面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 16:54:53.78

〔問題〕
　最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、
　Pn(x) = 0 のn個の解を α1，α2，…，αn とする。

　このとき、α1^3，α2^3，…，αn^3 を解にもつ、
　最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php

　P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx,
と表わせる。。。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 22:36:35.49

>>699
見れない。画像かなんか残ってない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:09:08.40

>>700
見れたけど
一応問題の画像↓
https://www.toshin.com/concours/img/mondai29.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:21:47.30

>>701
いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ？もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:24:53.34

ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:28:15.49

間違った。既約性ではなく、重解持たないこと。それはPが既約なのでただしい。それ以外の方法で重解持たないこと示せれば問題ないけど解答にはその旨全くない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:32:20.85

挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:41:16.11

でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ？
Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。
偶然なのかもしれないけど。
必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。
ホントに気づいてないなら論外だけど。
そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:57:37.66

Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、
「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。
そりゃそうだろ、あほか？
あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 00:38:27.43

解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。
問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。
どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか！” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:19:05.69

>>677

凸多面体Pを任意の向き(↑Ox)に正射影する。
その輪郭は凸m角形となる。（m≧3)
各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。
稜L_iの両側の2面(j，k)は、こちら向き & あちら向きである。
その外向き法線を n_j，n_k とすると、　(↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0,

L_i (n_j，n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、
　平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側
であり、立体角4θ_iの範囲となる。（θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角)

一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3)

∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。

∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:26:54.92

>>698
http://codepad.org/pfBCZWvD

import Data.List
import Data.Ratio

gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)]
results = [[a,b,c,d] |
ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes,
bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes,
let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad],
let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd],
let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd],
let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd]
]
posOf0GoFinal result = let
p = head result
fstPt = head $ reverse $ sort $ result
nFsts = length $ filter (==fstPt) result
sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result
nSnds = length $ filter (==sndPt) result
in
case True of
_| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts)
| nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1
| p == fstPt -> 1%1
| p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds)
| otherwise -> 0%1

question1 = id
$ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger)
$ map sum
$ transpose
$ map sort
$ results

question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)|
pt <-[0..9],
let suitCases = filter ((== pt).head) results,
let nCases = fromIntegral $ length suitCases,
let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases,
nCases /= 0
]

main = do
print question1
print question2

[1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729]
[(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)]

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:48:51.81

>>709

稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、
平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから
(θ_i/π)Ω = 4θ_i
Ω = 4π

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:50:01.62

今更ながらよくよく見るとこれあってんの？
勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
どっか間違った？
あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:00:35.69

>>710　>>712
私の用意していた数値と一致です。
勝ち／負け／引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、
あのオリンピックの時の悲劇（勝ち点６で予選敗退）の様なことは、そう珍しいことでも
無いのかなと思って計算して（させて）みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。
勝ち点２で予選突破できる確率の倍です。

>>勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
>>勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
勝ち点の分布が　6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、
勝ち点の分布が　5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。
「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と　a<b<c<a　という
二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c　しかないことに由来します。
勝ち点を、3,1,0　と設定していることにも起因していますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:39:56.96

>>712
サッカーで４チームでの総当たり上位２チーム予選突破、の話な。

勝ち点６取っても予選突破できないのは、３チームが２勝１敗，１チームが全敗のケースだけ
勝ち点５取っても予選突破できないのは、３チームが１勝２分，１チームが全敗のケースだけ

どの対戦カードも勝ち負け引き分けがそれぞれ1/3で、
勝ち点が並んだら抽選という単純なモデルで考えると、
勝ち点６を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は2/81
勝ち点５を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は1/81

なので、あながち間違ってはいない。

ただ、もちろんそこまで力が拮抗してるというモデルはあまり現実的ではないし、
引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、
それ以前に、その条件付き確率が意味を持つシチュエーション自体が存在しない。
（全６試合のうち当該チームだけが３試合消化し、残り３試合はまだ実施されていない
なんて状況は通常ありえないし、そもそも当該チームが２試合消化した時点で
勝ち点６と勝ち点５の可能性の両方が残ってることはないわけで…）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 12:42:19.36

>>714
少し補足すると、リーグ戦全体は、6試合あるので、3^6通り考えることができ、さらに4人いるという
事を考え、分母を4*3^6とする、勝ち点の分布は
0:108 　　 1:324 　　 2:324 　　 3:432
4:648 　　 5:324 　　 6:324 　　 7:324 　　 9:108
となります。
偶然（？）にも、勝ち点5や6となるケース数は一致します。
従って、勝ち点5や6で予選落ちする確率の比較は、パターン数の比較に
置き換えて考えることができ、>>713のような検討が可能となります。

>>714の後半をみると、「自分が勝ち点6or5をとった場合」として計算されているようですが、
この問題の設定やプログラムでは、「3^6通りあるリーグ戦全体の結果」を平等にあつかい、
その中で、勝ち点が5や6になるケースを抽出して比較してるので、ご安心ください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 13:03:45.94

リロードしてなかったので、混乱させたならすまない。
>>714は別に誰かに反論するというような意図で書いたわけではないので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:21:00.73

>>670 >>680 >>684
もう答えかきますね。>>684の続き。

　 Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a

を示せば十分である。aとbは互いに素であるのでb×はZ/aZ上の全単射をあたえているからr(1),…,r(a-1)は1,…,a-1の並べ替えになっている。
よってΣ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak)はr(k)が ”小さいもの順” に並んでいるときの値以上である。よって

　Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ Σ [1≦k≦a-1] k/(ak) =(a-1)/a。　　　　□

参考までに等号成立はx≦[x]+1/nのときです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:21:27.88

次の問題どうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:26:25.86

あ、等号成立はx<[x]+1/nのとき。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:43:28.29

＞ Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a
＞
＞を示せば十分である。

なんでこのケースだけ示せば十分なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:57:49.07

>>720

>>684 で

＞なので示すべきは
＞
＞r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)

まできていて

左辺≦(a-1)/a
右辺≧ Σ [1≦k≦a] r(k)/(ak)

なので

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 23:13:08.47

>>721
ありがとうございました。
「 a≦n 」という条件を見落としてました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 05:53:45.42

>>670 >>680 >>684 >>717

面白い問題でした。最後はチェビシェフの不等式
　 Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)
で決まりですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 01:16:11.00

別スレでプロの数学者でもパズル系は苦手とする人もという話題がでてたのでちなんだ問題を。
Peter Winklerの数学パズルの本に載ってた問題、曰く、"Conway Immobilizer"。

----
１，２，３と表面に書かれたカードが１枚づつ、計３枚のカードとカードの山をおける三ヶ所の場所A、B、Cがある。
三ヶ所それぞれにカードを分けて表面を上にして山を作り配置した状態を考える。
たとえばAに下から順に１，２をおき、Bに３をおき、Cには何も置かないなどである。
あなたの仕事は機械をプログラムしてAの山に上から順に１，２，３という順でカードが置かれている状態（終了状態とよぶ）に移行させることである。
機械にできることは山の一番上に乗っているカードの数字を読み取り、その数字の組み合わせのみに応じていずれかの山の一番上のカードを別の山の一番上に乗せ変えることだけである。
機械には状態を記憶する能力はなく、常にその時の各山の一番上に見えているカードの組み合わせのみに応じてしか次に行う操作を決めることしかできない。
たとえば先の例の状態であれば各山に見えているカードはA:２、B:３、C:空であり、この状態においてあなたは例えば機械にA→CやB→Aのような形で行う操作を指定できる。
無論C→Aなどは指定できない。
山の見えている最上面の状態は２３通りあり得るので、あらかじめその２３通りそれぞれに対して可能な操作を一つずつ指定しておいて、いかなる状態からスタートしても機械が自動的に最終的に終了状態に到達できるようにしてほしい。
なお、機械は終了状態になれば自動的に終了する装置がついているので、操作を終了させる条件について考慮する必要はないとする。
----

このパズル問題を出題された著名な数学者 JOHN CONWAY が６時間（だったかな？）考え込んで思考の泥沼にはまってしまったという逸話つきの問題です。
ネットで検索すれば解答は出てくるとは思いますがよかったら考えてみて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 03:10:01.84

>>724
なぜ23通り？
１つ見えている：3通り
２つ見えている：18通り
３つ見えている：6通り
で、計27通りではないの？
何か問題文読み間違ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 03:18:10.71

>>725
失礼しました。
１枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×３（＝どの山に見えてるか）＝９
２枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝１８
３枚見えてる：１（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝６
です。
多分正しく解釈されてると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 04:59:43.99

>>726
では、例えばこんな感じ？

左から順にＡ，Ｂ，Ｃとする。ただし、Ａの左隣はＣ，Ｃの右隣はＡと解釈する。
この設定で、以下のルールで処理すればよい。
(1) １枚のみ見えているときは、その１枚を左隣に移動する
(2) ３枚とも見えているときは、２のカードを左隣に移動する
(3) ２枚のみ見えているときは、２空１の場合を除き、
　　空いている場所の右隣のカードを空いている場所に移動する
(4) ２空１の場合、Ｃ→Ａ

(3)の例外と(4)がなければ、すべてのパターンから同じ無限ループに収束するが、
(4)のルールがループを切って、ゴールへの道が見える。
(4)のルールで分岐するケースは３の場所により２通りあるが、
どちらにせよゴールにたどり着く。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 05:20:21.23

まあ、(1)のルールは、見えているカードをどこに移動しても構わないのだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 12:36:03.50

>>727

正解のようです。
http://codepad.org/BGh67AnT
この手の問題は結局コード組んでみないと正解かどうかわからないので組んでみました。
かなり遅いですが実用上問題なしということで。
可読性優先。

では発展でカードの枚数が n ではどうでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 14:21:00.09

>>727 >>729
ちょっと “プログラム” っぽく書き換えました。

http://codepad.org/d8BCopy3

>>727さんのルールが見えやすくなったと思います。
シンプルなルールでよいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 23:01:40.88

>>717
これもおながいします。

〔問題602〕
正整数nと、1より大きい正の実数xに対し、
　Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1)
{x} = x - [x] を表し、[x] はxを超えない最大の整数を表すものとする。

不等式スレ９ - 602

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 12:49:32.17

xyz座標空間上の曲面P:z=x^2-y^2について
P上の二点を結ぶP上の曲線で長さが最短となるものはただ一つのみであることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 05:28:33.10

>>731
でけたかも。
x>0においてf(x) = Σ(k=1,n) {kx+k}/[kx+k] ,g(x) = lim[e→+0] f(x-e) とおく。
このとき
g(x) = (kx+1+[-kx])/(k-1-[-kx])
である。
またf(x)≦g(x)で等号が成立するのはf(x)の連続点のみである。
さらに与式の右辺はg(1)に一致する。
よってg(x)がx=1においてまたその点においてのみ最大値を持つことを示せば良い。
またg(x)は右連続で連続点において単調増大だから1でない不連続点xにおいてg(x) < g(1)を示せば良い。
またg(x+1)<g(x)から0<x<1として良い。
よって0<b<a≦nである自然数a,bをもちいてx=b/aとおける。
r(k) = a[-bk/a] + bkとおくとき
g(b/a) = Σ(k=1,n) (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))
となる。
[-bn]≦c≦[-b]であるcを固定し[-bk]=cであるkの全体をl,l+1,…,mとおく。
l≦k≦mにおいてr(k) = px+qとなるp,qがとれる。
d(x) = 1/(2x-1) - (px+q)((a+b)k-(px+q))
とおく。
l,mのとり方からpl+q≦b, pm+q≦aがわかるから特にD((l+m)/2)≧0がわかる。
さらにl≦x≦mにおいてd(x)は単調減少、下に凸より任意のl≦m'≦mに対して
Σ(k=1,m') (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))≧0
がわかる。
等号が成立するにはl=m, pl+q = b,pm+q=aのすべてが成立しなければならないがb<aによりそれは不可である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 11:56:14.38

y年の大会では
　y≡2　(mod 8) のとき、1次リーグを2位で通過するもベスト16止まり
　y≡-2　(mod 8) のとき、1次リーグで敗退
という経験則がある。これを確率論で説明できるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 14:23:52.46

>>732
ガウス・ボネの定理を認めるとあっさり解けますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
Pが測地２角形Mを持つとする。
Mの角∠A,∠Bはいずれも∠A,∠B<π。
z=x^2-y^2上の点(a,b,c)においてx=a,y=bでの切断の曲率が異符号だからガウス曲率Kは負。
∂Mは測地線からなるから∫[∂D]k_g=0。
よって
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g < ∠A + ∠B < 2π。
一方でMは一点とホモトピー同値だから
χ(M) = χ(pt) = 1。
よって
2πχ(M) = 2π。
以上はガウス・ボネの定理
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g = 2πχ(M)
に反する。

………ガウス・ボネの定理勉強せねばww

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/04(水) 00:21:08.37

>>735
すごい正解
まさにこの定理を使ってほしかった

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 02:16:53.46

>>714

> 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、

ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。

日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 02:24:34.45

>>737

http://www.worldfootball.net/alltime_table/wm/
のデータをエクセルに貼付けて SUM() を計算。なお、日本代表は #30

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 08:14:29.40

xyz座標空間上の曲面Q：z^2 = x^2 - y^2 -1について
　Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。

　K=0 らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 13:41:31.03

>>739
これはまともに測地線求めるしかなさそうな……

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 15:50:30.03

>>739
z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1
これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面

a>1として
x≧1の部分に２点A(a,√(a^2-1),0)，B((a,-√(a^2-1),0)をとる。
Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1
Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、
lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828…
lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425…

lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より
あるaが存在してL_1 > L_2となる。
よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、
最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。
その最小の経路の１つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると
C'はCと異なるもう１つの最小経路となる。

lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安…

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 15:56:41.37

>>739
ところでK=0って何の話？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:18:09.19

>>741
x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？
切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。
aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。
もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:21:57.29

あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。
なるほど。ならL_2の計算は難しそうww
信じることとしよう！！

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:36:58.34

lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても
Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので
それで計算しても多分大丈夫。
そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、
lim_{a→∞}(L_1/a)については
放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ
∫_{-1～1}√(2y^2+1)dyとして求まる。

そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:38:25.37

>>745
あ、まちがった
　　lim_{a→∞}(L_1/a)については
のところは
　　lim_{a→∞}(L_2/a)については
に修正

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:41:23.15

>>744
すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので
そんなに無茶な計算をしているわけではないです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:39:19.05

某映画より（全編を観たわけではない）

表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。
「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。
この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:45:54.86

一番右のカードに１
右から2番目のカードに２
．．．
右からn番目のカードに２^(n-1)
というポイントを与える。
表になっているカードの合計を、．．．以下略

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:59:52.69

>>748
カードが1枚のときは自明。
カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。
n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。
2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。
一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。
よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。
あと一回はできないと駄目だから前者。
しかしその最後の一回で全裏。矛盾。

で桶？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:00:34.58

>>749
かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:42:42.13

映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少）
高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる(>>750)

黒板での実演
https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 19:00:01.42

右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。
最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 01:29:11.26

長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。
隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。
さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 09:42:24.03

>>754
コインの半径をrとする。

もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても
他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、
いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。
したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに）
半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は
その円盤で被覆される。

テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、
テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、
あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで
覆えばよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 12:37:14.13

>>741
これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 16:30:41.30

>>755
素晴らしい！正解‼︎

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 17:39:11.01

半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 19:16:43.11

あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 00:13:12.37

>>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど

θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))

….orz

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/07(土) 02:27:38.43

>>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π――①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}

通分はあるいは必要かと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 02:32:14.98

>>761
何勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/07(土) 03:27:26.25

前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263

黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 05:58:50.00

サッカーボールは多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 06:51:22.31

「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 08:11:54.48

多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:32:01.90

acos((9-r5)/12).

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:43:39.52

>>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。

球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、

「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」

みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:45:47.54

結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて

「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」

みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、

「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」

みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:48:11.23

で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、
やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、
ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで

「球になってねーじゃーーーん！」

みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。

学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら
満足にこなせないんだなってかわいそうになったのを覚えている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 12:58:04.04

イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな

サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 13:01:21.42

>>756
有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 13:56:16.14

f(x)=x^4-2x^2+6とする。
素数pに対し次の条件(※)を考える。

(※) f(x)≡0 (mod p) は整数解を持たない。

p≦xを満たす素数の数をπ(x)，その中で(※)を満たすものの数をN(x)とする。
lim[x→∞]N(x)/π(x)を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/08(日) 11:54:50.48

>>773

f(x) = (xx-1)^2 + 5　だから

(※)　　(xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。

(1)　-5が平方非剰余
または
(2)　｛1±√(-5)｝が平方非剰余

(1)　平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から
((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5)

　p≡1 (mod 4)　かつ　p≡±2 (mod 5)
または
　p≡3 (mod 4)　かつ　p≡±1 (mod 5)
のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。
　p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,…

(2) はどうするか

p　　　x　　　　　　　√(-5)
-----------------------------
p=2　 0　　　　　　　　1
p=3 　0　　　　　　　　±1
p=5 　±1　　　　　　　0
p=7 　±2　　　　　　　±3　　　　　
p=23　　±3，±4　　　　±8
p=29　　なし　　　　　　±13
p=41　　±6　　　　　　　±6
p=43　　±11，±15　　　±9
p=47　　なし　　　　　　±18
p=61　　±9　　　　　　　±19
p=67　　±11，±22　　　±14
p=83　　±5　　　　　　　±24
p=89　　±44　　　　　　±23
p=101　　±37，±42　　　±46
p=103　　±24　　　　　　±43

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/08(日) 20:46:41.23

考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。
http://codepad.org/CkKjvyUS
上の方の
#define NPRIMES 3200
#define DEG 4
long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6};
のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。
この場合の結果は
1998 2 801 0 399

Exited: ExitFailure 10
？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？
C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。
計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。
対処方法ご存知なら教えて下さい。

次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。
複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。
それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/08(日) 21:01:06.63

わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。
http://codepad.org/kzgDsy5v

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/08(日) 23:31:55.79

>>774
　7以上の奇素数について

p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5)　　(13,17,37,53,73,97,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5)　　(11,19,31,59,71,…)
のとき、-5 は平方非剰余

p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5)　　(29,61,89,101,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5)　　(7,23,67,83,103,…)
のとき、-5 は平方剰余

(1)　-5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?)

(2)　{1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？

x　　π(x)　　N(x)
-----------------
2　　1　　　1　　
3　　2　　　2
5　　3　　　3
7 　　4　　　4
11　　5　　　4
13　　6　　　4
17　　7　　　4
19　　8　　　4
23　　9　　　5
29　　10　　　5
31　　11　　　5
37　　12　　　5
41　　13　　　6
43　　14　　　7
47　　15　　　7
53　　16　　　7
59　　17　　　7
61　　18　　　8
67　　19　　　9
71　　20　　　9
73　　21　　　9
79　　22　　　9
83　　23　　　10
89　　24　　　11
97　　25　　　11　　　
101　　26　　　12
103　　27　　　13

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/09(月) 15:28:48.27

２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです

(1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。

(2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/09(月) 19:07:23.34

>>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています：
A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、
Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。
一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。
両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 11:30:55.37

>>763

正20面体の外接球の半径Roは
　Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長)
　　 = 0.9510565163・(辺長)

各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体)
正六角形が残るように３等分すると（r=r')
　Ro = 0.9510565163・(2r+r')
　　 = 2.8531695489 r
このときの外接球の半径Rは
　R = √{(Ro)^2 -r(r+r')}
　　= 2.478018659 r

R=1　とおくと　r = 0.4035482123

12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 12:22:30.13

>>780

フラーレン(Ｃ_60)分子では
　r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm
　r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2)
　R = 0.355 nm
らしい。

(1)　J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991)
　　　　"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework"

(2)　W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991)
　　　　"Crystal structure and bonding of ordered C_60"

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 17:28:53.54

昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。

「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」

だれか情報を…

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 17:39:15.40

nとkに制限ないならなんでもできるやん
2=1!+1
3=1!+2
5=1!+4
‥‥

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 18:33:12.92

簡単な問題設定の割に難しい問題

長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。
棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。

地面が滑らかな場合はどうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 18:41:25.72

階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/10(火) 23:10:21.90

n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 00:19:16.07

(m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し

(2n+1)^2+3≡0 (mod p)
⇒(-3 / p) = 1
⇒(p / 3) = 1
⇒p ≡ 1 (mod 3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 04:46:20.24

>>786
p=2 に対し
n(n+1) + 1≠ 0　(mod 2)
∴ 2を約数としない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 06:42:33.69

>>780

球の中心～六角形の中心の距離（垂線の長さ）
　{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro

球の中心～正五角形の中心の距離（垂線の長さ）
　Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r,

r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376
のとき、これらは一致し、
内接球の半径　2.03449563343785 r

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 07:21:29.64

>>784

・根本が動かないとき
(1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2,
v_S = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),

・地面が滑らかな場合
(1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2
φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 08:00:21.98

>>780 >>789

r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき

内接球の半径　　 0.794654472291766 Ro
外接球の半径 R = 0.861318645 Ro
比　　　1.0838907666

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 13:27:42.24

>>773
ヒントです。
というかこれ知らないと多分自力では解けません。
逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。
ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。
よかったら挑戦してみて下さい。
-----
Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。
L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。
このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。
すなわち任意のx∈Sにたいして
σ(x) + w = F(x+w)
を満たすものが存在する。
またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。
またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。
すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。
この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。
-----
Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。
G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について常に等しい値をとる関数とする。
任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。
----
Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。
vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。
f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを
f = Σ[x]c_x x
と分解するとき次が成立する。

lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0

とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 13:34:57.73

>>792
π(x) = #{v | p(v) ≦ x }
です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 13:58:00.78

イメージしやすいように例を
K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ}
である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。)
――
v=3Rのとき
w=3Sとなる。
このとき
F(i + w) = i^3 + w = -i + w。
故にこのときはFr(v) = σ。

v=5Rのとき
w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。
いずれにせよ、このとき
F(i + w) = i^5 + w = i + w。
故にこのときはFr(v) = id。
――
この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 19:42:36.04

>>778
(2) は、

ttps://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m000434.html

の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。

記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には
選択公理＆超限帰納法あるいは選択公理＆超限再帰のテクニックのことを
指していると思われる。

こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する
マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。
しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。
超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、
結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で
やることがほとんど同じで面倒くさかった。

選択公理を使わずに構成できるかは知らない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/11(水) 23:13:11.73

なるほど、超限帰納法使うとできるね。
まぁマニアックかな？
全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。
なるほど。
言われたらわかるんだけどなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/12(木) 01:18:11.20

>>792
F はフロベニウス写像？

**778** · 2018/07/12(木) 02:22:48.22

>>795 >>796
ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね…
まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。

有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？