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この合同式が成立するのは、p_r が (p+1)/2 の倍数になることはないから
p_r = (p+1)/2
のとき、または s を整数、 p_r ≡ s (mod (p+1)/2) として、 s = 1 のときには
s^{q_r} ≡ 1 ≠ 0 (mod (p+1)/2)
となることから
s^{q_r} ≡ 0 (mod (p+1)/2),　　1 < s < (p+1)/2
のときであり、整数を t (t>1) とすると
s^{q_r} = (p+1)t/2
となることが必要になる。

ちょっと日本語の文章としてひどすぎない？
文章を長く続けないでどこかで切ってほしい