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分からない問題はここに書いてね443
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0306１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:13:38.70ID:N5/oSqy7
>>267
>>277
ありがとうございます
0307１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:14:59.96ID:N5/oSqy7
もう一つ質問なのですが整域上の次数nの多項式で根をn個以上持つものはありますか？
0308１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:25:51.14ID:s90IxSDn
>>256
ちなみにですけど、この無限級数がπcoth(πa)の形で表される事ってどのように導出しましたか？
0309１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:31:49.43ID:cV/gIJVZ
>>307
四元数でx^2=-1とか
0312１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:44:19.98ID:BPMfd3hq
>>281

交点のAから遠いほうの交点を P~ とする（ただ一つの交点を持つ場合はそれを P=P~ とする。)
方べきの定理より、AP・AP~ = 1,
題意より、AQ = k･AP~
∴ Kは、円C（x>0 かつ y>0 の部分を除く）を、Aを中心としてk倍したもの。
∴ Kは、中心が (1-k，1-k) 半径がkの円（x>1-k かつ y>1-k の部分を除く）
　(x-1+k)^2 + (y-1+k)^2 = k^2,

(1)　k = 0.728967367687286

(2)　∠SOT /2 = α とおく。
　cosα = (3-k)/√8 = 0.802931287302128
　sinα = 0.596071596262855
　tan(∠SAT /2) = sinα・(√8)/(1+k)
　∠SAT = 1.54560093958281 < π/2
　sin(∠SAT) = 0.99968261302211979

相変わらずセンスのない作問者…
0313１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:47:19.25ID:N5/oSqy7
ありがとうございます
では整域を可換環に置き換えると存在するでしょうか？
0314１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 00:57:39.14ID:rt0PhzAS
線形代数ってなんですか？
何が線形なんですか？
a11 a12
a21 a22
☝これの何が線形なんですか
0316１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 01:05:05.51ID:cHwVvG6S
>>314
難しいこと考える前に計算できるようにしときましょう
0318１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 01:10:49.92ID:N5/oSqy7
>>315
ありがとうございます
0319１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 01:38:22.71ID:V8xenapF
零因子のある可換環で多項式関数値が零因子になるような理論はまだ未整備か？
>>315では　x^2+x　の　x　に対象としている環のどの元を代入しても零因子、もしくは0になる例
0324１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 02:38:15.96ID:F8vZ30dB
1つの群には複数の環構造が入りますか？
つまりA,Bを環としてAとBが加法群として同型でも環としては同型でないことはありますか？
0325１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 02:44:07.84ID:V8xenapF
そんな程度なら、片一方を0環にすればいいだけの話だろ。
も少し建設的な問題を設定せよ。
0327１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 04:45:06.25ID:N5/oSqy7
>>319
ありがとうございます
最近勉強を始めたばかりで殆ど何も知りません
それについて詳しく書かれている本はありますか？(もしくは通常数行で済ませてしまうようなことでしょうか？)
0328１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 04:54:51.17ID:vWTDt18w
>>325
環は単位的なものを想定していました
0329１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 10:04:11.06ID:IhdOpBbv
自分で作った問題で自分で解けないときならスレ違いではないと思うけどそれならそれでその旨は書いといてほしい。
そういうのは解けない、解けるにしてもドエライ解になってしまうかもしれないから。
0332１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 10:43:53.74ID:6uJ2QcNR
さすがのwolframも未定の関数が入ってる式は処理できないんだなぁ。
0334１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 15:06:51.16ID:SGjgBc66
日本民法の父、穂積陳重の『法窓夜話』を現代語に完全改訳

法律エッセイの古典的名著が短編×１００話で気軽に読めます
リライト本です。「なか見検索」で立ち読み頂けます。原版は
国立国会図書館デジタルコレクションで無料で読めます

法窓夜話私家版 （原版初版1916.1.25）
https://www.amazon.co.jp/dp/B07BT473FB
（続）法窓夜話私家版 （原版初版1936.3.10）
https://www.amazon.co.jp/dp/B07BP9CP5V
0335１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 16:04:25.17ID:F+1vy2oQ
あるところを境に全てが0になる規則性をもった数列って存在しますか？
あるとしたらどんな一般項になるんでしょう
一応自分が考えた案としては、前の項＋前の項×なんらかの数列(例えばマイナスから始まる奇数項)なんですが、これの一般項の求め方がわかりません
教えて下さい
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/14(月) 18:12:16.53ID:SJeCUFf8
すみません、わからない問題というか、質問なんだけど

「あなたは自分にとって∫f(x)dxにおけるdxだ」

と言われた場合のdxって何ですか？
たぶん告白だろうとは思うんですが、きちんと意味をつかんでから返事がしたいので
文系の自分にはさっぱりです
0338１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 19:12:06.43ID:VRvJuuxP
>>337
つ
まらん
0339１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 19:28:25.94ID:gmAMWTBM
>>317
ああ、それはそうですね
寝ぼけたこと書いてました
0341１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 20:39:16.96ID:XUjOMsY1
質問です。
任意の自然数nに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
2^(n＋2)>n^2
という問題なのですがこれって任意の自然数じゃなくてn≧3のときですよね？
0342270
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2018/05/14(月) 20:39:23.72ID:7Rk7XC5X
>>270もお願いします。
0344１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 21:06:09.18ID:XUjOMsY1
>>343
すいません。解けましたありがとうございます
0345１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 22:26:03.02ID:xg2RAmH0
⑴zとwが複素数(x+yi)で、w＝1/1-z, (絶対値z)^2＝1のとき、wの実数部分xを求めよ
⑵zがcisθのときz^2-1/z^2+1＝i tanθを証明せよ
誰かこの二つお願いm(_ _)m
cisはr (cosθ+i sinθ)
0348１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 23:12:49.35ID:s90IxSDn
>>308
お願いします
0349１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 23:18:34.60ID:VYiPAVkp
タイラー天気じゃないのかな？
0351１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 23:35:38.99ID:GuJhfaMX
間違ってません
0352１３２人目の素数さん
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2018/05/14(月) 23:35:47.06ID:48jxLhgY
>>348
一般にはHadamardの因数分解定理だけど三角関数とかだと初等的な証明もある。Wikipediaにも載ってるはず。
0354１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 00:49:59.50ID:KmuIpfTz
>>345 >>347
(z^2-1)/(z^2+1)だな
0355１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 01:27:17.00ID:eFrawDDn
>>308 >>348

無限乗積表示（オイラー）：
　sinh(πa) = πa･Π[n=1，∞] {1 + (a/n)^2} = πa･Π[n=1，∞] {1 + (a/n)i}{1 - (a/n)i},
対数をとってaで微分する。
　π coth(πa) = 1/a + Σ[n=1，∞] 2a/(aa+nn) = 1/a + Σ[n=1，∞] {1/(a-in) + 1/(a+in)},
0356１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 02:23:17.12ID:Omn+setj
zは複素数で、複素数平面上の単位円上を動く。
複素数wをw=z+(z")^2+2z"とするとき、wが動いてできる曲線で囲まれる領域の面積をSとする。
（zの共役複素数をz"と表した）

（1）S≧nをみたす最大の非負整数nを求めよ。

（2）nは（1）で求めた値とする。
S≧n+(i/4)をみたす最大の非負整数iを求めよ。
0357１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 02:29:40.74ID:11UbkqUX
天上神と東大史上最高の天才はどっちの方が賢いですか？
0358１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 02:49:14.33ID:yTfs4dgd
>>356
複素数の問題で虚数単位以外の意味で使う i が同時に出てきたらあかんだろ
そして出題したいだけならよそにスレを立ててやってくれ
その方があとで参照するときにも都合がよい
0359１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 03:31:19.89ID:RWV1I2yh
>>348 >>308

おそらく最も単純な方法：f(z)=πcot(πz)/(z^2+a^2)と置いて留数定理を用いると目的の級数が得られる。

おそらく最も初等的な方法：三角関数の2N倍角の公式と根と係数の関係より
cot(x) = (1/(2N))Σ[n=0,2N-1]cot((x+πn)/(2N))
= (1/(2N))[cot(x/(2N)) + Σ[n=1,N-1]{cot((x+πn)/(2N)) - cot((-x+πn)/(2N))}]
が成り立ち、N→∞とすると和のペア部はO(1/n^2)で絶対収束するので極限の交換ができて
cot(x) = 1/x + Σ[n=1,∞]{1/(πn+x) - 1/(πn-x)}
そしてx=aπiと置くと目的の級数が得られる。
0360１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 04:02:58.65ID:eFrawDDn
>>356

z = e^(i･2π/3)，z = -1，z = e^(i･4π/3)　で w = -2 となる。（3重点）

∴3つの単純閉曲線が w = -2 で交わったもの…
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/15(火) 16:20:33.30ID:/SFsFp0F
今日Wolfram君に教えてもらいました。

integral_0^∞ x^(-s) sin(x) dx = cos((π s)/2) Γ(1 - s) for 0<Re(s)<2…(1)
integral_0^∞ x^(-s) cos(x) dx = sin((π s)/2) Γ(1 - s) for 0<Re(s)<1…(2)

(1)でs=1のとき　Dirichlet積分、s=1/2のときFresnel積分となかなかかっっちょええ公式。
Wolfram君は不定積分も教えてくれて確かに微分して元の積分核が出ることもx=0のとき-右辺になることもチェックはできます
…が、こんなん思いつくかボケ！んなもん不定積分なんかせんでもHankelの公式で一撃じゃ
…でもなかったorz。
なんか(1)の左辺をHankelの公式で計算すると(1)と(2)の左辺が混ざった形がでてきて切り離せない？？？
どなたか初等的な証明(=留数定理とかCauchyの積分公式とか級数展開とかまで)知ってます？orできます？
もしかしてこの積分なんか名前ついてます？ちなみに数学辞典には(1)の方はのってます。
0365１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/15(火) 17:16:23.18ID:eFrawDDn
>>356

　z = e^(it)，　　-π≦t≦π.
とおける。
　w = e^(it) + e^(-2it) +2e^(-it)
　u = Re{w} = 3cos(t) + cos(2t),
　v = Im{w} = -sin(t) -sin(2t),

s(t1，t2) = ∫[t1，t2] u '(t) v(t) dt = -∫[t1，t2] u(t) v '(t) dt

>>360 により3つに分ければ
s(-π，-2π/3) = 5π/6 -(3√3)/2 = 0.0199176666
s(-2π/3，2π/3) = 10π/3 + 3√3 = 15.6681279347
s( 2π/3， π) = 5π/6 -(3√3)/2 = 0.0199176666

S = s(-π，π) = 5π = 15.70796327

(1)　n=15

相変わらず趣旨が分からない問題
0366１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 19:02:23.40ID:Omn+setj
一辺の長さが1の正四面体を平面で切ったときに出来る多角形全体からなる集合をSとする。
Sの要素のうち面積が最大である多角形からなる集合をTとする。

（1）Tに属する多角形はすべて合同であることを示せ。

（2）Tの要素の1つをkとする。以下の命題の真偽を判定せよ。
「kの外接円の半径は、Sに属する多角形の外接円の半径のうちで最大である」
0367１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 19:10:27.52ID:j0q7+E4u
以下の六つの中で、最も天才と呼ぶのに相応しいのはどれですか？

超絶天才数学者
超絶天才プログラマー
超絶天才画家
超絶天才ピアニスト
超絶天才建築家
超絶天才彫刻家
0369１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 19:39:16.43ID:hVzl3U0R
環の問題２つです．
次の証明が合っているか，教えてください．
よろしくお願いします．

［１］R：環とする．
　　　任意のRの元xについて，x^2＝xが成り立つ
　　　ならば，
　　　任意のRの元x，yについて，xy＝yxが成り立つ．
［証明］
　　条件から
　　　(x＋y)^2＝x＋y
　　　x^2＋xy＋yx＋y^2＝x＋y
　　　xy＝−yx．
　 また，
　　　1＝1^2＝(−1)^2＝−1．
　　よって，
　　　xy＝yx．　□□

［２］R：環とする．
　　　任意のRの元xについて，x^3＝xが成り立つ
　　　ならば，
　　　任意のRの元x，yについて，xy＝yxが成り立つ．
［証明］
　　条件から
　　　x^2−x＝(x^2−x)^3＝x^6−3x^5＋3x^4−x^3＝4（x^2−x)
　　　3（x^2−x)＝0．
　　　(x^2−x)^2＝x^4−2x^3＋x^2＝2(x^2−x)＝−(x^2−x)
　　　｛−(x^2−x)｝^2＝−(x^2−x)
　　Rの元yについて，y^2＝yをみたす元の集合をZ(R)とすると，
　　Rの部分環になる．
　　　(x^2)^2＝x^2，｛−(x^2−x)｝^2＝−(x^2−x)
　　　x^2，−(x^2−x）は，Z(R)の元．
　　　x＝x^2−(x^2−x)は，Z(R)の元．
　　　x^2＝x　
　　　xy＝yx．　□□
0371１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 20:04:13.05ID:j0q7+E4u
>>370
理由を教えてください。
0372１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 20:46:22.89ID:uUBv6rUz
>>369
ええでえ
0374１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 20:50:01.16ID:hVzl3U0R
>>372　さま
ありがとうございます．
助かりました．
0376１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 21:37:59.72ID:uUBv6rUz
>>366
三角形か四角形
三角形の最大は表面の正三角形
四角形は三角形より狭い
0377１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 21:59:58.14ID:klxreP45
>>375
ペアノ算術を含む任意の無矛盾な公理系に対し、あるモデルM,Nおよび論理式φが存在して、M|=φかつN|≠φとできることを示せ、という問題がわかりません
0379１３２人目の素数さん
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2018/05/15(火) 22:26:26.17ID:In+Nnt+U
>>375の宇宙がポリゴンで出来てるって事だろ
0381１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 00:39:15.17ID:Yf3BPH11
しっかし誰も解けない難しい質問ばっかでつまんねえなぁ。
本当に「実際は解いている連中ばっか」状態になったこと一度もねえじゃんｗ
もっと簡単な質問してこい、脳みそウンコまみれの底辺層ども。
0384１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 01:10:27.38ID:hoGpnmIF
しょうがないなあ簡単な質問してやる。
これ解けません

一辺の長さが1の正方形の形をした折り紙がある。1つの角を平面の原点Oに重ね、Oから出る2辺をx軸とy軸の正の部分に重ねる。(1,0)にある角をAとする。
a>0とし、直線y=axに沿って、この折り紙のAを含む側を他方の側に重なるよう折り曲げる。
以下の問に答えよ。

（1）a=1/2,a=2のとき、それぞれ2枚の紙が重なる部分の面積を求めよ。

（2）一般のaに対し、2枚の紙が重なる部分の面積を求めよ。
0385１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 01:11:16.97ID:Je9uJcpl
>>369
>Rの元yについて，y^2＝yをみたす元の集合をZ(R)とすると，
>　　Rの部分環になる．
ここ証明できてない希ガス。和について閉じてる事は要証明じゃね？
0387１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 01:14:44.80ID:hoGpnmIF
こちらはより簡単

a,bを整数とする。
x^4+ax^+bが整数を係数とする2つの既約な多項式の積に因数分解できるとき、a,bが満たす必要十分条件を求めよ。
0388１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 01:14:46.03ID:Je9uJcpl
>>383
すまん。正確には
与式⇔f(x+1)^2 = f(x)^2、f(x)≠f(x+1)⇔f(x) = - f(x+1)
相変わらず死ぬほど解ある。
0390１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 01:17:40.09ID:hoGpnmIF
そろそろこのスレとお別れしたいが、大学受験面白い問題載ってる本を教えてくれ
難問がいい
あと、大数とチャートの難問集は読んで実際もう解いた
理科も理一の合格点取れるしあまり勉強することないんだわ
0393１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 01:38:40.60ID:/MdEF5MU
>>380
f(x)^2=g(x) とおけば
g(x+1)-g(x)=1
もし定義域が実数全体であるなら、十分小さい x で g(x)<0 となる。
さらにもし関数 f(x) が実数値であると仮定するなら g(x)=f(x)^2≧0 より矛盾。
定義域をいじったり複素数値を許せば死ぬほどある
0394１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 01:44:22.11ID:iriy4b81
>>369

〔参考書〕
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977) No.72
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社 (1978) No.60 & 増補
N.Jacobson: "Structure of rings" Amer. Math. Soc. (1964) の 10章、§1

〔一般化〕
任意の x∈R に対して自然数 n(x) >1 があって x^n(x) = x ならば Rは可換。（ベキがxにより異なってもおk）
0以外のベキ零元をもたない有限環は可換。

〔参考文献〕
N. Jacobson: Annals of math., 2nd series, ４６(4), p.695-707 (1945/Oct)
　"Structure theory for algebraic algebras of bounded degree"
　　http://www.jstor.org/stable/1969205

A. Forsythe & N. H. McCoy: Bull. Amer. Math. Soc., ５２(6), p.523-526 (1946)
　"On the commutativity of certain rings"
　http://pdfs.semanticscholar.org/4eb0/7131867b9883b7aebd93a5ed74db74824a14.pdf
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 03:39:08.52ID:Je9uJcpl
>>366
＞Sに属する多角形の外接円の半径のうちで最大である

って外接円持たないSの要素はどうするん？
0401１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 04:33:38.95ID:Bv6MQJ5v
東大の入試問題作りました
良問だと思います

第一問
一辺の長さが10の正四面体ABCDがある。
辺AB上にAP=kとなる点Pを、辺AC上にAQ=mとなる点Qをとる。ただしk,mは10より小さい正整数である。
このとき、△PQDの面積が整数となる(k,m)の組が存在するか、結論と理由を述べよ。
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 04:41:27.32ID:Bv6MQJ5v
東大の入試問題作りました
良問だと思います

第ニ問
pを素数、m,nを1≦m≦p-1、1≦n≦p-1を満たす正整数とする。
このとき、二項係数の比
(pCm)/(pCn)……(A)
を既約分数の形で表わせ。二項係数を用いて表してよい。
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 04:53:42.08ID:Bv6MQJ5v
東大の入試問題作りました
良問だと思います

第三問
x軸およびy軸の正の部分にそれぞれ点P,Qがあり、PQ=1を満たすように動く。
座標平面の原点をOとし、△OPQの内接円をCpqとする。また、Cpqの周および内部の領域をDpqとする。

（1）点Pが(1,0)に限りなく近づくとき、Cpqの中心はどのような点に限りなく近づくか。同様に、Pが(0,0)に限りなく近づく場合はどうか。

（2）PQが動くとき、座標平面上でDpqに含まれうる領域の面積を求めよ。
ただしPが(0,0)および(1,0)に一致する場合は、（1）で求めた点をDpqとせよ。
0404１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 05:01:23.77ID:iriy4b81
>>369 [2]

以下、第(2)集 No.60 からのコピペ　　>>394

　xx･xx = x･x^3 = x･x つまり xx はベキ等。

〔補題〕　xxyy = yyxx,　　……(6)

xx=X，yy=Y はベキ等だから、
　X -Y = (X-Y)^3 = X^3 -Y^3 -XYX +YXY = X -Y -XYX +YXY,
　XYX = YXY,
　XY = (XY)^3 = (XYX)(YXY) = (YXY)(XYX) = (YX)^3 = YX,

　(xy)^2 = xx(xy)^2 = (xy)^2･xx,
　xy = (xy)^3 = (xy)^3･xx = (xy)xx　…　(7)

　(xy)^2 = (xy)^2･yy = yy(xy)^2　
　xy = (xy)^3 = yy(xy)^3 = yy(xy)　……　(8)
xとyを入れ替えて
　yx = xx(yx)　……　(9)
(8)*(7)
　(xy)^2 = yy(xy)･(xy)xx = y(yx)^3･x = y(yx)x = yy･xx = xx･yy,
xとyを入れ替えて
　(xy)^2 = (yx)^2,
　xy = (xy)^3 = (xy)(yx)^2 = x(yyxy)x = x(xy)x = yx　……　(10)
0405１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 05:45:28.63ID:qlzfKH7q
>>362 >>364

Γ(s)の定義式を積分路変更することで容易に導けます
(Hankel の公式からでも導出可能ですが、リーマン面で考えないといけないので少し面倒になります)

定義式：Γ(1-s)=∫[0,∞] z^(-s) e^(-z) dz において積分路を実軸から虚軸に変更する
(厳密には半径rとRの1/4円弧と実軸と虚軸上の線分を結ぶ閉曲線を考えr→0,R→∞とする)と
Γ(1-s)=∫[0,∞] (it)^(-s) e^(-it) d(it)
=∫[0,∞] i^(1-s) t^(-s) (cos t -isin t) dt
となって、この式の両辺に i^(-1+s)=e^(πi(-1+s)/2)を乗じれば直ちに(1),(2)式が得られます
また(1)式が0<s<2でも成り立つことはs平面での解析接続より明らか
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