分からない問題はここに書いてね443
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
東大の入試問題作りました
良問だと思います
第三問
x軸およびy軸の正の部分にそれぞれ点P,Qがあり、PQ=1を満たすように動く。
座標平面の原点をOとし、△OPQの内接円をCpqとする。また、Cpqの周および内部の領域をDpqとする。
(1)点Pが(1,0)に限りなく近づくとき、Cpqの中心はどのような点に限りなく近づくか。同様に、Pが(0,0)に限りなく近づく場合はどうか。
(2)PQが動くとき、座標平面上でDpqに含まれうる領域の面積を求めよ。
ただしPが(0,0)および(1,0)に一致する場合は、(1)で求めた点をDpqとせよ。 >>369 [2]
以下、第(2)集 No.60 からのコピペ >>394
xx・xx = x・x^3 = x・x つまり xx はベキ等。
〔補題〕 xxyy = yyxx, ……(6)
xx=X,yy=Y はベキ等だから、
X -Y = (X-Y)^3 = X^3 -Y^3 -XYX +YXY = X -Y -XYX +YXY,
XYX = YXY,
XY = (XY)^3 = (XYX)(YXY) = (YXY)(XYX) = (YX)^3 = YX,
(xy)^2 = xx(xy)^2 = (xy)^2・xx,
xy = (xy)^3 = (xy)^3・xx = (xy)xx … (7)
(xy)^2 = (xy)^2・yy = yy(xy)^2
xy = (xy)^3 = yy(xy)^3 = yy(xy) …… (8)
xとyを入れ替えて
yx = xx(yx) …… (9)
(8)*(7)
(xy)^2 = yy(xy)・(xy)xx = y(yx)^3・x = y(yx)x = yy・xx = xx・yy,
xとyを入れ替えて
(xy)^2 = (yx)^2,
xy = (xy)^3 = (xy)(yx)^2 = x(yyxy)x = x(xy)x = yx …… (10) >>362 >>364
Γ(s)の定義式を積分路変更することで容易に導けます
(Hankel の公式からでも導出可能ですが、リーマン面で考えないといけないので少し面倒になります)
定義式:Γ(1-s)=∫[0,∞] z^(-s) e^(-z) dz において積分路を実軸から虚軸に変更する
(厳密には半径rとRの1/4円弧と実軸と虚軸上の線分を結ぶ閉曲線を考えr→0,R→∞とする)と
Γ(1-s)=∫[0,∞] (it)^(-s) e^(-it) d(it)
=∫[0,∞] i^(1-s) t^(-s) (cos t -isin t) dt
となって、この式の両辺に i^(-1+s)=e^(πi(-1+s)/2)を乗じれば直ちに(1),(2)式が得られます
また(1)式が0<s<2でも成り立つことはs平面での解析接続より明らか >>402
>を既約分数の形で表わせ。二項係数を用いて表してよい。
なにこれ? >>384
しょうがないから軽く解くか…
y=ax (これは単位円の直径)に関してAと対称な点をA'とする。
A' = ((1-aa)/(1+aa),2a/(1+aa))も単位円周上にある。
0<a<1 では Aを含む側 ⊂ 反対側
a>1 では Aを含む側 ⊃ 反対側
よって
(1/2)min{a,1/a} じゃ>>401
面積は1/4√(4(k^2-10k+100)(m^2-10m+100)-(km-10k-10m+200)^2)。
√のなかはmod 5で3k^2m^2に合同。よって平方数になるにはどっちか5。
k=5としてよい。
面積は5/4√(15m^2-20m+700)。
さらにmは5でないとだめ。
でも√のなかは24375。
奇数なのでアウト。 >>403
(1)略
(2)内接円を固定して斜辺をうごかすときlog(cot(x))が下に凸よりOP・OQが最小となるのはOP=OQのとき。
よって条件内で内接円の半径が最大となるのはOP=OQ=1のとき。以下ry >>413
•dotupはリンク先からさらにリンクに飛ばなければならないのでなるべく使わないようにしましょう
•パソコンで数式書く暇があるなら自分で調べましょう 1日 a リットルずつ供給される水道で1日 b リットルまで到達させている
b リットルまで x 倍の時間で到達させたい場合、時間あたりの供給量を y 倍すれば良い
xとyの関係を式で表すとどうなりますか? >>417
へー、てことは、わからないんですね(笑) xについての不定積分にθが現れているという点で解法2の答え方は不十分
x=tanθとおいたのだからcosθ=(1+x^2)^(-1/2)を用いて変形すれば解法1の答えと一致する /_/_/人人_/_/_/_
/_/_(_^_)/_/_/_
/_/_(_)_)/_/_/_
/_/_( (`_)/_/_/_
/_/_(_っ-┓_/_/_
/_/_◎゙┻υ◎゙/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/キコキコ……。>>350分母を有利化すると見た目が違ってきます。髪の毛が風でうしろになびくと頭頂部の見た目が変わるでしょ。 画像中央の行にある式の波線部分がどのような指数計算をして出したのか途中式を交えて教えてくだされば幸いです
二項定理そのものはわかりますがこの指数計算がわからず質問しました
よろしくお願いします
https://i.imgur.com/y5krm7F.jpg 422
(x^2)^k (2/x)^(10-k)=x^(2k) 2^(10-k) x^(-(10-k))
=x^(2k) 2^(10-k) x^(-10+k)=2^(10-k) x^(2k) x^(-10+k)
=2^(10-k) x^(2k-10+k)=2^(10-k) x^(3k-10) >>410
指数nが偶数のとき
(-x)(-x) = xx,
の両辺を n/2 乗して
-x = (-x)^n = x^n = x,
また
x + xx + … + x^(n-2) ∈ Z(R)
n=2 のとき(ベキ等環)
xy + yx = (x+y)^2 -x^2 -y^2 = (x+y) -x -y = 0
ゆえ反可換、可換。
n=4 のとき
x + xx ∈ Z(R) より
x(xy+yx) = (xy+yx)x,
xxy = yxx,
ここで x→xx とすれば
xy = x^4・y = y・x^4 = yx,
n=6 のとき
n=2 に帰着する。
n=4〜8は証明できたらしい。(淡中忠郎教授) まぁだからどやねんというツッコミが絶えないんだよなぁ、>非可換環ろん 東大の入試問題作りました
良問だと思います
第四問
iは虚数単位、p,qは実数とする。
数列{a_n}を以下のように定める。
a_1=1、a_2=i、
a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n
(1)すべてのnに対し|a_n|=1となるために、p,qが満たすべき必要十分条件を求めよ。
(2)すべての点Pn(a_n)が同一円周上にあるために、p,qが満たすべき必要十分条件を求めよ。 東大の入試問題作りました
良問だと思います
第五問
空間の2点(0,0,0)と(1,0,0)を直径の両端とする円をC1、2点(0,0,1)と(1,0,1)を直径の両端であとする円をC2とする。
C1とC2を底面とする円柱を曲面z=x^2によって2つの領域に切り分けるとき、領域の体積比V1:V2を求めよ。 東大の入試問題を作りました
良問だと思います
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ 東大の入試問題作りました
良問だと思います
第六問
a,bは正の実数とし、xの関数f(x)をf(x)=ax-b+e^(-x)と定める。相異なる実数p,qに対して、f(p)とf(q)の大小を比較せよ。 東大の入試問題を作りました
良問だと思います
なぜ劣等感婆は数学板、物理板を荒らすのか?
400字以内で回答せよ。キイワードは必須とする。
キイワード
素人、劣等感、自演 >>413
結論はどちらも正しい。
2つめはθをxに直せば、θ→arctan xであるが
cos (arctan x)を調べたら、(1+x^2)の(-1/2)乗と等しいので
上と一致する ここの回答者って、簡単な問題だとすでに回答がついていても同じ回答つけるんですな まぁ、第4問以降は急に普通の受験数学のレベルだからなぁ。 東大の入試問題を作りました
良問だと思います
なぜ劣等感婆は基礎論を勉強したのに予備校をくびになったのか?
400字以内で回答せよ。 工夫すればエレガントに解けるそうですが
教えてください。
立方体ABCD-EFGHと1~10までのカードが1枚ずつある。
このカードの中から8枚選び、各頂点に1枚ずつ割り当てる。このとき、
”4つの頂点のカードの数字の和が偶数となる”ような面がちょうど3つ存在する確率を求めよ。 >>439
第1問は面積を表すまでは簡単ですがその先で余りに着目できないと詰みです
C***
第2問はpCiが全てpで割り切れることを知らないと手がつけられません。その後のpCkとpCmの処理も難しく、6問中の最難問です
D#
第3問は円板の通過領域の把握がやや難しいです。面積計算は平易です
C***
第4問は6問中最も易しいです
B**
第5問も易しいですが、円柱をタテに切らないと計算が面倒になります
B**
第6問は意外に難しいです。場合分けや論証に手こずると思います
C**** >>439
第4問と第5問は完答必須。ここで20*2の40点は確保したい
第1問と第3問はあわせて1題分以上の点数を取りたい。20点程度を目標
第6問は手数がかかる上に緻密さも必要で、後回しにしたい
第2問は出来るところまでで残りは捨てたほうがいい
合計で1題ブン取れれば上出来、20点弱が目標
合格者平均
理一65、理ニ55、理三80 明日も東大の入試問題を上げます。
よろしくお願い致します。 >>443
エレガントかどうか知らんけど
奇数のカード数≡奇数の面数 (mod 2)
より奇数のカード数は奇数。
このとき常に奇数の面数は3。
∵奇数カード数が1なら自明(無視していいケースだが)
奇数カード数が3、隣接頂点に奇数カードが配置されるときは残り1枚の奇数カードをどこにおいても(実質2ケースしかない)奇数の面数は3。
奇数カード数が3、隣接頂点に奇数カードが配置されないときはどの2頂点も対角に配置できないから正三角形の頂点をなすように配置するしかなく、奇数の面数は3。
奇数カード数が5のときは奇数カードと偶数カードの配置を総入れ替えすれば奇数カード3のケースに帰着される。
以上により奇数カード数が奇数となることが条件。
確率は2×C[5,3]×C[5,5]/C[10,8]。 >>446
いつまで受験数学レベルやってんの?もう卒業したら?
もっと素晴らしい世界がひらけてるのに。
そのくらいの問題作れるなら次のステップに進む素地は整ってるんだから。 >>448
大学受験で大学数学使えないんで
それに実数とか極限とか当たり前のことを精密に議論するのって何が楽しいんですか
線形代数やっとけって先輩から言われましたが使いみちが分かりません。空間の点を回転したり対称移動できるとかつまらない
大学行ってから勉強します
今は遊びます >>270
b=b0 を固定する。
log(y) = log(a) + c・log|sinh(bx)|
より
X = log(sin(bx)),Y = log(y)
とし、(X,Y)データを最小二乗法で直線回帰する。
Y = log(a) + c・X
ただし、(a,c) は b0 に依存する。
次に、
Z = sinh^(-1){(y/a)^(1/c)}
とし、(x,Z)データを最小二乗法で直線回帰する。
Z = b・x + d,
ただし、(b,d)は(a,c)に依存する。
これを (a,b,c,d) が収束するまで繰り返す。
SCF (Self-consistent Field) >>270
b=b0 を固定する。
log(y) = log(a) + c・log|sinh(bx)|
より
X = log(sin(bx)),Y = log(y)
とし、(X,Y)データを最小二乗法で直線回帰する。
Y = log(a) + c・X
ただし、(a,c) は b0 に依存する。
次に、
Z = sinh^(-1){(y/a)^(1/c)}
とし、(x,Z)データを最小二乗法で直線回帰する。
Z = b・x + d,
ただし、(b,d)は(a,c)に依存する。
これを (a,b,c,d) が収束するまで繰り返す。
SCF (Self-consistent Field) >>403
P(p,0) Q(0,q) p>0,q>0 とする。
題意より pp+qq=1
Cpq の中心 (r,r) ここに r = (p+q-√(pp+qq))/2 = (p+q-1)/2,
(1) p→1 のとき q→0,r→0
p→0 のとき q→1,r→0
(2) は >>411 >>430
a_{n+2} = p・a_{n+1} + q・a_n,
より
|a_{n+2}|^2 = a_{n+2}・a_{n+2}~
= (p・a_{n+1} + q・a_n) (p・a_{n+1}~ + q・a_n~)
= pp|a_{n+1}|^2 + pq・Re(a_{n+1}・a_n~) + qq|a_n|^2,
(1) pp + qq = 1,pq = 0,
(p,q) = (0,±1) (±1,0) 毎日外からうるさい。誹謗しかできない卑怯者は黙ってろ。 >>449
会話できたのか
ならなぜ散々スレ違いだと言われているのを頑なに無視するのか >>449
精密に議論するのは、雑な議論で答えだけ出るのと比べて結局同じ答えしか出てないからつまらなく感じるかもしれないけど、それはより深い世界へと進むための準備で大切な事だよ。
今の日本だと “受験” という人参をぶらさげて他の人が出せない答えがどれだけだせるか?という競争の中で勉強させられるから間違いやすいけど数学は決して “ほら、俺こんな問題もとけるぜ” って得意がるための道具じゃないよ。
高々受験数学レベルの問題のあたりを一生ウロチョロして終わるか、数学が真に “人生の友” と呼べる素敵な “学問” になるかの分かれ目だねぇ。 >>443 >>447
ちょい改善。
abcdefghをそれぞれABCD-EFGHに奇数カードのせたとき1,偶数カードのとき0をとる変数とする。
奇数面1、5個がないことを示せば良い。
ABCDのみが奇数面なら
a+b+c+d≡1 (mod2)。
一方他の面は偶数面だから
a+b+e+f≡0 (mod2) c+d+g+h≡0 (mod2) e+f+g+h≡0 (mod2)
の3つ足して
a+b+c+d≡0 (mod2)。
∴矛盾。
奇数面5個がないのは今の議論で右辺の0と1を入れ替えれば良い。 >>458
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
精密な議論でよろしくお願いしますね
これがわからないということは、論理や証明とは何かが分かっていないことと同義です まぁ何も高いレベルに挑戦し続けることだけが数学ではないからね。
受験数学レベルを楽しむのもよし。数学的なレベルは問題じゃない。
それで “俺様ってすごいだろ” って事にしか数学を使えてないのが問題だねぇ。
基礎論の勉強も結局 “お前らはそこまでやってないだろ” って粋がりたいためにしか使えてない。完全性定理レベルでねぇ。 >>463
完全性定理が君の人生で読んだ一番難しい理論?そこで終わり? >>463
なぜ基礎論を勉強したのに予備校を首になったのですか? >>464
わかるなら答えられるはずですね
答えないということは、わからないということですね >>467
なので私はあなたより頭がよいと。満足できて良かったねえ。 >>465
そうなん?完全性定理じゃないの?基礎論の教科書なんてもう何年も開いてないから忘れてしまったorz >>2
>>460
いつまでみっともないこと晒すかねこの人 諭されて改める=負け
なんだろうなぁ。一生懸命に数学勉強して獲得したものがこれだけなのはちょっとかわいそうではある。
今の “他人を打ち負かしてナンボ” という受験至上主義のかわいそうな犠牲者ではある。 「ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能である」という命題が証明可能であることを示せ
という問題が分かりません。教えてください ここでこの答えを書く人は居ません
分からない人は書けませんし、分かる人は書きません
なぜならあなたの文章は人を試しているように見えるからです(あなたの本心は関係ありません あなたの文章を他人がどうとらえるかが大事です)
あなたに認められるより問題が解けた事実の方がはるかに価値があるのです 私はリーマン予想が解くことができましたが、ここには書きません
書けたという事実が大事だからです
フィールズ賞は論文提出しなくてももらえるんですかね 一辺の長さが1の正五角形ABCDEと、正方形CDFGがある。ただし2つの図形は直線CDについて同じ側にある。
点Fはこの正五角形の内部、周上、外部のいずれに位置するか。 >>481同じ側なんだから題意から五角形の中じゃん? てか、かっこいいね、
_
/\龍雄って名前。
\_/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/\
 ̄| ̄∩∩ ∩∩ ̄\/|
_|((-_-)-_-)) / |
 ̄|`(っu~)U⌒U、/| |
]| ‖υυ~UU~‖ |/ \
_| ‖ □ □ ‖ / /
 ̄\‖____‖/ /|
_________/||
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄‖| |/
] □ □`;,□ ‖| /
______;__‖|/_
________‖//_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_ 尋常じゃないくらい頭が悪いけど、東京大学理学部数学科に入りたい。 >>477
>あなたに認められるより問題が解けた事実の方がはるかに価値があるのです
うむ √9= √(-3)^2 = -3
この解き方がダメな理由を妹に説明したいです
√9はプラスの数だよと言っても納得してもらえず困っています…力を貸してください… >>487
正しいだろって言ってやれよ
3=√3^2=√9=√(-3)^2=-3
これでいいだろって ↓この証明なんかおかしくない?
a,a'∈A
b,b'∈B
fは全射ゆえV(f)=B
よって∃[a∈A](b∈f(a))⇔b∈B
b∈f(a)⇔a∈f^-1(b)より
∃[a∈A](a∈f^-1(b))⇔b∈B
よってD(f ^-1)=B-@
fは写像ゆえ(b∈f(a)∧b'∈f(a))⇒b= b'
集合の相当の定義より(b∈f(a)⇔b∈f(a')) ⇒f(a)=f(a')
よって(b∈f(a)∧b∈f(a'))⇒f(a)=f(a')
fは単射ゆえf(a)=f(a')⇒a=a'
よって(b∈f(a)∧b∈f(a'))⇒a=a'
b∈f(a)⇔a∈f^-1(b)より
(a∈f^-1(b) ∧a'∈f^-1(b))⇒a=a'-A
@、Aより全単射の写像fの逆対応f ^-1は写像
特にこの部分とかめっちゃ飛躍してるよね
>fは写像ゆえ(b∈f(a)∧b'∈f(a))⇒b= b'
>集合の相当の定義より(b∈f(a)⇔b∈f(a')) ⇒f(a)=f(a')
>よって(b∈f(a)∧b∈f(a'))⇒f(a)=f(a')
>fは単射ゆえf(a)=f(a')⇒a=a'
>よって(b∈f(a)∧b∈f(a'))⇒a=a' >>487
あなたの √ の説明が下手なだけ、或いは嘘を教えているのかも。 >>492
まず、4行目の b∈f(a) なんて記述が写像を理解していない証。
どう書かなければいけないかが分かったところで、もう一度質問を書き込んでみてね。
4行目で読む気が失せたので。 >>494
え?f(a)=bという表記じゃないと認めないってこと?本来はf(a)={b}なんだから別にいいと思うけど >>497
きみは b={b} と思っているわけね >>498
対応による像が部分集合である以上定義域が始集合と等しく各像が1つの元から成る対応を写像としているわけだから写像による像も部分集合と認めざるを得ないよね
f(a)=bは慣習的表記に過ぎない >>499
ナンセンス
きみがおかしな証明といっているその証明の対象である命題は、多分こういうことなのだろうと思う。
集合Aから集合Bへの全単射fが存在するとき、逆像対応 f^(-1);B→2^A は f の逆写像を定義していることを示せ。
ここに fの逆像対応f^(-1)とはb∈Bに対してf^(-1)(b)={a∈A|f(a)=b}で定まる対応である。 >>501
では、>>495以降のあなたの言説は妄言。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています