第二項
w2^(qr-1)(p^(n-1)+p^(n-3)+…+1)/(p+1)^(qr-1) が整数であっても
2^(qr-1)(p^(n-1)+p^(n-3)+…+1)/(p+1)^(qr-1) が整数とはいえません
何度も似たようなことを指摘されている通りです。

＞分子がprで割れるためには剰余定理から0次の項がprで割れなければらなないから。
2m+1 が pr^(qr-1) の倍数になる理由を聞いています。
prで割り切れる⇔pr^(qr-1)で割り切れる　ではないでしょう。