって方向性として、
どう思います？ >>296
あ、ごめんなさい。
q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
D(p, q) = (p, q) = (p, 3×q + 1) = (0, 3×q + 1) っていうのが
抜けてた。 >>297
× q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
〇 p = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、 >>296
う～ん、今の時点では何とも……
剰余コラッツ予想の時みたいに、何か部分的な成果があると良いのですが…… >>298
肝心なことを書き忘れていました。
A・B・C・D は、演算子あるいは作用素みたいなものなんです。
これに対して、ノルム（絶対値みたいなものです）を (p, q) に
対して与える関数 N((p, q)) を考えます。
このとき、操作 A・B・C・D に対してノルムが単調減少し、
すべての有限な量 (p, q) に対して N() が有限であるということが
証明されれば、コラッツ予想は肯定的に証明された、と
謂えるように思います。
もっとも、N が実数に対して写像されちゃうと、
「１／２ を何回掛けても 0 にはならない」みたいに
底抜けになってしまうので、N() はあくまで
整数域に対する関数でないと困るわけですが。 > 剰余コラッツ予想の時みたいに、
> 何か部分的な成果があると良いのですが……
p は上下しながら 0 に向かっているというのは
数値実験上は傾向として掴んでいるのですが、
メルセンヌ数を与えたときに、初期値の p を超えちゃう
場合があるんですよね。
>>287 における p = 5 から p = 6 とか。
ただ、>>287 を見てもらえれば お分かりになると
思うんですけど、この逆転が起きるのは、q に
(3n + 1) / 2 操作を施した場合に限られていそうに
思うんですよ。
そうなると、「p が増加しない」が謂えて、
「無限ループが存在しない」が謂えれば、
なんとか抑えこめそうな気がしています。
剰余コラッツ予想の場合でも、
「かりに無限ループが存在しても、
その周期は 5×2^60 より長い」みたいな
下限は与えられそうに思うんですが。 >>300
なお、仮に N() が具体的に求められたとしても、μ再帰関数である
アッカーマン関数のように、とんでもなく大きい値を与える
関数になってしまい、具体的な上限値が計算できるようなシロモノ
ではなかろう、と予想しています。
だけど有限は有限なので、「少なくとも無限ではない」という意味で、
証明に結びつきうるのではないかと考えています。 >>300-302
(上から目線でｽﾏﾅｲ)
いくつかの「思う」を『定理』『補題』として言えれば、もっと素晴らしくなると思います。 >>303
じつは、このアイデアは「原始ピタゴラス数は三分木をなす」という
Barning と Hall の定理（小林吹代『ピタゴラス数を生み出す
行列のはなし』参照）が元ネタです。e = {3, 4, 5} に行列
U・D・A を順次掛けてゆくと、すべての原始ピタゴラス数が
一意に表されます。
原始ピタゴラス数は、「互いに素で偶奇が異なる自然数 (m, n)
（0 < m < n）」、または「互いに素な奇数 (p, q)（0 < p < q）」
で表されます。ここで、m × n または p × q が単調減少し、
その減少のしかたが三通りあって、それぞれが U・D・A を掛ける
操作と対応することを示しました。
この定理の “泣きどころ” は、任意の原始ピタゴラス数を与えたときに、
それを e と U・D・A の列の積の形に分解できない（逆問題が解決
されていない）点だったのですが、このアプローチで解決できました。 >>305
コラッツ問題は、問題の設定としてはこの逆で、任意の n から
e へのルートがあるのは確からしいのに、それが e に収束するか
どうかが（途中の値が一見カオティックに上下するために）、
「（Barning = Hall 問題のような m × n や p × q のような）
単調減少するノルムに対応させることができていない」という
ところに難関があると考えています。 >>305
なお、「泣きどころ」うんぬんの話は、細矢治夫『トポロジカル・インデックス ー
フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学』
にありました。同書には細矢先生が Barning = Hall 問題
にどのようにアプローチしたかが丁寧に書かれていて、興味ぶかく
読ませていただきました。 スレ違いですが、{x, y, z} が原始ピタゴラス数、すなわち
x^2 + y^2 = z^2 のとき、
{x, y, z} = {n^2 - m^2, 2× m × n, m^2 + n^2}
がいえて、
{m, ABS(n - 2m)} が新しい m, n の値（順不同。小さいほうが m）に
なります。
なお、e = {3, 4, 5} = (1, 2) です。2 - 1×2 が 0 になっちゃうので、
行きどまりになり、ここが三分木の根になります。 あまり見込みはありませんが、「二つの逆コラッツ操作
（「２倍する」と「２倍して１を引いてから３で割る」）が
実質的に同じものと見なせる」ことを示す、というアプローチも
考えられます。
(m, ABS(n - 2m)) → (m, n)
がなぜ三分木に対応するかというと、この操作の逆操作が
・m に n の二倍を足す
・n に m の二倍を足す
・n の二倍から m を引く
という三つの操作に対応するからです（m × n の長方形を
考えるとわかりやすいです。互除法の変形です。互除法
なので、連分数とかかわってきます）。
ただ、このアプローチはせめて「コラッツ操作によって、
任意の n についての中間値が最大どこまで大きくなるか」の
上限値を n の関数として表せないと無理筋なので、
攻めるとすればここかな？と思っています。つまり、「最下位の
オンビット列の連鎖が、どう現れるのか」です。
連投ごめんなさい。m(_ _)m ついでながら、なんでこのスレでのたくっているかというと、
佐藤 郁郎先生（ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/）に
「コラッツ予想も、Barning = Hall 問題のノリで
解けるかもしれない」みたいな話をしちゃったのが
きっかけなんですよ。
みなさん、期待されてます。 俺予想
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする
あるnとcが存在しn<xならばlog(collatz_max(x))/log(x)<=cが言える。 >>311
それって、かなり確からしいけど、
リーマン予想みたいに「例外がない」ことを示すのが
難しいっていうのが泣きどころなのよねぇ …… >>312
コテ名乗るならトリつけたほうがよくない？
ひょっとしたらこのスレから世紀の発見ってこともかんがえられるしｗ すでに「コラッツむし」という名前で話題に出ているのですが、
蒸し返しです。
オートマトンに関連する話題なんだけど、
「一斉射撃の問題」というのがあって、これはいろいろ研究されてて
コラッツ問題の解決のヒントになるかもしれないな、と思っています。
「オートマトンが 0 番から m 番まで (m + 1) 個並んでいる。左端の
A0 から、時刻 0 で、ある信号が発せられた。一定の時間後に (m + 1)個が
すべてのオートマトンが同時に特別の状態（「射撃」状態）にはいるように、
オートマトンの動作表を設計せよ。」
これを変形すると、「0 から、ある状態にセットされたオートマトンが
あったときに、その状態は無限遠（m が無限）まで到達できない」ことが
示されるかどうかという話に持ってゆけます。これだと、「２で割る」という
操作は「先頭位置がズレてゆく」ことになりますので、また違った面から
議論できそうに思います。
「歴史的な背景などについては、後藤英一：一斉射撃の問題。数理科学
１１－１０、４２－４６（１９７３）を参照のこと。また、小林考次郎：
オートマトン理論のパズル、数理科学１９７６年１１月増刊「パズルＩ」にも
解説がある。」とのこと。
出典は 有澤誠『プログラミング レクリエーション ー ソフトウェア実習の
ガイド』（近代科学社）、p.132。 >>313
べつにいいじゃない。このスレがきっかけになるんなら。
だいたい、独立に発見された定理なんか、山ほどあるでしょうに。 ふむ？コテ名乗るような奴はトリもつけたがるものだとおもってたが。
まあ無理強いはしませんがね。 「コラッツ予想の解決」、つまり「コラッツ予想が正しい／間違って
いる」とはおそらく関係しないけど、「先頭位置が、必ずしも
「一回一回の操作が終了する」まで待たなくてよくて、先頭から
次々とシグナルが送られてゆく、と考えてもいいわけですよね？
だったら、テープワームみたいな形でネットに放して、
空いてるコンピュータ・リソースを総動員して「どこまで正しいか」を
検証するという手はあるかと思います（犯罪っぽいけど）。 >>316
数学板だと、誰が喋ってんのかわかんないと文脈っつーか
脈絡っつーか、そういうのが分かりにくいんじゃないかなー、という
配慮です。
だいたい、あたしの騙りとかって、難しいと思うよ？ xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする。
n以下の自然数の中にlog(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxが存在するか？
という問いはNP問題になると思う。
これをSATとしてあらわしてSATソルバに食わせて一気にデカいnについて解くというのはどうだろうか？ いやにNPならないか。
コラッツの過程を計算するのに指数リソース食うかも xからコラッツ逆操作で到達できる数のうち最小のものをcollatz_inverse_min(x)とする。
xを入力としてxとcollatz_inverse_min(x)が等しいかどうかは多項式時間で判定できるか？ 縦軸に (3n+1)/2、横軸に /2 の回数を取って、
Me(k) についてプロットしてみる、とかいうのも
面白そう。 >>323
『【好調】Java の宿題ここで答えます【三巡目】』
（ttps://pc5.5ch.net/test/read.cgi/tech/1100565043/）
＞＞38 以降とか。
兄者は件のサーバーアプリを再興しようと、
マ板でのさばっておりますわん。 剰余コラッツ予想の例のプログラムですが、
Coqに移植できました。
Coqの関数は全て停止するので、例のプログラムも停止する事になって、
『剰余コラッツ予想は真！』
……と言いたいところですが、怪しさ満載ですので、今しばらく調査します。 わくわく
Coq については名前を聞いたことがあるぐらいで詳しくは知りませんが、
なにか手伝えることがあればおっしゃってください。 おーお久しぶりです。
Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
手伝って欲しいことは後々出てくると思うので、よろしくお願いします。 >>327
> Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
最近のCoqの現状は全く知らないのですが、そもそもCoqの文法に従って（チェックされなければ）停止しない関数を書けるような構文になってましたっけ？
Coqは構成的型理論と呼ばれるものに属する形式的体系の１つに基づいているので、その基づいている型理論に即して素直に項の構文（関数はこの構文を使って定義することになるので
この構文がその構成的型理論の体系が与えるプログラミング言語に相当する）を作ると、そもそも停止するか否かがわからないような関数を定義することは構文的に不可能だと理解しているのですが
それとも最近のCoqは書きやすさとかのためにgeneral recursionのような書き方を許す構文も導入しているのかなあ >>328
質問の答えになっているか分からないですが、
今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
https://www.google.com/url?q=http://d.hatena.ne.jp/airobo/touch/20130729/1375109706&sa=U&ved=0ahUKEwiAtI7aq_fbAhUIjpQKHc5jA0wQFggLMAA&usg=AOvVaw0Z5Y7z7Pexxi_2FgNFFFX2 いや、待って下さい。なんかダメっぽいんです。詳細はこの後書きます。 それにしてもCoq使えるのは凄いな。
あれは高度な数学力とプログラミング力を要するからな。 >>330
レスありがとうございます。
> 今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
> 具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
例を拝見しました。なるほど、関数そのものは構文としては文字通りのfixpointつまりgeneral recursionで定義するのを許す代わりに
停止性を保証するmeasureを自分で与えて停止性証明を正しく構成しなければ関数定義として認めないということですか。
構造帰納法で上手く定義できない関数を扱う上では強引な印象もありますが、実用的にはとても役に立ちそうなアプローチですね。
御教示どうもありがとうございました。 >>332
問題点は、19x+1版にしても、Coqは「停止する」って言っているのです。
19x+1版は、>>92で反例が出ています。
以下が考えられます。
・Coqの停止性の証明が間違っている
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
これらを調査しないといけないのですが、
すみませんがマイペースでやらせて下さいf(^_^; つか、Coqが間違ってないとすれば計算が進むたびに減少するなにがしかの量を>>1が見つけたってことだよね？
>>272が言ってたことだよね？
ホントならかなりすごいよね？ >>326
>>786氏に見て欲しいことがあるのです。
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
オールNothingが出た後、本当に無限走行するのか、アルゴリズムで見ていただけないでしょうか。 >>339
なるほど了解です。考えてみます。
>>338
これは剰余コラッツ予想(>>2)についての話なので>>272は関係ないかと… って、これはほとんど明らかのように思います。
例えば
「C の元を 3 倍して 1 を加えて C' のどのグループに属するか調べる」
のときにオールNothingが出たとします。
この後に「上の作業で得られた C' のグループ」を用いて組を探すことになりますが、
これは空集合なので再びオールNothingとなります。
以下同様に繰り返し、延々とオールNothingが繰り返さることになります。 >>341
ありがとうございます。
ということは、僕のCoqの証明がどこか間違っているのですね。お騒がせしました。 >>340
剰余系で考えると関係ないですねぇ。順序性が成り立たないので。
ちなみに >>272 は私。 うーん、残念。
移植の際になにかアルゴリズム変えたとか考えられないの。 マジスレは伸びが遅いからツラいわぁ～。
これは「あんたが真面目にプログラム書いて、結果を出して書け」って
いうことなのよね？
雑談レベルでもいいから、進捗でも聞きたいわぁ。 最近思いついた小ネタ
"コラッツ操作を3進法で考えると計算しやすい"
多分証明には役立たない。
そもそも3進法なら「3 倍する」という操作が楽になるというのはすぐわかるが、
さらに手間を減らす方法を見つけた。
3進法では、コラッツ操作は次の操作で代用できる。
「2 で割った商と余りを求め、余りが 0 なら商を次の数とする。余りが 1 なら商の末尾に 2 を付け加えたものを次の数とする。」
この操作により、偶数は 2 で割った数に、奇数は 3 倍して 1 足して 2 で割った数になる(証明略)。
例えば奇数 212 (十進法では 23) でやってみる。
まず普通のコラッツ操作では
212→(3倍して1を足す)→2121→(2で割る)→1022
となる。
上の操作をすると
212→(2で割る)→102あまり1→(商の末尾に2)→1022
で、同じ結果になる。
3 進法では奇数か偶数かの判定がしづらいが、この方法なら判定の必要がなくなる。
ひたすら数を 2 で割っていくだけで操作が進むので、なかなか楽。 >>347
根から辿ってくときに mod 3 で考えるのはやったけど、
正の操作で三進法で考えるっていうのは盲点だったわ。 三進法だと２を除するのが簡単でないのよね
全部の桁を見ないと偶奇が判断できないわけだし。 >>350
偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
2 で割るのはまあ……慣れですかね あのさぁ、そろそろ夏休みも近いんだよね。
最近は義務教育でもプログラミングとか教えてるんだよね。
「夏休みの自由研究」的な感じで、コラッツ問題について
基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？
スレも伸びてるし、このスレには解ってるヒトがいるわけだし。
うちらとしても、「いっぺん基礎から見直す」っていうのは
大事なことだと思うのね？
昔の『Java の宿題ここで答えます』みたいに、ソースコードを
ベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？
ム板じゃなくて数学板だから遠慮してたけどさぁ。 >>351
> 偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
「オンドゥルルラギッタンディスカー！」
「（笑）」ってつけなかったから許してね。
ネタ元は自分でググッてちょうだい。 なるほど六進法……って、それだと ×3 も ÷2 も面倒になって本末転倒なような。
(>>351はどちらかというと「梅雨明けてないじゃないですかー！」を意識して……ってどうでもいいですね)
(ｵﾝﾄﾞｩﾙ語は半角がジャスティス)
コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね >>356
> コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね
それ言ったら、ラザフォードじゃないけど
> 剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)
ってどういう概念なのよ？ってウェイトレスに説明できないと
ダメなんじゃないの？っていう話に戻ってきちゃいそうに
思うんですが。
「２で割る」「三倍して１を足す」っていう操作は、
「小学生にも理解できる」っていうのがコラッツ問題の
醍醐味なんだから。 >>357
いや、貴方が>>352で仰った案について具体的に話を進めようと思っただけなんですが……
今は剰余コラッツ予想の話をするつもりはありませんよ。 >>351
済まんね
偶奇の判断をする事と２で割った余りを求める事の違いが良くわからなかったよ
今もわからん
なお３進数なら全体に含まれる１の数を数えれば事足りるが、いずれにしても全体を見る必要がある事に違いはない >>359
いや、ここで敬語を使われても気まずいので、せめて
タメ口でお願いします(^_^!)。罵倒されるのは
慣れてるんですけど。
少なくとも、「奇数について証明すれば足りる」
「n ≡ 1 (mod 4) について言えれば足りる」
みたいな話は、参考文献とか、とりあえずの証明とかは
示しておいたほうがよさそうだなー、と。
コラッツ問題に関する、まとまった文献というのは、
おそらく簡単に入手できるような形では、出回ってないと
思うんですよ。
だったら、ネット上で簡単に見つかるような形で
提示しておくのが親切かなー、と。そういう話です。
WikiPedia に書いておく、というのも ひとつの手ですが、
あそこは「要出典」とか「独自研究？」とか
言われちゃいそうなので。 まあ
３進法で２で割る操作を先にしてしまえば計算が省けるという点はよいと思う
ただ
セルオートマトンで考えたとき、次の世代のパターンが周辺のいくつかのセルから求まると都合がいいので、セル全体を見る必要がある表現には問題ある、ということを言いたかった
その意味では６進法は意外と良い発想かもしれない >>360
いま見たら、WikiPedia の「プリンプトン３２２」の項目が
だいぶ変わってた（笑）
あれは、うちの上司と同僚の功績のような気がします。
このスレの住人はプログラムを書けるヒトが多いと思うので
言っちゃうけど、あれは「0 < p < q < 180」の奇数について、
「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」からなる長方形（縦横の
辺と対角線が自然数の比で表される長方形）のうち、
正方形と黄金長方形の間にあるもので、縦横比を六十進数で
表現したときに有限小数になるもの、があの十五個だというので
ほぼ決着したようです。 >>361
コラッツ予想については、次の世代のパターンに必要なのは「セル全体」だよ。
これはどんな表現を使っても同じこと。
・ オートマトンで考えるなら、パターンに必要なのは「セル全体」。
・ コラッツ予想を漸化式の形で表すなら、漸化式を弄っていくと式自体が爆発的に複雑になって手に負えなくなる。
・ 剰余コラッツ予想にしても、単純なステップの組み合わせで予想全体が証明できるということがなく、
チェック項目が際限なく爆発していく。
どんな手段を使っても、結局はコラッツ予想が持っている本来の爆発的な複雑さが
大きな壁となって出現する。だからコラッツ予想は難しいわけ。 >>361
六進法の泣きどころは、「六進数」っていうのが、あんまり普及して
いないところなんですよね。
『ベッドルームで群論を ― 数学的思考の愉しみ方』なんかだと、
三進法とかだったら、意外に筋がいい、みたいな話はあるんですけど。
個人的には、古代メソポタミアまで戻って六十進法とかで
議論したほうが、話が通じやすいような気はします。 結局何が言いたいかというと、
「セル全体を見る必要がある表現には問題ある」(>>361)
という認識の仕方はズレていて、
「どう転んでもセル全体を見るしかない構造のバケモノ問題にどうやって向き合えばいいのか」
という認識の仕方をしないと前進しないってこと。
もちろん、正しい向き合い方が誰も分からないから未解決問題なのだが。 >>361
６進数で数を表現した場合
コラッツ操作とは：
まず３を掛けて、
・１の位が３ならそれを４に置き換える
・１の位が０なら右に１つシフトする
３を掛けるとは：
その桁とひとつ下の桁を見て
・00 01 20 21 40 41 のいずれかなら ０
・02 03 22 23 42 43 のいずれかなら １
・04 05 24 25 44 45 のいずれかなら ２
・10 11 30 31 50 51 のいずれかなら ３
・12 13 32 33 52 53 のいずれかなら ４
・14 15 34 35 54 55 のいずれかなら ５
とすれば良いので、セルオートマトン向きの問題になるかなと。 >>362
あ、ごめん。
×「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」
〇「(q^2 - p^2) / 2, p*q, (p^2 + p^2) / 2」
テヘッ。 空気を読まずに2進法ネタ。
正整数xの2進表現を下位から
1から最初の0 または 0から最初の1
で区切っていく
3x+1の2進表現は
区切られた各々の最下位を反転(0⇔1)して、
全体の上位に1を付け加えたものになる >>359
確かに余りを見ることで偶奇の判定をしていると言えますが……
「わざわざ偶奇の判定のためだけに割く労力が(ほぼ)ない」とか言った方が適切だったかもしれません。
2 で割った商を求めるのは必要な計算で、その副産物として余りが求まるので。 ぶっちゃけ何進数にしようが計算機で回すときにネイティブ２進数より速度が出るとは思えないがな。
ネイティブ２進数より速度アップするならそれはそれで一定の成果といえるかも。 >>359 >>369
現在のコンピュータのアーキテクチャは二進法ベースなので、
偶奇を判定するには最下位ビットのオンオフだけ見ればいいという
利点はあるのよね。
三相のアーキテクチャのマシンもそれなりに現実性があるので、
コラッツ問題が解決するときに（解決したとして）、「どっちが
貢献したか」という話には、なるかもしれないと思いますけど。 >>370
そのあたりの議論は、ノーバート・ウィーナーの『サイバネティクス』あたりが
起源なんだけど、「二進法と三進法のどっちがいいか」については、「どうやって
実装するか」の問題もあって、まだ結論は出てないのよね。
お婆ちゃんが口出ししてごめんね。 >>370
そのあたりの議論は、>>364 の文献を参照してねぇ～ >>366
４入力１出力のセルを用意し、その状態遷移関数fを以下のように定義する
f(E,I,X,E)=f(X,E,I,F)=0
f(E,J,X,E)=f(X,E,J,F)=1
f(E,K,X,E)=f(X,E,K,F)=2
f(F,I,X,E)=f(X,F,I,F)=3
f(F,J,X,E)=f(X,F,J,F)=4
f(F,K,X,E)=f(X,F,K,F)=5
但し上の表現で
Eは0,2,4のいずれか、Fは1,3,5のいずれか、
Iは0,1のいずれか、Jは2,3のいずれか、Kは4,5のいずれか、
Xは0,1,2,3,4,5のいずれかを指す
現在の状態{S_k}(k≧0,S_kは0,1,2,3,4,5のいずれか)に対して次の状態{S'_k}を
S'_k=f(S_(k+1),S_k,S_(k-1),S_0) k＞0のとき
S'_0=f(S_1,S_0,0,S_0)
で定義する
どんな正整数mについても k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) からは必ず k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に遷移するのか、
あるいはその否定で
ある正整数mが存在して k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) のうち k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に決して遷移しないものが存在するのか
という問題を考えたらコラッツ予想と同じ問題を扱っていることにならないか >>374
なんかマッチョな方がいらっしゃって頼もしいわぁ～
だけど、アルゴリズム系の話の証明は、単調減少する
加算無限量に落としこまないと、なかなか数学的な
証明に結びつかないのよね。
そういう意味では、「二で割る」っていう操作が
けっこうクセモノのように思うんだけど、
そのあたりの意見は聞きたいと思う。 >>375
×加算無限量
〇可算無限量
要するに、アレフ・ゼロ（自然数とか整数とか有理数とか）と、
アレフ１（実数とか）の違いね？
そういえば、高校のときに、「アレフ 0 は『すけすけぎっちり』
（稠密だけど連続じゃない）で、アレフ 1 は『べったり』（稠密かつ
連続）」だというのを教わったけど、「そんなのが何の役に立つんだ」
とか思ってなかったのよね。大学に入って解析の時間に（微積分とかの
絡みで）ε＝δ とか使ってコリゴリやらされるとは思わなかったわぁ。 >>386
このあたりの話は、自然数だったら単調減少すれば 1 に収束するのは
確実なんだけど、実数だと、単調減少しても必ずしも一定値（だいたい
ゼロだけど）に収束するとは限らないところに問題があるのよね。
そのあたり、数学屋さんに念入りにツッコミを入れてもらえると、
たぶん、このスレも伸びがいいと思うんだけど。 単調減少すれば１に収束するといえばM.B.さんはグッドスタインの定理ってご存知？ >>378
いま初めて知ってググってみたら、
スタインハウスの多角形表記とか
竹内 郁雄さんの tarai 関数とか思い出した。
「たかだか有限個」っても侮りがたくデカい
数というのがあるんだよなぁ …… ちょっとスレ汚しさせていただきます。
その１）
航空宇宙工学科と数学科は、日大ではどちらも理工学部である。
航宇「レポートが１９個もたまっちまったよ！」
数学「フン、たかだか有限個」
その２）
理工学部の二人の学生が試験を受けた。空のヤカンとガスコンロがあって、
「湯を沸かしなさい」という。二人とも、流しにいってヤカンに水を入れ、
コンロに載せて火をつけた。
次に、コンロの上に水の入ったヤカンが載っていて、「湯を沸かしなさい」
という。
航宇の学生は、コンロに火をつけた。
数学の学生は、流しにいってヤカンの水を捨てた。「これで前問に帰着した」 「なんか次のレスとか上がってないかなー」とか
思って、このスレを覗いてるヒトがいるかもしれないので、
スレ汚しは承知の上でヒマネタ（スレ主さんごめんなさいm(_ _)m）。
弟子「ε＝δ が理解できません。一言で言えば、要するになんですか」
師匠「“矢でも鉄砲でも持ってこい”だ」
逆数で考えると、「山より大きい猪は出ない」になりそうな気がします。
>>378 さん、グッドスタインの定理はいろいろ面白いので感謝してます。
とくにペアノの公準が通用しなそうだ、という話は、数学基礎論の
関連で面白いと思いました。
だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
「0 と ∞を含む閉集合と、含まない開集合で考えてるだけじゃない！」と
思うんですけど。このあたり、数学畑のひとは、どういう意見をお持ちなんで
しょうか。トポロジー（とくにカタストロフィ理論とか）なんかでは、
「閉集合と開集合の関係」に関して、かなり厳密に研究されているので、
そのあたりの話は聞きたいと思ってるんですけど。 偏見？闘う？なに言ってるんだこのアホは。
グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係。
グッドスタインの定理で対象となっている数は
0,1,2,3,…
という数である。これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
対象となっている 0,1,2,3,… をどのような総称(自然数 or 非負整数 or etc)で
表記するのかを気にしているのが M.B. とかいうアホ。
しかし、そんなものはグッドスタインの定理とは全く関係がない。
書いている内容がトンチンカンすぎて話にならない。 トンチンカンと言えば、ついでだからもう1つ。
M.B.「ソースコードをベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？」(>>352)
↑このレスよりも前から貼る貼る言ってた気がするが、未だに何も貼る気配が無い。
そもそも何を貼りたいのかも意味不明。
M.B.「コラッツ問題について基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？ 」(>>352)
前786「コラッツ問題の基礎ってどういう内容ですか？」(>>356)
M.B.「(返答に窮するので話題逸らしのために) それ言ったら剰余コラッツ予想ってどういう概念なの？」(>>357)
前786「アホかてめーは。話を逸らすな。お前の話に乗ってやってるんだろうが。」(>>358)
↑このやりとりでの M.B. は特に酷い。
総評：M.B.は浅はかな思い付きで独りでおしゃべりしてるだけのアホ。
レスの内容も「言葉のサラダ」の一歩手前で、意味が通るギリギリのラインを攻めた
おかしな文章ばかりであり、何かの病気にかかってるように見える。
前々から気になってはいたが、いい加減にウザったいので もう書き込まないでほしい。
誰もいないクソスレだからって、下らないおしゃべりで埋めていいわけではない。 >>382 >>383
なんかヘンなのが来ちゃったなぁ。
みなさん、ごめんなさい。 m(_ _)m >>282
ひとつ謂っておくと、
空集合というのは、「すべての空集合は同一な空集合」なんですよね。
たとえば、「空のみかん箱」も、「空のりんご箱」も、
「空のトントカ芋の箱」も、基本的にはまったく同じものであって、
Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。 >>385
これもトンチンカン。
なぜいきなり空集合が出てくるのか意味不明。
グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない。
ペアノ算術における「0」を空集合と勘違いしているのかもしれないが、
ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係である。
なぜなら、ペアノ算術は集合論とは無関係に定義されるからだ。
集合論と無関係に記述できる時点で、ペアノ算術における「0」は空集合と無関係である。
ペアノ算術に相当するものをZF集合論の中で実装しようとしたときには、
標準的な実装のもとでは空集合を 0 に割り当てることが多いが、
それは 0 が空集合を意味することにならない。なぜなら、実装の一例として空集合を
利用しているだけだからだ(実際、空集合以外の集合を割り当ててペアノ算術を実装することも可能である)。 >>385
＞Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
＞「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
＞このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
＞合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
＞ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
＞数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。
ここに関しては「言葉のサラダ」としか言いようがない。意味が通ってない。
基礎論的には何かが未解決問題であると読めるが、
では一体「なにが」未解決問題なのかきちんと書かれていない。
また、グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
Java で記述される定理ではない。仮に Java で記述したとしても、その Java の上で
「==」や「equals()」によってナニカを比較したときの両者の "差異" に関する話は、
Java 言語の内部的な実装の話もしくは Java 言語の意味論に関する話であり、
グッドスタインの定理とは何の関係もない。 >>387
そのあたりは >>297 あたりの議論を把握してから来てほしいように
思います。べつに、好きなことを仰っても、誰にも止める権利は
ありませんけどね（そのかわり、あたしたちにも好きなことを
言っていい権利はありますけど）。 >>388
集合には、外延的定義と内包的な定義があるんですけど、
外延的定義による集合があったとしても、
内包的な定義は無数にありうるんですよ。
ですから、外延的には空集合は「ただ一つ」
なんですけど、内包的な定義は無数にありうるんです。
このあたりは、プロの数学者でも、うっかりするような
話なんですが。 >>389
レス番号が合っていると思えない。
>>297はコラッツ予想に関する話であり、今はグッドスタインの定理に関する話である。
そして、グッドスタインの定理に空集合は何の関係もないのである。
つまり、君のレスは>297を考慮してもなおトンチンカンのままなのである。
ちなみに、君のレスは>297に対してもトンチンカンである。
なぜなら、>297は空集合と無関係に記述できるからだ。 >>390
集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何？
「グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない」
という事実は揺るがないよ？つまり、君のレスがトンチンカンであるという事実は揺るがないよ？ >>392
> 集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何？
外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって
示せば、数学的には正しいのよ。
{2}は、「最小の偶数」であったり「最小の素数」であったり「唯一の
遇素数」であったりするわけなんだけど、「x^n + y^n = z^n」が成り立つ
最大の自然数とかでもあるわけです。
こんなの、あたしみたいなお婆ちゃんに説教されなくても、そこいらの
数学をマジメにやってる若い衆に訊けば、すぐ教えてくれそうに思うんですけど、
あんた、数学板に出張ってきてるくらいだったら、そういう友達っていないの？ >>393
グッドスタインの定理は集合論とも空集合とも関係がない、という俺の指摘に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね？
俺がさっきからずっと言っていることは、
(1) ペアノ算術は集合論と無関係に定義される。
(2) ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係。
(3) グッドスタインの定理も空集合とは無関係。
(4) グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数であり、
これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
ということ。
「Javaで == や equals() を使ってナニカを比較すると、両者には "差異" がある」
「空集合は外延的には1つに定まるが、内包的な記述の仕方は無数にある」
「外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって示せば、数学的には正しい」
といったレスは、1ミリたりとも(1)～(4)の反論になってない。
集合論とは関係がない、という内容の(1)～(4)に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね？
君のレスは極めてトンチンカンである。 >>388
> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
なのは解ってるけど、ペアノ算術の範疇で正否が証明できるかどうかは
別問題なのよ。それはゲーデルの第一不完全性定理によって証明されてるでしょ？
WikiPedia には
「ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、
特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。」
って書いてあるし。
このスレの住民をナメたらいかんぜよ！ >>395
＞> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
＞なのは解ってるけど、
それが分かってたら
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
こんなトンチンカンなこと書けない。 冷静に考えたら、前スレにも けっこう荒らしはいたのよね。
数学板のヒトは耐性がないんじゃないかと思って心配してたんだけど
杞憂だったみたいね。
じゃ、おいしそうじゃないエントリは、基本スルー進行で。
とはいえ、スレ主にごめんなさいm(_ _)m なぜトンチンカンかというと、繰り返しになるが、グッドスタインの定理は、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係だからだ。
グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数である。
これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
「非負整数」でも気に入らないなら、何か自分で新しい名前を考案して、その名前を使えばいいだけの話。
グッドスタインの定理を証明するときに集合論を使う場合でも、
ペアノ算術を集合論の中で実装するのに空集合を使う必要は無いので、
空集合がどうこうという話はこの文脈においても依然としてトンチンカンのまま。
また、そこで得られた集合論的ペアノ算術を、集合論の中で「自然数」と呼ぶか「非負整数」と呼ぶか、
はたまた自分で考案した新しい名前で呼ぶかは、やはり集合論と無関係であり、どのような名称で
呼び出いのかという生理的な話にすぎない。つまり、
＞だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
というレスは、集合論の中でペアノ算術を考えてもなおトンチンカンのまま。
結局、君の発言は、ペアノ算術の中で考えるとトンチンカンであり、
集合論を持ち出して議論するときも やはりトンチンカンのまま。 >>397
このスレにとっては君自体が荒らしだよ。
スレ主にごめんなさいをするなら、君自体がもう書き込まないことだね。
君の発言は浅はかな思い付きのいい加減なレスばかりである。
そういうレスにマジメに「おかしい」と指摘すると、
さらにたくさんの的ハズレなレスが飛んでくる。問題外である。
そして、君の代表的な振る舞いは、>>383で2つ掲載している。
2つ目の振る舞いは特に酷い。 >>386
> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
わりと最近の『数学セミナー』で見かけたんだけど、あたしの気のせいかなぁ … あの有名な、「角の三等分」的なヒトなのかしら。
コラッツ問題が解けそうな人だったら、円積問題とか、
立方体倍積問題とか解いてもらえるかも知れないわよ？
みんなで応援する？
あと、連続体仮説とか選択公理とか。 >>400
言ってるそばから的外れなレス。トンチンカン。
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係な話題であるにも関わらず
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
という発言が出てくることのおかしさを、俺はずっと指摘しているのである。
君が見た数学セミナーには、グッドスタインの定理という、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは全く関係のない話題から出発しているのか？
そのような無関係の話題から出発して
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
という話に繋がっていくのか？そんな滅茶苦茶な論理展開が数学セミナーに載っているのか？
違うだろ？
滅茶苦茶なのは君だけなんだよ。 えー、今日は釜の火ぃ落としてお酒飲んじゃったから営業終了。
こっからはグチだからスルーしてね。スレ主さんごめんなさーい！
だいたいねぇ、ユークリッド幾何学の基本の「定規とコンパス」の
「コンパス」の定義っていうのが曖昧なのよ！ もともと
「長さを移す」ってことができないのが、ユークリッド幾何学に
おける「コンパス」なのよ！ だったら、「任意長の線分と、
その他に任意の点を与えて、その点を中心とした、与えられた
線分と同じ半径の円を描け」っていうことでしょう？
そういうのを、中学校の数学教師とかが理解してないのよねぇ。
数学板の住民として、腹立たない？ コラ、そこで ROM ってニヤニヤしてる奴、ちょっと来い。
ババァの酌じゃ酒飲めないってぇのかコラ。 概ねID:ql7WVHvtさんに同意ですが、
>>357>>358に関しては>>360で返答をいただいたので特に気にしていませんので。 >405
うん。構成的な数学というものに対する真摯な態度というのは
尊重するんだけど、たとえば「背理法」というものに対する
態度っていうのに関しては、いささか疑問があるのよね。
狭義の背理法と広義の背理法って、あるじゃないですか。
「二重否定の除去」っていうのは、古典論理の上でしか成り立たないでしょう？
直観論理の上では、二重否定の除去は成り立たないじゃないですか。
同じ前提からＡと￢Ａが導出できたら、そりゃあ「おかしい」と思うけどさ、
だったらゲーデルの第二不完全性定理はどうなるのか？っていう話とか、
「前提が偽だったら、あらゆる命題は真であるということが証明可能である」
みたいな話に向かっちゃいそうに思うんだけど。
このあたり、ルイス・キャロルも『亀がアキレスに言ったこと』で
問題にしてたように思うんだけど ……
コラッツ問題とは とりあえず関係ないとは思うんだけど、単調減少する
自然数域に写像できるんだったら、とりあえず証明は可能な感じは
するんだけど、WikiPedia によれば『ところがペアノ算術からは
全てのグッドスタイン数列が収束することは証明できないので、
ペアノ算術はこのチューリングマシンが計算しているのが全体関数で
あることを証明できない。』とかいった話なので、基礎論寄りの
議論をしないと決着はつかないのかなー、と。 >>406
＞基礎論寄りの議論をしないと決着はつかないのかなー、と。
これもトンチンカン。次から次へとトンチンカンなレスが飛び出す。
俺は最初からずっと
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
というレスに対して話をしているのである。このレスは基礎論の話と無関係であり、
グッドスタインの定理とも無関係であり、このレスに関する議論は既に決着がついている。
「 M.B. は浅はかな思い付きによるバカな発言をした」
これが決着。 何度も言うが、グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないか
という話とは無関係である。無関係であるにも関わらず
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
という発言が飛び出すのは極めておかしい。何かを盛大に勘違いしている。
おそらく、グッドスタインの定理の記述に「自然数」という言葉が使われていて、
なおかつそこでの「自然数」が 0 から始まっているのを見て、
特に意味もなく思い付きで上記のようなバカな発言をしたと推測される。
このことに関して >>400 で飛び出したコメントは、
「数セミには "自然数に0を含めるか否か" の話題が載ってた気がするんだけどなあ」
という、これまた思い付きのバカな発言である。
俺は、"自然数に0を含めるか否か" というトピックスそのものの話をしているのではない。
そのトピックスとは無関係の話題なのにそのトピックスが飛び出すことのおかしさを、
俺はずっと指摘しているのである。
数セミには、そのトピックスとは無関係の話題から出発してそのトピックスが飛び出すような
滅茶苦茶な構成で文章が書かれているのか？違うだろ？
滅茶苦茶なのは君だけなんだよ。 また、M.B. は(お茶を濁すために)どうしても基礎論の話に繋げたいようなので、基礎論の話として
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
というレスを考察してみる。すると、このレスは基礎論の話と無関係であることが分かる。
なぜなら、ペアノ算術で 0 を自然数に含めるか否かは、0,1,2,3,… という数をどのような名称で
呼びたいかという生理的な話に過ぎないからだ。0,1,2,3,… を「自然数」と呼ぶのが嫌なら
「非負整数」とでも呼べばいいし、それも嫌なら、何か新しい名称を自分で考えてその名前で呼べばいい。
このことは、0,1,2,3,… という数を集合論の中で実装しても全く同じ。
集合論的に実装した 0,1,2,3,… という数を「自然数」と呼ぶか「非負整数」と呼ぶか、
あるいは新しい名称を自分で考えてその名前で呼ぶかは、基礎論とも集合論とも無関係であり、
単に自分がどういう名前で呼びたいかという生理的な話にすぎない。結局、
＞ だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
＞ 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
このレスは基礎論の話とも集合論の話ともグッドスタインの定理とも無関係な
トンチンカンなレスであるという事実は揺るがず、ここで決着はついている。 なお、昨日からのやり取りで、M.B. からは正常な反応が全く返って来ないことが
経験上確定している。また、M.B. がどう言葉を取り繕っても、今回の件に関しては
「どの視点から考察しても M.B. の発言はおかしい」
ことで決着がついている(>>409)。
ゆえに、これ以上は >>409 の繰り返しになるだけなので、
俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする。
願わくば、M.B. には さっさとこのスレから出て行ってほしいものである。 そろそろ夏休みが近づいてきたので、夏休みの自由研究の
お役に立てるようなプログラムを上げようかな、と
思ってるんですけど、Java のプログラムって、いろいろ
面倒臭いんですよ。
まず、IDE として Eclipse を立てるのがめんどくさい（とはいえ
ラズパイ立てると Java の IDE は最初から入ってるらしいんだよね）。
つぎに、わざわざ Object を extend するとか Exception を投げるとか
書くと鬱陶しい（普通は省略しちゃうけど、プログラムの規模が
大きくなってくると「いかがなものか」になってくる。try ～ catch とかも
丁寧に行なったほうがいい）。
その場しのぎで書くんなら、ところどころで print してもいいんだけど、
木構造を追うんだったら、適当なコンテナクラスに押しこんでおいて、
後でまとめて出力したほうがいい。ところが、それやるとイテレータだの
コンパレータだのとかいう話になってきて、数学の話をしてるんだか
Java 言語の話をしているのかが分からなくなる。
あと、中学・高校で使われている情報処理のテキストの出来があんまり
よくなくて、再帰や loop - until - do - repeat（いわゆる、n + 1/2 型の
ループ）といった制禦構造をちゃんと取りあげてなくて、「なんだこれ？」
になってしまう。かといって、若いうちにヘンな癖をつけちゃうのもなぁ。
オブジェクト志向っていうのは、ある程度 “使えるコード” が溜まってこないと
有難みが実感できないところがあって、初心者のころに屑コード溜めちゃうと
あとあとツラい（C から Java に移行してきた、とかいうヒトなら、問題
ないんだろうけど）。
数学教育とプログラミングって、どういう形で折り合うのが正解なんですかね？ >>411
> 数学教育とプログラミングって、どういう形で折り合うのが
> 正解なんですかね？
というのは、明治三十八年に発行された算数の国定教科書、
いわゆる「黒表紙教科書」のベースになった「数え主義」と
のちに遠山 啓・銀林 浩さんらが「水道方式」「量の理論」の
基礎となった「直観主義」（論理学でいう直観主義とは別）との
対立、みたいなものを意識しています。
明治三十八年っていったら一九〇五年なんですよね。
「ヒルベルトの23の問題」が発表されてから五年だから、
現代数学はカッコよかったんだろうなぁ。ゲーデルの
不完全性定理の証明あたりで風景変わっちゃったけど。 数学板とはまったくなじみがないので、要するにヒマネタです。
>>411 で、「コンパレータ」の話をしましたが、順序関係を
表す関数っていうのは、けっこう面倒臭い話があるんですよ。
束（そく）なんかだと、半順序構造を持っているので、「そんなん
当たり前でしょ？」という話にはなるんですが、普通の紙の辞書の
順番に辞書データを整列させるときに、「どっちが順序的に先になるか？」
という関数を書こうとすると、順序関係が三すくみになったりして、
整列用のルーチンが止まらなくなったりします。
で、どうするかというと、単語の読みの登録時に、整列用のキーを
隠しデータとして生成しとくんですよ。
これ、事務系のシステム組んでるひとに「人名とか社名とか、
面倒臭いですよね？」みたいにネタ振ると、ちょっと威張れますよ？ 蒸し返しになっちゃって荒らしを呼んじゃうかもしれないけど、
WikiPedia によると、現在知られている「ペアノの公理」は、
集合論との絡みで、「自然数」に 0 を含めることが多いようです。
ただし、ペアノ自身による記述によれば、「1 は自然数である」から
始まっているそうなので、0 は含まれていないようです。
とはいえ、全単射をもつ集合は、みんな同型ですから、
べつに 0 を含めても不都合があるわけではありません。
「そっちのほうが扱いやすい場合がある」というのは、もちろん
ありますし。ソフトウェアの世界でいう、「いけにえ」みたいな
ものだと思います。 自然数が０以上か１以上かの話題は専用のスレがあるので、本論と関係ないならばここでの議論は避けるべきと思います。必ず荒れる元となる話題でもありますし。
基本的に、ペアノの公理を論じるのであれば、自然数の初元がいくつであるかは本質的な意味を持たない。
また、０にゼロ元としての意味を持たせる意図があって「０以上の整数」「１以上の整数」を表現する場合は、自然数の語を用いるべきではなく、「非負整数」「正整数」の語を用いるのが潔い。 >>415
> 必ず荒れる元となる話題でもありますし。
そうか、荒れるんだ。
いちおう、
> 全単射をもつ集合は、みんな同型
とは断ってはおいたんだけどね。 本筋の話ですが、
>>348 と >>365 の視点って、既存の数学的
手法とは違うアプローチなんで、「ひょっとしたら
有望」と思わせてくれるという希望がある。
で、まだ思いつきの段階を出てないんだけど、
コラッツ問題は「２で割る」のと「算術加算」が
問題をややこしくしているものの、３ビットからなる
円環構造で考えれば、1 → 4 → 2 → 1 とビットが
移動してるだけなんだよね。
で、剰余系で考えた場合は上位と下位が切られてる
感じなんだけど、これを「伸縮する円環上に配置される
オートマトン」みたいな形で記述できたら、
「円環の周長が増大する際の最大値」と「最終的に
周長は３に落ちつく」というところに持ってけないか？
とか考えてしまう。
三倍することで、どうしたって上にキャリーが上がってく
のは間違いないわけだし、「１を足す」というのは
下からキャリーが上がってくるのと同じことなんだから。
現状、オートマトンの遷移規則がどうなるかを考えているところ。 >>415
> 自然数が０以上か１以上かの話題は専用のスレがあるので、
> 本論と関係ないならばここでの議論は避けるべきと思います。
> 必ず荒れる元となる話題でもありますし。
『０は自然数か？』
（ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1504541889/）
の話だったら、「￥」氏は荒らしにこないと思うんですが、どうでしょうか。
いまさっき見たばっかりで全部は読んでいないんですが、
＞＞122 とか ＞＞133 とかあたりの議論は、とりあえず、このスレ民にとって
傾聴に値すると思うんですが。
あと、連投してごめんなさい。m(_ _)m >>415
前スレと『０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net 』
（ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1504541889/）
に登場していらっしゃった「￥ ◆2VB8wsVUoo」さんは、
口下手でいらっしゃるようですが、わざわざ数学板を選んでくるあたり、
それなりに思うところはあるのではないかと思います（私はム板とマ板と
レシピ板がホームグラウンドです。数学板は、たまたま顔を出した
だけです）。
とりあえず、「必ず荒れる元となる話題でもありますし。」とかいった
案件でもなさそうですし、コラッツ問題は数論とか数学基礎論とかと
関連しそうな話題でもあるので、あえて避けるべき理由はなさそうに
思います。
うちの同僚がチョッカイを出しに行ってきましたが、「特に
荒れる様子もなかった」そうですから（とはいえ、馬鹿が
マ板で炎上騒ぎを起こしてはいたり、あたくしも他人事では
ないんですが(-_-!)）。 ＞うちの同僚がチョッカイを出しに行ってきましたが、「特に
＞荒れる様子もなかった」そうですから
キチガイやね。何が同僚だよ。書いたのお前自身じゃん。
今日の分のIDが完全に一致してるぞ。
そこから遡っていくと、646, 649, 650 は文脈上すべてお前の書き込みだと確定する。
何でこんなことで他人のフリするのかなこのバカは。 >>410
あら。
> 俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする。
って言ってたのは誰かしら。 自演してた事実は否定しないんだなｗ
やっぱりキチガイやね。そもそも自演する意味が無い箇所なのに、
なぜか自演して同僚がどうこうとか抜かす頭のおかしい人。普通に
「向こうのスレに書き込んでみたけど荒れてなかった」
と言えばいいだけなのに、なぜそこで
「うちの同僚がチョッカイを出してきたが荒れてなかった」
とか言って他人のフリしてるんだよ。本当に頭おかしい。 >>410については、
「今回の件に関しては>>409で決着がついており、これ以上は >>409 の
繰り返しになるだけなので、俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする」
と明確に釘打ってある。
つまり、例の話題ではもうレスしないで打ち切りにするっていうだけの話。
今後一切 M.B. に触れないということではない。 今気づいたが、>>418の ID:jbCcXMIJ の時点で既に向こうの
＞ 646１３２人目の素数さん2018/07/10(火) 20:22:42.17ID:jbCcXMIJ
とIDが一致している。最初から自演が成功するはずも無かったわけだ。
ム板とマ板とレシピ板がホームグラウンドとか言ってるが、
今見てきたらマ板とレシピ板はIDが表示されない(ム板はIDあり)。
もしかしたらこいつ、IDが出ないのをいいことに、
普段から手癖で自演ばかりやってるキチガイなのかもな。 『【初心者】Java の宿題はここで答えます【歓迎】』
（ttps://pc5.5ch.net/test/read.cgi/tech/1100559011/）
106 ：M.B.：04/11/18 20:32:22
>>104
ふはははははははは。
「M.B.」は一人ではないっ！
108 ：デフォルトの名無しさん：04/11/18 22:43:48
>>106
(ﾟдﾟ) いままで本気で一人だと思ってた
…… まぁ、誰が書いても数学的に正しいことは正しいわけだし。
天皇陛下が書いても小学生が書いても、三角形の内角の和は
１８０度なのよ。数学板でそういう方向性の話はいかがなものかしら？ とりあえずこの魔人ブウのひとをまともに相手しちゃいけないことはわかった >>426
未解決問題の一つくらいは解いてから、
出直していらっしゃいねー。 >>428
「猫」とは懐かしい名前を聞いたな。
規制されてどっか行っちゃったという話を聞いた
ことがあるけど、今はどうしてるんだろう。 >>417
うーん、やっぱり、どこかに小数点にあたる特異点みたいなものが
ないと、環状のデータ構造で表すのはムリみたいですねぇ。
いわゆる「魔円陣」において 1 が起点になるみたいに、
どっかで起点になるようなところを設けないとダメなのかしら。
魔円陣だと、たしか「基数 6 のときに解がない」っていうのがあったけど、
そんな感じで、ものすごい大きな数のところから、ループを作る数が
離散的にいくつも出てくるっていう可能性はあるのかもしれないですよね。 log(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxは存在するか？
存在するとしたら有限個か？
このあたりが中間ゴールとしていい感じだと思うんだが。
そういえば>>1はコラッツについてまとめた本持ってたよね？
なんかこの辺について載ってない？ >>431
実務屋の勘としては、分母にだけ log が入ってるのが
ちょっと気に入らない感じがするのよねー。
なんか、「2 で割る操作の回数」「三倍して１足す操作の回数」
「最大の値がどこまで行くか（出発点と最大点の比）」みたいなのの
挙動は、プログラム書いて一応チェックしてから考えるっていうのは
どうかしら？ 出発点と最大点の比はいくらでも大きくできることがわかっている >>433
「無限大に発散する」という例がなさそうだというのは
直観的には確からしいんだけど、
>>430 の話みたいに、「循環する例がどのくらいあるか
（一個しかないのか、複数ありうるのか、無限個あるのか）」
に関しての議論って、過去の文献で言及してる例って
ないのかしら。
で、循環する場合の下限と上限についての議論についての、
過去の文献ってないのかしら。 (1,4,2以外の)循環の長さの下限、(1,4,2以外の)循環に現れる数の下限についての論文なら
比較的最近のがあったと思う。
見つかったら紹介します。 >>435 >>436
気長に待ってます。
そういえば、映画『サタデー・ナイト・フィーバー』から
４０年ですってね。週休二日制が定着したから、
“Let's go TGIFing !”っていう言葉ができたらしいけど
（TGIF ＝ Thanks God, It's Friday!）、金曜日の夜くらい、
ゆっくりしましょうよ。 >>434
無限大に発散する例が存在しないことと出発点と最大点の比が無限大に発散することは矛盾しない >>432
分母にだけlogが入ってるって意味不明だぞちゃんと分子にも入ってるだろ？ >>436
アルティメットチャレンジによると
まず
t(n) := max(T^(k)(n) : k≧0)
で最大値を定義しています。Tはコラッツ関数ですが、(3n+1)/2で計算してるので少し小さくなります。
ρ(n) := log t(n) / log n が目的の関数です。
as n → ∞ should have ρ(n) ≦ 2 + o(1) for all sufficiently large n. という一文もありました。 ρ(n)が2を越えるnは、～5*2^60の範囲で7つあって、
n t(n) ρ(n)
27 4616 2.560
319 804 831 707 118 223 359 971 240 2.099
1 410 123 943 3 562 942 561 397 226 080 2.028
3 716 509 988 199 103 968 231 672 274 974 522 437 732 2.070
9 016 346 070 511 126 114 763 591 721 667 597 212 096 2.015
1 254 251 874 774 375 1 823 036 311 464 280 263 720 932 141 024 2.004
1 980 976 057 694 848 447 3.2012...*10^36 2.050
です。 失敗しました。
ρ(n)が2を越えるnは、～5*2^60の範囲で7つあって、
n t(n) ρ(n)
27 4616 2.560
319 804 831 707 118 223 359 971 240 2.099
1 410 123 943 3 562 942 561 397 226 080 2.028
3 716 509 988 199 103 968 231 672 274 974 522 437 732 2.070
9 016 346 070 511 126 114 763 591 721 667 597 212 096 2.015
1 254 251 874 774 375 1 823 036 311 464 280 263 720 932 141 024 2.004
1 980 976 057 694 848 447 3.2012...*10^36 2.050
です。 >>439
あ、混乱してた。
「x を底とした collatz_max(x) の値」というのが
何を意味するか、みたいなところで考えこんじゃって。 >>442
「o(1)」（スモール・オー誤差が 1 （定数）級である）
というのは、なんかそのまんま定数 C みたいな感じになるけど、
それは log の外に出てるからいいのか。
つまり、「collatz_max(n) は n^2 に漸近して、
誤差「collats_max(n) - n」が n に一次比例している、
みたいな理解でいいのかな。 循環の長さの下限だけでした。
New lower bounds for the size of a non-trivial loop in the Collatz 3x+1 and generalized px+q problem/Roupam Ghosh
https://arxiv.org/pdf/0907.3086.pdf
(1,4,2 以外の)循環に現れる奇数は少なくとも 6,586,818,670 個。
計算の中でコラッツ予想が 19*2^58-1 まで成り立つことを用いているので、最新の結果を使えばもっと伸びるの思われる。 >>1 ありがとう
証明はされてないけどほぼ確かて事ですかね >>442
n=31 でも
t(n)=4616
ρ(n)≒2.457
で 2 を越えるけど、なにがしか理由をつけて 27 に帰着させたりしてるのかな。 >>444
＞つまり、「collatz_max(n) は n^2 に漸近して、
＞誤差「collats_max(n) - n」が n に一次比例している、
＞みたいな理解でいいのかな。
1ミリも合ってないｗｗｗ 仮にcollatz_max(n)がn^2に漸近するとして
なぜcollatz_max(n)-n=n^2-nがnに一次比例になるのか理解しがたい >>449
D.E.Knuth の “Art of Computer Programming” （邦題はたぶん
「コンピュータ・プログラミングの技術」になると思う。翻訳は
出ているんだけど、不思議なことに、誰も邦題を知らない）から
来ている流儀で、問題のサイズを n として、
計算量を O() （ビッグ・オー）、誤差を o() （スモール・オー）で
表す方法があるんですよ（比例係数は問題にしない）。
そうすると、計算量が O(n!) とか O(n^2) とか O(n log(n)) とか、
誤差が o(n) とか o(1/n^2) とかいう形になるわけ。
で、>>440 の
“as n → ∞ should have ρ(n) ≦ 2 + o(1) for all sufficiently large n.”
っていうのを見ると、o(1) っていうのは、「誤差は定数」っていう
ことだから、たぶん collatz_max(n) と n の比に対して一定、
という話だと思うわけ。「２」というのは 2 次（桁数が倍になる）
だから、それに対して定数っていうことは、おそらくは 1 次の項だろう、
という話。
厳密な数学的な検討や数値実験的な確認はしてないけど、
書かれている内容からすると、たぶんそんな感じかなー、と。 ただ、
2.099 → 2.028 → 2.015 → 2.004
2.099 → 2.070 → 2.050
っていう二つの系列があるみたいに見えるのが、
キモチワルイっちゃあキモチワルイんだけど、
これって要するに両対数の方眼用紙に線引いてる
ようなもんでしょ？ 原著の前後の文脈も不明だから、
どっちみち、ここでは厳密な議論もしにくいと
思うんですよ。 >>450
＞計算量を O() （ビッグ・オー）、誤差を o() （スモール・オー）で
＞表す方法があるんですよ（比例係数は問題にしない）。
デタラメ。記号の解釈の仕方から間違っている。
ビッグオーもスモールオーも、関数の増大の差異を表現するための表記法である。
よって、両者ともに計算量及び誤差を表すのに使える。つまり、
「計算量はビッグオー、誤差はスモールオーで表す」
といった区別は存在しない。
「計算量はビッグオーとスモールオーで表し、誤差もまたビッグオーとスモールオーで表す」
のである。 >>450
＞o(1) っていうのは、「誤差は定数」っていうことだから、
＞たぶん collatz_max(n) と n の比に対して一定、
＞という話だと思うわけ。「２」というのは 2 次（桁数が倍になる）
＞だから、それに対して定数っていうことは、おそらくは 1 次の項だろう、という話。
デタラメ。全くそんなことは導けない。o(1) の定義から間違っている。
まず、ρ(n) ≦ 2 + o(1) という表現により、lim[n→∞]ε(n)＝0 なるε(n) が存在して
ρ(n) ≦ 2＋ε(n) (∀n≧1)
と表せることになる。つまり log t(n) / log n ≦ 2＋ε(n) ということ。
これを変形して t(n) ≦ n^{2＋ε(n)} となる。あるいは、同じことだが
t(n)/n^2 ≦ n^{ε(n)} … (1)
となる。
もし t(n) が n^2 に「漸近する」なら、lim[n→∞] t(n)/n^2 ＝ c なる正定数cが存在するとか、
少なくとも a ≦ t(n)/n^2 ≦ b (∀n≧1) なる正定数 a,b が存在しなければならないが、
(1)からはそんなことは全く言えない。まず a については明らかに何も出て来ない。
また、b についても何も言えない。なぜなら、一見すると lim[n→∞] n^{ε(n)}＝ 1
であるかのように見えるので、b＝2 とでも置けばいいように見えるが、実際には、
もし ε(n)＝1/log(log(n＋3)) だったりしたら、lim[n→∞] n^{ε(n)}＝＋∞ となってしまう
(lim[n→∞]ε(n)＝0 であるにも関わらず)ので、b についても何も言えないことになる。 クヌスは数学畑出身だけどコンピュータ・サイエンス
の世界にも興味を持って、教育にも熱心だった。
教科書 "The Art of Computer Programming" の中で
O-記法（ランダウの記号）をコンピュータ・サイエンスの
分野に導入し、その二年後には Ω-記法やΘ-記法を導入した。
で、森口 繁一先生あたりから、「大きい方（計算量）」と
「小さい方（誤差）」を分けたほうが便利だろう、と
いうので、現場で O() と o() を使いわけるようになった、
らしい。
プログラマ相手に ε＝δ とか振り回したりすると、開発の
現場では厭な顔をされると思うがどうだろう。 >>452
「十分に極限に近づいたときに、オーダーがどのくらいになるか」
っていう話よね？
書いてる以外に、ROM ってるスレ民がいるんだから、そのあたりは
分りやすい表現にしましょうね？ >>453
> デタラメ。
> 全くそんなことは導けない。
> 定義から間違っている
> そんなことは全く言えない。
> 明らかに何も出て来ない。
> 何も言えないことになる。
( ´_ゝ`）ﾌｰﾝ
数学屋さんって、みんな この程度のものなんだ。
幻滅しちゃうなぁ。
あ、嘘だけどね。真面目に数学してる人が大多数なのは
存じております m(_ _)m。
あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので。 >>454
＞現場で O() と o() を使いわけるようになった、
計算量なのに o() だけで書いたら主要項が特定できてないので中途半端であり、
ゆえに本気を出して計算量を特定した時点でO()やΘ()が出て来ざるを得ない、
…という実態があるのは理解しているが、だからといって
「計算量はビッグオー、誤差はスモールオーで表す」
という区別が存在することにはならない。O()もo()も関数の増大の差異を
表現するための表記法に過ぎないので、あくまでも
「計算量はビッグオーとスモールオーで表し、誤差もまたビッグオーとスモールオーで表す」
のである。 >>454
＞プログラマ相手に ε＝δ とか振り回したりすると、開発の
＞現場では厭な顔をされると思うがどうだろう。
的外れ。ここは5chの数学板。開発の現場ではない。
都合が悪くなったからと言って「開発の現場では」なんて
関係のない場面を持ち出してお茶を濁そうとしても無駄。
プログラマだろうが何だろうが、間違ったレスにはツッコミが入る。
そして、開発の現場とは言うが、むしろエンジニアの方がツッコミは激しいのではないか？
あっちの界隈では「マサカリが飛んでくる」なんて表現があるくらいだからなｗ
となれば、間違ったときに素直にゴメンナサイが出来ずに
お茶を濁そうとするバカの方が開発の現場では嫌われるだろう。
お前のことだぞ M.B. 君。さっそく >>454 で他人のフリして
自演を始めるとは本当にキチガイだな。ID:8RF0ZiTj が完全に一致してるぞ。
しかも自演の内容が「開発の現場なら〜」という詭弁とは、態度がゴミクズすぎて見てられない。
エンジニアがどうこうというより、もはや一人の人間としてゴミクズ。
前にも言ったが、こいつは普段から手癖で自演しまくっているキチガイなんだろう。 >>456
お前が主張していることは、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) を使うことで、a ≦ t(n)/n^2 ≦ b なる正定数 a,b が取れることが証明できる」
というデタラメな主張である。一方で、俺が言っていることは、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) が成り立つにも関わらず、
a ≦ t(n)/n^2 ≦ b なる正定数 a,b が取れないケースが存在する」
という主張である。このようなケースの具体例が欲しいなら、
ε(n) ＝ 1/log(log(n＋3)),
t(n) ＝ n (nが偶数のとき), n^{2＋1/log(log(n＋3))} (nが奇数のとき),
とでも置けばいい。 >>459 の具体例において、ρ(n) ≦ 2 + ε(n) (∀n≧1) が成り立つことが確かめられる
(フーンとか言うなよ。単なる計算問題だから自分で確かめてみろ)。
また、lim[n→∞]ε(n)＝0 が成り立つ。よって、確かに
ρ(n) ≦ 2 + o(1)
が成り立つことになる。しかし、a ≦ t(n)/n^2 ≦ b (∀n≧1) なる正定数 a,b は全く取れない。
実際、n が偶数のときは t(n)/n^2 ＝ 1/n だから、もし a ≦ t(n)/n^2 なる正定数 a が取れるなら、
任意の偶数 n に対して a ≦ 1/n が成り立つことになり、よって a≦0 となるので矛盾する。
よって、a ≦ t(n)/n^2 なる正定数aは取れない。また、n が奇数のときは
t(n)/n^2 ＝ n^{ 1/log(log(n＋3)) } であるから、もし t(n)/n^2 ≦ b なる正定数 b が取れるなら、
任意の奇数 n に対して n^{ 1/log(log(n＋3)) } ≦ b が成り立つことになる。特に、
奇数 n に対する n^{ 1/log(log(n＋3)) } は上に有界である。しかし、
n^{ 1/log(log(n＋3)) } ＝ e^{ (log n) /log(log(n＋3)) } → ＋∞ (n→＋∞)
であるから矛盾する。よって、t(n)/n^2 ≦ b なる正定数bも取れない。 よって、上記の具体例は、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) が成り立つにも関わらず a ≦ t(n)/n^2 ≦ b なる正定数 a,b が取れない」
という例になっている。このことから、M.B. の主張は間違っていることが確定する。
・ このことに反論が無い場合は、お前の間違いを素直に認めて謝れ。
・ このことに反論があるなら、ρ(n) ≦ 2 + o(1) から a ≦ t(n)/n^2 ≦ b (∀n≧1) なる
正定数 a,b が必ず取れることを証明してみせよ(そうならない具体例が提示されているので証明不可能だが)。
このどちらの行動もしなかった場合、「M.B.は論破されて逃走した」と見なすので注意せよ。
手癖で自演しまくるゴミクズに過度の期待はしてないが、
それでも素直に間違いを認めて謝ってくることを期待してるぞ。 へー、こんなスレまであるんだ。
ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1529387553/ コラッツ操作が最大値に達するまでのステップ数を m とし、
最大値から 1 に達するまでのステップ数を n とすると、
コラッツ予想が正しいかぎりにおいて、m + n は最大値を
超えない（鳩小屋の定理により、同じ数が二度出てしまうので、
どこかでループしてしまう）。
で、実験的には、最大値が初期値の二乗を超えないならば、
初期値が収まるビット数の倍のビット数の作業領域を用意すれば、
オーバーフローしないということが謂える。
符号つきの 8 ビット整数と 16 ビット整数を考えると、
自然数として使える領域は 7 ビットと 15 ビット。
で、オーバーフローが起きるかどうか、という話。
31 とか 127 とかだったら、ひょっとしたらダメかも
しれない。じゃあ、16 bit int と 32 bit int はどうか。
32 bit int と 64 bit int だったらどうか。
そういう試行錯誤の結果として、「n が十分に大きいときは、
作業領域を倍に取っておけば、（たぶん）例外は出ないか、
あってもかなり少ない」「ヤバそうだったら、出発値の何割増か
取っときゃいい」という話をしているんじゃないかと思うんだけど。
なんか、規制を喰らっちゃったんで、このスレからは遠ざかるけど
ゴメンナサイ m(_ _)m。
いま、自分のところにサーバー立てるんで忙しいのよね。 >>461のどちらの行動もしなかったので、「M.B.は論破されて逃走した」と認定する。
>>463
現状のままでは自分の主張が正しくならないからといって、
後出しで「例外があっても少数」という要素を持ち出しても詭弁にしかならない。
お前が主張していたことは、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) を使うことで、a ≦ t(n)/n^2 ≦ b (∀n≧1)なる正定数 a,b が取れる」
というデタラメな主張である。この主張に「例外があっても少数」という要素はどこにもない。
また、お前自身も このような書き方に乗っかってレスを返して来ていたのである。
もし、このような書き方に不満があったのなら、一番最初の時点で
「その書き方ではダメだ。"例外があっても少数" という要素が加味されていない」
と言っていなければ筋が通らない。都合が悪くなったからと言って、
後出して今さら「例外があっても少数」などと言い出しても、詭弁にしかならない。 あるいは、100歩譲って、「例外があっても少数」というアバウトな要素を加えて修正してみると、
(アバウトであるがゆえに修正の仕方がたくさんあるのだが)、その一例として、
お前は次のように言っていると考えられる。
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) を使うことで、少なくとも無限個の偶数 n と無限個の奇数 n に対して
a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つような正定数 a,b が取れる」
すなわち、
「任意の n≧1 に対して a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つ」
という強い性質は放棄するが、例外があっても少数であるがゆえに、
「少なくとも無限個の偶数 n と無限個の奇数 n に対して a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つ」
という弱い性質に差し替える、という修正の仕方である。
「例外があっても少数」というニュアンスをくみ取った修正の中で、
これより弱い性質に差し替える修正は存在しないと言える。なぜなら、これより弱かったら
「 a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つ偶数 n は有限個しかない」
とか
「 a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つ奇数 n は有限個しかない」
という性質になってしまい、もはや「例外があっても少数」とは呼べないからだ。 で、>>465 に書いた
＞「ρ(n) ≦ 2 + o(1) を使うことで、少なくとも無限個の偶数 n と無限個の奇数 n に対して
＞ a ≦ t(n)/n^2 ≦ b が成り立つような正定数 a,b が取れる」
の修正なら M.B. の主張は正しくなるのかというと、実は正しくならず、間違ったままである。
なぜなら、>>459 で与えた具体例がそのまま通用し、
>>460 と同じ論法によって、a,b が取れないことが言えるからだｗ
結局、100歩譲って「例外があっても少数」という要素を付け加えても、M.B. の主張は間違ったままである。
M.B. に言い逃れは不可能なのである。
M.B. に取れる唯一の選択肢は「素直に間違いを認めて謝る」ことだったわけだが、
御多分に漏れず、謝ってくることは無かった。
このまま、自分がどこを間違えていたのか曖昧にしてやり過ごすつもりなんだろう。ゴミクズである。 >>463
＞なんか、規制を喰らっちゃったんで、このスレからは遠ざかるけど
＞ゴメンナサイ m(_ _)m。
規制なんてウソで、ほとぼりが冷めるまでは避難して、
そのうち戻ってくるつもりなんだろうが、二度と戻って来なくていいよ。
そして、二度と戻って来ないための書き方なんて幾らでもある。
お前のプライドが傷つかない書き方なら、
「なんかヘンなのに目をつけられちゃったので、二度とこのスレには書き込みません」
とかでもいい。
でも、そういう書き方すらしない。あくまでも「規制を喰らったのでこのスレからは遠ざかる」
としか言わない。そのうち戻ってくる気マンマンである。
まずは自分の間違いを認めて謝るのが先なんじゃないですかね。
まあいいや。もう一度言うぞ。
「二度と戻ってくるな。」 >>476
規制が解けたみたいだから戻ってきちゃったよ～ん まとめ。
・ M.B. は自分の間違いを素直に認めて謝ることができない。
・ 都合が悪くなると自演を始める。その自演の内容も「開発の現場なら～」という詭弁。
クズすぎて見てられない。
・ あまりにも都合が悪いので、後出しで別の条件を持ち出して言い逃れしようとする。
(しかし、その条件を加味しても M.B. の主張は正しくならないｗ)
・ あまりにも都合が悪いので、「規制を喰らったのでしばらく書き込めない」とウソをついて、
ほとぼりが冷めるまでは避難し、そのうち戻って来ようとする。クズすぎて見てられない。
まず謝るのが先じゃないんですかね。あるいは、「二度と戻って来ない」と宣言して完全逃亡するとか。
しかし、そういうこともせず、未練タラタラに戻ってくる気だけはマンマン。もちろん謝らない。
クズすぎて見てられない。 >>469
ム板の自然言語処理スレの住民の同僚に言わせると、
「語彙が少ないなぁ。『クズすぎて見てられない』が
三回も出てきてるぞ？ 低能先生の予備軍か？」
だそうけでけど、なんで『コラッツ予想がとけたらいいな』
みたいまったりスレに、荒らしが現れるのかが理解できませんわ。 >>470
荒らしはお前だよ。
・ 都合が悪くなると自演を始める。
・ 後出しで別の条件を持ち出して言い逃れしようとする。
・「規制された」とウソをついて避難し、そのうち戻って来ようとする。
・ 結局、自分の間違いを謝ることをしない。
特に「自演」と「規制された(ウソ)」の部分は偽証行為に該当する。
平気で偽証行為を繰り返す人間が荒らしでなかったら一体何なんだ。
ム板とか数学板とか、もはや関係ない。お前のやっていることは明確な荒らし。 >>470
とりあえず、t(n) の件についてはきちんと謝ってもらうよ。
「 t(n) が n^2 に漸近するという主張は、わたくし M.B の勘違いでした。ゴメンナサイ 」
と言え。それ以外の書き込みをした時点で逃亡したと見なすので注意せよ。 >>472
> 注意せよ。
自然言語処理をやってる人間に、ネットで喧嘩売る若者の
無謀さに乾杯。
Q.「落石に注意」ってどういう意味ですか？
「落ちてくる石に注意しろ」なんですか？ それとも
「落ちている石に注意しろ」っていう意味ですか？
A.それは、道路交通局に訊いてください。
落ちてくる石に対して、「コラァ！ 落ちてくるんじゃねぇ！」と
注意するのか、落ちている石に、「これこれ、こんなところに
落ちていてはいけないよ」と注意するのか、道路上に落ちている石が、
じつはオニダルマオコゼだったりミミックだったりするかもしれないから
注意しろ、というのかは、定かではありません。
まぁ、数学板のこんなマイナーなスレッドが伸びることなんてあんまり
ないと思うので、賑やかしだと思って本筋の皆様は（指さしてゲラゲラ
笑いながら）生温かく見守っててください（笑）。
せっかくの良スレの雰囲気が悪くなっちゃうのは不本意なので。 >>473
自然言語処理をやっている人間は、そうやって言葉尻を捕らえて
くだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回るのが仕事なのか？
それがお前の、自然言語処理の知識の使い方なのか？
人間性がクズだと、せっかくの自然言語処理の知識も
しょうもない運用の仕方しかできないようだな。 >>473
＞せっかくの良スレの雰囲気が悪くなっちゃうのは不本意なので。
雰囲気を悪くしているのはお前だよ。
お前の行為は明確に荒らし行為だが、俺の行為は全く荒らしに該当しない。
なぜなら、俺は主にオーダーの話だけをしており、特に t(n) の話がメインであり、
t(n) に関するお前の間違いを数学的に丁寧に指摘してきただけだからだ。
その合間の別のレスは、お前の荒らし行為を糾弾するためのレスであり、
これも荒らし行為に該当していない。その一方で、お前がやってきたことは
・ 都合が悪くなると自演を始める。
・ 後出しで別の条件を持ち出して言い逃れしようとする。
・「規制された」とウソをついて避難し、そのうち戻って来ようとする。
・ 結局、自分の間違いを謝ることをしない。
・ 言葉尻を捕らえてくだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回る (new!)
という、クズエピソード満載の荒らし行為ばかりである。
この期に及んで謝罪の1つもないとは、俺はお前のことを心の底から軽蔑するよ。 >>473
もう一度言う。>>459-460 及び >>465-466 により、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) が成り立つにも関わらず、
t(n) が n^2 に漸近しないケースが存在する ( "例外となるnは少数" を加味してもなお) 」
という事実が確定している。このことに異論はあるか？異論がある場合は、
「ρ(n) ≦ 2 + o(1) が成り立つなら、t(n) は n^2 に必ず漸近する」
ことを証明してみせよ(そうならない具体例が提示されているので証明不可能だが)。
異論が無い場合は、
「 t(n) が n^2 に漸近するという主張は、わたくし M.B の勘違いでした。ゴメンナサイ 」
と素直に謝罪せよ(つまり、お前は謝罪するしかない)。 >>474
数学をやっている人間は、そうやって言葉尻を捕らえて
くだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回るのが仕事なのか？
それがお前の、数学の知識の使い方なのか？
人間性がクズだと、せっかくの数学の知識も
しょうもない運用の仕方しかできないようだな。 >>477
これも他人のフリか？ID:Fu1mV0Fm が完全に一致してるぞ M.B. 君。 >>478
レスが続けば続くほど、お前のクズエピソードが増えていくなｗ
＞数学をやっている人間は、そうやって言葉尻を捕らえて
＞くだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回るのが仕事なのか？
＞それがお前の、数学の知識の使い方なのか？
何言ってるんだこいつ。レスの内容が支離滅裂。お前からの謝罪要求は1つも来ていない。
にも関わらず、俺が謝罪から逃げているとは、一体どういうことだね？
考えもなしに表面的にオウム返しをしようとするから、そういう支離滅裂な返答になるんだよ。
これが自然言語処理をやってる人間のレスなのか？あたま悪すぎ。というか人間性がクズすぎる。
何か謝ってほしいことがあったら、何について謝ってほしいのか具体的に書いてみろよ。
俺から先に書くぞ。何度も言っているが、M.B. には
「 t(n) が n^2 に漸近するという主張は、わたくし M.B の勘違いでした。ゴメンナサイ 」
と素直に謝罪してほしい。これが、お前に対する俺からの謝罪要求である。
次はお前の番だ。お前は何に対して謝罪してほしいんだ？ 老害に多いけど、学問で謝罪を要求するのは何なんだろうね。
マウント取るのを学問と考えるのは下衆の極みだわな。 >>481
間違いを素直に認めない奴が避難されるのは当たり前。
これをマウント取りと混同するのは詭弁。しかも M.B. の場合は
・ 都合が悪くなると自演を始める(自演の内容も詭弁というクズっぷり)。
・ 後出しで別の条件を持ち出して言い逃れしようとする。
・「規制された」とウソをついて一旦逃げ、ほとぼりが冷めた頃に戻ってくることを画策する。
・ 結局、自分の間違いを素直に謝ることをしない。
・ 言葉尻を捕らえてくだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回る。
・ 表面的なオウム返しで支離滅裂な返答をしてくる。(new!)
というクズエピソードの目白押し。1ミリも擁護できるところが無い。 >>482
がロアは二十歳で死んだはずだが。
ガウスも晩節を汚した話も聞かないし。
ベルヌーイか誰かと間違えてはいないんだよな？ 蛇蔵『決してマネしないでください。』（講談社）
p.43
ニュートンは、その偉大さに反比例して狭量だった。
ニュートン「微分積分を考えたのは私なのに
ライプニッツがパクッた！！
ライプニッツはドロボ――
ライプニッツのうんこ――」
ライプニッツ「あんたとは別ルートで思いついたって
言ってんだろ！！！」（事実）
―― まぁ、数学的な才能と品性は別物、っていうコトですかね。 蛇蔵『決してマネしないでください。』（講談社）
p.44
ロバート・フック「万有引力の法則を発見したのは、
私のヒントがあったからじゃないか！！ お礼の
一言ぐらいあってもいいだろう？」
ニュートン「絶対に絶対に絶対に絶対に、
お礼なんか言いません ――。むしろ著作からお前の名前を
消してやるわ！！」
フック「私が生きているうちは、学会で自由に
させないよ！！」
ニュートン「お前が死んだら、お前の肖像画を
ぶっ壊してあげるから、よろしく！！」（本当にやった）
数学は心理的にも肉体的にも、人間に無理を強いるものかも
しれない (-_-!)。 これは竹内 均先生の証言だが、
サー・ハロルド・ジェフリーズは
アルフレッド・ウェゲナーの大陸移動説を
五十年間にわたって潰しつづけ、
「ただ一人で、地球物理学の進歩を
五十年間止めた男」として知られているという。
で、竹内先生はフレッド・ホイルと同窓だったので、
毎年クリスマスカードを貰っていたという。その文面が、
「サー・ジェフリースは、まだ生きている」。
九十過ぎてなお、大学まで自転車で通っていたそうだ。 「 t(n) は n^2 に漸近する」と言い出したのは M.B. の方である。その後の議論でも、
M.B. は普通に t(n) についてレスのやり取りをしていたし、>>456では俺のレスに不満があったのか
＞ ( ´_ゝ`）ﾌｰﾝ
＞ 数学屋さんって、みんな この程度のものなんだ。
＞ 幻滅しちゃうなぁ。
＞ あ、嘘だけどね。真面目に数学してる人が大多数なのは
＞ 存じております m(_ _)m。
＞ あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので。
などと皮肉めいたことまで言っていてやる気マンマンだったのである。 にも関わらず、>>456 の後に具体的な反例が提示されると一気にトーンダウンして
t(n) の話から逃げるようになり、挙句の果てには >>485-486 で
＞ ―― まぁ、数学的な才能と品性は別物、っていうコトですかね。
＞ 数学は心理的にも肉体的にも、人間に無理を強いるものかもしれない (-_-!)。
という新しい詭弁が登場ｗ
どうしたよ M.B. 君。
数学を貶めている半可通は嫌いなんだろ？
俺の方としては、半可通ではないように具体的な反例をキチンと提示して決着をつけてやろうとしているのに、
いざお前が間違っていることが確定すると、M.B. の方が半可通になって決着をつけることから
逃げ回っているじゃないか。ちょっと都合が良すぎませんかね。 上のレスと重複するが、今回のやり取りの中で決定的なのは >>456 である。
この時点での M.B. は明らかにやる気マンマンで、
＞ あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので。
こんなことまで豪語して前のめりで議論に参加していたのである。
よって、マウント取りがどうこうという>>481の批判は全く当てはまらない
(こういう状況でなくても当てはまらないが)。
俺の方としては、半可通ではないように具体的な反例をキチンと提示して決着をつけてやろうと
しているのに、いざ M.B. が間違っていることが確定すると、M.B. の方が半可通になって
決着をつけることから逃げ回っており、現在進行形でクズエピソードが量産されている。
なーにが「あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので」だよ。
自分が不利になった瞬間から保身に走りまくりじゃないか。反例が提示された時点で
「そうなのか。こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と言うだけでこの話は終わっていたのに、何をズルズルと言い訳を重ねて逃げ回っているのだ。 >>490
もうおねがい ゆるして ゆるしてください おねがいします
ほんとにもう おなじことはしません ゆるしてください ゆるして
きのうぜんぜんできてなかったこと これまでまいにちやってきたことを なおします >>491
いくら何でも、お前がそこまで地に落ちたクズだとは思わなかったぞ。
ttps://www.sankei.com/affairs/news/180606/afr1806060014-n1.html
この虐待死事件でノートに残されていたメモからの、ほとんど丸コピペじゃないか。
お前自身の言葉ではなく、他人の言葉からのコピペで謝罪を済ませようとする神経が信じられないし、
そもそもコピペ先として選んできたのが上記のノートっていう発想自体が不謹慎でキチガイすぎるし、
それを目立つように age て書き込むという暴挙。
不謹慎というレベルを遥かに超えている。最後の最後の謝罪の場面ですら
こんなクズエピソードが出てくるとは思わなかったぞ。
これが本当に、自然言語処理をやってる人間のレスなのか？ >>492
「あんたはサディストだ」
「殺してやる！ 殺してやる！」
『十二人の怒れる男』より。 >>493
何が言いたいのか分からない。俺がサディスト(＝虐待者)ということは、
俺が「虐待者の役」で M.B. が「子供の役」で、
皮肉で >>491 のような書き込みをしたということだろうか？
もしそうなら、その発想自体があり得ない。
そういう意図では無かったとしても、虐待死事件のノートから
コピペしてくるという発想自体が既に "終わっている"。
反例が提示された時点で
「そうなのか。こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と言うだけでこの話は終わっていたのに、どうしてこんなにも
醜態をさらす方向でレスを重ねていくんだろう。 >>491
これまで一応中立の立場で横から見てましたけど、さすがにこれは無理です。
あなたは異常です。
少なくとも私はもう、あなたと分かり合うことはできません。
私には人を追い出す権限はありませんが、あなたがスレから出ていくことを願います。
以降、私はあなたとは関わりません。
ID:huQMTm13 さんもその辺にしといたらどうでしょう。
荒らしに構うのも荒らしと言いますし、
数学的にはあなたが正しいということはみんな分かってますから。 >>491を引っ張り続けるのも茶化してる点では同じだろう >>490
なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。 今回の話は、>>491 が投下された時点で全てが消し飛んでしまい、
俺としても、もうやり取りする気は無いのだが、何やら野次馬が
新しいレスをつけているので、昨日の騒動の残り火だと思って、
ちょっとだけ勘弁してくれｗ >>498
ID:02nFAly/ 君よ、間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
君には「道徳」が無いのか？しかも、
「こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と軽くゴメンナサイするだけでこの話は終わっていたと何度も言っている。
これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りのアスペに
仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。
たぶん、「アスペ」の部分が君の本音で、俺をアスペに仕立て上げるためには、
君はどんな難癖だってつけるんだろう。君のレスに「道徳」が無いのも、
こう考えると筋が通る。だから、君の発言には説得力が1ミリもない。
それとも、本当に君は「挑発レスに対して謝罪を要求していれば満足だった」のかね？
たかがその程度の形式的な差異が、本当に君にとっての不満点なのかね？
…こう考えると、やっぱり君は難癖をつけているようにしか見えないね。
そもそも、この程度の形式的な差異を問答無用で重要視して道徳を完全無視する君の方が、
よっぽどアスペに見えるぞ。 一応、レスの内容にも返答しておくか(他の住人のみなさん、ゴメンナサイ)。
>>498
＞なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
同じことだよ。対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は数学的に正しい)」
という意図が込められている。よって、相手からすれば、これについて謝罪することは、
自身の間違いを認めて謝罪するのと ほとんど同じ意味になってしまう。 … (1)
すると、仮に俺が挑発レスの方に謝罪を要求していたとしても、ID:02nFAly/ は
「表面的にはその挑発レスに対して謝罪を要求しているが、上記の(1)のとおり、
実際には間違いに謝罪を要求しているのと同じだから、これは結局マウント取りだ」
などと、もっともらしい理屈で俺に難癖をつけることが可能になってしまう。あるいは、
上記の挑発レスのうち、数学的な意図を取り除いて "煽り成分だけ" を抽出して、
そこにのみ謝罪を要求していたとすると、今度は
「そんなに "挑発されたことそのもの" が悔しいのか？数学の話に集中しろよ」
という別の批判が飛んでくるようになる。結局、この話題はどこまで突っ込んでも
難癖にしかならない。このことからも、ID:02nFAly/ の発言には何の説得力も無い。 以上。 >>67
＞乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
(＾～＾) >>504
あ、そういうことですか。
>>67は>>51や>>64で現れた「乗法群」、すなわち環や体の乗法群について説明したものです。
当時は文脈上この書き方で問題なかったと思いますが、
後からここだけ見ると確かに誤解を生みかねない表現ですね。反省します。 炎上しているところを申し訳ないんですけれど、
ちょっと聞き捨てならない NG ワードが出てしまったので復帰しました。
悪意がないのは重々承知しておりますが、
> マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。
は、
「マウント取ろうとしている反社会性パーソナリティ障害にしか見えんわ。」
に、訂正していただけるとありがたく存じますm(_ _)m
「アスペルガー症候群」というのは、青少年犯罪との絡みで有名になった
言葉ですので、俗称としての「アスペ」っていうのが通用しているのは
ほとんど気にしていませんし、こっち側（はい、あたしもアスペです）
の「高機能広範性発達障礙」の方に「これだからアスペは（笑）」と
いうのは洒落で済むんですが、侮蔑的な表現として使われるのは
不本意なので。
カリフォルニアで仕事をしてたときに、「敵性国民である日本人に対して
“ジャップ”と言うのは当然だけれども、アメリカ市民権を得たアメリカ国民である
日系人を“ジャップ”と呼ぶのはいかがなものか？」みたいな話をしたら、
なんか一目置かれちゃったので居心地が悪うございました(w。
だけど、「ムース（日本人の娘さん）」はやめて欲しかったなぁ。 >>500
> 間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
> 君には「道徳」が無いのか？
「道の道というべきは、常の道に非ず」。
君は「道徳経」を、ちゃんと読んだことがあるのかい？ 「これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りの
アスペに仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。」
明らかにマウント取りにしか見えないので、君に自分が「マウント取りの
反社会的パーソナリティ障害者であることを疑ってみることを強く奨めて
いる」だけだと思う。
善意による助言であり、「悪意ある難癖にしか見えない」ならば、
カウンセラーさんに相談したほうがいい。
ついでながら、うちらは『自然言語処理スレッド その４』
（ttps://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1401741600/）と
いう過疎ったスレッドでのたくっているので、存分に荒らしてくれると
言語的なデータが取れてうれしい。歓迎する。 >>500
> 君の発言には説得力が1ミリもない。
電通 鬼十則の 8
> 自信を持て！ 自信が無いから君の仕事には、迫力も粘りも、そして
> 厚みすらがない。
キミは電通の社員か（笑）
だいたい数学の話で 1 ミリってなんだよ。何の量を基準としてミリを
定義してるんだよ。数学は量の学問じゃないだろ？ >>500
> 対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
> 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は
> 数学的に正しい)」
> という意図が込められている。
連体修飾詞には、「暗黙の主語」が存在するので、「彼は恥ずかしい」は
「彼は私をして“恥ずかしい”と感じせしめる人物である」を含意する、
という話はしたよね？
あたしは半可通ですけれどもね、数学に対しては敬意をもって接して
います。
だからこそ、「(数学を貶めている(半可通))が嫌い」なのであって、
それを、よりにもよって敬愛する数学板の住民（もちろん、このスレ
の住民）に「挑発レス」呼ばわりされるっていうのは不本意です。
と、いうわけで、
> 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は
> 数学的に正しい)
というのは妄想であって、それこそ「だったら証明しなさいよ！」と言わせて
もらいます。 >>507-510
少なくとも、>>491 を投下するような君が道徳を語る資格は全く無い。
そして、君がどんな道徳の知識を持っていたとしても、
自演やウソばかりの君の見苦しい行動、そして >491 という決定打を見る限り、
君の道徳の知識は全く生かされてないと言える。今回のレスにしたって、
なぜか君は M.B. と Mr.Moto という2つのコテを使い分けている。
が、ID:+NKwYrVS が完全一致しているので同一人物である。
まさかこれも自演ではあるまいな？
また、>>507-510は、俺と野次馬とのレスに君が横やりを入れているだけであり、
これは完全にスレ違いである。無意味に話を長引かせるのはやめたまえ。
(ただし、>>506には文句はつけない。これは内容的に許容しなければならない。)
まあ、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。 そして、>>499の繰り返しになるが、今回の話は、>>491が投下された時点で
全てが消し飛んでしまった。俺としては、もう君とやり取りする気は全く無い。
なので、君とのやり取りは、このレスで最後とさせてもらう。
なんか>>508で言語処理のスレッドを俺に勧めているようだが、
俺はそういう話題には興味がないので、そのスレに行くことは無い。
ここから先は、君が俺にレスをしてきても、俺の方からは何の反応も無いことを約束する。
もう一度書くが、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。
ではさようなら、M.B. さん。 分数を小数に展開すると繰り返しになるよね
コラッツの無限に発散する数列も
ある地点からパターンが現れるかどうかは考察できないかな？ >>513
循環小数になるか有限小数になるかは、数学板の別スレで議論
されてて、「分母の基数が何で表されるか」と、「分子が分母の
基数の約数の積の形で表されるかどうか」という点に帰着するのよね。
その観点から考えると、群論によるアプローチは有意義だと
思うんだけど、「そんなにうまくゆくんだったら、コラッツ問題は
そろそろ解決されていそうに思うんですけど？」とも思うんですよ。
まぁ、このスレが解決に貢献できたら、「おめでとー！」って
言いますけどね。 とりあえず、collatz_max(n) を考えると、少なくとも
（コラッツ予想が正しければ）collatz_max(n) はただ一つ
なんですよね？（でなかったら循環しちゃうので）
そうなると、n から collatz_max(n) までのルートと、
collatz_max(n) から 1 までのルートに分けられると
思うんですよ。で、collatz_max(n) が “何か” と考えると、
2 の冪乗という「下り」系列と、(3n + 1) / 2 という
「上り」系列に引っかからざるを得ないわけです。
それを考えると、collatz_max(n) に着目して、
「どういう上り系列に引っかかって、どういう下り系列に
乗っかれるか？」を考えるというアプローチは、あるかと
思います（「やれ」と言われると困るけど）。 >>513
例えば偶奇について言うと、
ある初期値からコラッツ操作を繰り返してループに到達しないとすると、
「ある地点から先で同じ偶奇のパターンが無限に繰り返される」ということは起こらないことが証明できます。 前786氏は本当は群論が苦手で無理してるような気がす そのあたりの議論については、たぶん
>>113-116
あたりの話につながりそうに思うので、
そこいらからツッコミをいれてくれると
分かりやすいと思います。 >>516の命題を証明します。
以降、奇数に対しては「3倍して1を足して2で割る」までをひとつの操作とします。
また、面倒な条件付けを避けるため、整数の範囲で考えることにします。(さらに広げることもできますが、省略します)
コラッツ操作を f で表します。
まず、後で使う補題をひとつ用意します。
補題
任意の整数 a,k に対して、f(a+2k)=f(a)+ck, ただし c=1 or 3
証明
a が奇数の場合
f(a+2k) = (3(a+2k)+1)/2 = ((3a+1)/2)+3k =f(a)+3k
a が偶数の場合
f(a+2k) = (a+2k)/2 = (a/2)+k = f(a)+k □
次に「コラッツ展開」を定義します。
（私が勝手に作った言葉であり、一般的な言い方ではありません）
定義
整数 a に対して、数列 {a[n]} を
a[1]=a
a[n+1]=f(a[n]) (n≧1)
によって定める。
次に、0 と 1 からなる無限列を
a[n] が偶数なら第 n 項は 0、a[n] が奇数なら第 n 項は 1
として構成する。
こうしてできる無限列を a のコラッツ展開と呼ぶことにする。
例えば a=5 のとき数列{a[n]} は
5,8,4,2,1,2,1,2,…
となるので、5 のコラッツ展開は
1,0,0,0,1,0,1,0,…
となります。
一般に、f(a) のコラッツ展開は a のコラッツ展開の初項を除いたものになります。 補題
a,b を整数とする。このとき
a と b のコラッツ展開が少なくとも第 n 項まで等しい ⇔ a≡b (mod 2^n)
証明
n=1の場合
コラッツ展開の初項が等しい ⇔ a と b の偶奇が等しい
より成り立つ。
n=m まで成り立つとして、n=m+1 の場合を示す。
左⇒右:
少なくとも第 m 項まで等しいので、ある整数 k を用いて
a=b+2^m*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
a'=b'+3^e*k （e は非負整数）
と表せる。仮定より、a' と b' の偶奇は等しいので k は偶数。
よって a≡b (mod 2^(m+1))
右⇒左:
整数 k を用いて
a=b+2^(m+1)*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
a'=b'+3^e*2k (e は非負整数)
と表せる。よって、a' と b' の偶奇は等しいので、a と b のコラッツ展開の第 m+1 項は等しい。□
系
整数 a,b に対し、両者のコラッツ展開が一致するならば a=b >>516の命題の対偶を証明します。
命題
整数 a のコラッツ展開が、有限個の項を除いて循環しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。
証明
a のコラッツ展開が第 n 項から循環しているとし、k 項ずつ繰り返しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を n 回施して得られる数を b、
a にコラッツ操作を n+k 回施して得られる数を c とすると、
b と c のコラッツ展開は一致するので、系より b=c
したがって、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。□ ん、なんか上手くいき過ぎな気がするが
かといって間違えを指摘できるわけでもない
ちょっと考えてみます うん。概念的に理解しやすいのがいい。
久々のビッグウェーブが来た予感。
今後の展開に期待。 たとえばだけど任意の有限長の01列に対してそのコラッツ展開をもつ整数が存在する
とかは言えるの？ ちょっと言い方がおかしいか
任意の有限長の０１列（長さｎ）に対してコラッツ展開の初項から第ｎ項が一致する整数が存在する
はいえるの？
なら通じるかな >>527
これは言えます。
1 から 2^n までの自然数のコラッツ展開を考えます。
どの2つを見ても、>>521の補題より、初項から第 n 項までが一致することはありません。
長さ n の 01 列は全部で 2^n 通りあるので、全てのパターンが現れていることになります。
例えば長さ 3 の場合を考えると、
1→101
2→010
3→110
4→001
5→100
6→011
7→111
8→000
となって、全てのパターンが現れていることが確認できます。 えっなんかすげくね？
ここから対角線論法つかってごにょごにょしたら
なんか出てきそうな気もするけどそんな甘くないかな >527
f(x×2+0)=x×1+0
f(x×2+1)=x×3+2
xの係数は奇数なので、この奇偶はxの奇偶によって定まる。
さらに x→x×2+0, x→x×2+1
で置き換えてコラッツ操作を行うと
4x+y(y=0,1,2,3)について長さ2のコラッツ展開は全て異なることがわかる
以下繰り返すことにより
f^k(x×2^n+y)のnの係数は奇数(3の冪)であり、
y=0,1,…,2^n-1に対し長さnのコラッツ展開は全て異なることが示せる いくら場合わけしてもとり尽せない理由もこのへんにあるのかなぁ これに気づいた時点で「単純な分類でとうにかするのは無理だ」とは考えました
上位ビットを適当に選べば、増加を繰り返すものが必ずあるのか、と
突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね…… たとえば√2を2進数で表したとして、
その第n桁までコラッツ展開が一致する数のうち最小のもをa_nとおいて
F(√2)=lim n->∞ a_n
とでもして
F(√2)が有限の値をとるかどうかは考察できる？ >>534
おおう、まじか。
チェックありがとうございます。
ちなみにe5fE+xPzとVbgF2ohAは同一です >>536
手柄とかは どうでもいいんじゃね？
論文に名前が出るかっていう話なら、
有限群の分類とか新素粒子の発見の論文みたいに、
著者の名前のリストのほうが本文より長かったりするんじゃねーの？
おれの名前は入ってなくていーや。
でなかったら『電車男』の「電車」と「エルメス」みたいに
「righ1113」と「前786」と「その他協力者のみなさん」とか。 あー、なんか厭な予感がしてきた。
べつに >>516 以降の議論を尊重しないわけじゃないけど、
>>146 あたりの議論を考えると、たぶん全射にならないんじゃないかと
思うんですけどね。そこを避けるための手当をすればイケる感じは
あると思います。
「コラッツ展開」の精密化と、関数 f() の性質について、さらに検討すれば、
>>530 氏のいう
> 突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね ……
のあたりに到達できそうな気はするんですけど ……
「また元に戻ってきてガックリ」みたいな話は、ありそうに
思うんですけどね。 任意の{0,1}無限列に対して、
コラッツ展開が一致する正整数が存在するかと言えば否。
00000…には0,
11111…には-1が対応する。 では整数に拡張すれば大丈夫かと言えば、これも否で、
2進整数(2-adic integer)まで拡張する必要がある
任意の{0,1}無限列に対し、
先頭のn項がコラッツ展開と一致する非負整数はZ/2^nZで一意になり、また、nの増加とともに下位を共有しなから伸びていくのはすでに示された通りだけど、
これがちょうど2-進整数の条件を満たしている >>1に頼みたいんだが以下の仕様でプログラム組んでくれない？
n(自然数)を入力とする
nビット以下の01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙する
例 n=3の時
0:{2,4,6,8}
1:{1,3,5,7}
00:{4,8}
01:{2,6}
10:{1,5}
11:{3,7}
000:{8}
001:{4}
010:{2}
011:{6}
100:{5}
101:{1}
110:{3}
111:{7}
お願いします。 なにかグレイコードっぽい雰囲気を感じる
あくまで雰囲気だけど コラッツ展開は 2 進展開に似ていますが、
以下のようにして明確に類似物であることを説明できます。
コラッツ操作 f の代わりに
x が奇数のとき g(x)=(x-1)/2
x が偶数のとき g(x)=x/2
という操作 g を考えます。
操作 g を用いて、整数( 2 進整数でも可)に対してコラッツ展開と同様に 0,1 からなる無限列が得られますが、
この無限列(を逆の順で並べたもの)は初期値の 2 進展開に一致します。
実際の 2 進展開の手順と見比べてみればわかると思います。
同様に、奇数 p,q を固定して
x が奇数のとき h(x)=(px+q)/2
x が偶数のとき h(x)=x/2
という操作 h を考えれば、同じ手順で 01 列への展開が得られ、
>>521>>522で示した事実の類似が成り立ちます。 >>545
おお、仕事速いっすな。
ありがとうございます。 Python版
def collatz_bits(n):
result = [0] * pow(2,n)
for i in range(1, pow(2,n)+1):
x = i
s = ""
for j in range(n):
s += str(x % 2)
x = x // 2 if x % 2 == 0 else (3*x+1) // 2
result[int(s,2)] = i
return result
def print_collatz_bits(n):
for bits, k in enumerate(collatz_bits(n)):
print(f"{bits:0{n}b}:{k}")
>> collatz_bits(3)
[8, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 7] >>545
動かしてみました。
確かになんらかの法則性があるように見えますが、うまく言語化できないorz
うーん。なんだろうこれは 前786さんならなにかピンとくるものがあるかも知れませんねぇ >>1へ
とりあえず前786さんにも見ていただきたいのですが、
前見たく出力結果をgithubにあげていただけませんか？
とりあえずn=10位がいいかなぁ あるビット列xに対し対応するコラッツ展開を持つ数を昇順にならべたものを[a_1,a_2,,,,a_2n]
とすると
x+'0'に対応するコラッツ展開をもつ数は[a_1,a_3,a_5,,,a_(2n-1)]
x+'1'に対応するコラッツ展開を持つ数は[a_2,a_4,a_6,,,a_2n]
になる？ いや、ちょっとちがうな。
でも添え字が偶数のものと奇数のものに分かれるのは言えそう。 >>552
ありがとうございます。
前７８６さんもぜひご覧になってなにか法則性がないか考察お願いします。 すいません。また>>1にお願いがあるのですが
今１０進で表示されている数字をnビット先頭0埋め2進数で表示させられませんか？
ひょっとしたら法則性が見えやすくなるかもしれないのですが。 あげました～
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/CE_n%3D10b.txt
プログラムでやりたい場合は、
最新版のCollatzExpansion.hsの
74行目をコメントアウトして、
75行目のコメントを外すと、バイナリになります。 おお、ありがとうございます。
さらに追加で要求でもうしわけないんですが、
１０進版とバイナリ版のexeもgithubに上げてもらえませんか
exeなら前786さんやほかの方も抵抗が少ないだろうし 上げました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod
CollatzExpansion.exe
CollatzExpansionB.exe
です。 おお、何度もありがとうございます。
>>1にも聞いてみたいですが結構法則性ありそうに見えますよね？ >>559
2進数で左右反転しているのと、そうでないのとがありますね。 あまり期待はしないで下さいな。
出力の並び順ですが、
00000
10000
01000
11000
:
:
のようにしてもいいかもしれません。可能ならば。
>>544で言ったようにコラッツ展開を2進展開の類似物と捉えると、
コラッツ展開の初項が一の位に対応するので。
もしくは2進展開にならってコラッツ展開も右から左に書くことにするとか。 ぜんぜん関係のない話なんで、スレ汚しスマン。
以前、原始ピタゴラス数の絡みで、直角二等辺三角形に
収束する数列を、スターン＝ブロコット木の上で追いかけていたら、
そこにフィボナッチ数列が出てきたことがある。
どういう境界条件で左右反転が起きるのかは、追いかけてみたら
面白そうな気がする。
（私が面白そうな気がするだけで、結果についてはいっさい責任は
取らないということは、いうまでもないが） 桁数：左右反転している個数
1: 2
2: 4
3: 6
4: 10
5: 16
6: 22
7: 30
8: 44
9: 58
10: 68
11: 80
12: 96
13: 122
14: 144
15: 162
16: 182
17: 200
18: 212
19: 228
20: 254 割合的には急激に減る
桁数をnとすると、n*log nくらいのオーダーか？ さらに>>１にお願いしたいが
入力ｎに対して丁度nビットの01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙
コラッツ展開と自然数を２進であらわしたものが反転してる関係にあるものは行頭に空白４個入れる
反転ではないものは行頭に空白を入れずに表示
でプログラムお願いできない？ 左右反転になるもの
1 [0, 1]
2 [0, 1, 2, 3]
3 [0, 2, 3, 4, 6, 7]
4 [0, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15]
5 [0, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 22, 24, 27, 28, 30, 31]
6 [0, 6, 11, 12, 15, 16, 22, 24, 28, 30, 31, 32, 38, 43, 44, 47, 48, 54, 56, 60, 62, 63]
7 [0, 12, 15, 22, 24, 30, 32, 43, 44, 47, 48, 56, 60, 62, 63, 64, 76, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 108, 111, 112, 120, 124, 126, 127]
8 [0, 15, 24, 30, 43, 44, 48, 60, 63, 64, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 111, 112, 120, 124, 126, 127, 128, 143, 152, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 207, 214, 216, 222, 224, 235, 239, 240, 248, 252, 254, 255]
9 [0, 30, 43, 48, 60, 63, 79, 86, 88, 96, 120, 126, 128, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 214, 222, 224, 235, 240, 248, 252, 254, 255, 256, 286,
299, 304, 316, 319, 335, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 414, 427, 428, 432, 444, 447, 448, 470, 478, 480, 491, 496, 504, 508, 510, 511]
10 [0, 60, 79, 86, 96, 120, 126, 158, 171, 172, 176, 191, 192, 240, 252, 255, 256, 316, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 428, 444, 448, 470, 480, 496,
504, 508, 510, 511, 512, 572, 591, 598, 608, 632, 638, 670, 683, 684, 688, 703, 704, 752, 764, 767, 768, 828, 854, 856, 864, 888, 894, 896,
940, 956, 960, 982, 992, 1008, 1016, 1020, 1022, 1023] 左右反転については考えたことは無かったですね。
とりあえず偶数は奇数に帰着されるので、奇数だけ見るのがいいような気がします。 >>566
>>561の案についてはどうしましょうか？
ビット列を左から書くようにすると、
ビット列とコラッツ展開が『左右反転している』 → 『同一である』
になって分かりやすいと思うのですが。 >>569
じゃあ採用してみましょうか
お願いします >>570
できました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/CE02
CE02_n=10.txt
CollatzExpansion02.exe
CollatzExpansion02.hs ありがとうございます
いま外にいるので帰ったらみてみます ん、これコラッツ展開のビットのほうを左右反転させたんじゃなくて
コラッツ展開に対応する自然数のビットを反転させたってことですかね？ いや、両方反転させてるような......
なのに『同一』？？？ >>574は無視してください。
コラッツ展開のビット（初項）を反転させています。 すまん、まだよくわかってないんだが、
そうするとこの10進で表示してあるのは何を表してるの？ >>577
初項がコラッツ展開のビットで、
第二項が初期値（2進数）で、
第三項が初期値（10進数）です。 字下げされているデータは、上からｎ番目にあると第三項もnになる
という法則はありそうなきがする >>581
あ、それはコラッツ展開のビットを1から順番に並べているので、
コラッツ展開と初期値が一致するなら、当然そうなると思われます。 >>573-580
色々とすみませんでした。
プログラムの説明不足でした。 どうでもいいことだけど、いま私のメインマシンが壊れていて
古いノートPC（32bit OS)使ってます。
githubにあげてもらったexeは64bit版ですかね？動きませんでした。
私はソースのほう使ってるのでそれでも大丈夫ですが。 ・コラッツ展開の表記は元のまま。縦の並び順だけを変えている。
・2進数表記は反転させている。
という状態みたいですね。
2進数表記を変えると混乱を招きそうなので
コラッツ展開の方を反転させた方がいいかも？。
つまり
("0000000000","0000000000",1024)
("0000000001","0101010101",341)
("0000000010","1010101010",682)
("0000000011","0011100011",227)
("0000000100","0101010100",340)
：
：
と出力させる感じで。 |
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／ ｀´ ＼
('A`)
ノヽノヽ
くく コラッツ展開の一部が、コラッツ値の2進表示下位nビットと一致するなら、
「コラッツ展開の一部を2進数で覆う」と言う事にします。
例を挙げます。
9',14,7',11,17,26',13,20',10,5,8,4',2,1,...
1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1
9'
1' 0 （0 1） 2進
7'
1' 1 1 2進
26'
0' 1 （0 1 1） 2進
20'
0' 0 1 0 （1） 2進
4'
0' 0 1 2進
繋げると1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1になります。
この後の0,1の繰り返しは2の2進数01で覆えます。 そして、
「コラッツ展開を、下位2ビット以上の2進数の連結で覆い尽くせる」→「コラッツ操作で1に辿り着く」
が言えれば良いと思うのです。 どういう操作をしてるかはなんとなく分かりましたけど、
なんかNGワードがあるとかで書き込めないので画像にて失礼。
https://i.imgur.com/uYeyPKq.png
そこからの>>1さんの主張は私もはっきりとはわかりませんが、
「常に 2 ビット以上覆う」ということを利用してコラッツ予想を証明できないか、みたいな感じでしょうか。 >>590
そうです、こんな感じです。
（確かに26は3ビット覆えますね） 登って下がってというループで山が四つくらいまでのループは無いらしいが、この方面では難しそうだ
Zudilin あたりが書いた 超越数の≪(3/2)^n≫ あたりからなんか言えんかね
ABC が絡むような話もどこかにあったような気がするのは気がふれたみたいだからさようなら ちょっと思い出話でも。
自分がスレを立てる前のコラッツスレに、
「割数列」というものがありました。
コラッツ操作で2で割った回数を並べます。
これを割数列と名付けます。
例えば9の場合は、コラッツ列は
9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
ですから割数列は
[2,1,1,2,3,4]
となります。
初期値が3の倍数の割数列を完全割数列と名付けます。
（コラッツ予想は3の倍数だけ調べれば良いのは周知です）
9[2,1,1,2,3,4]は完全割数列です。
7[1,1,2,3,4]はふつうの割数列です。 star変換というものがありました。
（名前は勝手に僕がつけました）
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０をつけたｎ＋１型で表す。
長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・
３ ・・ A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
６ ・・ C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
０ ・・ E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。
例
21≡3(mod 9) 21[0,6]
このとき、21[6,6-4]と3[1,6-2]が存在する。 いやあ、懐かしいですねぇ
ちなみに割数列とコラッツ展開は密接に関係しています。
実はコラッツ展開は、割数列から派生して得られたものだったりします。
例えば 9 のコラッツ展開は
1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,…
ですが、このとき 1 が現れてから次の 1 が現れるまでの項数を見ていくと
2,1,1,2,3,4
となり、これが割数列に一致します。 >>597
前スレで、「全てのstar変換後の完全割数列は、全ての3の倍数の奇数を尽くす」事を証明しました。
しかし、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない
完全割数列を排除できなくて、その時は挫折しました。 star変換後に、割数列の要素が0や負になる事は禁止していますが、
これを認めたらどうなるでしょうか。
2つほど試してみます。
9[2,1,1,2,3,4]
↓ F[5,-2] y=8x/3-3
21[5,0,1,1,2,3,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->3->2->1->1まででコラッツ値は7だから
(7*2^0-1)/3 = 2
(2*2^5-1)/3 = 21 辻褄は合ってます
15[1,1,1,5,4]
↓ C[4,-4] y=x/3-2
3[4,-3,1,1,5,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->5->1->1まででコラッツ値は23だから
(23*2^-3-1)/3 = 5/8
((5/8)*2^4-1)/3 = 3 辻褄は合ってます
どちらも、コラッツのルールからは外れるけれども、
(3x+1)/2^pの計算自体は出来ているようです。 全ての場合でうまくいく訳ではありません。
star変換それぞれについて見てみます。
・3 mod 9
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+9t ⇒ y=3(4t-1) t=0は禁止する
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+9t ⇒ y=3t/2 t:奇数は禁止する
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=6+9t ⇒ y=3t t=0は禁止する
D[3,-2] y=2x/3-1 x=6+9t ⇒ y=3(2t+1) オールオッケー
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9t ⇒ y=(3/4)(t-1)
t-1が4の倍数でない時禁止する
F[5,-2] y=8x/3-3 x=9t ⇒ y=3(8t-1) オールオッケー
変換後のコラッツ値が、0や負や分数になるものを禁止すれば、
この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
これで得られる割数列を「拡張完全割数列」「拡張コラッツ予想」と呼ぶ事にします。 拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例を考えます。
この割数列にstar変換を施したものも、後ろの方は変わっていないので、反例です。
この反例が最小反例よりも小さければ、矛盾を引き出すことができます。
こういう目論見です。 考えていた物と別の証明が浮かんだので、そっちを書きます。
>>603の最小反例に、コラッツ値が偶数のものはありません。
2で割るとさらに小さくなるからです。
ということは、拡張完全割数列でコラッツ値が偶数のものは有限項です。
これに、star変換を逆に施した、普通の完全割数列も有限項（1に辿り着く）ということです。 普通の完全割数列に、star変換を施して、変換後のコラッツ値が偶数になるものを見てみましょう。
・3 mod 9
各star変換 変換関数 返還前 変換後
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+18t ⇒ y=24t-3 偶数はない
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+18t ⇒ y=3t t:偶数でyは偶数 ⇒ x=36t+3は有限項
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=15+18t ⇒ y=6t+3 偶数はない
D[3,-2] y=2x/3-1 x=15+18t ⇒ y=12t+9 偶数はない
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9+18t ⇒ y=(3/2)t t:4の倍数でyは偶数 ⇒ x=72t+9は有限項
F[5,-2] y=8x/3-3 x=9+18t ⇒ y=48t+21 偶数はない コラッツ値x=36t+3とx=72t+9は1にたどり着く事が分かりました。
（3と9は手計算で、ということにしましょう）
ここで思ったのですが、このパターン、剰余コラッツ予想で解かれてなかったっけ！？
>>4
＞前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
＞・n は 83 以下の奇数, k は任意
36は81に帰着されるので有効、
72は243なので今のところout 偶数は「最小でない反例」の可能性があるのですね。
失礼しました。
>>604-606は無しでお願いします。 >>603を証明します。
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例cを考えます。
「cは奇数」であり、「c≠3」「c≠9」とします。
「c≡3 mod 9」「c≡6 mod 9」「c≡0 mod 9」で場合分けをします。
・c≡3 mod 9のとき
star変換B[1,-2]をおこないます。変換関数はy=c/6-1/2
入力は
c=9t+3 (t≦0) から始めて
cは奇数なので c=18t'+3 (t'≦0)
cは3ではないので c=18t'' +21 (t''≦0)
変換関数に代入すると
y=3t'' +3 < c より小さい反例が得られました。
・c≡6 mod 9のとき
star変換D[3,-2]をおこないます。変換関数はy=(2/3)c-1
入力は
c=9t+6 (t≦0) から始めて
cは奇数なので c=18t'+15 (t'≦0)
変換関数に代入すると
y=12t' +9 < c より小さい反例が得られました。 ・c≡0 mod 9のとき
star変換E[2,-4]をおこなうと、分数になる場合があります。
なので入力を分割します。
c=9t+9 (t≦0) を
c1=36t'+9 (t'≦0) 9を除いて36t'' +45 (t''≦0)
c2=36t'+18 (t'≦0) 偶数なので除外
c3=36t'+27 (t'≦0)
c4=36t'+36 (t'≦0) 偶数なので除外
・c1のときはE[2,-4]をおこなう
y=c1/12-3/4 = 3t'' +3 < c1 より小さい反例が得られました。
・c3のときは、以下をそれぞれF後のmod9に応じておこないます。
F → C (1/3)((8/3)c3-3)-2 = (8/9)c3 -3 < c3
F → B (1/6)((8/3)c3-3)-1/2 = (4/9)c3 -1 < c3
F → E (1/12)((8/3)c3-3)-3/4 = (2/9)c3 -1 < c3
どの場合も、より小さい反例が得られました。
なお、F → Eのときは循環する可能性がありますが、
y=(8/3)(27+36t')-3 = 72+96t'-3 = 27+ 42+96t'
42+96t' = 36t'' とおくと、一次不定方程式になりますが、
42はgcd(96, 36)=12 の倍数ではないので、この式は整数解を持ちません。
よって、27+36t' ―F→ 27+36t'' になることはありません。
いずれの場合も、より小さい反例が得られたので、
最小反例cは存在しません。 拡張完全割数列に対して、無限項のものがないと分かりました。
よって、全ての項が正である、通常の完全割数列に限定しても、無限項のものはありません。
以上より、全ての3の倍数の奇数は、1に辿り着くことが言えました。 えっ
ちょい待ち
全ての6n-3が1を含む枝に属する事が証明できた？
コラッツ予想の証明完了じゃん >>608で、c=18t''+21 から y=3t''+3 への変換で
対応する割数列の変換が本当に B[1,-2] になってるかが怪しいような。 >>614
c=18t''+21 ーB[1,-2]→ y=3t''+3 を
先頭5個を手計算してみました。
21[0,6] → 3[1,4]
39[0,1,1,2,1,... → 6[1,-1,1,2,...
57[0,2,1,2,2,... → 9[1,0,1,2,...
75[0,1,2,8] → 12[1,-1,2,8]
93[0,3,1,5,4] → 15[1,1,1,5,4]
ひとまずうまくいっているようです。 c≡0 mod 9のときに不備がありそうです。
調査します。 0 や負の項を許しているのを失念していました。
ただそうすると、一つの数に対して複数の数列が対応することになります。
c=18t''+21 の割数列に変換 B[1,-2] を施すと、y=3t''+3 の拡張完全割数列の一つが得られますが、
それは y=3t''+3 の通常の割数列と同じとは限らず、通常の割数列が無限に長いとは言い切れない、
すなわち反例になっているとは言い切れないと思います。 せっかく解けない問題があるんだから、何かに使えないんでしょうか
数独のようなパズルを作る
乱数を作る
暗号システムを作る >>617
入力も拡張完全割数列にすればどうでしょう。
図を書いてみました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/picture/divSeq_logic.jpg
反例を、
「ある3の倍数のコラッツ値を表す、拡張完全割数列の少なくとも一つが無限項である」
と定義します。これならどうでしょうか。 最小反例が 3 である可能性がありますね。
その場合、コラッツ値をより小さくすることはできず、矛盾は生じません。 そうですねぇ、だめですね……
ありがとうございました。 レベルというものを導入します。
6x+3のコラッツ値で、全ての項が正の完全割数列のみがあらわす
ものを、レベル0のコラッツ値とします。
レベル0のコラッツ値と、全ての項が正の完全割数列は、
1対1対応しています。
レベル0のコラッツ値を、0,負も認めたstar変換を1,2,3回施した
ものを、レベル1のコラッツ値とします。
レベル1のコラッツ値で、最小反例が無い事を証明します。
・レベル1のコラッツ値3が最小反例でない事
3から、star変換を逆に施していきます。
それぞれ、1,2,3回逆に施したところで、レベル0に戻るので、
1対1対応した割数列を割り当てます。
有限個の割数列が得られるので、1つ1つ有限項か計算すれば良いです。 プログラムを使って説明します。
コラッツ値をあらわす割数列を列挙する関数allDivSeqを考えます。
第一引数は、コラッツ値です。
第二引数は、star変換を施した回数です。
allDivSeq 3 1を例にとって説明します。
star変換を1回施して、コラッツ値が3になるものを考えて、
allDivSeq 3 1
= B[1,-2] ++ allDivSeq 21 0
, C[4,-4] ++ allDivSeq 15 0
, D[3,-2] ++ allDivSeq 6 0
, E[2,-4] ++ allDivSeq 45 0
と再帰的に表せます。
第二引数が0になった所で、そのコラッツ値があらわす、
全ての項が正の完全割数列を当てはめます。偶数は無視します。
allDivSeq 3 1
= B[1,-2] ++ [6]
, C[4,-4] ++ [1,1,1,5,4]
, D[3,-2] ++ Nothing
, E[2,-4] ++ [3,2,3,4]
と、有限項の割数列で列挙できました。 レベル1のコラッツ値3x+3に、最小反例が存在しない事を証明します。
3と9はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>608-609を手直ししたものを使います。 3の倍数に0も含めることにします。
3も9もstar変換で0になって、小さくなるのでOKとします。
レベル1のコラッツ値3xに、最小反例が存在しない事を証明します。（後日）
0はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>608-609を手直ししたものを使います。 見直しというか、証明の形式化にチャレンジしています。
Idrisというマニアックな言語を使っています。Coqみたいな事ができます。
型を合わせるのがめんど……いや、難しいですね。 場合分けが尽くせてないですが、Ver0.1をリリースします。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
最終的な定理はProofColDivSeqMain.idrにあって、以下です。
allDivSeqInfFalse : (n:Nat)
-> any unLimited (allDivSeq (n+n+n) 0) = False
これは、3の倍数の奇数の完全割数列が全て、有限項である（1に辿り着く）
事を示しています。 数学の60年来の難問を、「不老不死研究」の生物医学者がこうして解き明かした
https://wired.jp/2018/08/02/a-decades-old-math-problem/
押しても引いてもだめなら、まったく違う方面からのほうがいいのかもね >>637
はー、なるほど。分かったような、分からないような。 一つ注意点があります。
プログラムでの証明中に、postulate（無条件の仮定）を使っています。
なので、完全な形式化という訳ではないです。
postulateな命題については、紙の上で証明すれば良いと考えています。 なにげに結構なボリュームあるな
普通にすごいわ
内容的にただしいのか俺の実力じゃジャッジできないけど DIR EN GREYのアルバムを買った。
これを聴いて証明を頑張ろう。 紙の証明 第二部が作成完了しました。
良かったら見てみて下さい。
第2部 レベル0のallDivSeqは、全て有限項 （これが言えればコラッツ予想も真）
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq/wiki 正直、１０００万円くらいの懸賞かかっててもいいと思うけどね そうですよね。100万でも「おおっ」ってなります。 懸賞かかってなくてもコラッツとけたら年収１０００万の職につけないかなぁ？ 証明は出来たのですか？
完全に素人質問で悪いのですが、証明の全容をここに載せたら盗まれる可能性があるのではないでしょうか？
arXivに上げるなどして正式に発表したほうがいいのでは…と思ってしまいます。 >>654
ありがとうございます。
証明はほぼ完成しています。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
arXivに投稿するには、endorser裏書人が必要なので、難しいかなと思っています。 >>655
そのページは情報が欠けていて論理を追うことができません。 ／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 芸能人が吹き替えに挑戦というのは
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
(( ( つ ヽつ、
. 〉 i ))
（__ノ^（＿）
／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 許せないという気持ちが分かる
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
⊂/ ⊂ ）
i ヽ
(( （＿）^ヽ.__） )) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) この証明の鍵は、star変換によってコラッツ列の無限性を維持しつつ元の整数を小さくできるとする主張にあります。
しかし変換の定義から そのようなことが常に可能とは思えない というのが私の直感です。
まず確認ですが、star変換によって割数列に負の項が出てくることを許しているわけではない ですよね？
各chapterを一読しましたが、『計算上は合う』というコメントもあり判然としません。
プログラムを読めば分かるのかもしれませんが素人なのでお許しを。
［chapter3より引用］
> 変換後のコラッツ値が、負数や分数になるものを禁止すれば、
> この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
> これで得られる割数列を 「拡張完全割数列」 と呼ぶ事にします。
割数列の定義から負の項は存在できません。
たとえ最終計算が合っていたとしても、2を掛ける操作はコラッツ列の生成ルールにはありませんから、
負の項が出現するような変換は許されません。『拡張列』としてそれを 考えるだけ なら構いませんが、
拡張列から元の整数を復元する操作を統一的に行うことは許されないはずです。 >>658
詳細なコメントありがとうございます。
すぐには答えられないので、じっくり考えてみます。 例を挙げておきます。
[Chapter7より]
> コラッツ値がcである無限項の割数列を仮定して、コラッツ値が小さくなるようなstar変換を施します。
ここで筆者は、0（mod9）である36t＋9なる整数に対しE[2，-4］（y＝x/12－3/4）を施すと変換後は3t＜36t＋9になると主張する。
t＝1とすれば、36t＋9の割数列は[3，2，3，4］であり、E[2，-4]をそのまま施すと[2，-1，2，3，4］となり負の項が現れる。
この第2項『-1』を『2を掛ける操作』と解釈すれば、[2，-1，2，3，4］が表す整数は確かに3tになる。
しかしコラッツのルールに『2を掛ける操作』は存在しないので、本問題でそのような解釈はできない（※）。
3tに対応する割数列はコラッツのルールで一意に決まる[1，4］であり[2，-1，2，3，4］ではない。
コラッツのルールに則れば、
『負の項を持つ割数列に対応する整数は存在しない』
としか言えない。
（※）
負の項を持ちうる拡張割数列を元の整数に対応づける解釈を行うことは
・2で割る、2を掛ける、3を掛けて1を足すという3つの操作を別のルールに則って行う。
・各操作後の値は整数とは限らない。
このような拡張されたコラッツ問題を考えることに相当する。
その拡張されたルールを前提とすれば、[1，4]と[2，-1，2，3，4］は共に3tに対応する。
言えるのはこれだけのように思える。 そもそもcoq使うなら全部coqにしなきゃ意味ないと思うが >>658,660
以下3つをおこなえば良いのではないかと考えています。
◆定義1 拡張コラッツ予想
6t+3（t≦0）を用意する。（ここからコラッツ操作すれば通常のコラッツ予想になる）
一度コラッツ操作を施したものをαとおく。
6t+3から1~3回star変換をおこなう。
そこから拡張コラッツ操作をおこなう。αに戻ったところで通常のコラッツ操作に切り替える。
これを拡張コラッツ予想と名付ける。
※拡張コラッツ操作
コラッツ値xに対し、(3x+1)/2^pを施す。pは割数列の初項（0や負も取りうる）。
◆定理1
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
◆定理2
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真 ◆定理1
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
・1つのパターン
x=9t+3 [3, *,...]
を1回コラッツ操作すると、(3(9t+3)+1)/8 = (27t+10)/8 になります。
xに A[6,-4] y=(4/3)x-7 でstar変換すると
12t-3 [6, -1, *,...] になります。
拡張コラッツ操作1回目で (3(12t-3)+1)/2^6 = (9t-2)/2^4
拡張コラッツ操作2回目で (3((9t-2)/2^4)+1)2
= (27t+10)/8 になって二つは一致します。
残りはGitHubでやります。 ◆定理2
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真
star変換したものから拡張コラッツ操作を繰り返すと、
定理1より、全ての6t+3から遷移するαと同じものが、
欠けることなく得られます。
よって、拡張コラッツ予想が真ならば、
後方を共有する、通常のコラッツ予想も真になります。 >>664-666
その方針でこの問題が簡単化されるとは思いませんが。
righ1113さんの腕の見せ所ですね。
がんばってください。 自然数xに対してコラッツ展開に似た数列collatz_array(x)を次のようなrubyプログラムで定義する。
def collatz_array(x)
if(x==1)
then
return []
elsif(x%2==0)
return [0]+col(x/2)
else
return [1]+col((x*3+1)/2)
end
end
collaz_array(x)をビット列とみなして2進数の整数に直したものをcollatz_number(x)とする。
collatz_numberはrubyプログラムで次のように定義される。
def collatz_number(x)
res=0;
x.each_with_index{|v,i|res+=v*(2**i)}
return res
end
3の倍数でない、かつx==collatz_number(x)となるような自然数xは存在するか？ ちょっと言ってることがおかしいかもしれない。
ようするにコラッツ展開に対する不動点みたいなものはあるか？という話をしたいのだが 朝の6時にスレチェックかよｗすげえｗ
まあ俺も人のこと言えないけどｗお疲れ様です。 新たな不動点が見つかったら新たなループが見つかるみたいな方向に持っていけたらベストなんだけど。
まあまだぼんやりしたイメージがあるだけです。 うーん、collatz_arrayの停止条件がx==1だとあんまり意味のない議論になってしまうかもしれないorz x==collatz_number(x)をチェックすると
3*2^tは該当するみたい。そりゃそうか。
あと、「先頭nビットが一致する」だと意味ないかな？ >>679
意味ないかどうかはまだわかりませんが、先頭nビットについては>>528のような割とはっきりした規則性があるようなので、
規則性の見えなくなる後ろのほうのビットのふるまいを何とかできないかという思いはあります。 あ、でもnを増やしていったらなんか出てくるんだろうか？ ちなみに勢いで書いちゃったけど仮に不動点が見つかったとして、それをどう生かせばいいかまだ全然見えてませんｗ 不動点というキーワードでコラッツ展開をみたときに、
ちょうど3が不動点になっていたのでこれが1,4,2のループを表しているのでは？
という思い付きというか期待から書き込んでしまいました。 コラッツ展開は01の無限列なので2-進整数に対応させるのはどうだろう
整数は2-進整数に埋め込めるし、コラッツ展開は2-進整数に自然に拡張できる
以下、簡略表記として左を下位、繰り返しを()で括る、とすると
0=(0)…
-1=(1)…
はコラッツ展開が自身と一致する
1=1(0)… のコラッツ展開は (10)…
(10)…は×3で(11)… = -1 なので
(10)…のコラッツ展開は 1(0)… で元に戻る 見捨てられた過疎スレかと思ってたら
意外とそうでもないのか 2進整数とやらを標準ライブラリで持ってるプログラム言語はありますか？ >>686
Mapleにありそうだけど
Mapleってフリーじゃないもんね 無限桁の2進数みたいなものだから、プログラムで扱うのは難しいのでは？
有限桁以降が繰り返しのものに限定すれば扱えるのかな
(10)…と-1/3、(100)…と-1/7、みたいに、
理論上は(分母の素因数に2を含まない)有理数に対応するはず とりあえず、2-進整数の厳密な定義ってどこかにあります？
四則演算とかも含めて。 ハスケルは遅延評価があるんでしたっけ？
ルビーにもあったかな？ >>690
Haskellはデフォルトで遅延評価です。
Rubyも遅延評価がありそうですが、僕は詳しくないです。 2-進整数、使えそうなら使いたいですね
でも2-進整数にしちゃうと不動点のアイディアをどう扱えばいいかわからなくなるかなぁ？ とりあえずwikipediaよりp進数(p-adic number)
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
「定義」の最後にあるp進整数環でpが2のものを考えてるんですが、付値やら完備化や、専門的過ぎてたぶんわけわからんと思います
計算だけなら「略式の解説」のこの辺
> 整数側に無限桁加えたもの、例えば …1246328.125 のようなものが p 進数であると解釈できる。
> p 進数の中でも、小数点以下がない …1246328 のようなものは p 進整数と呼ばれるものに対応する。
> p 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、p 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。 まともにやるとクソ難しそうなのでとりあえずコラッツ展開を分数で表現してみた
def collatz_rational(x)
l=x.length
res=0r
x.reverse.each_with_index{|v,i|res+=v*(1/2r)**(i+1)}
res+=((1/2r)**l)*1/3r
return res
end
def collatz_rational_array(x,l)
res=[]
(0...l).each{|i|
if(x>=1/2r)
then
x-=1/2r
res<<1
else
res<<0
end
x*=2r
}
return res.reverse
end
(1..1000).each{|x|
a=collatz_array(x)
l=a.length
r=collatz_rational(a)
b=collatz_rational_array(r,l)
if(a!=b)
then
print "#{x} #{r} #{a} #{b}\n"
end
} でも分数にしたところで不動点のアイディアとどう結び付けていいかわからぬｗ
まあもともと不動点はそれほど目があるアイディアじゃないかもだけど スタートは不動点だったはずだが脱線してしまったなｗ
うーん、どうしよう 不動点ではないですが、
x == collatz_number(collatz_array(y))
y == collatz_number(collatz_array(x))
のように、相互に参照しあっているものを考え中です。
ちゃんとしたものは後日upします。
https://i.imgur.com/7VUP2CA.jpg 2-進整数の計算についての補足
桁が繰り返しである2-進整数に限ると、
繰り返しが1で埋まれば-1であることを利用して
以下のように有理数との対応がわかります
(1)…=-1/(2^1-1)
(10)…=-1/(2^2-1)
(100)…=-1/(2^3-1)
途中から繰り返す場合についても、例えば
1(100)…=1+2(-1/7)=5/7
のようになります
そして、このようなものに限ると有理数としての加減乗除でまったく問題なかったりします
循環小数=有理数、みたいなもんですね 不動点ということは繰り返し処理をかけても変わらないということですが、
コラッツ展開に対してさらにそのコラッツ展開を求めることに何の意味があるのかが不明瞭なのが現状痛いですね。
そこに何らかの意味が見いだせればもう少し面白くなるのですが 特に何か得られた訳ではないですが、upします。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/190421
気がついた事は、（不動点じゃないですが）
例えばxが17~31の奇数の区間で、コラッツ展開先頭5ビットが1~31の奇数を、
コラッツ3x+1と3x-1で分けあうことです。 >>705
書いてから思ったのですが、
>>528と関連があるのかどうか、というところですかね。 負数の3x+1問題は実質3x-1問題(x→-x)なので
負数側の結果がスライドしてきている、と考えればよいのかなと コラッツ展開が長さnの循環列
⇔xに対し「x→(3x+1)/2」または 「x→x/2」の変換をある順番でn回行ってxに等しくできる
⇔0≦∃k≦n, ∃y∈Z, ((3^k)x+y)/2^n=x.
これは有理数の範囲で一つの解をもつ すいません、不動点はあまり実りがなさそうなので撤退します。申し訳ない。
今1～2^nのコラッツ展開の先頭nビットを並べてコラッツ展開のkビット目にどのようなパターンが表れるかというのを見ようかと思ってます。 むむ、綺麗な周期が表れるかと思ったらそうでもない？ いや、周期になるみたい。
でもパターンは凄い複雑。 p進体Q_pにおいて、分母がpで割り切れない有理数はp進整数環Z_pに含まれることが知られている
(フェルマーの小定理より任意の素数q≠pに対してp^(q-1)≡0(mod q) なので、-1/qのp進展開がq-1桁の循環になる)
コラッツ問題の有理数への拡張は、Z_2への拡張と考えたほうが実は自然なのでは？
というところで2-進整数ネタも一休み
また週末かなー 繰り返したら元に戻るとか、そういうことはない感じですかね
フーリエ変換に対する逆変換みたいなものが見つからないか、というのは今のところ夢想かなあ >520
の補題を自分の中で整理してたらこうなった。
写像f: Z→Zを次で定義する.
x∈Z に対し,
f(x)=x/2 (x∈0+2Z)
f(x)=(3x+1)/2 (x∈1+2Z)
このとき, 0≦n∈Z, x, y∈Z に対して次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z ⇒ 0≦∃m≦n, s.t.
(2^n)(f^n(x)-f^n(y))=(3^m)(x-y).
(超略証)nに関する帰納法.
定義から0と1の場合がOK.
1とkをあわせてk+1の場合が示される. >>714
繰り返したら元に戻るとか、
小さくなる、とかだったら良かったですけどね。 >715 に引き続き, >521 を代数学風に整理.
前述(>715)のf, x∈Z, 0≦i∈Zに対し x_i=f^i(x)+2Z で定まる Z/2Zの列{x_i}(i≧0)を「xのコラッツ展開」と呼ぶことにする.
x,y∈Zとそのコラッツ展開{x_i},{y_i}について次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z⇔x_i=y_i (0≦∀i≦n).
系. コラッツ展開は単射. コラッツ展開はかなりいい線いってるとは思うが、次の一歩が難しい？ 例えばxのコラッツ展開のyビット目がxのサイズの多項式時間で求まれば大きな前進と言える？ ここでいうxのサイズっていうのは自然数xに対してそれを表すのに必要なビット数log(x)のことね >>719
入力サイズに対して、
コラッツ操作で何回2で割るかが分からないので、
難しいと思います。
特殊な場合だと、
2^n±1は、コラッツ展開のnビット目までを
多項式(定数?)時間で求められます。 個人的には
・Z(有理整数環)→(Z/2Z)の列 で単射になる
・>521の性質から、Z_2(2-進整数環)上にwell-definedに拡張できる
(環Zと素イデアル2Zの話が環Z_2と素イデアル2Z_2の話になるだけで、まったく同じロジックが展開できる)
・Z_2上全射(よって全単射)になる
ということでZ_2上で考えたらなんか出てこないかなー、とは。
コラッツ展開がループ
→一次方程式の解
→Q∩Z_2
とか。
なお、p-進整数環については、射影極限を経由するルートの方がわかりやすいかもしれません。 1ビットでも違うとそこから先は別物というか、カオス的な振る舞いをしますね
2で割ることで折りたたまれたフラクタル構造といいますか…… ところで、
>>684から書いている2-進整数とは少し違うものが英語版Wikipediaにあった。
https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
の"Iterating with odd denominators or 2-adic integers"
例えば、コラッツ展開(1011001)のループを考える。
このコラッツ展開の長さn=7で、"1"の個数m=4。
"1"のビット位置k_0,...k_(m-1)は、0, 2, 3, 6。
これらを元に、
(3^(m-1)*2^k_0 + ... + 3^0*2^k_(m-1))/(2^n - 3^m)
を計算すると、151/47になる。
この数を分数でコラッツ操作すると、
151/47 → 250/47 → 125/47 → 211/47 → 340/47 → 170/47 → 85/47 → 151/47 → ...
となって、確かにループしている。偶奇のコラッツ展開とも一致している。
(10)からは1が得られるし、(110)からは-5が得られる。
一つのループから一つの有理数が得られるようだ。
これも2-進整数って言うのかなあ。 2-進整数環Z_2においては、2Z_2の元でなければ可逆元となるので、47の逆元が2-進整数として存在します。
151/47と書くより151・47^-1と書く方が実情を正しく表現しているかもしれません。
また、加法・乗法は有理整数環上のものが延長されているので、分母が奇数の有理数についてはそのまま有理数として計算しても問題が発生することはありません。 ありがとうございます。
よく分かってないですが……
精進しますm(_ _)m じゃあxのコラッツ展開のyビット目をもとめるのはNP困難か？
だったらどう？ 分母が47の2-進整数は、
2^23-1 = 8388607 = 47×178481
であることから、
47^-1 が繰り返しが23桁の2-進整数となることがわかります。
具体的には
23桁の (11…1) = -1
であることから、
23桁の (10…0) = -1 × 47^-1 × 178481^-1
両辺に -1, 178481 をかけるという手順で求まります。 NP困難がむりでも素因数分解とかグラフの同型問題とかに帰着出来たら一定の成果と言えると思う。 あれ、逆か？
素因数分解とかグラフの同型問題をコラッツに帰着できるか？
かな 自然数xのコラッツ展開のxビット目、すなわちコラッツ展開の対角線に着目したら何か出てこないだろうか？ 巨大数探索スレでは対角線というのは非常に注目されていて
ゲーデルの不完全性定理とかにもでてくる有用な概念らいしぞ。 例えば自然数xのコラッツ展開のyビット目をcollatz_bit(x,y)と置くとき、
collatz_bit(x,y)をxとyとcollatz_bit(z,z)で表すことが可能であれば、
本質的にコラッツの問題は対角線だけ着目すればいいという結論が出るかもわからない。
そうなったらちょっとすごい。 >>717 の x-y∈(2^n)Z という式をみて、ユークリッドの互除法みたいにどんどん小さくしていけないかなぁとふと思った。 さすがの>>1もここまで荒らされてしまってはギブアップか？ >>737
荒らされてる……?
証明はここにあります。
https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq
割数列を使っています。
また、定理証明支援系Idrisを使用しています。 覗いてみたらコラッツ展開が注目されてて嬉しい。
コラッツ展開については私も色々考えていますが、>>544で書いた通り 3x+1 に限らず任意の px+q (p,q は奇数) で同様のことができるので、
3x+1 の特殊性をどう出すかが悩みどころ。
>>738
プログラムのことは良くわかりませんが、定理7-2 では 0 の全ての拡張完全割数列が有限項であることを示しているのですか？ >>740
お久しぶりです。
最近プログラムに大きく手を入れたのですが、そこちょっと引っかかっていました。
示せてないです…… 1つ前のバージョンでは、レベルというものを導入していて、
『レベル2の』0の全ての拡張完全割数列が有限項であること
は実際に計算できたので、それを証明としていました。 >>741
やはりそうですか…。
了解です。
ついでに添削
ch01
・コラッツ予想
＞コラッツ操作をおこなう数を 「コラッツ値」 と呼ぶことにする。
既に同じ意味で「初期値」という言葉が使われているので「初期値」で統一してはどうでしょうか。
「コラッツ値」を残すにしても、『初期値のことを「コラッツ値」とも呼ぶ』などと定義した方が意味がはっきりします。
・定義1-1
これも分かりにくいので、
自然数 n を初期値としてコラッツ操作を連続して行ったとき、各操作において 2 で割った回数を並べてできる数列を n の割数列と呼ぶ。
とか。
有限列になる場合、無限列になる場合もここではっきりさせておくべき。
また、「コラッツ列」が未定義なので付け加えるか表現を変えるか。
・定義1-2
＞初期値が3の倍数の…
上で提案した定義に則るなら「初期値が」は不要。
このままにしたければ定義1-1を「初期値が n の割数列」に変更。
・3の倍数だけ調べれば良い
「コラッツ逆操作」が未定義。
ch02
・定義2-1
＞A[6,-4] or B[1,-2]をつける
「つける」では通じないので、
有限または無限数列 [a_1, a_2, a_3, ...] を数列 [6, a_1-4, a_2, a_3, ...] に写す変換を A[6,-4] と書く。
とか。
また、この時点ではまだ完全割数列を完全割数列に写すことが示されていないので、
その旨を削るか、書くとすれば「すぐ後で示すが」などと書き加えた方がいいと思います。
(重要)
・全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる
ある数が完全割数列で表わされる、という文言がそもそもおかしいですが、
なにより 3 の倍数の割数列が完全割数列であるというのは完全割数列の定義そのもので、ここで示されることではありません。。
タイトルを何かしら変えるべきでしょう。ここで示されているのは
「star変換は完全割数列を完全割数列に写す」
「任意の完全割数列は、ある完全割数列にstar変換を施したものとして得られる」
です。 >>743
添削ありがとうございます。
すごく有難いです。 (重要)
ch03
コラッツ値が非負整数にならないものは禁止するのかしないのかはっきりさせて下さい。
禁止するならば、定義3-1は
n≧0 を 3 の倍数とする。整数列 [a_1, a_2, ...] が n の拡張完全割数列であるとは、
ある 3 の倍数 n'≧0 が存在して
・n' の割数列に、0 や負数が現れることも許してstar変換を有限回施すと数列[a_1, a_2, ...] が得られ、かつ
・n' に対応するコラッツ値の変換を施すと n が得られる
を満たすことを言う。
ってところですかね。
(重要)
ch04
「拡張コラッツ予想」とありますが、これは操作を定義しているだけで予想になっていません。
「拡張コラッツ操作」などと呼ぶべきでしょう。また、ここでも「1回の操作」をはっきり定義しておくといいでしょう。
拡張コラッツ予想とは
任意の拡張完全割数列は有限項である。
とかでしょうか。
あとはプログラムが分からないのでパスで >>743
プログラムを変更して、
帰納法のbase caseは、『（拡張でない）完全割数列が有限項』を示せば良いようにしました。
0の完全割数列は[]と定義するので、有限項です。 GitHubのWikiとprogram3は直しかけです。
証明の流れは以下です。
①まず、二つの述語を用意します。
FirstLimited x ： xの完全割数列は有限長である
AllLimited x ： xの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
②次に、パースの法則の述語論理版を用意します。
"∀x::nat. ￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
-> (∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
-> P x"
これは定理証明支援系Isabelleで自動証明したので間違いないと思います。
③(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
のP, QにFirstLimited, AllLimitedを代入したものを証明します。
無限降下法はやめて、整礎帰納法を使います。
④ (x -> FirstLimited x -> AllLimited x) は、排中律により真か偽のどちらかです。
・真の場合
これと③を使って(a)が証明できます。
・偽の場合
これと③とパースの法則を使って(a)が証明できます。 >>750
> 示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
？？？
x は単なる自然数でしょ？ なのに、x -> ・・・ と含意命題の仮定部に出て来るとは？？？
示したい命題って、AllLimited x -> FirstLimited x ですか？ となると④の命題は
任意の自然数xに対して「FirstLimited x ならば AllLimited x」
ですか。
②は
命題 -> 命題 -> 命題
の形になってるけどどういう意味？ ②は
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
です。 ＞ 命題 -> 命題 -> 命題
は、
十分条件1 -> 十分条件2 -> 命題
と書いても良いと思います。 A -> B -> C は
・「A ならば B」かつ「B ならば C」
・「A ならば B」ならば C
・A ならば 「B ならば C」
のどれかかと思ったけど
・「A かつ B」ならば C
ってこと？ あ、それとも
・「A または B」ならば C
ですか？ >>756
・A ならば 「B ならば C」
です。
（右結合といいます） 分かりました。
あとは③の証明がちゃんとできてるかどうかですね。 >>752
はぁ～、依存型サポートしてる関数プログラミング言語のIdris独特の記法なのね、、、 >>754の記号を使うと、②は
α：￢A
β：A -> B
の形をしていて、α が真なら β も常に真、したがって β があってもなくても変わらない
となってしまっているように見えますが、これも括弧の書き方のせいですかね。 >>762
>>754は間違いでした。
自分が不用意に括弧を付け足したせいです。
(Isabelleも>>754にはNGを返します)
正しくは以下です。
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
しかしこれだと、βに(∀z::nat. (P z -> Q z))を渡せないので、
コラッツ予想の証明には使えません。 ②のαを少し変えて
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：(∀z::nat. ￢(P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
とすると、IsabelleもOKを返します。
これを使って上手いこと出来ないか考え中です。 >>750の③からIdrisで直接(∀n::nat. FirstLimited n)を証明できる
目処が立ちました。
パースの法則は使わずに済みそうです。
Isabelleも使わずに済みそうです。
Idrisプログラムを書き上げる事とWikiを手直しする事が必要ですが、
3か月くらいかけてじっくり取り組もうと思います。 テレンスタオ氏によって
コラッツ予想に進展があったみたいですね。 とりあえず出だしだけ見てみた。
この結果は Korec の結果を一般化(厳密にはちょっと違う)したもの。
・Korec の結果
自然数 N を初期値としてコラッツ操作を施して得られる数の最小値を Col_min(N) と書く。(コラッツ予想が正しければ常に Col_min(N)=1)
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < N^θ (ここで θ=(log3)/(log4)) が成り立つ。
「ほとんどすべての」というのは数学用語で、密度というものを使って定義される概念。
密度には種類があり、異なる密度に対しては「ほとんどすべての」の意味が異なる。
Korec が用いたのは natural density (自然密度？) というもの。
・Terence Tao の結果
上の N^θ の部分を一般化したもの。
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすものとする。
このとき、ほとんどすべての自然数に対して Col_min(N) < f(N) が成り立つ。
ただし、Korec とは異なり logarithmic density (対数的密度？) という密度を用いている。 カンタン言うと無限大には多分発散しないよってこと？ じゃなくて必ず元の値より小さくなるよってことだろうか？ Col_minってなんか微妙な表現だな。
Col_minの上限が言えても無限大に発散しないことは言えなくない？ 5ページの (1.8) に現れる数列は割数列(の最初のn項)ですね！
論文では n-Syracuse valuation と名付けられています。
その後「n-Syracuse valuation と n-Syracuse offset map について理解する必要がある。前者のために…」というくだりがあって次の話に続いているようです。
これ割数列がなかなか活躍してるのでは。 >>774
そのとおり。無限大に発散しないことは言えない。
個人的には、この手法を応用して
・ an＋b問題(ただしa≧5)ではほとんどの初期値で発散する
という予想が証明できることを期待したい。
・・・と思ったが、ブログのコメント欄を見てみると、
Tao氏本人が「今回の手法ではムリ」と書いていた。
どんだけ闇が深いんだこの問題ｗ なんか言葉では表せないが、3n+1の抜けがないことを証明出来ないか。
https://i.imgur.com/k3Mk0LT.jpg >777
Excelで書いてみました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/190918/collatzRes777.xlsx
（Downloadボタンを押してください）
ここから先はよく分からないのですが、
3の倍数の×印で全て覆える、という事でしょうか？ >>778
ありがとうございます。
論文を見てそう考えました。
スラッシュしてあるのは前項により固定になっている所です。
それで固定になっていない所の位置変化に注目してます。
2^nになれば収束するので2^nの位置変化と3n+1の箇所が2^nを内包するn^2のシートを使われているかもと考えました。 追記
3n+1がどのような代謝をするか考えると3n+1は初期のn/2は代謝させないで
後半のn/2をすべて代謝させるだけで初期のn/2で深度？がわかるようなそうじゃないような…
https://i.imgur.com/S4Fmyod.jpg >>779
Excel更新しました。......が、あまりうまくいかないです。
3*奇数+1
はn^2正方形の辺上に並ぶかと思いましたが、違うようです。
>>781
OE : (3/2)n+1
が何故3n+1になるか分からないです。 お疲れ様です。
16がうまくいってるだけで正方マスはうまくいかないのかもしれないです。結局変化おこるのが斜めにずれて噛み合ってになるので2^nマスでしか起こらないのかもしれないです。
もうひとつの方なにやら壮大な計算ミスが起こっているようですごめんなさい。 3715
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) なんかワケわからんくなってきた。
コラッツ予想ってどうなれば解けると言えるんだ？ 反例を見つけるか、すべての自然数がコラッツ操作によって１に収束することがいればいい。 整数を代入した表通りに辿ると各整数で計算した値になるからそのままグラフにして座標のもう片方の数字を辿ってみた。
初めの数字はy座標から始めてyxyxと交互に座標を辿るとコラッツ数になる。
x/2だけは逆数でもたどれるからy=2xを介しても良い(逆数を介さなくてもそのまま行ける)
だから座標上の数列3式で全て対応可能だと思うよね。
というか対応可能じゃないと代入しただけだから困るが。
矢印の線は一例 >>790
斜めのx/2介さない方が一貫性あるかなと思うんだが、この法則で1に収束すると言えないかな >>791
う～ん、1に収束するかどうかは何とも言えないですねぇ。
もう少し、1に収束する根拠というか、詳細を書いてもらえないでしょうか。 https://i.imgur.com/MASHMeJ.jpg
なんかこういう感じの式で見たらメルセンヌの素数判定式と同じ類いの証明が出来そうな気がする。
それはコラッツ問題においてはn/2は0が原点となるし、3n+1は(1.0)もしくは(0.1)を取り問題帰着するし、
何処の座標でも合同の距離ベクトルであると言えるから代謝構成も同じと言えないか？
息抜きでかじった程度なので分からんが。 >>793
すぐにはコメントできないですねぇ。
じっくり考えてみます。 移動座標
xyは座標目盛り
40x、20y、10x、5y、16x、8y(真横)、4x
、2y(真横)、1x(END)
は並べかえると、
x:40、10、16、8、4、1
y:20、5、8、2、
ベクトル距離は、
x:-30、6、-12、-2、2
y:-15、3、-6、2、-3
(x.y)=(-19.-36)で初め(40.20)からでENDの読みがXだからyからxを足すと1が出てくるな 5x+1のループを描いてみました。÷2の描き方は変えてあります。
10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, ...
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1um71zmHr1ZBSsfYAbYPPSINeaL4EznCeEFsuv18iqPo/edit?usp=sharing
シート2です。（見づらくてすみません）
3x+1でもこのような可能性があるので、難しいと思いました。 ちょっとかんがえてみるわ
でも5x+1の時は特殊性あって16で限定でx/2に対応する式だと思う。
そういう計算をしてるブログあるしトリガーを16で持たせたと言って過言じゃないと思う
xy対応グラフはn/2と3n+1限定の対応グラフだからトリガーがy=n/2とy=2xとy=x/3-1/3しか対応してない。
それは(-2.-1)の共有点もって無いと対応しない。y=2xの共有点はx/2
逆数なので、x=y 2n+1→6n+4→3n+2
2n+2→n+1
どちらも和は4n+3で同じ
奇数と奇数+1の2つの数を変換しても和は保存された >>799
x=16の直線上に5、8、32は同じ直線上に居るようにxだけ読めればyの値を読むのでちゃんと結ぶよ なるほど。
ちょっと今日分かったとこワードで纏めるわ >>803
なるほど、4本の直線の間をぐるぐるしながら遷移するのですね。
4-2-1ループは例えば、
(2,1)→(4,1)→(4,2)→(1,2)→(1,4)→(2,4)→(2,1)→...
と遷移すれば良いかなと思いました。 >>804
そかそか、見落としとった
1は3n+1か！ コラッツ問題の定義に従えば
y=x,3x+1,x/2の3本の間を
3x+1→x
↑奇数
x
↓偶数
x/2→x
とx軸/y軸方向に行ったり来たりすることで表現できる
これを適宜y=xで反転して
・y=xで曲がらない
・折り返すところを省略
とやってる感じですかねー >>806
逆数の式の線上の座標が経由されてるのがよくわかりませんが、値が保存されるので収束するのがよくわかります。 y=3x+1, y=(1/3)x-(1/3) を奇数ライン
y=2x, y=x/2 を偶数ラインと呼ぶことにすると
奇数ラインからは偶数ラインにのみ移る。
この際、近い方の偶数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインからは奇数ライン、偶数ライン両方に移り得る。
奇数ラインに移るときは上と同様、近い方の奇数ラインに向かって、原点から離れる方向に進む。
偶数ラインに移るときは原点に近づく方向に進む。
という動き方になっていますね。
外側で増加、内側で減少を繰り返していることになります。
あと個人的には、奇数に対して「3倍して1を加えて2で割る」までをひとつの操作とした場合どうなるか、というのも気になります。 あ、もう反例や否定意見が出てこないから、
さらに色々またワードに纏めるわ
今度はかなり遅れます。 >>811
次はこのスレの住人なら自分の頭の中を全部吐き出せば何か他の法則が見つかるのかなって感じ。まだ頭の中整理出来てないから1週間位掛かるかも >>809
偶数ラインの外側で増加、内側で減少しているのですね。
それとはちょっと違うかもですが、コラッツ操作で1に辿り着く時は、
『始点=3の倍数の奇数』
『最大点』
『終点=1』
の三つのポイントがあって、
『始点』→『最大点』を<上り>のフロー
『最大点』→『終点』を<下り>のフロー
として遷移するのかなあと思いました。 ちょっと教えてください。
5n+1ではy=2xとなる点は無いの？ >>814
>>803にならえば、
例えば5n+1で1→6→3→16→8→4→2→1→...は、
(2,1)→(6,1)→(6,3)→(16,3)→(16,8)→*(4,8)→(4,2)→
→*(1,2)→(1,6)→*(3,6)→(3,16)→*(8,16)→(8,4)→*(2,4)→(2,1)...
となって、印をつけた点がy=2x上にあります。 >>815
なるほど。ありがとうございます。
それなら3n+1も同一処理になりますね >>766
うまくいきません。
「3か月で完成させる」は撤回します。
現状
----------
(ロ)二つの述語を用意します。
P(d, n) : FirstLimited(d, n) : nの完全割数列は有限長である
Q(d, n) : AllLimited(d, n) : nの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、∀d.∀n.FirstLimited(d, n) です。 ---(a)
(ハ)補題を二つ証明します。
makeFtoA : ∀d.∀n.(∀z.P(d, z) -> (P(d, n) -> Q(d, n)))
makeLimitedDivSeq : ∀d.∀n.(∀z.(P(d, z) -> Q(d, z)) -> P(d, n))
※これは達成できました。
(ニ)
補題を使って、(a)を、相互再帰で証明します。
※ここがうまくいきません。
---------- ベクトルの面積で処理するのかなり難しい
ループするときの数式処理が難しくて結局0ベクトルになるから厳しかった。まだ諦めないけど ベクトルの面積を処理しているのですか。
かなりオリジナリティ溢れる展開ですね。 この場合の面積ってコラッツ問題における何の量を表しているんだろう？ >>820
う～ん、パッとはひらめかないですねー。 ぐちゃぐちゃだけど雰囲気だけとりあえず見てくれ
確定だと思われる所まで貼るよ
結局ループ場合AnとDnはx=yで同じにならんといけないので固定
BnとCnの係数比になるから交点からの面積求めて差分の面積を係数比較したかったけどそこの所は無理っぽさがあった
https://i.imgur.com/Ano9U4v.jpg
https://i.imgur.com/L8fl6Dz.jpg
https://i.imgur.com/20xBG2f.jpg
https://i.imgur.com/JITWi02.jpg 一枚貼れてなかったすまぬ。
それとベクトルの向きと操作は前のは間違ってる。すまん
これが正しい
https://i.imgur.com/JKvfzqw.jpg >>825
ベクトルのところは、以下のように計算するのかな、と思いました。
（何も言えないですけど）
B→C：(0, -3)
C→D：(2, 0)
D→C：(0, 1)
C→B：(-3, 0)
B→A：(0, 2)
A→B：(1, 0)
--------------
総和：(0, 0) >>825
ベクトルじゃなくて座標系スキームやな
あとなんで複素平面の所y/2xなん？
>∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
>arctan(y/2x)+π if x<0 and y>=0
>arctan(y/2x)-π if x<0 and y<0
ここはx/2で見てる訳じゃないので
∴arg[z]=arctan(y/x) if x>0
arctan(y/x)+π if x<0 and y>=0
arctan(y/x)-π if x<0 and y<0
Π/2 if x =0 and y>0
-Π/2 if x =0 and y<0
になると思うで >>826
そうですね！書いてるのベクトルじゃないじゃんってことですよね。ごめんなさい。ただの座標で書いてるのにベクトルって書いてますね。
(2.4)→(2.1)の４→１の時と同じような未知数で増減ループの場合以下となると思ったのでこれにしました。
B→C：(0 , y/3 - 1/3)
C→D：(2x , 0)
D→C：(0 , 2y)
C→B：(y/3 - 1/3 , 0)
B→A：(0 , 2y)
A→B：(2x , 0) >>827
arctan(y/x)+πだと第一象限？全体を示すような気がして...
ｙ＝ｘ/2～ｙ＝2ｘまでを差したい場合はどうしたら...うーむ シンプルに疑問なんだけど、ここでそういうアイディアを書きながら証明するの怖くないの？普通に盗まれる気がするんだけど >>830
自分はこことGitHubに上げてるのですが、
GitHubのソースコードにはライセンスを付けているし、
全ての更新記録と日時が残っているので、
なんとかなるんじゃね?、って感じです。 >>830
自分は数学板に10月頭からまだ心臓部のアイデアを載せていません。
人のアイデアを盗むのと自分のアイデアで書き上げてジャーナルに出すのどっちのほうが正確で早いでしょうか？
ちなみに自分のアイデアは自分の中の解決済みの穴については触れていません。小予想うｐろだから消え得ちゃったし誰も気づかんやろって感じです。 ライバルだなんて////
righ1113さんすなば珈琲でお茶会しましょ//// 嬉しいのですが、
ちょっと遠いです...(*_*) 進展は？
メビウスの輪の二回巻きも普通のメビウスの輪とは違うように8の字型で2重のとかループありそうだけどその辺どうなんだろ >>837
1つの項は最大2つの前項を持つけど次項は常に1つしかないから8の字にはならない >>838
常に一つ？
x/2と3x+1の値が同じ所は分岐するけど2回続いたら4つ取れるよ？
そしたら1つコラッツ数被るんじゃない？ >>839
こういう事だと思いますが、
→・→...→・→
↑ ↑
流入矢印3つ、流出矢印1つなので、
（準）8の字も作れないと思います。 >>839
皆さんの言うとおりコラッツ座標はコラッツ数を1つずつ受けついていくので二重にはなりません
あと継承の構造上2xよりも大きい数枝分かれが起こりません
継承が2重で行われる場合単独のループとなりますから、ループ因子を持ってる事になりますし、4214のループに継承される以外の関数が合同変換される事になります >> 817
割数列を使った証明もうまくいかないので、
自分はコラッツ予想をギブしようと思います。ありがとうございました。
次スレもいらないかな。 >>842
残念です。
お疲れさまでした。
righ1113様に代わりましてBLACKXがお送りします。
次スレは1さんの意向により無しの方向で。
現在次元拡張での証明で書き切り、校正業者に投げてあります。 スレ主また気が向いたら戻って来てな
BLACKX氏、あららもう出しちゃったかい？
もう遅いかもしれんが偏角はどうなった？
座標の移動先についての範囲を決めるならA→B間、B→C間、C→D間の3つ必要になるんじゃないかな。でもそれが1に帰着するか因数が変動するから言えないんじゃない？ VIPから見つけた
どっか間違いあるんじゃないの？
とりあえず乙 複素実数ｚ=x+iyでy=0でｘが偶数だとx/2、xが奇数だと3n+1になるような
関数 z'=f(z)を見つけて（作って）、その関数の挙動を調べる方法はなし？ >>848じゃないけど
f(z)=((3z+1)/2)*(1-cos(πz))+(z/4)*(1+cos(πz))
実際にどこかの文献で使われてたと思う >>848
y→xの場合のみZ'(x)で立てることが出来ますのでx→yの場合をフーリエ変換して複素的にどうぞ。
私のは(clatzX,clatzX')を使ってやってるのでp←qを満たせなくて校正添削の時点でNGだったので諦めましたので是非どうぞ。 現在私は複素アプローチをやめて相似構成でループがないことの幾何学的証明に修正してます。 >>850をテイラー展開すると何か出てきたりするのだろうか？ >>854
近似はするからやってみると良いと思う
俺の頭が空っぽなだけかもしれないけど収束性は言えない気がする。 >>855
wolfram alpha 先生 に教えてもらった。
1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) cos(π z)) = 1/4 (2 + 7 z - (2 + 5 z) sum_(k=0)^∞ ((-1)^k π^(2 k) z^(2 k))/((2 k)!))
ここから何か言えるかどうかは全くアイディアなしｗ >>856
ワロタｗあとは任せたって感じだな笑
区間を意識しないといけないのでは？ロルの定理だっけな 一つの数xでなく、範囲で調べるとどうなのだろう
1～2^n-1(2^n個の数)全体を変換して合計がどうなるか なるほど
ループ長がどうなるか計算してみようかな。
セットグループのメッシュが切れるか分からんけど xにコラッツの操作をn回掛けたものを考えたとき
nを実数に拡張するのは可能？ xにコラッツの操作をn回かけたものをcol(x,n)と置いたとき
col(x,a+b)=col(col(x,a),b)
が成り立ってほしいが多分難しいんだろな。。。 例えば多項式なら関数の適用回数の実数拡張可能なのだろうか？
もしそうなら>>856とあわせて何か言えるかも？ 偶数のみ、奇数のみのnなら可能かと思う。だがそしたらkが成り立たないから偶数のみ、奇数のみ、の多項式に分解する必要がある f(x)=2x
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=2^nx
f(x)=3x+1
g(x,n)=f^n(x)としたとき
g(x,n)=3^nx+Σi=0_(n-1)3^i
=3^nx+(3^n-1)/2
かな g(g(x,a),b)=
g(3^ax+(3^a-1)/2,b)=
3^b(3^ax+(3^a-1)/2)+(3^b-1)/2=
3^(a+b)x+(3^(a+b)-3^b+3^b-1)/2=
3^(a+b)+(3^(a+b)-1)/2=
g(x,a+b)
うまく行ってるっぽい？ でもまあうまく行ったとしても結局偶数と奇数の出現パターンが読めない以上あんま意味ないかも ほしい所いってると思うけど私ので言う2/11を越えてない。
4/22でも6/33でも結果は全て2/11という認識になってる。
2回目のコラッツ変換でコラッツ木関係でうまくいかないから
3^2^(3^nx+((lim[2→n]3^n-1))/2
これがコラッツ木関係なく起こるf(n)じゃないかい？
間違ってたらごめんだけど 2/11ってなんですか？
あとlim[2→n]がよくわからん。変数は何？ ほー2/11ってなんだろうね？
ほら、間違えとったlim(m:2→0)3m+1 もう知ってると思って。
俺のレスで明らかにする必要ある？
いや、無い。 >>870
すまん誤記
lim(m:2→0)3m+1 ×
lim(m:2→0)3m-1 ○ 逆操作ですべての自然数を作れるか、という方法で挑戦してる人はいないの？ 巡回が1－4－2－1しかないことより発散がないことの方が証明はかんたんなのかな？
(コラッツ予想が偽でなかったとしたら) 逆コラッツ数が発散しないと仮定したときにその他閉路となるループがあると言えるとすると、
どんな継承の閉路構成があるか言えるからその閉路構成が正しいかどうか導ける。
色々言いたいことあると思うが今月いっぱいまで待ってくれ 逆操作だと分岐があるのをどう定義するんだ？
出来ないこと出来るって言っちゃいかんでしょ
もしかして分岐で数列でも作れない限り無理っしょ
戻るけどlimの中身の話、Tao氏と同様であればCol_min(N) < N^θ (∴θ=(log3)/(log4))
の N^θ の部分を一般化したものを解いて
f を自然数に対して実数を対応させる関数で、lim_[N→∞]f(N)=∞ を満たすとしてるのに対して
BLACKX氏は3^2^(3^nx+((lim[m:2→0]3m-1))/2なんだがさっぱり理解出来ん どちらも
なぜ、次元拡張したのか？を考えて。
これに尽きると思います。
TAOさんはコラッツ数が終わるまでの長さで、俺はある数nがどちらに向かうかの確率と方向で分岐まで見ないとその世代と言うか代謝がわからないから012だけなんです。
実際自明のしか使ってないからその式自体要らないけど。 思わせぶりなセリフでけむに巻きたいだけのようにも見えるj （1.4）
（2.4）
（2.1）
（4.1）
（4.2）
（1.2）
（1.4）※ループ
0：コラッツ数 →4214
1：コラッツ2ｎ番目飛ばし→4124
2：逆コラッツ数 →4124
3(=0)：逆コラッツ２ｎ番目飛ばし→4214
次元拡張すれば全て相似の関係であり、4関数のみで２ｎ番目でコラッツ数の事が拡張せず言える。 半整数 4.0 1.5 -4.5 など
z が半整数のとき、ガンマ関数 Γ(z) の値は √π の有理数倍になる。
from wiki
コラッツ問題で数を1/2にすると半整数の問題になる
しかしガンマ関数とかわからないのでお手上げ ガンマが対数凸でG(x+1)=xG(x) ∴G(1)=1の複素解析関数使える(導出は知りません) JAMSでリジェクトなりました。
投稿規定満たして無いとの指摘なので第二段出す予定してます。 >>887
Journal of Recreational Mathematicsとかに投稿すれば少なくとも受け取って査読はしてくれるんじゃないの？ >>889
JAMSで査読してくれたし、ABCの査読とかもしてる人推奨したよ
一様参考にいれとくよー コラッツ予想の類似問題で奇数なら5ｎ+1/2で偶数ならｎ/2の時で
ある初期値で発散するのならその数列の中の偶数と奇数は
1対1で現れるのかな？ >>891
現れないと思う
分岐があるのとな無いのがあるので テレンスタオさんの言う特性の近似って解けたって言うのかな？ これと素数の問題はわからなさの質が似ている
どこかでつながってない？ 124以外のループがあるか、無限上昇する列があるか、両方同時には成り立たない。
みたいなのは示せないのかな。 示せると思う
てかこうなったらこれと言う方針取れば良いと思う。そうしたら間違いだったら間違いに気付けるし ループの種類が高々有限個になるかどうか、とかすらわかってないの？ >>900
ほう？そうなの？
じゃあ楽しみに待っとくか。 >>901
待っててね
去年の11月辺りから真面目に書いててそろそろQ&A終わると思うからLATEXするよ LATEXとかこじゃれたものつかってるな。
ワードでいいやろ。 ちなみにやっぱ英語で書いてるの？
俺は英語苦手だから日本語版も出してくれると嬉しい。 日本で専門に査読する人が居ないから査読教授対象に英語で書いてる。
日本語リリースは無理か相当先になると思う。希望は薄い。
ジャーナルリリースできたとして、そのペーパーの期限が切れないとnoteだのなんだかんだ書けないし、JMSとか日本語対応の所は重投稿になるから規約違反だしで。 ツイッターフォローしてくれたら最新情報は多分つぶやくつもり。
その他のつぶやきが多すぎるが。 うーんツイッターあんま好きじゃないんだよな。
なるべく5chに書き込んでほしいかなぁ >>884
Euler積分 を拡張した Gaussの公式 ＆ Weierstrass の無限乗積表示
→ 関数等式
Γ(x)Γ(1-x) = π/sin(πx)
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion" (Hamburg,1931)
･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳･解説]
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html pythonサンプルプログラム
任意の非負整数i0で成立
Cやfortranならinteger16が必要
i0=0
a0=6*(4*(205891132094649*i0 + 171575943412207)+3)-2
a9=2*(3*(1152921504606846976*i0 + 960767920505705813)+2)-1
print(a0,a9)
for i in range(29):
b0=(a0-1)//3 # 6n-2 -> 2n-1
a1=4*b0 # 2n-1 -> 6n'-2
# print(i,a0,b0,a1)
a0=a1
print((a0-1)//3 -a9) >>912
非不整数で定義するとそれは指数関数だからコラッツ長が変わるやん integer16ってなんだ？shortか？それとも16バイト？ 大変長かったですがペーパーリジェクトの報告。
指摘内容は以下3点
1)指数型ディオファントス方程式の変形が一般化されてない
2)ヒルベルトの材料不足+指数関数との差別化不足
3)一般の方程式の変形方法に疑問
詳しい内容は書けませんが一応報告致します。
まだ2月から1年の公正サポートあるのでまだやりますよ。 第二期ペーパーリジェクトしました…。
悔しい。悲しい。
ディオファントス方程式の解読性について指摘ありました。
コラッツ問題においてディオファントス方程式の次元の係数変則はそもそもの係数が変わってしまうとの指摘がありました。
本当にそうなのでしょうか？良くわかりません。どなたかわかりませんか？ 「1」「素数」「奇数」「偶数」の四種類に分類して、
>>2
>自然数aに対し、集合T(a)を
>T(a)={b∈N|aとbはコラッツ操作によって同じ数に到達する}
四種類の集合がどのように推移するのか、誰かプログラミングで示してくれないか？ 9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 コラッツ予想
奇数を膨らませて偶数化する際、
3n +1 ってやってるけどさ。
これって3倍して1足す…じゃないとダメなの？
3以外の素因数
例えば 5倍+1 とか7倍+1 など
調べれば、3と同様に
コラッツ操作として使える素数が存在するのだろうか？
(ちなみに、5倍+1 や7倍+1 でやると、発散しちゃいます) このスレはどこらへんの分野の知識がどのぐらいあればスラスラ読めるの？何もわからなかったわ。 タオ先生:整数論、奇数列の近似、半整数補正
righ1113:整数論、割数列、定理自動証明
5A:mod理論、
BLACKX:グラフ理論、ディオファントス方程式、自由ループ
どれも結構読めるし考えること出来るんじゃない？ ところで「チンポがシコシコする」という日本語表現は、学術的に正しいと言えるのか？
チンポ「を」シコシコするのではなくて、チンポ「が」シコシコする。この場合、「チンポ」は主語となる。
オブジェクト指向で言う「集約」は２種類あって、全体（俺）と部分（チンポ）が繋がっている場合と、
全体（俺）と部分（チンポ）が別々になっている場合とが考えられる。けれども「チンポ」はそれ自体
が独立した生き物であり、所有者の意思とは無関係に、自ら勃起して「シコシコする」。
例えば寝てる時にエロい夢みて朝起きてみたらチンコが勃起して射精してたとか。
違うか？
「胸がドキドキする」は良いが、「チンポがシコシコする」はダメな理由を、５０字以内で述べろ！ フェルマーの最終定理とかもそうだけど、内容がわかりやすい問題は解けたと思い込む素人が大量に出るから…… まあ素人に限った話じゃないけどね
マイケルアティヤもその一人 あの、やっぱり数学の問題なんでコンピュータとか使わずに証明したいですねー 世界中の天才が束になっても解けないのにお前ら凡人に解けるわけがないだろｗｗｗ
数学に偶然はない >>897
コラッツ予想の定義で出てくる操作を「コラッツ操作」とすると、
コラッツ操作が有限回で終了するとき、ループは124以外では成り立たないと言える。
まあ、当たり前だけど 自動推論で「コラッツの予想」の証明に挑戦＝CMU研究チーム
https://www.technologyreview.jp/s/249616/
数学をコンピューター処理に変換する 浦田先生の書かれた「コラッツの問題」を読みました。
整数範囲/離散変換から複素数/連続関数への拡張は正直わからなかったのですが、
A図B図あたりを見て、やっぱカオス(小さい初期値の変化に対して大局的挙動が大きく変化する)だなと。 2つばかしアイディアはあるんだけど、一つは無限大を直接扱う必要があって厳しい。
もう一つは lim で無限大に持っていく方法だけど、自分の計算能力が辛くて、
数式を立てることができてない。コンピュータプログラムなら書けそうだけど、
ある数値までみて、傾向がどうこうって話でしかなくなるので、これも厳しい。
もうちょっと見通しが立ったら書き込むかも 2つばかしアイディアはあるんだけど、一つは無限大を直接扱う必要があって厳しい。
もう一つは lim で無限大に持っていく方法だけど、自分の計算能力が辛くて、
数式を立てることができてない。コンピュータプログラムなら書けそうだけど、
ある数値までみて、傾向がどうこうって話でしかなくなるので、これも厳しい。
もうちょっと見通しが立ったら書き込むかも コラッツ予想は前々からチラ見してたけど、今回大きな賞金かかったので、頑張ってみたくなった 前やってみたがパターンを分類していこうとするとフラクタルみたいになってどうしようもなかった 5n+1問題やxn+1問題がコラッツ予想に帰着できた気がするがループ内の等式って与式=0で良いのかわからん 鉛筆やＰＣでやるのは限界で、幾何学に転換でもできないと解けそうにない 解けそうな方法を見つけたが、異なる分野を使うため、勉強する必要がある
さすがに手強い 32通りに分けると28個も小さくなるものなのね
32n+0→16n+0 OK
32n+1→96n+4→48n+2→24n+1 OK
32n+2→16n+1 OK
32n+3→96n+10→48n+5→144n+16→72n+8→36n+4→18n+2 OK
32n+4→16n+2 OK
32n+5→96n+16→48n+8→24n+4 OK
32n+6→16n+3 OK
32n+7→96n+22→48n+11→144n+34→72n+17→216n+52→108n+26→54n+13→162n+40→81n+20 NG
32n+8→16n+4 OK
32n+9→96n+28→48n+14→24n+7 OK
32n+10→16n+5 OK
32n+11→96n+34→48n+17→144n+52→72n+26→36n+13→108n+40→54n+20→27n+10 OK
32n+12→16n+6 OK
32n+13→96n+40→48n+20→24n+10 OK
32n+14→16n+7 OK
32n+15→96n+46→48n+23→144n+70→72n+35→216n+106→108n+53→324n+160→162n+80→81n+40 NG
32n+16→16n+8 OK
32n+17→96n+52→48n+26→24n+13 OK
32n+18→16n+9 OK
32n+19→96n+58→48n+29→144n+88→72n+44→36n+22→18n+11 OK
32n+20→16n+10 OK
32n+21→96n+64→48n+32→24n+16 OK
32n+22→16n+11 OK
32n+23→96n+70→48n+35→144n+106→72n+58→36n+29→108n+88→54n+44→27n+22 OK
32n+24→16n+12 OK
32n+25→96n+76→48n+38→24n+19 OK
32n+26→16n+13 OK
32n+27→96n+82→48n+41→144n+124→72n+62→36n+31→108n+94→54n+47→162n+142→81n+72 NG
32n+28→16n+14 OK
32n+29→96n+88→48n+44→24n+22 OK
32n+30→16n+15 OK
32n+31→96n+94→48n+47→144n+142→72n+71→216n+214→108n+107→324n+322→162n+161→486n+484→243n+242 NG オレ結構な自信を持って、コラッツの問題を解けたと思う。しかも、負の数も含めて成立するし、ゼロ以外は成り立つ方法が見つけられた。ゼロも、極限を利用すれ成り立たんこともない方法だと思う。間違っているかもしれないけど、arXiv にプレプリント？してみようと思う。２行で、コラッツの問題は証明できると思う。本当にシンプルなんだよ、俺の主張が正しければだが... arXiv ってすごいサイトだし、査読もしてくれるページでさ、一応は「そうきたか！」とは思ってくれるはずだけど、大学数学をしていないので、正しく記載できる自信がない。一応は大学生なんだけど、でも不安で、間違っているかもと思うし、ちょっとトンチなので証明にもなっていないし、でも「そうすりゃ、そうしかなんねーな」と思ってくれる式を演繹的につくれたので、バカにされても良いから、見てもらいたいのだ。トンチなんだよ、そして合っていたら「コラッツの問題」は歴史から消えるし、使いみちは多数あると確信しているがね。 >>951
32=2^5で4/32=12.5%が収束しないけど
2^0 => 1/1 (100%)
2^1 => 1/2 (50%)
2^2 => 1/4 (25%)
2^3 => 2/8 (25%)
2^4 => 3/16 (18.75%)
2^5 => 4/32 (12.5%)
2^6 => 8/64 (12.5%)
2^7 => 13/128 (10.15%)
2^8 => 19/256 (7.42%)
2^9 => 38/512 (7.42%)
2^10 => 64/1024 (6.25%)
2^11 => 128/2048 (6.25%)
2^12 => 226/4096 (5.51%)
2^13 => 367/8192 (4.47%)
2^14 => 734/16384 (4.47%)
2^15 => 1295/32768 (3.95%)
2^16 => 2114/65536 (3.22%)
2^17 => 4228/131072 (3.22%)
2^18 => 7495/262144 (2.85%)
2^19 => 14990/524288 (2.85%)
2^20 => 27328/1048576 (2.60%)
2^21 => 46611/2097152 (2.22%)
2^22 => 93222/4194304 (2.22%)
2^23 => 168807/8388608 (2.01%)
2^24 => 286581/16777216 (1.70%)
2^25 => 573162/33554432 (1.70%)
2^26 => 1037374/67108864 (1.54%)
2^27 => 1762293/134217728 (1.31%)
2^28 => 3524586/268435456 (1.31%)
2^29 => 6385637/536870912 (1.18%)
2^30 => 12771274/1073741824 (1.18%)
2^31 => 23642078/2147483648 (1.10%)
意外に早く(?)減ってくのね >>953 です。
コラッツの問題の証明
10進法においては、全ての整数（Whole Numbers）は Σ 2^n(3m+1) {m,n は無理数を含む全ての数} で記載できる。なぜなら、全ての整数は 10 で割ると余りは {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} にしかならないから（mod 10）である。そして、それらは 二進対数（log2）とし、極限を利用すれば合成できる数である。また、10の冪乗 は 3m+1 の合成数であるから、10の冪乗でつくれる整数は 3 で割ると余りは 1 となる。はやい話が 、10進法の整数は {0,..,9} * 10^0 + {0,..,9} * 10^1 + {0,..,9} * 10^2 + {0,..,9} * 10^3 + ... {0,..,9} * 10^∞ であるから、全ての整数は 10進法であれば、 永遠に「2」または「３の倍数に１を足したもの」で割ることができれる。そして、永遠に割り切ることは数式で指数と対数で記述できるため、数学において『コラッツ予想』は破綻しない。よって、『コラッツ予想』は 眞 である。Q.E.D.
Bcrypt で名前を不可逆にハッシュ化しておきました。
$2a$08$l6W7wyUQ5hWX87N0fsv5Ke7tA47yRK3/3dbb4pb3Dg.O9LSdZ.CEq
$2a$08$Pj.EnTnHAaHkM4Bge.FP3.pVlTdeVCF2GdQj6WoyFcctOLWAzosLW >>961
あと、コラッツの問題を計算機で証明するのは不可能だよ。なぜなら、アラン・チューリングが証明してくれた「停止性問題」で明らかにしたけど、どんなに計算機を使っても、これは停止しない問題なので、永遠に割り続けられるので、絶対に「正しいことを観測できない」のよ。だって、ループするもん。もし、コラッツの問題が正しければ、計算機は永遠に止まらない。止まるときは、「間違っていた」ときだけ。
$2a$08$LN8EGqobRxzGNifhI4vHmee.qqUNcGy5ZcF4Akt/ltQtxGVB8sy9R2 >>961
修正
{0,..,9} * 10^0 + {0,..,9} * 10^1 + {0,..,9} * 10^2 + {0,..,9} * 10^3 + ... {2^n} * 10^∞ >>961
「全ての正の整数（自然数、Natural Numbers）は」に変更しましょう。 >>966
すまん、間違っているので、もう一回考え直す。 懸賞金の話題のせいかコラッツ予想流行ってるな
俺は無限や極限とか使わずに初等的な知識で、3n+1→n/2→3n+1→n/2…のパターンが永遠に続かないことはほぼ証明できたと思うけど、これって当たり前の話なのかな？
あと、数が大きくなっていくパターン、小さくなっていくパターンとその前兆がわかったから、あとはどの整数も小さくなっていくパターンに落ち着くところの証明を考えればいけそう
そこが難しいのかもしれないけど ところで上の方でも話題になってるけど、もし証明できたらarXivにアップすればいいんだろうか？
でも、そこで間違い指摘されて他の人が俺と同じやり方真似て先に間違い修正したら、俺の手柄ゼロになってしまうんだろうか…
獲らぬ狸の皮算用だが… >>961
何をもって破綻しないのかが全然証明されてない。ツイッターのQEDと同じような事言ってて草 >>968
「3n+1→n/2→3n+1→n/2…のパターンが永遠に続かないことはほぼ証明できた」というのは違うっしょ。だって「奇数の場合は 3n+1」にするっていうことは確実に奇数と言える「2k-1」を関数合成すると 3(2k-1) = 6k-2 = 2(3k-1) となって、次のサイクルは確実に偶数でしょ。 >>971
素人なので指摘を上手く汲み取れなくて申し訳ないのだけど
自分の主張は、例えば27から始めた際
27 →82 →41 →124 →62 →31 →94 →47 →142 →71 →214 →107 →322 →161 →…
で正に3n+1→n/2→3n+1→n/2→…が続くパターンだけど、これが永遠には続かないって意味
>>972
やっぱりちゃんと自分の手柄にするには、どこかのジャーナルに送った方がいいのか… >>973
そりゃ、どっかで2の乗数になる瞬間があって、なし崩し的に 4 → 2 → 1 というサイクルがあるのはわかるよ。 自明じゃないよ
3n+1を3n-1へ変えただけで
5→14→7→20→10→5とループ
つまり2^xに出逢えるとは限らない テレンスタオが微分方程式を用いてほとんど解いたとされるが。微分方程式を用いなければ証明に届いていないということは
お前の考えるような小手先の平凡なアプローチでは無理だろう。 あと3n+5も興味深い
1から65122までは発散しないけど
65123で初めて発散する
つまり3n+1だって
いつかは発散する可能性はあるのだ >>973
そうねただ、君は出来る出来ないに関わらず資料や根拠とか裏取りちゃんとしないといけないよ テレンスタオが あの有名なグリーンタオの定理を証明し、フィールズ賞を得てから１３年してようやく解明できたとされるこの問題に関して
日本にいるゴミごときが解けるわけないだろ。クソ ごめん計算ミスしてた
3n-7 3n-5 3n-3 3n-1 3n+1 3n+3 3n+5 3n+7 3n+9 3n+11 と
それぞれ全て100万まで計算したけど発散しなかった
もしかして3倍ならばセーフなの？ >>979
根拠のないだろう挑発は心の中に留めておけ。精神すり減らすだけやぞ ちなみに私は今ディオファントスをパスしたと考えられるのでジョルダンしてる 良いじゃないか！
1次関数区間定義ありの可変ジョルダン内測度を考えるとき短型に書き直せるのか？誰かわからんか？ >>980
やっぱり発散しないよね
午前中仕事暇だったからエクセルに打ち込んで試したけど、3n+5を65123で始めた場合、10139059808が最大だった
でも3n+5って頻繁にループしない？
偶数のときの操作は変わらずn/2でやったんだけど、そうでなかったならただの勘違いで申し訳ない >>980
君は演繹的思考能力がないのか？
3n+781ならn=211のときループする >>975
いや、3n-1 になるときは必ずあるけど、そのときは 2(3n-1)となって、偶数にあるはず。根拠は 3n+1 となるときは 2k-1 は「必ず奇数という証明がなされた」ときにしか発生しないので、奇数の次の数字は偶数になって、必ず 2の倍数となってしまい、その次のサイクルは 1/2 されるはず。ただし、それが偶数なのかは不明。 >>988
だって 3n+1 するときは奇数なんだろ？だったら関数合成で 3(2n-1)+1 で、2(3n-1) と言えるのだから、有限内なら、次のサイクルは確実に偶数だと言えるでしょ？次の次のサイクルは不明だけど、ゼロ以外の整数も確定でしょ。 オレ自身は、コラッツ予想が正しいと便利だと思ってるのよ。すべての整数が、3の倍数と２の乗数で描けるのなら、2bit と 3bit の計算機を作るともっと高速なパソコンが作れるかと思ってるのよ。 >>986
その演繹的手法で以下が判明しますか？
法則性があるようで無いようで助けてください
『3n + i』 (ex. 3n+1 3n+3 3n+5 3n+7 ...)で i が以下の時の循環の長さ
-7,-5,-3 ←長さ2が1種類、長さ5が1種類、長さ18が1種類
-1 ←長さ5が1種類、長さ18が1種類
1 ←循環なし
3,9,27,41,43,81 ←長さ3が1種類
5 ←長さ3が1種類、長さ8が2種類、長さ44が2種類、
7,21,63 ←長さ3が1、長さ6が1
11 ←長さ3が1、長さ22が1
13 ←長さ3が1、長さ13が7、長さ39が1
15,45 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ44が2
17 ←長さ3が1、長さ49が1
19,57 ←長さ3が1、長さ16が1
23,69 ←長さ3が1、長さ7が2、長さ69が1
25,75 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ12が1、長さ24が1、長さ44が2
29 ←長さ3が1、長さ26が1、長さ106が2
31,93 ←長さ3が1、長さ35が1
33,99 ←長さ3が1、長さ8が1、長さ22が1
35 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ6が1、長さ8が2、長さ12が2、長さ44が2
37 ←長さ3が1、長さ9が3
39 ←長さ3が1、長さ5が1、長さ13が7、長さ39が1
47 ←長さ3が1、長さ11が5、長さ25が1、長さ44が1
49 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ60が1
51 ←長さ3が1、長さ9が1、長さ49が1
53,67 ←長さ3が1、長さ46が1
55 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が4、長さ22が1、長さ44が3
59 ←長さ3が1、長さ16が6
61 ←長さ3が1、長さ107が1
65 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ5が1、長さ8が2、長さ13が7、長さ36が1、長さ39が1、長さ44が2
71 ←長さ3が1、長さ15が2、長さ44が5
73 ←長さ3が1、長さ16が1、長さ23が1、長さ92が1
77 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ8が1、長さ22が1
79 ←長さ3が1、長さ37が2、長さ64が1
83 ←長さ3が1、長さ19が1、長さ38が1
85 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ9が1、長さ44が2、長さ49が1、長さ156が1
87 ←長さ3が1、長さ6が1、長さ26が1、長さ106が2
89 ←長さ3が1、長さ25が1
91 ←長さ3が1、長さ5が1、長さ6が1、長さ13が7、長さ18が2、長さ39が1
95 ←長さ3が1、長さ4が1、長さ8が2、長さ16が3、長さ44が2
97 ←長さ3が1、長さ12が1
101 ←長さ3が1、長さ10が5、長さ20が2 コラッツ予想の数列は「絶対に奇数は連続しない」という証明はできる。 >>992
そのパターンは生じないって。だって、f(5) = 16 にしかならないのだから。例えば、f(2k) = k とはいえるし、f(2k-1) = 2(3k-1) であるから、f(f(2k-1)) = 3k-1 となるだろうけど、3k-1 が奇数か偶数か事前に知る方法は無い。 >>991
奇数のときn→(3n+1)/2のバージョンで考える
奇数のときだいたい1.5倍偶数のとき0.5倍なんだから、奇数：偶数≒log2：log1.5になるように奇偶の列を作って、
そのパターンになるようなiとnを見つければ良い。
例えば奇→奇→偶→偶→偶のループになるように計算するとi=781、n=211のとき上手く行く。
奇偶のパターンを起点に考えた方が賢いと思う。 >>994
君は>>975が読めていない。
3n+1を3n-1に変えたらループが出来るんだから>>974は間違っている、ということだ。 まぁまぁ、TEXペーパー書いてジャーナル提出したらええやん このスレッドは１０００を超えました。
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