環の問題２つです．
次の証明が合っているか，教えてください．
よろしくお願いします．

［１］R：環とする．
　　　任意のRの元xについて，x^2＝xが成り立つ
　　　ならば，
　　　任意のRの元x，yについて，xy＝yxが成り立つ．
［証明］
　　条件から
　　　(x＋y)^2＝x＋y
　　　x^2＋xy＋yx＋y^2＝x＋y
　　　xy＝−yx．
　 また，
　　　1＝1^2＝(−1)^2＝−1．
　　よって，
　　　xy＝yx．　□□

［２］R：環とする．
　　　任意のRの元xについて，x^3＝xが成り立つ
　　　ならば，
　　　任意のRの元x，yについて，xy＝yxが成り立つ．
［証明］
　　条件から
　　　x^2−x＝(x^2−x)^3＝x^6−3x^5＋3x^4−x^3＝4（x^2−x)
　　　3（x^2−x)＝0．
　　　(x^2−x)^2＝x^4−2x^3＋x^2＝2(x^2−x)＝−(x^2−x)
　　　｛−(x^2−x)｝^2＝−(x^2−x)
　　Rの元yについて，y^2＝yをみたす元の集合をZ(R)とすると，
　　Rの部分環になる．
　　　(x^2)^2＝x^2，｛−(x^2−x)｝^2＝−(x^2−x)
　　　x^2，−(x^2−x）は，Z(R)の元．
　　　x＝x^2−(x^2−x)は，Z(R)の元．
　　　x^2＝x　
　　　xy＝yx．　□□