面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 19:32:48.35

>>2
7+8-5=10
俺の勝ち

ちなみに
ID:AT99r3l3(>>24,29)　→　9+9/(3*3)=10

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 19:33:18.55

そろそろ次スレを

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 20:56:04.78

>>981
不正解
>>979でも言ったけど左右対称じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 20:58:42.11

>>981
しかもそれ4より大きいじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 21:04:35.57

数列{a_n}を以下のように定める。
a_1 = 3
a_(n+1) = (a_n)^2 - 2
この時、 a_n が合成数になるような n は存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 21:36:52.34

>>988
mod 1087で考えると
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡33
a_5≡0
明らかにa_5>1087なのでa_5は合成数

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 21:46:55.05

ちなみにmod 127でも
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡48
a_5≡16
a_6≡0
a_6>127よりa_6は合成数

1087も127も勘で見つけた

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 22:05:52.09

>>990
正解、1087は見つけられんかったわ　すごい
pがメルセンヌ素数の時にフィボナッチ数列がmodpでp+1を周期に持つ条件やら何やらを考えてて127を偶然見つけたけど、
メルセンヌ素数かどうかの判定法でリュカテストというのがあって、殆ど同じことやってたのを問題出してから知った…

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/28(土) 22:32:30.32

前>>981対角線2つのほかに、あえて対称じゃない分割線を一本引いたのに、対称と言われた。
――――――――――
①対角線1つ=(1+√5)/2
②対角線から最寄りの頂点への垂線=(1/4)√(10-2√5)
③中心角72°の扇形の弧=2π/5
④扇形の弧から残りの頂点への垂線={(1+√5)/2}-1
――――――――――
①+②+③+④=√5+2π/5+(1/4)√(10-2√5)
=4.08049029……ぉしい!!

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 22:40:01.22

まあa_5, a_6をwolframに因数分解してもらって、modで書き直しただけなんだけど

余談だが、素数を無限に生成する関数
強い順に
f(n)=p_n
{f(n)}=Pかつf(m)≠f(n)
{f(n)}=P
{f(n)>0}=P
は存在するが、いずれも人為的なものであり実用性は乏しい（下の論文では"engineered"と表現している）

漸化式で定義された数列では
a_1=7
a_n=a_(n-1)+gcd(n, a_(n-1))
の階差数列b_nは1か奇素数になる
しかも全ての奇素数が現れるという
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,…
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,…

https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Rowland/rowland21.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 22:45:27.23

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 22:58:36.93

>>994
なるほど

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 23:00:35.26

2^nだとどう並べたら良いかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 23:17:01.50

とりあえず2^2のパターンを２つつかって2^3は
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
でこのパターンをまた文字変えて並べて…でいけると。
1,-1のパターンは
n=1のとき1,1と1,-1
n=2のとき1,1,1,1と1,-1,1-1と1,1,-1,-1と1,-1,-1,1 (２つコピペして並べたものとそのままと-1倍したものを並べたもの)
n=3のとき1,1,1,1,1,1,1,1,と1,1,-1-1,1,1,-1-1と1,-1,1,-1,1,-1,1,-1と1,-1,-1,1,1,-1,-1,1と…
でいけると思う。このパターンで各行を足したり引いたりしたら全成分同じ値が並ぶ行が出てくると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 23:46:15.45

A=[[a,b],[b,a]]という形式の行列でテンソル積を取っていけばよいのかな>>997
A*A=[[aA,bA],[bA,aA]]
A*A*A=[[aA*A,bA*A],[bA*A,aA*A]]
みたいな
ただし
aA=[[aa,ab],[ba,bb]]
の成分は非可換でA*^nの成分はaaa…aからbbb…bまでの2^n通りで

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 23:54:37.19

そしたら
|A*^(n+1)|=|[(a+b)A*^n,(a+b)A*^n],[bA*^n,aA*^n]|=|[a+b)A*^n,O],[bA*^n,(a-b)A*^n]|=|(a+b)A*^n||(a-b)A*^n|
から上手く因数分解した形で求められそう

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/28(土) 23:58:12.29

>>998
テンソル積でうまく表現できるかもですね。
いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。

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