面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 00:07:32.71

気分一新で再開しませんか？

nを自然数、xを実数とするとき
　
　[nx] ≧ Σ[k=1,n] [kx]/k

を示せ。ただし[x]はガウス記号である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:13:46.23

それにしてもよく間違う人だった。（他人のことは言えないが…）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 02:56:37.20

>>669
論文の値は実際には存在しえない間違った「いい値」だったのではないかという話を
ずーーーっとやってたのに、何を見ていたのか…

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/17(日) 14:00:41.23

前>>662

>>639ｰ640実測値で、ゴールドバーグ超えたよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 15:53:47.30

実際は全く議論に参加できていないのに無意味な発言や計算を大量に垂れ流して
事情がわからない人が見たらそいつが議論の中心にいるかのような錯覚を招きかねない
存在自体が「叙述トリック」のような奴が１人いる。

遡って話をトレースしたい人のために忠告しておくと、
イナ ◆/7jUdUKiSM
とかいうコテハン氏の発言およびそれに対するレスポンスは全部スキップすると、
内容が把握しやすいのでオススメです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 16:00:52.03

>>673
実測に誤差があるようですよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 16:11:56.75

>>670
新しい話題に参加したいけど、難しくて参加できない^^;
何かヒントないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 16:38:39.07

幾何の難問
https://jmoss.jp/mon/old.php?type=viewproblem&;d=b009

上の問題なのですが凸多面体の定義より
面同士の角は外側から測ると全てπ以上であることと
辺が3本以上あることからは示せますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 17:36:34.62

江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記　資本主義　株式制度現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等（総資産数京円以上）の意向を無視出来ません。旧ソ連　中国共産党　北朝鮮　
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出　東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。　
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後　あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。　
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止　移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。

世界中の人間が知るべきこと

・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。

・トランプ　プーチン　習近平　安部　麻生　テリーザ・メイ　メルケル　文在寅　金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。

・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 17:36:34.73

江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記　資本主義　株式制度現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等（総資産数京円以上）の意向を無視出来ません。旧ソ連　中国共産党　北朝鮮　
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出　東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。　
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後　あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。　
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止　移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。

世界中の人間が知るべきこと

・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。

・トランプ　プーチン　習近平　安部　麻生　テリーザ・メイ　メルケル　文在寅　金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。

・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 20:13:55.19

>>676
私の持ってる解答はこんな感じです。

f(x) = [nx] - Σ[k=1,n] [kx]/k

とおけば周期1で不連続点以外のとこでは定数、不連続点では右連続です。
(0,1]での不連続点は0≦b<a≦n である互いに素な整数a,bを用いてx = b/aとかける点です。
よってそのようなa,bについてf(b/a)≧0を示せばよいことになります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 20:18:47.70

>>677
示せない。
例えば正６面体のときは１２個ある辺の外角はすべてπ/2でπより大きいということはない。
そもそも通常の幾何学的な本来の意味での角の大きさは0以上π以下です。
いわゆる “一般角” と混同してはいけない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/18(月) 12:33:15.13

前>>673
一辺xの立方体の体積は
x^3
一辺xの正三角形の面積は
x^2√3/4

四角形どうしがとなりあう辺xのビジュアル八面体の体積もこういう一般的なかたちにならないでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 14:01:24.30

相似形なら面積は特定の辺の二乗に比例するし体積は三乗に比例する
そのことと比例係数が代数的に書けるかどうかは別問題

過去レスにあった通り、例えば半径１の球に外接する多面体に限定すれば表面積Ｓと体積Ｖは比例するため、ＳまたはＶの最小化問題のみを考えればよい
ただ、この性質を利用して立式しても、五次以上の次数の方程式を解くことになるので結局代数的には解けないんじゃないか、という説が現在有力

「そうじゃない、うまく式を立てれば代数的に解けるはずだ」という可能性があるならトライしてみたらいいんじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 23:10:58.84

>>680 をすこし進めます。

1≦b≦a≦nである互いに素な整数a,bに対しbk÷aのあまりをr(k)とすると

[nb/a] = nb/a - r(n)/a
Σ [1≦k≦n] [kb/a]/k = Σ [1≦k≦n] (kb/a - r(k)/a)/k = nb/a - Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)

なので示すべきは

r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)

です。

**685** ◆3srs.EvKNg · 2018/06/19(火) 00:05:11.82

「面白い問題おしえて～な」とのことなので、問題を教えるだけです、っていうか解答いただけると嬉しいです(当方解答を持ち合わせておりません)。

[問題]
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない最小の自然数は11である。
では1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せる数 a , b を加えて表せない2以上の最小の整数は何か。もし存在しない場合はそれを証明せよ。

**685** ◆3srs.EvKNg · 2018/06/19(火) 00:09:04.08

>>685
例えば121は1+120=1+3*5*8で表せてしまうので不適になります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 00:38:43.76

整数の積と和を組み合わせた問題は、大抵難問。

1000桁前後の自然数に対してこれを応用した暗号が作れるかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 01:07:06.92

235らしい。By Haskell君

parts = sort [a*b*c*d*e*f*g*h | a<-[1,2],b<-[1,3],c<-[1,4],d<-[1,5],e<-[1,6],f<-[1,7],g<-[1,8],h<-[1,9]]
isNotSum x = (==Nothing) $ find (==x) [a+b|a<-parts,b<-parts]
head [x|x<-[2..],isNotSum x]

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 01:15:19.25

>>685
311っぽいですな。
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない　⇔　2,3,5,7以外の素因数を持つ
ということで、プログラムで検索した結果。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 01:24:07.28

同じ数つかてもいいのか……なるほど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 01:30:54.68

>>688
同じ１桁の数を複数掛けてもいいのでは？
（出題意図がどちらなのかはわからないけど。）

**685** ◆3srs.EvKNg · 2018/06/19(火) 01:31:37.76

>>689
ありがとうございます。
意外と小さい数でしたね……

**685** ◆3srs.EvKNg · 2018/06/19(火) 01:34:16.80

すみません、同じ数は何度掛けてもOKのつもりでした。
235は2*2*5*5+5*7で表せますけど、同じ数がダメだと表せないっぽいですね……

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 01:37:32.81

かぶった。
ちなみに、1000以下では
311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958
の12個。
10000以下では1099個。
数が大きくなると、出現頻度は増える。
（nが大きくなると、nの周辺で2,3,5,7のみで表される数なんてほとんどなくなるから）

**685** ◆3srs.EvKNg · 2018/06/19(火) 01:41:29.61

>>694
なるほど…… 先の解析結果までご丁寧に教えてくださりありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:24:51.70

今更ながらhaskell君にも聞いてみました。

Prelude Data.List> let isgood x = if x == 1 then True else (/= 0) $ head $ [a|a<-[2,3,5,7],mod x a == 0, isgood $ div x a] ++ [0]
Prelude Data.List> let ys = [x|x<-[2..],(==0) $ head $ [a|a<-[1..x-1], isgood a, isgood (x-a)] ++ [0]]
Prelude Data.List> take 10 ys
[311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958,1102,1103,1117,1151,1193,1238,1244,1291]

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:46:25.58

無駄Loop回してるorz

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 13:19:28.28

４人でリーグ戦（総当たり戦）を行います。
勝てば３点、引き分ければ１点、負ければ０点を獲得します。
全試合が終わった後、合計点数の順に順位をつけます。
ただし、同じ点数の人がいれば、その人たちでクジを行い、
最終的には無理矢理１位から４位の順位をつけます。
任意の対戦において、勝つ、負ける、引き分けるは　確率　1/3　で起こるものとします。

問０
「ｘ点しかとれなかったけど、２位になった」
「ｙ点も取ったけど、３位だった」
ということが起こる、最小のｘと、最大のｙを求めよ。

問１
ｍ位の人の合計点数の平均を求めよ（ｍは１，２，３，４）

問２
合計点数ｋを取った人が、上位２名に入っている確率を求めよ（ｋは８を除く９以下の整数）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 16:54:53.78

〔問題〕
　最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、
　Pn(x) = 0 のn個の解を α1，α2，…，αn とする。

　このとき、α1^3，α2^3，…，αn^3 を解にもつ、
　最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php

　P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx,
と表わせる。。。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 22:36:35.49

>>699
見れない。画像かなんか残ってない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:09:08.40

>>700
見れたけど
一応問題の画像↓
https://www.toshin.com/concours/img/mondai29.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:21:47.30

>>701
いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ？もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:24:53.34

ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:28:15.49

間違った。既約性ではなく、重解持たないこと。それはPが既約なのでただしい。それ以外の方法で重解持たないこと示せれば問題ないけど解答にはその旨全くない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:32:20.85

挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:41:16.11

でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ？
Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。
偶然なのかもしれないけど。
必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。
ホントに気づいてないなら論外だけど。
そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 23:57:37.66

Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、
「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。
そりゃそうだろ、あほか？
あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 00:38:27.43

解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。
問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。
どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか！” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:19:05.69

>>677

凸多面体Pを任意の向き(↑Ox)に正射影する。
その輪郭は凸m角形となる。（m≧3)
各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。
稜L_iの両側の2面(j，k)は、こちら向き & あちら向きである。
その外向き法線を n_j，n_k とすると、　(↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0,

L_i (n_j，n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、
　平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側
であり、立体角4θ_iの範囲となる。（θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角)

一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3)

∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。

∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:26:54.92

>>698
http://codepad.org/pfBCZWvD

import Data.List
import Data.Ratio

gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)]
results = [[a,b,c,d] |
ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes,
bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes,
let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad],
let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd],
let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd],
let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd]
]
posOf0GoFinal result = let
p = head result
fstPt = head $ reverse $ sort $ result
nFsts = length $ filter (==fstPt) result
sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result
nSnds = length $ filter (==sndPt) result
in
case True of
_| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts)
| nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1
| p == fstPt -> 1%1
| p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds)
| otherwise -> 0%1

question1 = id
$ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger)
$ map sum
$ transpose
$ map sort
$ results

question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)|
pt <-[0..9],
let suitCases = filter ((== pt).head) results,
let nCases = fromIntegral $ length suitCases,
let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases,
nCases /= 0
]

main = do
print question1
print question2

[1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729]
[(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)]

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:48:51.81

>>709

稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、
平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから
(θ_i/π)Ω = 4θ_i
Ω = 4π

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 02:50:01.62

今更ながらよくよく見るとこれあってんの？
勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
どっか間違った？
あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:00:35.69

>>710　>>712
私の用意していた数値と一致です。
勝ち／負け／引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、
あのオリンピックの時の悲劇（勝ち点６で予選敗退）の様なことは、そう珍しいことでも
無いのかなと思って計算して（させて）みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。
勝ち点２で予選突破できる確率の倍です。

>>勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
>>勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
勝ち点の分布が　6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、
勝ち点の分布が　5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。
「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と　a<b<c<a　という
二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c　しかないことに由来します。
勝ち点を、3,1,0　と設定していることにも起因していますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:39:56.96

>>712
サッカーで４チームでの総当たり上位２チーム予選突破、の話な。

勝ち点６取っても予選突破できないのは、３チームが２勝１敗，１チームが全敗のケースだけ
勝ち点５取っても予選突破できないのは、３チームが１勝２分，１チームが全敗のケースだけ

どの対戦カードも勝ち負け引き分けがそれぞれ1/3で、
勝ち点が並んだら抽選という単純なモデルで考えると、
勝ち点６を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は2/81
勝ち点５を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は1/81

なので、あながち間違ってはいない。

ただ、もちろんそこまで力が拮抗してるというモデルはあまり現実的ではないし、
引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、
それ以前に、その条件付き確率が意味を持つシチュエーション自体が存在しない。
（全６試合のうち当該チームだけが３試合消化し、残り３試合はまだ実施されていない
なんて状況は通常ありえないし、そもそも当該チームが２試合消化した時点で
勝ち点６と勝ち点５の可能性の両方が残ってることはないわけで…）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 12:42:19.36

>>714
少し補足すると、リーグ戦全体は、6試合あるので、3^6通り考えることができ、さらに4人いるという
事を考え、分母を4*3^6とする、勝ち点の分布は
0:108 　　 1:324 　　 2:324 　　 3:432
4:648 　　 5:324 　　 6:324 　　 7:324 　　 9:108
となります。
偶然（？）にも、勝ち点5や6となるケース数は一致します。
従って、勝ち点5や6で予選落ちする確率の比較は、パターン数の比較に
置き換えて考えることができ、>>713のような検討が可能となります。

>>714の後半をみると、「自分が勝ち点6or5をとった場合」として計算されているようですが、
この問題の設定やプログラムでは、「3^6通りあるリーグ戦全体の結果」を平等にあつかい、
その中で、勝ち点が5や6になるケースを抽出して比較してるので、ご安心ください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 13:03:45.94

リロードしてなかったので、混乱させたならすまない。
>>714は別に誰かに反論するというような意図で書いたわけではないので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:21:00.73

>>670 >>680 >>684
もう答えかきますね。>>684の続き。

　 Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a

を示せば十分である。aとbは互いに素であるのでb×はZ/aZ上の全単射をあたえているからr(1),…,r(a-1)は1,…,a-1の並べ替えになっている。
よってΣ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak)はr(k)が ”小さいもの順” に並んでいるときの値以上である。よって

　Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ Σ [1≦k≦a-1] k/(ak) =(a-1)/a。　　　　□

参考までに等号成立はx≦[x]+1/nのときです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:21:27.88

次の問題どうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:26:25.86

あ、等号成立はx<[x]+1/nのとき。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:43:28.29

＞ Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a
＞
＞を示せば十分である。

なんでこのケースだけ示せば十分なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:57:49.07

>>720

>>684 で

＞なので示すべきは
＞
＞r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)

まできていて

左辺≦(a-1)/a
右辺≧ Σ [1≦k≦a] r(k)/(ak)

なので

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 23:13:08.47

>>721
ありがとうございました。
「 a≦n 」という条件を見落としてました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 05:53:45.42

>>670 >>680 >>684 >>717

面白い問題でした。最後はチェビシェフの不等式
　 Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)
で決まりですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 01:16:11.00

別スレでプロの数学者でもパズル系は苦手とする人もという話題がでてたのでちなんだ問題を。
Peter Winklerの数学パズルの本に載ってた問題、曰く、"Conway Immobilizer"。

----
１，２，３と表面に書かれたカードが１枚づつ、計３枚のカードとカードの山をおける三ヶ所の場所A、B、Cがある。
三ヶ所それぞれにカードを分けて表面を上にして山を作り配置した状態を考える。
たとえばAに下から順に１，２をおき、Bに３をおき、Cには何も置かないなどである。
あなたの仕事は機械をプログラムしてAの山に上から順に１，２，３という順でカードが置かれている状態（終了状態とよぶ）に移行させることである。
機械にできることは山の一番上に乗っているカードの数字を読み取り、その数字の組み合わせのみに応じていずれかの山の一番上のカードを別の山の一番上に乗せ変えることだけである。
機械には状態を記憶する能力はなく、常にその時の各山の一番上に見えているカードの組み合わせのみに応じてしか次に行う操作を決めることしかできない。
たとえば先の例の状態であれば各山に見えているカードはA:２、B:３、C:空であり、この状態においてあなたは例えば機械にA→CやB→Aのような形で行う操作を指定できる。
無論C→Aなどは指定できない。
山の見えている最上面の状態は２３通りあり得るので、あらかじめその２３通りそれぞれに対して可能な操作を一つずつ指定しておいて、いかなる状態からスタートしても機械が自動的に最終的に終了状態に到達できるようにしてほしい。
なお、機械は終了状態になれば自動的に終了する装置がついているので、操作を終了させる条件について考慮する必要はないとする。
----

このパズル問題を出題された著名な数学者 JOHN CONWAY が６時間（だったかな？）考え込んで思考の泥沼にはまってしまったという逸話つきの問題です。
ネットで検索すれば解答は出てくるとは思いますがよかったら考えてみて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 03:10:01.84

>>724
なぜ23通り？
１つ見えている：3通り
２つ見えている：18通り
３つ見えている：6通り
で、計27通りではないの？
何か問題文読み間違ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 03:18:10.71

>>725
失礼しました。
１枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×３（＝どの山に見えてるか）＝９
２枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝１８
３枚見えてる：１（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝６
です。
多分正しく解釈されてると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 04:59:43.99

>>726
では、例えばこんな感じ？

左から順にＡ，Ｂ，Ｃとする。ただし、Ａの左隣はＣ，Ｃの右隣はＡと解釈する。
この設定で、以下のルールで処理すればよい。
(1) １枚のみ見えているときは、その１枚を左隣に移動する
(2) ３枚とも見えているときは、２のカードを左隣に移動する
(3) ２枚のみ見えているときは、２空１の場合を除き、
　　空いている場所の右隣のカードを空いている場所に移動する
(4) ２空１の場合、Ｃ→Ａ

(3)の例外と(4)がなければ、すべてのパターンから同じ無限ループに収束するが、
(4)のルールがループを切って、ゴールへの道が見える。
(4)のルールで分岐するケースは３の場所により２通りあるが、
どちらにせよゴールにたどり着く。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 05:20:21.23

まあ、(1)のルールは、見えているカードをどこに移動しても構わないのだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 12:36:03.50

>>727

正解のようです。
http://codepad.org/BGh67AnT
この手の問題は結局コード組んでみないと正解かどうかわからないので組んでみました。
かなり遅いですが実用上問題なしということで。
可読性優先。

では発展でカードの枚数が n ではどうでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 14:21:00.09

>>727 >>729
ちょっと “プログラム” っぽく書き換えました。

http://codepad.org/d8BCopy3

>>727さんのルールが見えやすくなったと思います。
シンプルなルールでよいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 23:01:40.88

>>717
これもおながいします。

〔問題602〕
正整数nと、1より大きい正の実数xに対し、
　Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1)
{x} = x - [x] を表し、[x] はxを超えない最大の整数を表すものとする。

不等式スレ９ - 602

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 12:49:32.17

xyz座標空間上の曲面P:z=x^2-y^2について
P上の二点を結ぶP上の曲線で長さが最短となるものはただ一つのみであることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 05:28:33.10

>>731
でけたかも。
x>0においてf(x) = Σ(k=1,n) {kx+k}/[kx+k] ,g(x) = lim[e→+0] f(x-e) とおく。
このとき
g(x) = (kx+1+[-kx])/(k-1-[-kx])
である。
またf(x)≦g(x)で等号が成立するのはf(x)の連続点のみである。
さらに与式の右辺はg(1)に一致する。
よってg(x)がx=1においてまたその点においてのみ最大値を持つことを示せば良い。
またg(x)は右連続で連続点において単調増大だから1でない不連続点xにおいてg(x) < g(1)を示せば良い。
またg(x+1)<g(x)から0<x<1として良い。
よって0<b<a≦nである自然数a,bをもちいてx=b/aとおける。
r(k) = a[-bk/a] + bkとおくとき
g(b/a) = Σ(k=1,n) (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))
となる。
[-bn]≦c≦[-b]であるcを固定し[-bk]=cであるkの全体をl,l+1,…,mとおく。
l≦k≦mにおいてr(k) = px+qとなるp,qがとれる。
d(x) = 1/(2x-1) - (px+q)((a+b)k-(px+q))
とおく。
l,mのとり方からpl+q≦b, pm+q≦aがわかるから特にD((l+m)/2)≧0がわかる。
さらにl≦x≦mにおいてd(x)は単調減少、下に凸より任意のl≦m'≦mに対して
Σ(k=1,m') (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))≧0
がわかる。
等号が成立するにはl=m, pl+q = b,pm+q=aのすべてが成立しなければならないがb<aによりそれは不可である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 11:56:14.38

y年の大会では
　y≡2　(mod 8) のとき、1次リーグを2位で通過するもベスト16止まり
　y≡-2　(mod 8) のとき、1次リーグで敗退
という経験則がある。これを確率論で説明できるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 14:23:52.46

>>732
ガウス・ボネの定理を認めるとあっさり解けますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
Pが測地２角形Mを持つとする。
Mの角∠A,∠Bはいずれも∠A,∠B<π。
z=x^2-y^2上の点(a,b,c)においてx=a,y=bでの切断の曲率が異符号だからガウス曲率Kは負。
∂Mは測地線からなるから∫[∂D]k_g=0。
よって
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g < ∠A + ∠B < 2π。
一方でMは一点とホモトピー同値だから
χ(M) = χ(pt) = 1。
よって
2πχ(M) = 2π。
以上はガウス・ボネの定理
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g = 2πχ(M)
に反する。

………ガウス・ボネの定理勉強せねばww

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/04(水) 00:21:08.37

>>735
すごい正解
まさにこの定理を使ってほしかった

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 02:16:53.46

>>714

> 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、

ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。

日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 02:24:34.45

>>737

http://www.worldfootball.net/alltime_table/wm/
のデータをエクセルに貼付けて SUM() を計算。なお、日本代表は #30

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 08:14:29.40

xyz座標空間上の曲面Q：z^2 = x^2 - y^2 -1について
　Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。

　K=0 らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 13:41:31.03

>>739
これはまともに測地線求めるしかなさそうな……

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 15:50:30.03

>>739
z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1
これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面

a>1として
x≧1の部分に２点A(a,√(a^2-1),0)，B((a,-√(a^2-1),0)をとる。
Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1
Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、
lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828…
lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425…

lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より
あるaが存在してL_1 > L_2となる。
よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、
最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。
その最小の経路の１つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると
C'はCと異なるもう１つの最小経路となる。

lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安…

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 15:56:41.37

>>739
ところでK=0って何の話？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:18:09.19

>>741
x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？
切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。
aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。
もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:21:57.29

あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。
なるほど。ならL_2の計算は難しそうww
信じることとしよう！！

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:36:58.34

lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても
Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので
それで計算しても多分大丈夫。
そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、
lim_{a→∞}(L_1/a)については
放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ
∫_{-1～1}√(2y^2+1)dyとして求まる。

そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:38:25.37

>>745
あ、まちがった
　　lim_{a→∞}(L_1/a)については
のところは
　　lim_{a→∞}(L_2/a)については
に修正

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 16:41:23.15

>>744
すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので
そんなに無茶な計算をしているわけではないです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:39:19.05

某映画より（全編を観たわけではない）

表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。
「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。
この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:45:54.86

一番右のカードに１
右から2番目のカードに２
．．．
右からn番目のカードに２^(n-1)
というポイントを与える。
表になっているカードの合計を、．．．以下略

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 17:59:52.69

>>748
カードが1枚のときは自明。
カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。
n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。
2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。
一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。
よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。
あと一回はできないと駄目だから前者。
しかしその最後の一回で全裏。矛盾。

で桶？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:00:34.58

>>749
かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:42:42.13

映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少）
高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる(>>750)

黒板での実演
https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 19:00:01.42

右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。
最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 01:29:11.26

長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。
隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。
さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 09:42:24.03

>>754
コインの半径をrとする。

もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても
他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、
いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。
したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに）
半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は
その円盤で被覆される。

テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、
テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、
あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで
覆えばよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 12:37:14.13

>>741
これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 16:30:41.30

>>755
素晴らしい！正解‼︎

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 17:39:11.01

半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 19:16:43.11

あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 00:13:12.37

>>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど

θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))

….orz

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/07(土) 02:27:38.43

>>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π――①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}

通分はあるいは必要かと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 02:32:14.98

>>761
何勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/07/07(土) 03:27:26.25

前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263

黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 05:58:50.00

サッカーボールは多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 06:51:22.31

「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 08:11:54.48

多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:32:01.90

acos((9-r5)/12).

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:43:39.52

>>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。

球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、

「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」

みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/07(土) 10:45:47.54

結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて

「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」

みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、

「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」

みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。