分からない問題はここに書いてね443
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計算ミスったorz。やり直し。
>>186
7以上の整数nは相異なる2個以上の素数の和で表せる。
∵n≦24では以下のように正しい。
7 = 2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7,11=2+9,12=5+7,13=2+11,
14=3+11,15=2+13,16=5+11, 17=2+3+5+7, 18=7+11, 19=2+17,
20=3+17, 21=2+19, 22=3+19, 23=3+7+13, 24=5+19
25以上の整数Nについてn<Nで成立するとしてn=Nとする。
x以下の素数の数をπ(x)とおくと
x≧17に対しx/logx<π(x)
x≧1に対し<1.25506x/log(x)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
また容易にx≧25に対し
(x-7)/log(x-7)-1.25506(x/2)/log(x/2)>0
よってx≧25に対しπ(x-7)-π(x/2)>0。よってn/2<p<n-7を満たす素数が存在する。
帰納法の仮定より素数の集合PでΣ[q∈P]q = n-p<n/2となる。
またPの要素はすべてp未満である。よってn = p + Σ[q∈P]qとなりn=Nのときも正しいとわかった。
特にn≧3にたいし2^n+1は相異なる2個以上の素数の和で表せる。
また2^2+1=2+3。 スレ汚しすまんorz。再挑戦
12以上の整数nは相異なる2個以上の素数の和で表せる。
∵n≦39では以下のように正しい。
12=5+7,13=2+11,14=3+11,15=2+13,16=5+11, 17=2+3+5+7, 18=7+11, 19=2+17,
20=3+17, 21=2+19, 22=3+19, 23=3+7+13, 24=5+19, 25=2+23, 26=3+23, 27=3+5+19,
28=5+23, 29=3+7+19, 30=7+23, 31=2+29, 32=3+29, 33=2+31, 34=3+31, 35=5+7+23,
36=5+31, 37=3+5+29, 38=7+31, 39=2+37。
40以上の整数Nについてn<Nで成立するとしてn=Nとする。
x以下の素数の数をπ(x)とおくと
x≧17に対しx/logx<π(x)
x≧1に対し<1.25506x/log(x)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
また容易にx≧40に対し
(x-12)/log(x-12)-1.25506(x/2)/log(x/2)>0
よってx≧40に対しπ(x-12)-π(x/2)>0。よってn/2<p≦n-12を満たす素数が存在する。
帰納法の仮定より素数の集合PでΣ[q∈P]q = n-p<n/2となる。
またPの要素はすべてp未満である。よってn = p + Σ[q∈P]qとなりn=Nのときも正しいとわかった。 >>193
そのなかのどれかつかってもっとうまく示せる?
“異なる”と”2個以上”という縛りがあるからサラッと処理する方法思いつかんかったんだけど? >>161
>A+KB=0でなぜB以外の全ての直線を表せるのだろ
A、Bが直線の式(2x+3y-5とか)を示しているんだったら、全ての直線を表すことはできないぞ
A+KB=0が表すのは、A=0とB=0の交点を通る直線のうちで、B以外のすべての直線だ。 >>195
>A+KB=0が表すのは、A=0とB=0の交点を通る直線のうちで、B以外のすべての直線だ。
KA+(1-K)B=0が表すのは、A=0とB=0の交点を通るすべての直線だ。 極方程式r=e^(-θ)で表される曲線の、y≧0の部分をCとする。またC上のy座標が0である点のうち、(1,0)でないものをBとする。
xy平面上を速さ1で動く点Pは、点A(2,0)から出発してCの外部かつy>0の領域を通り、C上の点Sに到達して、そこからC上を通って点Bに至る。
点Pが最も早く点Bに至るように、点Sの位置を定めよ。 >>179
mod 3で
p≡1のときa_n=1
p≡2のときa_n=(3-(-1)^n))/2
p=3のときa_n=0 >>157
f(a,b)=0, g(a,b)=0を満たす点(a,b)が存在するとする。
f(a,b)=0を満たす(a,b)はもちろんグラフf(x,y)=0上の点。
g(a,b)=0を満たす(a,b)はもちろんグラフg(x,y)=0上の点。
つまり(a,b)はf(x,y)=0, g(x,y)=0の交点である。
さて、実数α,β(いずれかは0でないとする)について、h(x,y)=αf(x,y)+βg(x,y)=0で表されるグラフを考える。
αf(a,b)+βg(a,b)=α*0+β*0=0より、(a,b)は(α,βによらず)グラフαf(x,y)+βg(x,y)=0上の点である。
もちろん、h(x,y)=0が(a,b)を通るあらゆる線を表すわけではない。
α≠0のとき、h(x,y)=0⇔f(x,y)+(β/α)g(x,y)=0⇔f(x,y)+kg(x,y)=0
α=0のときβ≠0で、h(x,y)=0⇔βg(x,y)=0⇔g(x,y)=0
よって、h(x,y)=0は次の2式として表せる。
f(x,y)+kg(x,y)=0
g(x,y)=0
(a,b)が複数存在する(つまりf(x,y)=0, g(x,y)=0の交点が2つ以上ある)場合も、全ての交点について上記の議論が成り立つ。
つまり、全ての交点はf(x,y)+kg(x,y)=0やg(x,y)=0上の点である。 >>198
誰かこれを教えてください
最短経路の問題ですが折れ線でないのでわかりません >>205
接線引いてC上通るのが最短経路?
多分そうかも知れないけど微分使わず説明できる? x軸とのなす角θとして道のりをθで表して微分すればいいだけだよ。 互いに素な自然数a,bと3以上の素数pに対して、(a+bi)^pは実数でないことを示せ。
ただしiは虚数単位である。 >>206
微分つかわんのはしんどいやろ。
長さの合計をLとして
dl = 接線方向への単位ベクトル + A方向への単位ベクトル
これが法線ベクトルと平行になる点が答え。つまりA方向へのベクトルが接線と平行のとき。 >>209
α=a+bi, θ=arctan(b/a)とおいてmθ∈πNと仮定する。
とくにmとしてこれを満たす最小の自然数をとる。
exp(iθ) ∈ Q(α,√(a^2+b^2))により
φ(m)=[Q(exp(iθ))]≦[Q(α,√(a^2+b^2)):Q]≦4。
∴φ(m)≦4
∴m = 1,2,3,4,5,6,8,12
このなかでtan(θ)=b/aが有理数であるのはm=4のみ。
とくに(a+bi)^pが実数となるのはpが4の倍数のときのみ。 >>211
高2です、数V一通り終わって受験対策とかやってます 複素数平面上で、右の図のように、異なる3点O(0)、A(α)、B(β)を頂点とする△OABの外側に、辺OA、辺OBをそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形OAC、OBDを作る。このとき、辺ABの中点をMとするとCM=DM、CM⊥DMであることを複素数を用いず証明せよ。
https://imgur.com/a/oKyaclT
写真貼れてるかどうか心配ですがよろしくお願いします。 >>209
0<k<p では pCk = 0 mod p より
(a+bi)^p = a^p +b^p i^p mod p
p>2 より、pは奇数。よって、(a+bi)^pは実数ではない。 井山裕太氏が囲碁の世界には進まず、普通に勉強してたら、東大理Vに首席で合格できたと思いますか? >>174
さんきゅー
仕事がはかどります!
あなたの回答は我が国のGDPに
これから貢献することになるでしょう。 >>215できたけど全部文字に起こす気にならん。図って偉大だなぁ 問題
数直線全体で定義される何回でも微分できる関数f(x)で次の条件を満たすものを見つけよ:
ある1でない正定数αと多項式Pが存在して、数直線全体でf(αx)=P(f(x))を満たす。
例. cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x). >>222
全部文字に起こすのが面倒くさいなら方針だけでも教えていただけますか。 中3の中間試験の因数分解お願いします
8a^2b-2a+4a^2c-c
…問題間違えてないですか?これ >>225
O中心にCDMを2倍に拡大した点をC’D’M’、ベクトルOX=ベクトルD’M’となるようにXをとると△AM’C’が△AXOをA中心に90度回したものになる >>226
8a^2b-2b+4a^2c-c の誤植か? >>229
ありがとうございます
たぶんそうですよね!
与式=(2a-1)(2a+1)(2b+1)
かー 次の式を因数分解せよ。
a^3+b^3+c^3-4n(ab+bc+ca)+abc 因数分解って、稼働区域のパターンのことだから、動きを重点にしてね。 f(x)=x(1/x)の定義域を述べ、xを限りなく0 に近づけたときのf(x)の挙動を調べよ。 高校数学で f(x)=√(1-x^2) の定義域を求めよとかいうふざけた問題あるよね >>239
ペアノ算術を含む任意の無矛盾な公理系に対し、あるモデルM,Nおよび論理式φが存在して、M|=φかつN|≠φとできることを示せ、という問題がわかりません
よろしくお願いします >>239
本当にわからないので、なるべく早く回答いただけるとありがたいですね 回答がありませんね
まさかとは思いますが、わからないんですか? 閉リーマン面、C上1変数代数関数体、C上非特異射影代数曲線にはそれぞれ対応がある(反変圏同値?)らしいですが、
コンパクトn次元複素多様体、C上n変数代数関数体、C上非特異n次射影代数多様体も同様の対応が成り立つのでしょうか? >>246
関数体からC上非特異n次射影代数多様体へは広中の定理でいけそうだけどコンパクトn次元複素多様体へいけるかなぁ?
畑違いなので自身ないけど。
たしか代数的に限ってもプロジェクティブでないのが作れるって聞いたことあるからダメな気がする。
ハーツホーンの練習問題にあった記憶が…… 空間の円C:x^2+y^2=1,z=0を底面とし、点(0,0,1)を頂点とする円錐面のうち、y≧0の部分をKとする。
また、Cのy≦0の部分をC'とする。
C'上を点Pが動くとき、A(0,1,tan75°)とPを結ぶ直線がKと交わる点Qの軌跡を図示せよ。
ただしKの側面の展開図上に図示すること。 >>212 >>217
(a + bi)^p = {a^p - pC2・a^(p-2)・b^2 + ……} + {pC1 a^(p-1)・b - pC3・a^(p-3)・b^3 + ……}i
bがpの倍数ならば、aはpの倍数ではない。
b = B・p^m となる最大の自然数をmとする。
虚数部は
p・a^(p-1) B・p^m - p(p-1)(p-2)/6・a^(p-3)・B^3・p^(3m) + …… ≡ a^(p-1)・B・p^(m+1)
≠ 0 (mod p^(3m+1))
よって、(a+bi)^p は実数ではない。 >>248
> 図示せよ。
どないせぇっちゅうねん >>248
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません Σ[n=-∞,∞]1/((ni-a)(ni-b))
を求めてください
iは虚数単位で、a,bは実数で、a≠bです
aもbも0出ない時と、どちらかが0の時の場合の両方を求めてくださるとありがたいです >>232
因数分解されるとしたら
(aについて0次)(aについて3次) または (aについて1次)(aについて2次)
となるしかない。
前者の場合
f(b,c)*(g(b,c)a^3+(aについて2次以下))
という形だが、a^3 の係数を考えると f(b,c) が定数でなければならず不適。
後者の場合
上と同様に a^3 の係数について考えれば
(a+f(b,c))(a^2+g(b,c)a+h(b,c))
の形に分解できるはず。
定数項を比較して
f(b,c)h(b,c)=b^3+c^3-4nbc
ここで b^3+c^3-4nbc の因数分解を考える。
もし因数分解されるとしたら、b^3 の係数が 1 なので、上と同様に
(b+F(c))(b^2+G(c)b+H(c))
の形に分解できるはず。
定数項を比較して
F(c)H(c)=c^3
よって、F(c) は実数 k を用いて k, kc, kc^2, kc^3 のいずれかの形。
このとき、b^3+c^3-4nbc に b=-F(c) を代入すれば (c によらず) 0 になるはずだが、
得られた F(c) の候補のどれを代入してもそうならないので矛盾。
したがって b^3+c^3-4nbc は既約。
f(b,c)h(b,c)=b^3+c^3-4nbc より、f(b,c) は定数または k(b^3+c^3-4nbc) の形。
このとき、a^3+b^3+c^3-4n(ab+bc+ca)+abc に a=-f(b,c) を代入すれば (b,c によらず) 0 になるはずだが、
得られた f(b,c) の候補のどれを代入してもそうならないので矛盾。
したがって a^3+b^3+c^3-4n(ab+bc+ca)+abc は既約。
本当に高校生なのかどうかは知らないけど、あまり大人を試すような真似をするんじゃありませんよ >>252
π{coth(πb) - coth(πa)}/(a-b)
(解)
1/{(a-n・i)(b-n・i)} = {1/(b-n・i) - 1/(a-n・i)}/(a-b),
1/{(a+n・i)(b+n・i)} = {1/(b+n・i) - 1/(a+n・i)}/(a-b),
辺々足したのち、次を使う。
Σ[n=1,∞] {1/(a-n・i) + 1/(a+n・i)} + 1/a
= Σ[n=1,∞] 2a/{(a-n・i)(a+n・i)} + 1/a
= π coth(πa),
a→0 のときは、n=0の項が発散しそうな希ガス… >>252
どっちも0でないときは
Σ[n=-∞,∞]1/((ni-a)(ni-b))
=1/(ai-bi)Σ[n=-∞,∞](1/(n+ai)-1/(n+bi))
=1/(ai-bi)Σ[n=1,∞](1/(n+ai)+1/(-n+ai))
-1/(ai-bi)Σ[n=1,∞](1/(n+bi)+1/(-n+bi)) + 第0項
=-π/(ai-bi)cotπai + π/(ai-bi)cotπbi - 1/(ai-bi)(1/ai-1/bi) + 第0項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%B1%95%E9%96%8B
どっちか0のときは第0項が計算不能。 >>256
それもそうでした!
ありがとうございます! >>259
試しにやってみたらこれ問題間違ってないか?
出せなくはないけど(0,1,tan 75°)が全然行きてない。
頂点が(0,0,0)でCとC’の境目がz=0ならちょっといい感じだけど。
z座標の設定変えてAの座標とか境目の座標そのままにしちゃったんじゃない?
2円錐の共通域出すだけのしょうもない作業のわりには数値うるさすぎて下らない。 >>4
nが奇数のとき
f(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2} (2x-1),
Max{ |f(x)| ; 0≦x≦1 } = (1/2)^(n-1) √{(n-1)^(n-1) / (n^n)}, x = 1/2 ± 1/(2√n),
nが偶数(n≧4)のとき
f(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1) (2x-1)^2,
Max{ f(x) ; 0≦x≦1 } = (1/2)^(n-3) √{(n-2)^(n-2) / (n^n)}, x = 1/2 ± 1/√(2n),
nが偶数(n≦4)のとき
f(x) = {x(1-x)}^(n/2),
Max{ f(x) ; 0≦x≦1 } = (1/2)^n, x = 1/2,
エレガントな解答スレ2-813 1,2,3 の各数字が1つだけ書かれたカードが袋の中に大量にある。
袋からカードを1枚引き、そのカードに書かれた数字を記録する操作を繰り返す。どの数字のカードを引くかは同様に確からしいとする。
kを自然数とする。
(1)操作を繰り返し、記録された数字の和がちょうどkになるか、k+1またはk+2になった時点で操作を終了する。和がkになる確率P(k)をkで表せ。
(2)lim[k→∞] P(k) を求めよ。 Gを位数nの有限群、dをnの約数とするとき、x^d=1をみたすxがd個より多くなる例を教えて下さい >>264
(1)
p(-2) = p(-1) = 0, p(0) = 1と定めておいて
p(k+3) = (1/3((p(k+2)+p(k+1)+p(k))
(2)
1/3 >>265
Gを位数2の巡回群の2個の直積として
位数が2の約数の元の数=4>2 最小二乗法について教えてください。
(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)とする、n個のxとyの値が分かっているペアがあります。これらが以下の方程式
y = a * {sinh(bx)}^c
を満たす場合、最小二乗法を使って係数a, b, cを求めたいです。
どうにもうまく求められなかったため、分かる方求め方を教えてください。
また、最小二乗法ではない方法でなら求められるのであれば、その方法でもokです。
よろしくおねがいします。 正方形ABCDがあり、4点A,B,C,Dはこの順に反時計回りに並んでいる。
辺CDを1:3に内分する点をE、線分EAを1:4に内分する点をF、BCの中点をMとする。
このとき、∠MAE=∠FOEを示せ。 >>271 >>273
AB:BM = MC:CE
∠B = ∠C = 90°
∴ 儁AB ∽ 僞MC
MA:ME = AB:MC = BM:CE = 2:1
∠AME = 90°
Mから対辺AEに垂線MHを下す。
儁EH ∽ 僊MH ∽ 僊EM
∴ AH:HM = HM:HE = AM:ME = 2:1
∴ AH:HE = 4:1
∴ H = F
∴ ∠MAE = ∠HME = ∠FME >>266
>p(k+3) = (1/3((p(k+2)+p(k+1)+p(k))
q(k+2)=p(k+3)-p(k+2)=-2/3(p(k+2)-p(k+1))-1/3(p(k+1)-p(k))=-2/3q(k+1)-1/3q(k)
3q(k+2)+2q(k+1)+q(k)=0
3t^2+2t+1=0
t=(-1±i√2)/3=t±
q(k)=A(t+)^k+B(t-)^k
p(k)-p(0)=A(1-(t+)^(k+1))/(1-t+)+B(1-(t-)^(k+1))/(1-t-)
p(∞)-1=A/(1-t+)+B/(1-t-)=A/(5/3+t-)+B/(5/3+t+)=(A(5/3+t+)+B(5/3+t-))/(5/35/3+(t++t-)+t+t-)=(5/3q(0)+q(1))/(25/9-2/3+1/3)=(5/3(p(1)-p(0))+(p(2)-p(1)))/(22/9)=(p(2)+2/3p(1)-5/3p(0))/(22/9)=(4/9+2/31/3-5/3)/(22/9)=(4+2-15)/22=-9/22
p(∞)=1-9/22=11/22=1/2 >>275
>p(∞)=1-9/22=11/22=1/2
p(∞)=13/22 >>267
Klein の vierer Gruppe(V) >>275
>(5/35/3+(t++t-)+t+t-)=
(5/35/3+5/3(t++t-)+t+t-)=2
p(∞)=1-9/2222/91/2=1/2 >>269
むしろなぜこの値なのか
簡単な理由がありそうな >>271
△ABMと△MCDが相似で相似比は2:1。
MからAEに垂線の足Gを下ろしたとき△AME、△AGM、△EGMは相似で辺の比は1:2:√5。特にAG:GE=4:1でF=G。 xy平面の点A(1,1)を通る直線と円C:x^2+y^2=1が交点を持つとき、その交点のAに近い方をPとする(ただ一つの交点を持つ場合はそれをPとする)
また、この直線上のAから見てPの側に点Qをとり、AP・AQ=kとなるようにする。ここでkは正の定数である。
(1)点Qが動いてできる曲線Kにより、円Cの内部が面積が等しいように二分される場合のkの値を求めよ。
(2)(1)のとき、KとCとの2交点をそれぞれS,Tとする。sin(∠SAT)≧(i/10)となる最大の整数を求めよ。 0.999…=1 の説明ってさ、「実数は連続であるから」でいいよね? 連続をどのような意味で使っているか、疑問ではあるが、一言で言うなら、小数の表現の性質。
同じ値に対し、複数の表現方法があるのに、この事実を知らず、不思議がっている人がいるだけ。 まずは無限小数の定義を考えるところから
それさえわかれば上に有界な単調増加だから収束することは実数の連続性
収束値が1になることは明らか >>283
10進法で1を表現する方法は1と0.9999...以外にありますか? 0.111111111111111111111111111111111111111111111111・・・・・・・・・・・・・・X9 >>289
形式的計算で 2-0.99999…=1.00000… だから
0.99999…と1.00000…はそれぞれ下からと上から近づく2パターンの表現
それ以外の無数の表現の例はどんなのがあるの? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています