おっちゃんです。
え〜、>>430-431には間違いがあります。正しくは次のようになる。

超越数 a∈R について、aがリウビル数であるための必要十分は、
任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が 1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n を満たすことである。
(証明)、[第１段]：a∈I をリウビル数とする。正整数nを任意に取る。
有理数直線Qの部分空間 J(n,a) を J(n,a)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^n } と定義する。
正整数の大小関係から、(p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q の分母qについて、
qに上限は存在せず下限 c＝inf_{ (p,q)＝1, p/q∈J(n,a) }(q) が存在する。故に、J(n,a) は可算無限集合である。
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された J(n,a) の既約分数 p/q を任意に取る。
すると、|a−p/q| は超越数で |a−p/q|＞0 だから、J(n,a) の定義に注意すると、
p/q に対して或る正整数 m(p/q) が存在して、1/( m(p/q)・q^n )＜|a−p/q|＜1/q^n。従って、m(p/q)≧2。
J(n,a) の既約分数 p/q は任意であるから、既約分数 p/q を J(n,a) 上で走らせれば、
両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された或る有理数 p/q∈J(n,a) が存在し、
p/q に対して或る2以上の整数 m(p/q) が定まって、m＝m(p/q) とおけば、
k≧m のとき、高々有限個の (p,k)＝1 なる正整数 p,k を用いて表された
有理数 p/k∈J(n,a) は 1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n を満たす。