齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。

整級数 Σ a_n * x^n の収束半径と Σ n * a_n * x^(n-1) の収束半径
が一致することの証明ですが、以下のように書いています：

「微分すれば係数の絶対値は n 倍されるのだから、収束半径が大きくなることはない。」

↑これでは全然証明になっていません。

Σ a_n * x^n
Σ (n + 1) * a_(n+1) * x^n

a_n と (n + 1) * a_(n+1) の比較になると思いますが、 (n + 1) 倍にはなっていません。