分からない問題はここに書いてね443

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/04(金) 23:15:16.29

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね442
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1522418128/

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 00:23:31.94

>>79
定義より
a[n]<1/2 ⇒ a[n+1] = 4a[n](1-a[n]) ≧ 2a[n]
である。lim a[n]=0からn≧N ⇒ a[n]＜1/2となるNがとれるが、このときn≧Nに対して
1/2 > a[n] ≧ 2^(n-N)a[N]
により
0≦a[N]＜2^(N-n)(1/2)
を得る。n→∞とすればa[N]=0。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 03:58:55.21

>>79
y=4x(1-x) と　y=x　のグラフを 0≦x≦1 の範囲で描いて、
初期値aによって、a[n]の値がどのような“動き”をするか調べてみるとよい。
多くの場合は、大きくなったり、小さくなったりと、複雑な動きをすることが判ると思う。

しかし、特徴的な動きもみられる。

あるところでa[k]が3/4近辺の値をとると、次の値も、3/4近辺になる。当然、その次も3/4近辺だ。
3/4を含むある範囲では、常にこのループに陥り、a[k]=0となる様なことはない。
つまり、あるkで、a[k]の値が、この範囲に入るような値を取ると、lim[n->∞]a[n] = 0　となる様なことはない。

また、あるところでa[k]が、1/2　という値を取ると、a[k+1]=1、a[k+2]=0、となり、n≧k+2では常にa[n]=0となる
a[k]が1/2という値を取るためには、a[k-1]が　1/2=4x(1-x)　の解　つまり、(2±√2)/4　という値を取っていた場合である。
さらに、(2±√2)/4=4x(1-x)　の解を取っていると、．．．．　というように、ある特別な値を取っていた時に限り、
あるところでa[k]=0となり、それ以後、常に0となる。

それ以外の値の場合は、大きくなったり、小さくなったり、あるいは、3/4近辺でぐるぐる回っていたりするだけで、
lim[n->∞]a[n] = 0　等という事は起こらない。このようなことを説明すればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 04:24:39.31

補足。というか、こちらの方が、本命かもしれない。
多くの場合、
lim[n->∞]a[n] = 0
というのを見ると、a[n]≠0　だけど、　nが大きくなるにつれて、|a[n]|が
どんどん小さくなるような場合を思い浮かべると思うけど、
この問題の場合の　lim[n->∞]a[n] = 0　は、そのようなケースではなく、
あるところで、a[k]が0になり、その後は、定義から常に0という場合に限られる。

何故なら、あるところで、a[k]=ε、(ただし、εは非常に小さい値で、正)、を取ったとすると、

a[k+1]=4ε(1-ε)≒4ε=4a[k]　となり、前項より大きくなる。

このような性質を持っていては、
“a[n]≠0　だけど、　nが大きくなるにつれて、|a[n]|がどんどん小さくなるような場合”
の、lim[n->∞]a[n] = 0　は起こらない。実際、図を描いても確かめられる。
従って、lim[n->∞]a[n] = 0　というのは、あるところで、a[k]=0　となり、その後全ての項が0
の場合に限られると結論できる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 05:18:54.47

xy平面上に点A(1,0)も単位円Cがある。
点Aの、C上の点Pにおける接線lに関する対称点をBとするとき、以下の問に答えよ。

（1）P(cosθ,sinθ)とするとき、Bの座標をθを用いて表せ。

以下、θは0≦θ<2πを動くものとする。

（2）Bの座標を(s,t)とおき、点KをK(s+t,st)により定める。Kが動いてできる曲線Tの式を求めよ。

（3）Tの長さを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 07:50:42.17

>>48
ds=√(1+(f')^2)dx
dS=f(x)dsdθ
s=s(x)初等関数
ds=s'(x)dx
dS=f(x)s'(x)dxdθ
S(x)初等関数とは限らない
ボクの考えた最強のアホな問題

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 08:08:08.16

限らないことの証明は

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 11:24:22.82

>>79
　α = arcsin(√a) = arccos(1-2a)/2,
とおくと
　a_n = {sin(2^(n-1)･α)}^2 = {1 - cos(2^n･α)}/2

　α = (奇数)π/{2^(n0-1)}　⇔　　a_n = 0　(n≧n0)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 11:40:50.80

>>86

つまり、α/π の2進数展開が有限項で終わるとき。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 12:47:28.38

2017年早稲田理工の5番ですが
f(x)=x^3+x^2+px+q g(x)=-1/x+1
条件：f(x)=0の任意の解αに対してg(α)もf(x)=0の解である。

当然一つの解はαでもう一つは-1/α+1
模範解答だともう一つはg(g(α))=-α+1/αになります
この後に解が同じか違うかで場合分けという流れですが

はじめの２つの解と解と係数の関係でもう一つの解を出すと-α^2-2α/α+1がでてしまいますが、これはなんでしょうか？任意解を入れれば初めの3つの解のどれかと同じになるということでしょうか？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 12:59:11.20

>>83

　P-接線：　(cosθ)x + (sinθ)y = 1,
　Q (cos(2θ)，sin(2θ)) とおくと、P は BQ の中点。
　B (2cosθ-cos(2θ)，2sinθ-sin(2θ)) = (s，t)

　s+t = (√2){2sin(θ +π/4) - sin(2θ +π/4)},
　st = (3/2)sin(2θ) - (2-cosθ)sin(3θ) = 2sin(2θ) - 2sin(3θ) + (1/2)sin(4θ),

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 14:13:35.36

接線の性質として
半径の中心と異なる端で，半径に垂直な直線は，この円の接線である。

と書いてあるがこれはどういうこと？
半径の中心と異なる端ってことは、円周か円の中心ってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 14:22:04.37

>>90
自己解決した

つまり
半径の中心と異なる端ってことは円周か
円周上で半径に垂直な直線は接線だぜってことか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 19:39:07.93

未だ>>5解けないんだけど。これホントに解けるんかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 19:54:58.69

>>92
>>23が正解らしいけども

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 21:05:04.27

>>93
いや、それは後で間違い指摘されて実際間違ってる。今のところ正解出てないと思う。でもこのスレ解けない問題上がってくる事もあるからその類かもしれないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 00:32:16.79

今ふっと思い立ったんだけどもしかして>>23が出題者でその解答が間違ってたのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 10:58:07.18

f=sin(ax)/axとした時に
∮[0,1]fdx / ∮[0,1]f^2dx
って求められますか？

教員曰く簡単らしいんですけれど全く無理でした…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 11:17:44.07

たぶん誤解してる

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 12:20:56.12

>>96

∫f(x)dx = (1/a)∫sin(ax)/x dx = (1/a)Si(ax),

∫{f(x)}^2 dx = ∫{sin(ax)/ax}^2 dx
　= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)∫sin(2ax)/x dx
　= - {sin(ax)}^2 /(aax) + (1/a)Si(2ax),

にて簡単

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 13:35:30.51

>>98
で？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 13:43:59.02

ででんでん

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 14:34:06.13

蒸し蒸し

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 14:35:14.14

なるほど。簡単♡

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 14:38:13.13

云々

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 15:04:15.29

>>98
Si(x)とは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 15:13:24.97

正弦積分関数

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 16:13:37.69

積分がわからんから姑息な手段を使ったのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 16:26:07.78

>>98
間違ってるぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 16:33:42.19

かたつむりか。ターミネーターじゃないのか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 20:12:32.29

3次元の座標系を任意に回転させたいのですが、何回回転させればよいか、場合分けすることはできますか？
1回のとき、2回のとき、3回のときがあると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 20:39:28.76

情報が足りない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 21:47:22.34

>>109
質問になってない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 21:55:54.22

SO(3)は3次元

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:09:00.06

すまん、この問題がわからないんだが・・・・
https://imgur.com/4utNyqX
お願いします(´・ω・`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:17:14.40

xz座標だけθ回転させるだけだよ
結局回転で変わるのは外積だけだが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:17:58.83

109です。
わかりづらくてすみません。
座標系じゃなく3次元の立体図形を回転させるもきに、

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:23:00.28

書き間違えました。
少し質問を変えます。
座標系じゃなく3次元の直方体のような立体図形にします。
立体図形を任意に回転させるときに、例えば上下反対にするには1回転させますが、
左右を上下にして裏表反対にするには2回転必要かと思います。
ここで思ったのですが、2次元の場合は1回転で全ての回転を表されるので、3次元の場合は2回転あればすべての回転を表されると思ったのですが、いかがでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:30:46.76

>>116
SO(3)は3次元なので3種類の回転を用意せんとダメだっての

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:32:53.46

>>116
補足
ただしかける回数に制限がないなら2種類で可能。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:37:40.37

おいらに任せろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 22:49:41.27

116です。
回答ありがとうございます。
3種類の回転が必要ですか。SO(3)という数式を初めて見ました。
回転の軸を3次元中に自由に取れるとしても必ず3種類の回転が必要になりますでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:01:33.14

>>120
なるよ。もしA(x)B(y) (x,yはパラメータ)でSO(3)全体をカバーできたらそれは2次元空間から3次元空間への全射を与えてしまうけどそれは無理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:07:36.31

>>109 >>115 >>116 >>120

z軸のまわりにα
y'軸のまわりにβ（=∠zOz')
z'軸のまわりにγ

（α，β，γ）をオイラー角と云うらしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:08:55.52

>>121
なるほど、なんとなくわかりました。
>>116で書いたとおり、1回転とか2回転で達成できるような場合もあると思うのですが、そういった特殊な例はどういった場合とかって簡潔に言えますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:10:34.09

>>122
ありがとうございます。オイラー角についてググってみます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:26:31.89

>>123
さあ？そこまでいくとわかんない。でも２個の回転行列A(x)、B(y)を指定すれば
A(x)B(y)の形の回転の全体は実２次元部分空間になるからシンプルな表現はあるとは思うけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:31:33.29

>>125
ありがとうございます。教えていただいたのをもとに自分なりに勉強してみます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 23:53:08.87

>>96
どうやらこの積分、分子分母にx^2を掛けても結果が変わらないそうです
どうやってそのことを導出したのでしょうか…？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 00:09:52.11

>>127
分子分母に同じ数かけたらそら同じ数になるのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 00:35:56.85

>>127
分子分母の被積分関数にx^2かけるの？全然違う値になるけど？問題間違ってない？

f(x):=sin(a*x)/(a*x);
romberg(f(x),x,0.0001,1)/romberg(f(x)^2,x,0.001,1),a:1,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.0001,%pi)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.001,%pi),a:1,numer;
romberg(f(x),x,0.0001,1)/romberg(f(x)^2,x,0.001,1),a:2,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.0001,1)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.001,1),a:2,numer;
romberg(f(x),x,0.0001,1)/romberg(f(x)^2,x,0.001,1),a:3,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.0001,1)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.001,1),a:3,numer;
(%o69) 1.055384728709074
(%o70) 2.000000016713958
(%o71) 1.195429148161006
(%o72) 1.464505695121646
(%o73) 1.306210378186181
(%o74) 1.981775232275942

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 00:49:21.65

ミスってたのでやりなおし。やっぱり同じ値にはならない？？

>>127
f(x):=sin(a*x)/(a*x);
romberg(f(x) ,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2 ,x,0.00001,1),a:1,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.00001,1),a:1,numer;
romberg(f(x) ,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2 ,x,0.00001,1),a:2,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.00001,1),a:2,numer;
romberg(f(x) ,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2 ,x,0.00001,1),a:3,numer;
romberg(f(x)*x^2,x,0.00001,1)/romberg(f(x)^2*x^2,x,0.00001,1),a:3,numer;

(%o102) 1.054320648435071
(%o103) 1.104493895983902
(%o104) 1.193802891132201
(%o105) 1.4645056917975
(%o106) 1.303664967479121
(%o107) 1.981775220915906

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 02:22:57.05

>>127
答えとしては
4(sin(a)-acos(a))/(2a-sin(2a))
になるらしいです…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 03:04:15.07

>>131
そんなはずはない。もとめる値をI(a)とおくと
lim[a→∞]I(a) = 1になるけど、その値振動するやん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 04:02:36.55

f+gが微分可能でfが微分可能でない例
fgが微分可能でfが微分可能でない例
f・gが微分可能でfまたはgが微分可能でない例
を教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 06:42:48.91

nCrで選ぶ個数に文字rを使う理由って何？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 07:40:18.48

>>133
f:ディリクレ関数、g=-fでf+g=0は微分可能
f:ディリクレ関数、g=0でfg=0は微分可能
f=0、g:ディリクレ関数でf・g=0は微分可能

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 10:05:29.42

どのような楕円であっても、その周長（一周分）を求めることはできますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 10:14:51.45

はい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 11:07:56.72

鉛筆で楕円を描いて、直線を描いた場合との比較で、
鉛筆の重さの減少量と長さとの関係から計算する

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 11:41:54.29

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 11:58:46.91

>>127 >>131
なんじゃそりゃ？

∫ p(x)dx ∫ x^2p(x)dx
―――― = ――――――
∫q(x)dx ∫x^2q(x)dx

ってやっちゃったのか？ ’∫’ 無視して？恐ろしいな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 12:42:29.07

>>136 >>137

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, (0<b≦a)

とする。

L = 4∫[0，π/2] √{(a・cosθ)^2 + (b・sinθ)^2} dθ

= 4a ∫[0，π/2] √{ 1 - (k･sinθ)^2} dθ　　　　　k = √{1 - (b/a)^2}　離心率

= 4a E(k)

第二種の完全楕円積分、θはパラメータ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 13:25:25.89

>>139
εδを使え

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 13:53:41.98

>>141
楕円なんたらとかかってな名前をつけて誤魔化さないで、
ちゃんと積分してください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 13:55:48.16

無知は力なり
とはよく言ったものだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 14:34:58.63

>>141
私は高校生です
√1-t^2 はt=sinθと置けと言われました
ksinθ=aと置いたらどうですか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 14:38:18.51

>>145
楕円の周を求めるのは難しくて、簡単な式で表すことができないということが知られています
つまり、解けません

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 14:39:21.32

ググれよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/楕円積分

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 14:43:36.34

>>145
だからどうした？それで解けたのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 14:48:17.50

>>142
それが出来ないんです…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 15:03:33.73

>>146
難しのと解けないのとは違うよね。
難しいからごまかしてるんでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 15:17:31.37

>>148
解けました

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 15:32:05.35

>>150
>>151

>>147みてみてくださいね
初等関数で表せないとあるはずです
初等関数というのは、簡単な式ということです

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:17:42.04

>>151
よかったね、さようなら

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:26:06.35

楕円積分の解法を思いつきました
級数展開してから積分すれば良いですね
多項式なら簡単に積分できますので

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:35:53.36

劣等感婆も高校生を自称していたことがありましたね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:41:53.59

何で性別女って設定なの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:46:14.40

f(xy)kg(xy)=0ってなんなんなんですか？
fとgの交点の座標を求めてkをだすのも=0ってのもなんなんなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 16:47:58.92

昔、関数の連続性を高校の範囲で証明できると主張した馬鹿がいたが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 17:28:42.17

>>157
f(x,y)=0の曲線とg(x,y)=0の曲線があった時、f(x,y)+kg(x,y)=0の曲線は、f(x,y)=0とg(x,y)=0の全ての交点を通るということです

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 17:52:26.77

>>96=>>136？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 18:42:01.73

>>159
A+KB=0でなぜB以外の全ての直線を表せるのだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 18:47:40.43

kが変われば傾きも変わりますね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 18:50:01.31

日本人は全員ゴミ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 18:57:56.95

k(ax+bx+c)すると傾き以外も変わるのじゃ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 19:03:41.56

K倍しても移項してyの係数割る時元に戻る気がする

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 20:54:50.50

>>161
KA+LB=0のがいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 23:11:52.44

>>136 >>145 >>151 >>154

まとめると…

・楕円、双曲線の長さは初等函数では表せない。

・円、放物線の長さは初等函数（√とlog）で表わせる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 23:46:01.38

>>167
>・円、放物線の長さは初等函数（√とlog）で表わせる。
放物線が？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/09(水) 23:58:44.81

>>168

y = ax^2　とすると、

L(0，x) = ∫[0，x] √{1+(2ax ')^2} dx '

　= (1/2)x√{1+(2ax)^2} + (1/4a)log{2ax + √{1+(2ax)^2}]

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 07:10:25.01

【問題】
10から110までの数字の組み合わせの和で
10から110までのすべての整数を表現したいとき
用意しなければならない数字の最小の個数とその数字を述べよ。

お願いします。

**170** · 2018/05/10(木) 07:11:57.01

>>170
なお、組み合わせは2個でも3個でも、何個でも組み合わせて良い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 07:33:28.06

>>170
数字なの？
数ではなくて！？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 10:31:25.24

>>170
10+10=20
はあり？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 10:59:04.99

>>170

10+10 = 20がありなら
{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19} の10個
無しなら
{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} の11個

**IQの低い人** · 2018/05/10(木) 13:29:02.37

１，０でいいんじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 13:40:08.31

いや、1だけでいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 13:41:51.82

175,176は、10が組み合わせ可能な数字の最小値であるという仮定を無視してしまったようだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 14:47:07.34

>>177
> 175,176は、10が組み合わせ可能な数字の最小値であるという仮定を無視してしまったようだ
数字って0123456789のことよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 16:25:13.36

素数pを1つとり、p^nを3で割った余りをanとする。{an}の一般項を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/10(木) 16:47:11.20

>>166
へー