面白い問題おしえて～な 26問目
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>>564
>n＝4,5,6,7,12
の場合の答えはなにか載ってました？
n=4,6,12のときは流石に正多面体の時っぽいけど。 >>568
泥臭いけど。
整係数の行列A,Bについて
B=[[1,k],[0,1]]A, A[[1,k],[0,1]], [[1,0],[k,1]]A, A[[1,0],[k,1]]→A≡B
をみたす最小の同値関係を≡とする。
一般にPID上の行列はこの変形で対角化される。(証明はry)
行列は行ベクトルに右から作用させるものとする。
(旧課程の高校の教科書の逆だけど気にしない。)
(※):任意のv∈Λに対して、v～1ならばAv～1である
と定める。
以下整係数行列Aに対しBをA≡BでBは対角行列となるものとする。
このとき
ユークリッドの互除法の議論より
Aが(※を満たす)⇔Bが(※を満たす)。
また
detA = detBより
detA=±1⇔detB=±1
一方でB=[[p,0],[0,q]]とするとき
Bが(※を満たす)⇔p,q=±1
detB = ±1⇔ p,q=±1 >>573
thx!
n=20も流石に正多面体っぽいね、n=8のときが唯一の例外臭いね。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/684_eq3.htm
の
＞多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，
＞ Ｖ＝Ｓ／３
＞となることから，
＞ Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ
＞したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または
＞最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます
がわからない？？これなんでかだれかわかります？？
もしV^2/S^3で球に外接しないものがあるとすると何故矛盾するんでしょう？ >>573
ゴールドバーグさんは示されたんですね。前>>570その歴史の存在はわかりました。
でも我々は、式とそこから導かれた答えでないと認めないルールでやってきてます。それにできればそのビジュアル八面体とやらを図示していただきたい。
手書きでもいいですが、できれば実物の模型がいいですね。辺の長さとかバランスとかどうなってんですかね。
四角形と五角形がどんな四角形とどんな五角形か、納得いくようにその立体のかたちを説明してください。実在するんですか。 やっと見つけた。
Theorem(L. Lindelöf)
面積^3/体積^2の最小値を与える多面体は球に外接する
証明載ってそうな本
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01443919
37.75ユーロ…orz >>578
しかもフランス語…
例のGoldbergの論文の最初のあたりをちゃんと読むと、
同じ面の数の多面体でＳ^3/Ｖ^2を最小にするのは
すべての面が１つの球に各面の重心で接するときだ、ということを
Lindelofが示した、とたしかに書いてますね。
直感的に考えると、そういう状態でないと極小値にならない
（少し動かしたらもっと小さくできる）
というような話なのかとは思います。
そうすると、>>486のメディアル8面体で、そのような状態になるような
パラメータa,b,rを求める、というのはできそうですかね。
それが>>471，>>489あたりの数値計算の結果と一致するか
もしくは、Goldbergの論文の180.23という値と一致するか、も
知りたいところです。 次の定理を下に示す4つの場合について証明せよ。
多面体の面の全てに、その面積を大きさにもちそれぞれの面から垂直に多面体を飛び出す向きにベクトルをとると、そのベクトルの和は零となる。
(1)四面体
(2)角錐
(3)凸多面体
(4)多面体 すべての多面体は、有限個の四面体に分割できる
と仮定していいの？ ・正8面体 … 明らかに球面に外接する。
・正6角柱
一辺xの正六角形を底面とする高さyの正六角柱
y = (√3)x のとき最大で、球面に外接する。>>425 >>430
・メディアル8面体
>>464 の座標を使うと、
5角面ABCDE は x +(a/b)z = 1,
原点～5角面の距離は d_5 = b/√(aa+bb),
台形面CDHI は z = br + my，m = b(r-1)/(1+a),
原点～台形の距離は d_4 = br/√(1+mm),
>>489 の結果の数値から
d_5 = 0.96477885
m = 0.74846993
d_4 = 0.96477948
∴ 球面に外接する。（誤差の範囲内で) >>580
i番目の面に対するベクトルをＳ_iとおく。
任意の向きの単位ベクトルｅをとる。
この多面体をｅに垂直な面に射影する。
向こう向きの面(S_j) の影の面積は e・Ｓ_i
手前向きの面(S_j) の影の面積は ｅ・(-Ｓ_j) である。
・は内積。
それぞれ合計したものは多面体の輪郭と一致するから
ｅ・(ΣＳ_i) = ｅ・(-ΣＳ_j),
ｅ・ΣＳ = ｅ・(ΣＳ_i + ΣＳ_j) = 0,
ｅの向きは任意だったから
ΣＳ = Ｏ. 七面体の解はどんなだろう？
正五角柱か、あるいは立方体の角を落としたものか >>582 追加
・切頂立方体
立方体の一辺をx、切り取る二つの直角三角錐の3稜をyとする。
y = {(3-√3)/2}x のとき最大で、 >>483 >>485 >>488
原点と（x/2-y/3，x/2-y/3，x/2-y/3) の距離は (x/2 -y/3)√3 = x/2,
∴ 球面に外接する。 >>582
Goldbergの論文によると、球に外接する正五角柱です。
どんな場合もメディアル多面体の中に正解があると予想しているのだから、
少なくとも今まで正解が判明しているものはすべて答えはメディアル多面体。
７面体の場合は、四角形5つと五角形2つの五角柱と同じ面／辺／頂点の構成と
なってるのがメディアル多面体で、その中で、辺と頂点からなるグラフの持つ
対称性がそのまま図形としての対称性となってる正五角柱が正解なのは
自然な結論。 >>578の定理めっちゃ面白いのにネットに証明転がっってないのは残念。
自分で示せそうにないし。
なんかMinkowskiの不等式なるものを使うっぽいけどそれ自体も見つからんし。 メディアル八面体がわかるなら式を書いてよ。辺をxとかyとか未知数で表した式を。未知数は二つぐらいのほうがいいと思う。メディアル八面体より小さくてもいいよ。
前>>577ホームベース型五角形4つと長方形4つで
√(√3)/18になったのを進化させた次のやつがあるんじゃないの。屋根120°って勝手にきめてこの値が出たんだ。体積が大きくなりそうなかたちを勝手に決めようよ。未知数2つで三次式なら微分して表面積=1で一文字消えて解けるよ。だからなるべく簡単な構造がいい。 >>571
最大を達成する形については特に載ってなかったな
やっぱりGoldberg氏の論文が紹介されてる
それとGoldbergの面白い予想(当然未解決)
「当たられた面数、表面積と最大体積をもつ全ての3次元多面体は単純である
(多面体が単純⇔各頂点がちょうど3本の辺に属しているもの)」
ってのが載ってた >>588
何変数あろうとラグランジュの未定常数法みたいなの使えばいいだけでしょ >>591
xの三次式とかそういうかたちでお願いします。
S=1なんで式の中にSがあれば計算して消えます。
前>>588 >>464に頂点の座標、>>471に面積と体積の式がある 前>>592
超えられない斜めの壁がある。計算しやすい簡単な数字を探す。
六角柱=長方形屋根120°壁ホームベース型上下点対称八面体=√(√3)/18
＜√(√π)/18
＜0.0074
＜メディアル八面体 >>587
ミンコフスキーの不等式なら、Wikipediaにも載ってるし、
解説もあちこち落ちてる気がする。 （あげてしまったorz）
なんか自由度３の状況をパラメトリックに表現したものに対して
変数を２個に減らせと言ってるのを目撃した気がするが、きっと気のせい。 式本体は見かけるんだけど証明が見つかんない。
とても自力では解ける気かしない。
しかもそれをどう使えば>>578が出るのかもさ～っぱり。 前>>594
いつか体積、
√(√3)/18=1/6√(3√3)
を超える八面体の鳥瞰図を描きたい。
0.074は超えられなくてもいい。ちゃんと辺の長さをつきとめたい。
五角形の長い辺は、四角形の短い辺の二倍ぐらいなのかなぁ。 ・一辺がxの正5角形を切り詰めたもの (内角は108ﾟのまま) >>510 >>511
中心Oを通る水平断面で考えると、OからABDEの中央までの距離は
(EG + DH)/4 = {φx + (x+z)}/4 = {(φ+1)x + z}/4,
5角面の傾きθ = arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099ﾟ
∴ cosθ = 0.9457416
∴ d_5 = {(φ+1)x+z}/4・cosθ = 0.6189959x + 0.2364354z,
C と B,D の高低差は x/√(2φ) = 0.5558930x,
BD = φx,
∴ CI と DH の距離は √{(φ/2)^2 + 1/(2φ)}･x = (1/2)√(3φ-1)･x = 0.9815933x,
Cと中心Oの高低差は x/√(2φ) + √(φ/8) (x-φz),
これに φ/√(3φ-1) = 0.8241875 を掛けて
d_4 = {x/√(2φ) + √(φ/8)(x-φz)}・φ/√(3φ-1) = 0.8288193x - 0.5997393z,
z=0 のときは
d_5 = 0.6189959x
d_4 = 0.8288193x
となり、球面に外接しない。 >>510
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
d_4 = d_5 = 0.67832525x
∴ 球面に外接する。 >>511 >>599
そのとき各面の重心は接点になってますか？ 証明のってそうな本またあったが……￥30757……orz
https://books.google.co.jp/books?id=aoMreDT_DwcC&;pg=PA359&lpg=PA359&dq=Lindel%C3%B6f
+polyhedron&source=bl&ots=ovRtLCB7yn&sig=k9XDihyiouF5V7OWtk9EiiYnlqY&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwjp7f_B1sPbAhUX6LwKHQKbDAM4ChDoATAAegQICBAB#v=onepage&q=Lindel%C3%B6f%20polyhedron&f=false n=8のときの図っぽいのが載ってる。文章よんでないから知らんけど。
接点を結んだ双対多面体と一緒になってる図がある。
http://schoengeometry.com/a_poly.html >>603
いや、４種類あるわけじゃなさそうだけど。
図形は２種類で、その４つのテンプレートのミソは、頂点に番号が振ってあるとこで
同じ番号の頂点同士が一致するように組み立てれば８面体の半分ができるから
それを２つ組み合わせて立体をイメージしてね、ってことでしょ？
面の形は２種類。 >>604
そうなんすか？8面なのに画像が4枚しかないから合同なのは除いてると思った。一度誰か厳密な頂点の座標出してくれません？ もういいよ、頂点は。
それより辺の長さとバランスだよ。前>>598
意外と台形太いね。
気づいていたさ、ずっと眺めてんだから。寝ても覚めても。
五角形の屋根と底は違うのかもね。文字数多すぎるだよ。 目標0.074488
二種類の平面図のおかげで鳥瞰図が描けた。
棟木と垂木は9x
若干垂木が長く見えるが、誤差と見た。
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の重心だか中心に対して点対称の立体を地下に作る。
前>>598できそうだ。 棟木と垂木は9x
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の中心に対して点対称の立体を地下に水平90°回転で作る。
前>>607前々>>606 立体視にするとこんな感じかな
http://imgur.com/xEVxtDg.png
A( 0.255096, 0.207265, 0.0876588)
B( 0.207265, 0.255096,-0.0876588)
C( 0.155171, 0.000000,-0.278602)
D( 0.207265,-0.255096,-0.0876588)
E( 0.255096,-0.207265, 0.0876588)
F( 0.000000,-0.155171, 0.278602)
G(-0.255096,-0.207265, 0.0876588)
H(-0.207265,-0.255096,-0.0876588)
I(-0.155171, 0.000000,-0.278602)
J(-0.207265, 0.255096,-0.0876588)
K(-0.255096, 0.207265, 0.0876588)
L( 0.000000, 0.155171, 0.278602) 前>>608
実測値から式を推定する。
なんどか言ったが、少数にするのは近似値を出すためじゃない。√や比を推測して体積を表す式を導きたいからだ。 今回は期待できる｡前>>511台形の高さが9xとか五角形の下半分の高さが5xとか、平方根が出ない。壁の傾きを考えると出ないわけないが、ゴールドバーグさんが言った簡単な構造になるだったか、あの言葉を信じたい。 なんか無理数の存在を認めなかったピタゴラス学派の時代からほとんど進歩してない奴がいるな いや、やっぱり解けたかな。
でもなんか面白い。
立て方がヘタクソなのか、最初立式した時は未知数4つが入り乱れててこんなん解けるかボケって思えたけど、いざ整理していくと不思議とまとまっていく。
やっぱり受験問題みたいにムリクリ作った問題とは一足違う。 >>609
配置は >>464
a，b，r は >>489
表面積を１に揃えるため、 √S = √18.7116 = 4.32569 で割ったでござるか。 >>617
だいたいそんな感じです
データはWolframAlpha先生が教えてくれたものを使いました
http://imgur.com/KnEKaE1.gif
（変数 p,q,r は >>464 の a,b,r-1 に対応しています） >>510 は
>>464 で
a = 2φ-3 = 0.236068
b = √(2√5 -4) = 0.6871215
r = 2φ-1 = √5 = 2.236068
とした場合。
x = 4(2-φ) = 1.527864
>>511 は
>>464 で、(AE+BD)/2 = {(x+z)+φx}/2 = 2 として
a = (BD-AE)/4 = {φx - (x+z)}/4,
b = AB/2・√(φ/2) = (x-φz)/2・√(φ/2),
r = 1 + x/(2φφa)
とした場合。
最大のときは
a = 0.127956
b = 0.3724407
r = 3.0809832
とした場合。
x = 1.3942303
z = 0.3498577 = 0.2509325x
>511 は >464 に含まれるゆえ、>514 は >471 >489 には及ばぬでござる。 >>618
a = 0.103404
b = 0.379223
r = 3.17776
のとき
0.074344868 ぐらい… データは >>489 のほうがWolfram先生より良い(体積が大きい)みたいです。
あと、>>609 の座標は計算に誤りがあったので計算しなおしました。
A( 0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
B( 0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
C( 0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
D( 0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
E( 0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
F( 0.00000000,-0.15521551, 0.27858864)
G(-0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
H(-0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
I(-0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
J(-0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
K(-0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
L( 0.00000000, 0.15521551, 0.27858864) もっとずっと簡単な整数比をみつける。前>>612ゴールドバーグさんも言ってた。自然界は簡単な構造だというようなことを。
計算が楽になりそうな数字がみつかるまで、もう計算しない。
自然界はもっとずっと簡単な構造で、楽に計算できる数学を選んでくるはずだから。簡単な整数比じゃないと計算したくない。 前>>622
整数比じゃなくてもいい。黄金比とか自然界にはなるべくしてなる比が存在している。
整数比だったり√3だったり√5だったり。
無駄なことが報われるときってのは、無駄を回避したことが無駄じゃなかったとわかったときだ。 >>626すげー!! まわってる、まわってる!!
前>>625すごいね。写メ保存したら動画のまま保存できてびっくりした。棟木をズームして実測、3.6xにしたら、V(x)=86.192(x^3)、x^2=1/131.68あんまり大きくならなかった。計算間違いかな。見た目は球体に近づいてるのに。
￣]/＼＿＿＿＿＿＿＿
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ これだけ長い議論になると八面体の別スレを設けたほうがいいレベルだな 八面体だけだと狭すぎる
多面体一般にしたら需要あるかも >>466 >>472
菱形6面体（菱面体）のとき
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3},
体積 V(0) = aac,
表面積 S(0) = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
中心Oから各面までの距離 d = (√3)/2・ac/√(aa+2cc),
>>467
頂点から k･L まで(Lは辺長、0≦k≦3/2) の部分を切り落とす。
体積 V(k) = V(0){1 - (1/3)k^3} (0≦k≦1)
= V(0)(9/4){1 - (1-2k/3)^2}(1-2k/3) (1≦k≦3/2)
表面積 S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2, (0≦k≦1)
k = 3/2 -(√3)d/c のとき、平面z=±d で切るので球面に外接する。
(1) c=a (立方体、β=90ﾟ)のとき、k=(3-√3)/2，d=c/2 で外接。 >>488
(2) c=2a（β=60ﾟ) のとき、k=1，d=c/√12 で外接。（正8面体）
(3) c>2a のときは k>1 となり、やや面倒でござる。 皆さんにお詫びと訂正を。昨日解けたといってた>>616ですがやっぱり解けてませんでしたorz。
参考までに私の失敗した方法です。
>>621さんと同じ配置で内接球の半径を１に規格化した点をA～Lとします。
A(a,c,b)、L(0,d,e)とします。
OからALFEにおろした垂線の足をX(cosα,0,sinα)、Y(cosβ,0,sinβ) (0<β<α<π/2)とおきます。
xz平面への射影の図をみれば
a=cos((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
b=sin((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
e=1/sinα、
c cosβ+ b sinβ=1、
d cosβ+ e sinβ=1
がわかります。
ここからLindeloefの条件
・ALFEの重心=X、ABCDEの重心=Y ……(※)
から条件が２つでてα、βの満たす方程式をだしていこうとしました。
そこで恥ずかしながら
ALFEの重心＝ALFEの座標の和/4
とかわけのわからんミスをして失敗しました。
原理的には(※)からtanα/2, tanβ/2の代数方程式がでて、その終結式からtanα/2、tanβ/2の満たす方程式がでるはずですが五角形の重心の計算が面倒くさすぎて断念。
もちろん∂面積/∂α=∂面積/∂β=0を再利用して方程式２つ出す手もありますし、一般論ではでない本問特有の必要条件をみつけて利用する手もあるかとおもいます。
ご参考までに。 >>633
すいません。
誤：Y(cosβ,0,sinβ)
正：Y(cosβ,0,-sinβ)
です。 前>>626前々>>624
>>625まわってるこの立体が最大として計算した。
五角形の水平な対角線より上の屋根の部分の体積は、三角柱から三角錐をとりのぞくと出るはず。
五角形の水平な対角線で切り分けた真ん中の部分は、直方体から三角柱と三角錐をとりのぞくと出るはずだが、コーナーを引きすぎたのかも。
台形2つの面積は(上底+下底)･(高さ)で出るはず。
この台形、(上底)=(高さ)だろう。なぜこうなるかは化学で解明されるべきことだと思う。原子がこういう配列をとるとか。
五角形の面積は、対角線より上が直角三角形の二倍、対角線より下が等脚台形。
三平方の定理がうまく使えてないか、あるいは最初の辺の長さの読みとりが甘いか。 >>464 をチョト拡張…
A(1+a1,1-a2,-b)，B(1-a2,1+a1,b)，C(c-ar,0,br)，D(1-a2,-1-a1,b)，E(1+a1,-1+a2,-b)，
F(0,-c+ar,-br)，G(-1-a1,-1+a2,-b)，H(-1+a2,-1-a1,b)，I(-c+ar,0,br)，
J(-1+a2,1+a1,b)，K(-1-a1,1-a2,-b)，L(0,c-ar,-br)
ここに、a = (a1+a2)/2，c = (2+a1-a2)/2 とおいた。
AE = DH = 2(1-a2),
BD = 2(1+a1),
CI = FL = 2(c-ar),
CI～DH，CI～JB の距離 d '= √{(1+a1)^2 +bb(r-1)^2}
線分BA，ED，HG，KJの中点が １辺2cの正方形をなす。
5角形ABCDE
x + (a/b)z = c,
d_5 = bc/√(aa+bb),
台形CDHI
z = br + {b(r-1)/(1+a1)}y,
d_4 = (1+a1)br/d '
S_4 = (1-a2+c-ar)d ' >>636
着想はいいと思う
ただこれだとc+a=1+a1、c-a=1-a2となるから本質的には>>464と変わりがない気がするんだ… >>636
5角形ABCDE
傾きθ = arctan(a/b),
d_5 = bc/√(aa+bb),
S_5 = {4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb),
台形CDHI
d ' = √{(1+a1)^2 + bb(r-1)^2}, CI～DHの距離
d_4 = (1+a1)br/d '
S_4 = {2c-(r+1)a}d '
これより
S = 4(S_5 + S_4)
= 4{4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb) + 4{2c-(r+1)a}d '
V = (4/3)S_5･d_5 + (4/3)S_4･d_4
= (4/3)bc{4c+(r-1)(1+a1)} + (4/3)(1+a1)br{2c-(r+1)a}
= 8([2cc+(1+a1)(1-a2)]/3)b + 4(1+a1)b(r-1){c-(2+r)a/3},
・a1=a2，c=1 の場合は >>471 に戻る。 前>>635
棟木を3.6xとする。
八面体を五角形の水平な対角線で㊤㊥㊦の三つに分ける。
V(x)=V㊤(x)+V㊥(x)+V㊦(x)
=2V㊤(x)+V㊥(x)
S(x)=4(台形)+4(五角形)
=2(上底+下底)･(高さ)+8(直角三角形)+4(等脚台形)
=2(3.6x+4.8x)･3.6x+4(2.9x･2.3x)+2(5.8x+4.8x)･2.1x
=16.8x･3.6x+5.8x･4.6x+21.2x･2.1x
=7･2.4x･3.6x+5.8x･4.6x+7x･6.36x
=7x･6x･1.44+5.8x･4.6x+7x･6x･1.06
=(7･6･2.5+5.8･4.6)x^2
=(105+26.68)x^2
=131.68x^2
V㊤(x)の高さ=√{(2.3x)^2-(0.6x)^2}
=x√(5.29-0.36)
=x√4.93
V㊥(x)の高さ=x√{(2.1)^2-(0.5)^2}
=x√(4.41-0.25)
=x√4.16
V㊤(x)=(三角柱)-(三角錐)=2.9x･4.8x･x√4.93-2.9x･x√4.93･(1/2)0.6x(1/3)4
=2.9x･x√4.93･(4.8-0.4)x
=12.76x^3√4.93
V㊥(x)=(直方体)+4(直角三角柱)+4(直角等面四面体)
=(4.8x)^2･x√4.16+4･0.5x･4.8x(1/2)+4(0.5x)^2x√4.16(1/6)
={(4.8x)(4.8x+x)+(1/6)}x√4.16
=(28.00666……)√4.16
V(x)=2･12.76√4.93+(28.0066……)√4.16
=25.52√4.93+(28.0066……)√4.16
≒55.663594+57.122614
=112.7862
題意よりS=1
x^2=1/131.68
x=1/11.47519
V(x)=112.7862/131.68･11.47519
≒0.0746407 前>>639(x^3)が抜けた。
終盤修正。
V(x)=2･12.76x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
=25.52x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
≒55.663594x^3+57.122614x^3
=112.7862x^3
以下同じ。 1. 球面上にランダムにn個の点を取る
2. それらの点におけるn枚の接面で囲まれた多面体を作る
3. 接点と重心が最も離れている面を見つけ、その接点を球面上で重心の方向にずらす
4. 誤差が一定値以下になるまで 1～3 を繰り返す
という方法でn=4～20で極大値を計算してみた結果。
４面体 0.051700269950116652 (正四面体)
５面体 0.059698329545752334 (正三角柱)
６面体 0.068041381743977170 (正六面体)
７面体 0.071398254996602697 (正五角柱)
８面体 0.074344868093230002 (四角形×4＋五角形×4)
９面体 0.076898933926867766 (四角形×3＋五角形×6)
10面体 0.078734752898039745 (四角形×2＋五角形×8)
11面体 0.080055026399577983 (四角形×2＋五角形×8＋六角形×1)
12面体 0.081688371824182537 (正十二面体)
13面体 0.082432267303420806 (四角形×1＋五角形×10＋六角形×2)
14面体 0.083349245941114841 (五角形×12＋六角形×2)
15面体 0.084068875807253640 (五角形×12＋六角形×3)
16面体 0.084742718358283536 (五角形×12＋六角形×4)
17面体 0.085264872589057683 (五角形×12＋六角形×5)
18面体 0.085771192859653247 (五角形×12＋六角形×6)
19面体 0.086199376384128973 (五角形×12＋六角形×7)
20面体 0.086626966830007951 (五角形×12＋六角形×8)
（もっと良い解があるかもしれない） >>641せやて問題文に数字が1一個しかないんですって。
>>420←これですよ。数字は図描くなり作って上げるなりして自分で設定せいいう問題なんですよ。
なんでこうなるかはまだわかりませんが、屋根の部分は棟木と最短の垂木が同じ長さで、棟木と軒桁の長さの比が3:4になってます。
前>>640研究が要ります。 >>643
CI = FL = 3.60000 x, … 棟木
とするなら
AB = DE = 2.17929 x,
BC = CD = 3.743965 x,
AE = DH = 4.807435 x, … 軒桁
BD = 5.91628 x,
S_5 = 18.08915 xx,
CI～DH間 3.69496 x, … 垂木？
S_4 = 15.53246 xx,
S = 134.4864 xx,
V = 115.9502 x^3,
V/S^(3/2) = 0.07434486809323… になるらしい。
>>621
> データは >>489 のほうが…良い(体積が大きい)みたいです。
おっしゃるとおり。
>>637
そうですねぇ... >>642
理論値
f=4 （正4面体） 1/{6√(6√3)},
f=5 （正3角柱） 1/{9√(2√3)},
f=6 （立方体) 1/(6√6),
f=7 （正5角柱） 1/{3√30･(5-2√5)^(1/4)},
f=12 （正12面体）1/{(3√15)(√5 -1)(5-2√5)^(1/4)}, >>646正確な長さが出てるんですね。軒桁4.8xからもう整数比じゃないんですか。
屋根の端も微妙に3.7xじゃないみたいだし。
肉眼で0.074を出した。ここが限界です。
前>>643ぜんぜん綺麗な比にならないのにこの形で極値をとる。なぞですね。ゴールドバーグさんは論文でこの形になる根拠を示したんですか。 綺麗な形にこだわるならｘ軸から見てもｙ軸から見ても正五角形のシルエットをもつ立体を試してみてはどうか
最適解とは異なりながらも0.0743は越えられるはず >>642
V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
ゴールドバーグの言う S^3/V^2 = 180.23 なる配置は、ネットで探しても見つからなかった。
>>494 が言うように、
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。 >>650
補足すると、
接点と重心の距離について V/S^(3/2) が単調に減少すると考えた。 >>642
すばらしいですね。
多面体の各頂点の座標とか各面の重心の座標とかを求める処理は
１からコーディングすると大変そうだけど、なにかいいツールがあるのでしょうか？
（CAD系のツールでは基本処理なのかな？）
>>650
> V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
> 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
そうですね。逆に言うと、>>642の１回の計算だけでは、局所最適解に引っかかる
可能性があるということですね。
８面体の場合も初期値によっては正８面体に収束するかも。
初期値を変えて試行を繰り返して、なるべく多くの局所最適解を探してみたいところです。
（正解以外の局所最適解に収束する確率はかなり低いと予想されますが）
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
計算機が自由に使える以前の時代の論文の数値計算の間違いというのは、
結構あるのかもしれません… >>649水平方向から見た(五角形+等脚台形)の射影を正五角形にすると。前>>648だいぶ平たくなりますね。V㊥(x)が減りそう。五角形が綺麗なわけない。 >>633 を実行してみました。
tha = tan α/2, thb = tan β/2として重心=垂線の足から連立方程式をたててみると
(3*tha^7-12*tha^5+9*tha^3)*thb^4
+(-2*tha^8-10*tha^6+38*tha^4-26*tha^2)*thb^3
+(11*tha^7-11*tha^5-11*tha^3+11*tha)*thb^2
+(-26*tha^6+38*tha^4-10*tha^2-2)*thb
+9*tha^5-12*tha^3+3*tha = 0
(tha^7+4*tha^5-5*tha^3)*thb^7
+(-15*tha^6-72*tha^4+23*tha^2)*thb^6
+(75*tha^5+120*tha^3-3*tha)*thb^5
+(12*tha^6-197*tha^4-72*tha^2+1)*thb^4
+(-tha^7+72*tha^5+197*tha^3-12*tha)*thb^3
+(3*tha^6-120*tha^4-75*tha^2)*thb^2
+(-23*tha^5+72*tha^3+15*tha)*thb
+5*tha^4-4*tha^2-1 = 0
>>621さんの数値データから得られる値
tha = 0.5006040925763866
thb = 0.1338964782891034
を代入して検算するとそれぞれの左辺値は
8.87931586213142e-6
3.632479806903177e-5
となってます。誤差なんだかどうなんだか。tha消去すると
8181*thb^62
-713988*thb^60+17155890*thb^58-164938703*thb^56+506017027*thb^54+1834844826*thb^52
-13744791488*thb^50+3826451839*thb^48+119593971621*thb^46-128477872952*thb^44-571856278634*thb^42
+693554443761*thb^40+1596500744027*thb^38-1841098161058*thb^36-2706178331076*thb^34+2845687450727*thb^32
+2845687450727*thb^30-2706178331076*thb^28-1841098161058*thb^26+1596500744027*thb^24+693554443761*thb^22
-571856278634*thb^20-128477872952*thb^18+119593971621*thb^16+3826451839*thb^14-13744791488*thb^12+1834844826*thb^10
+506017027*thb^8-164938703*thb^6+17155890*thb^4-713988*thb^2+8181 = 0
既約みたいです。 >>649
真横から見て影が正五角形になるときですね。
(四面体の高さ)=1.8x√(5+2√5)
(四面体㊤の高さ)=0.9(3-√5)x√(5+2√5)
(四面体㊥の高さ)=1.8(√5-2)x√(5+2√5)
0.074は超えない気がするけど気になってはいます。前>>653めんどくさいなぁ。 >>654
の連立方程式を数値的に解くと
tha = tan(α/2) = 0.500612548452861
thb = tan(β/2) = 0.133888590056153
ぐらいになりました。
>>621 さんの数値データから得られた値も（有効数字は）ほぼ一致してますね^^ >>654
の連立方程式を数値的に解いて得られた、 >>658
α = 53.1862428998954ﾟ
β = 15.2517985158774ﾟ
はゴールドバーグの文献値に近いです。 >>492
また、cosβ = 0.964779066797437 はメディアル8面体の d_4 = d_5 と一致してます。>>582 状況をまとめると、
対称性のあるメディアル多面体を>>464のように3つのパラメータで表して
数値計算で最大値を求めた結果（>>471，489，621あたり）も、
Lindelofの条件のうち円に外接するということを先に前提として使った上で
α，βの２つのパラメータで表して、接点が重心という条件で
α，βを求めるというアプローチ（>>633）で得られた結果（>>658）も、
円に外接する際の接点をランダムに設定した上でそれが各面の重心に近づくよう
接点を動かしてLindelofの条件を満たす状態に近づけていくというアプローチで
得られた結果（>>642）も、
すべて（誤差を除き）同様の結果となり、
その結果の各面の対象軸からの角度はGoldbergの論文に記されている値と一致した（>>494，659）
ということですよね。
もうこれは、ここでの結論は
> 180.23という値だけが何か間違っている
ということで打ち止めでいいんじゃないですかね。これ以上やることもあまりないような。
さすがにこれ以上一つの話題を引きずるのも迷惑だし。 >>654
tha^2 = A，tha*thb = B とおく。
上の式に tha を掛けると
(A-1)･{3(A-3)B^4 + 2(-AA-6A+13)B^3 + 11(AA-1)BB + 2(-13AA+6A+1)B + 3(3A-1)A} = 0,
… Aについて2次方程式になる。
下の式に tha^4 を掛けると
(A-1)(A+5)B^7 + (-15AA-72A+23)B^6 + 3(25AA+40A-1)B^5 + (12A^3 -197AA -72A+1)B^4 + (-A^3+72AA+197A-12)AB^3 + 3(AA-40A-25)AABB + (-23AA+72A+15)AAB + (A-1)(5A+1)AA = 0, 棟木を2x、垂木の最短の長さも2xとすると、屋根は等脚台形で、八面体を水平に見て射影が正五角形になるとき、
五角形の水平な対角線は、
(1+√5)x
八面体の真下にある底辺は、2x
八面体を真横から見て、
(八面体の高さ)=x√(5+2√5)
(八面体㊤の高さ)=x/2√(10-2√5
(八面体㊥の高さ)=x√(5+2√5)-2x√(10-2√5)
前>>657訂正&再考ですが、極値0.074……を超えないとなると、計算をつづけるに値するほど魅力的な式じゃないです。 >>654です。まだ次の問題でてきてないので私もその前に最後のレス。
>>654の最後の式既約ではありませんでした。
262144*(thb－1)^3*thb^9*(thb+1)^3*(thb^2+1)^3*(thb^4－10*thb^2+1)*(8181*thb^36－623997*thb^34+10242837*thb^32
－48965288*thb^30－59994180*thb^28+888366516*thb^26－574079300*thb^24－5645292312*thb^22
+4166321790*thb^20+19707900690*thb^18+4166321790*thb^16－5645292312*thb^14－574079300*thb^12
+888366516*thb^10－59994180*thb^8－48965288*thb^6+10242837*thb^4－623997*thb^2+8181)
となっていてthbはQ上36次方程式の解になっています。
この36次方程式は複２次式、かつ相反方程式になっているので指数４の部分体を持ちます。
具体的には (tan^2β + 1/tan^2β)/2 = 4/(1-cos 2β) -1 = C とおくとき C は9次の方程式
8181*x^9 -623997*x^8+10242837*x^7
-48965288*x^6-59994180*x^5+888366516*x^4
-574079300*x^3 -5645292312*x^2+4166321790*x+19707900690 = 0 …… (＊)
の解でおそらく [Q(thb) : Q(C) ] = 4、[Q(C) : Q] = 9 です。
おそらくと書いたのは(＊)の左辺の既約性がまだ未確認なんですが、 Maxima君もWolfram先生も因数分解できないのでほぼ確定だと思ってます。
兎にも角にもthbの満たす方程式が得られたので必要に応じていくらでも精度の高い解を得ることができます。
問題が残ってるとすれ(＊)がホントに代数的に解くのは無理なのかという事、つまりQ(C)/Qの単純性です。
(＊)が代数的に解けるのはQ(C)/QがQ上3次の中間体Q(C)/M/Qを持つときですが、それを確認する方法がなかなかうまく思いつきません。
原理的にはQ(C)/QのGalois閉包のGalois群を計算すればいいんですが、そんなの手計算でやるのも無理だし、コード組むのも一手間だし、
何より、多分Q(C)/Qは単純だった、なら労多くして得るもの少ない感じでちょっとやる気が起きません。 最後に方程式導出したmaximaのコード貼っときます。
ca(tha,thb) := (1-tha^2)/(1+tha^2); sa(tha,thb) := 2*tha/(1+tha^2);
cb(tha,thb) := (1-thb^2)/(1+thb^2); sb(tha,thb) := 2*thb/(1+thb^2);
a(tha,thb) := (ca(tha,thb) + cb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
b(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
c(tha,thb) := (1-b(tha,thb)*sb(tha,thb))/cb(tha,thb);
d(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(sa(tha,thb)*cb(tha,thb));
e(tha,thb) := 1/sa(tha,thb);
ga(tha,thb) := (2*c(tha,thb)+d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*b(tha,thb)
+ (c(tha,thb)+2*d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*e(tha,thb);
gb(tha,thb) := ((e(tha,thb)-b(tha,thb))*a(tha,thb)*(e(tha,thb)+2*b(tha,thb))
+2*b(tha,thb)*a(tha,thb)*b(tha,thb)
+2*b(tha,thb)*c(tha,thb)*(-b(tha,thb)))
/(a(tha,thb)*e(tha,thb)+a(tha,thb)*b(tha,thb)+2*b(tha,thb)*c(tha,thb))/3;
factor(ga(tha,thb)-sa(tha,thb));
factor(gb(tha,thb)-sb(tha,thb)); >>663
thb^2 + 1/thb^2 = 2{4/(1-cos 2β) - 1} = C とおくと、上の式の最後の因子は
(thb^18)｛8181*C^9 -623997*C^8 +10169208*C^7 -43973312*C^6 -131473152*C^5 +1169678304*C^4 -130954112*C^3 -9629462016*C^2 +5516962560*C +32871900928｝
となるので｛ ｝内を0とおいて
C = 55.80233866564161431594753276684087477826
thb = tan(β/2) = 0.1338885900561525235645099960430550447846
β = 15.25179851587733214293978022621725452035ﾟ
ですね^^ すいません。Cの方程式まちがった。
2094336*C^9－79871616*C^8+650829312*C^7－1407145984*C^6
－2103570432*C^5+9357426432*C^4－523816448*C^3
－19258924032*C^2+5516962560*C+26289900809
です。改訂版。Cの方程式まで一気に作らせます。
よくよく考えたら関数として定義する意味なかった。
基本これで最後です。
もしCが代数的に解けたりしたらまた書くかも。
いまのとこ望み薄ですけどねぇ。
load ("orthopoly");
ca: (1-tha^2)/(1+tha^2); sa: 2*tha/(1+tha^2);
cb: (1-thb^2)/(1+thb^2); sb: 2*thb/(1+thb^2);
a: (ca + cb)/(1+ca *cb - sa *sb);
b: (sa - sb)/(1+ca *cb - sa *sb);
c: (1-b * sb)/cb;
d: (sa - sb)/(sa *cb);
e: 1/sa;
ga: (2*c +d)/(3*c +3*d)*b+ (c +2*d)/(3*c+3*d)*e;
gb: ((e-b)*a*(e+2*b)+ 2*b*a*b+ 2*b*c*(-b))/(a*e + a*b + 2*b*c)/3;
num(factor(ga - sa));
eq1:part(num(factor(ga - sa)),3);
eq2:num(factor(gb - sb));
eqc:part(factor(resultant(eq1,eq2,tha)),7);
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(k,C)),k,0,9),factor; コードの最後の行
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(abs(k),C)),k,-9,9),factor;
で結果は
256*
(16362*C^9－623997*C^8+5084604*C^7－10993328*C^6－16434144*C^5+73104894*C^4－4092316*C^3－150460344*C^2+43101270*C+128405863)
でした。スレ汚しスマヌ…orz。 >>666
今更だが、定数項は 16435950464
>>667
たぶん正解
C = 27.90116933282080715797376638342043738913
thb と β は >>665 のとおり。 まぁ面白かった。数値に関しては原論文超えてる？ひとえに計算機のおかげだけど。 気分一新で再開しませんか？
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ[k=1,n] [kx]/k
を示せ。ただし[x]はガウス記号である。 それにしても よく間違う人だった。（他人のことは言えないが…） ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
