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第二項 w2^(qr-1)(p^(n-1)+p^(n-3)+…+1)/(p+1)^(qr-1) が整数であることは認めています。
7ページ目15行目に書かれた式 2^(qr-1)(p^(n-1)+p^(n-3)+…+1)/(p+1)^(qr-1) は、その第二項と w の商ですので、この式が整数であると即座に言うことはできません。
ですので、これが整数であるためには vp が w の倍数であることを示す必要があると言っています。

>F(pr)pr+2m+1 となります。これがpr^(qr-1)で割れなければならないので 剰余定理から
>2m+1がpr^(qr-1) で割り切られなければらなない
f(pr)pr+2m+1 が pr の倍数であるとき、2m+1 が pr の倍数であることを示すことはできますが、
f(pr)pr+2m+1 が pr^(qr-2) の倍数であるとき、2m+1 が pr^(qr-2) の倍数であることを示すことはできません。

f(pr)pr+2m+1 と 2m+1 がともに pr^(qr-1) の倍数であるということは、
f(pr)pr が pr^(qr-1) の倍数であることが必要ですが、
f(pr)pr が pr^(qr-1) の倍数であること
(または f(pr) が pr^(qr-2) の倍数であること)はどうやって示していますか?