数理論理学(数学基礎論) その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが 現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、 構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野 に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 (「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも 若干の個人差があるようです。) 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、 代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 (数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照) 前スレ 数学基礎論・数理論理学 その11 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ >>90 [ (PならばQである)か、又は(PならばRである) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。 >全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも? ある命題が真ならば、その否定は偽である、は恒久的な真である公理の一つ。 >>98 論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか? 自然数論の無矛盾性証明では証明図に順序数を与えて、その下で超限帰納法で証明してるじゃないですか。 なんで証明図に順序数を対応させなきゃいけないんですか? ゲーデル数のアイデア流用して証明図に自然数を対応させるんじゃダメなんですか? ゲーデル数の定義を巧妙にしたら、 記号列(論理式)の有限列(=シーケント) の有限列(=”糸”みたいな奴←カット除去定理の時に定義されてた奴) の有限列(=証明図) を一意に自然数に対応させることって出来るような気がするんですが?(漠然とした感想) >>!00 >論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか? Russellb Hilbert, Genzen も「ならば」の解釈を間違えた。 >>90 [ (PならばQである)か、又は(PならばQでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。 >>90 [Pであり (PならばQである)かつ(PならばQでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。 >>101 立場の問題かと思います、多分 有限の立場に立つならば、むしろ自然数と対応付けができなければそれは証明とはみなされません >>103 あなたの考える「ならば」と論理学における「ならば」は異なるものだというだけですね >>103 論理結合子「☆」(スター)を次で定義します T☆T=T T☆F=F F☆T=T F☆F=T このとき 《 [P☆(QかR)] ☆[ (P☆Qである)か、又は(P☆Rである) ] 》 は正しいです これは現実と矛盾してるんでしょうか? >>101 自然数に対応させることはもちろん可能だが、証明図を変形したとき、対応する自然数が小さくなるような対応でなければ意味がない もしそのような対応が存在すれば一階の数学的帰納法でペアノ算術の無矛盾性を証明できることになるが、 これは第二不完全性定理と矛盾する R.Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley 1967は、基礎論の専門化を目指す人が必ず1度は手にする最高級の教科書 (田中一之「数学基礎論講義」 64ページ) ↑これって本当ですか? 第一不完全性定理についてちょっと理解不足があるんで質問なんですが、 この定理は、ある論理式ψが存在して、 PA|-ψでない かつ PA|-¬ψでない だと思います。(PAはペアノ算術です) この時PAのモデルMを任意に取るとM|=ψなのですか? M|=Ψの場合もあるし、M|≠Ψの場合もどちらもあり得ます PAともなるともはや一階述語論理の完全性定理が成り立たなくなる?と思ったので質問したのです。 算術の標準モデルNについてだけ、N|=ψなのだろうか あれ? 第一不完全性定理について、たまに「この定理は正しいにもかかわらず証明出来ない命題が存在することを主張するモノだ」 という説明を見るんですが、ここでいう"正しい"が何を指しているのか気になったので質問したんですが ありがとうございます 第一不完全性定理を扱っている議論の最中にモデルの話が出てくるところは見たことが無かったもので、 ついつい、この"正しさ"をモデル論における真ではなく、何らかの直観的な正しさなるものを指していたものとばかり思い込んでいました 前から何となく思っていたんですがロッサーの不完全性定理があるのに何でわざわざゲーデルの第一不完全性定理をテキストに載せるんですか? ゲーデルに敬意でも払ってるんですかね? テーラー展開があるのにわざわざx=0の時だけマクローリン展開と言ってるような違和感を感じますw 第二不完全性定理はGodel文と無矛盾性CONの 同値を言うことで示すでしょ。 Rosser文だとこれが出来ない。 第二は第一の単なる応用ではなくて、それとは全く 独立に重要な定理なので、Rosser文だけでは困る。 Hilbertプログラム云々の歴史的な話は措いといて 単純に数学としての応用としてみても、 集合論や算術のモデル論とかとの関連で 出てくるのは多くは第二の方だしね。 前者が対角線論法ズバリという感じなのに対して 後者はテクニカルな修正を加えて小手先の改良をしている。だから応用には乏しい。 Godel文とRosser文の実際の構成を知ってれば分かると思う。 「恒久的な真理」なんて言うのはオカシイ。 真理とは、すべて。恒久的なものだからだ。 第二不完全性定理の詳細な証明は学んだことが無いんですが、「第一不完全性定理の証明までの議論を形式化すればいい」みたいな文句はよく見かけますよね じゃあロッサーの不完全性定理はゲーデルの第一不完全性定理に比べて前提とする条件が弱い(ω無矛盾ではなく単なる無矛盾性だけ)だけに そのロッサーの不完全性定理の証明までの議論を形式化することによって、ゲーデルの第二不完全性定理よりも"ちょっとだけ一般化されたロッサーの第二不完全性定理"みたいなものが出てきはしないんですかね? もし出てこないのであれば、ω無矛盾性・無矛盾性の違いが形式化への流れの中でどのように消えてしまっているのかが気になります >>123 >真理は相対的なもの そう信じるのは誤り。 異なる3個のものから2個選ぶ選び方の数は3通り。これは絶対的な真理。 >>124 三段論法や排中律を使わずに証明できて居るかどうか確認できてる? ルイスキャロルの無限後退法やブラウワーの直観主義というのもあるんだがね >>124 「異なる3個のものから2個選ぶ選び方の数は3通り 」 あるモデルにおける解釈として、「異なる」を「同じ」という意味だと解釈しましょう このとき、この論理式は偽となりますね 同じ3つのものから2つ取り出す選び方は1通りしかありませんから >>124 「真理は全て恒久的なもの」ではない、ということ 「条件付き」の条件が空であることも許される 等号の公理を差し置いて 「異なる」を「同じ」という意味だと解釈 手の付けられない馬鹿だな >>128 そういう公理が含まれないかもしれませんね 気にくわないなら、3を4と解釈する、でもいいですよ、 >>129 そういう記号の約束事みたいな話は本質的ではない 直観主義云々は証明論とか統語的な話ですよね 真理云々は意味論、すなわちモデル理論の範疇です ・我田引水 ・ああいえばこう言う ・そういうお前をわしゃ食った 論理の通じない相手を相手するだけ徒労 >>131 それ以前の日本語の話 そもそも等号の公理を使わないなら、「同じ」とか「異なる」という日本語も使うべきではない おまえは上の文中の「日本語」や「使う」をモデルでどう解釈するか考えたりしないだろう それと同じだ >>134 でも、理論的には間違ってはないですよ? 自分がからないからって屁理屈言うのはやめたらどうですか? 勘違いした哲学バカだな おまえは全ての言語にモデルの解釈が可能だとでも思っているのか 無限後退に陥るだけだ ここは数理論理のスレなんですから、全ての命題は形式言語により書き直して考えるというのは何もおかしくないですよね? だったら試しに日本語の「同じ」にモデルを当てはめてみな でも確かに異なるを同じと解釈は無理があったかもしれませんね 3を4と解釈にしましょう >>124 取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だとすると、異なる3個のものから2個選ぶ選び方の数は6通り。 これもまた真理。 「「取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だ」と考えるのはチミくらいのものさ。w >>146 「順列」でいいだろ。 さすがに順列の定義を説明する気にならん。 その昔、イマニュエル・カントは『純正理性批判』(第二版・序文)で 「論理学はどう見ても、アリストテレスの著作でもって完成している ように見える」と書いたが、その見解が誤りであったことは、その後の 記号論理学の著しい発展を見れば明らかである。では、今日の記号論理学 は、一応なりとも、完成したと言えるのだろうか? 大多数の人々は、 ゲーデルのいわゆる“(述語論理の)完全性定理”を引き合いに出してして、 イエスと答えるであろう。しかし。これも又、カントの轍を踏んで、誤り なのである。 >>149 おいおい、レスバに負けたからって低能な返事するなよ。 「プリンキピア・マテマティカ」持ち出すとか、やりようがあるだろ。まあ返事しないけど。 完全性定理が選択公理を使って証明してるからなあ。数理論理って実に くだらないよな。論理学の正当化には微塵も役立たない。 >>151 使ったとしても、それはメタな選択公理だから問題ないですね >>154 勿論。だけど正当化にはならないだろ。ただの記号遊び。 論理に関して何にも明らかにならない。PAの(相対)無矛盾性証明と同じ。 eスポーツと呼ばれるFPSとかのゲームと同類。何も生み出さない。 >>155 形式化された論理を用いた定式化、という面では意味があると思います >>151 ω無矛盾という言葉は、メタと対象の区別を行うからこそ捉えることが出来る概念 ■モンティホール問題(空箱とダイヤ) このゲームができるのは1回だけです ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の 中のどれかひとつに入れます その中から1個の箱を選びます 98個の空箱を取り除きます 最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます ダイヤモンドが当たる確率は何%でしょうか? それ、別スレで0は自然数ではないと言い続けてる奴だろ PAが無矛盾だというのはただの信仰だからな。 ZFCに関しては言わずもがな。AV見てる方がロジックやるより有意義だろ。 んなこと言ってたら1+1=2まで信仰とかいうことになるカモだよ 書籍紹介 鹿島亮准教授によれば、 G.Boolos, The Logic of Provabilityは第二不完全性定理の証明が非常に詳細に書かれているとのこと 諸君は、(P⊃Q)⊃(Q⊃P)などと言った「奇怪な“定理”」をもつ 「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか? www (P⊃Q)∨(Q⊃P)ではないですか? P=F、Q=Tのとき成り立ちませんよ、それ 諸君は、(P⊃Q)v(Q⊃P)などと言った「奇怪な“定理”」をもつ 「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか? www ならばやまたはの解釈が違うんですね 古典論理においては(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しいですが、直観主義論理においては、(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しくないです 証明もできません あなたの考えはもしかしたら直観主義的なのかもしれません そっちの方の論理学を勉強してみると良いかもしれませんね まあ、でも多分あなたの場合は、命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話だとは思いますけど 論理学を、“命題論理”と“述語論理”とに分けるのがそもそもの間違いだ。 例えば、p⊃(PvQ)は恒真式(tautology)だと言うが、それは取りも 直さず∀p,q{p⊃(PvQ)} ってことであって、“命題論理”の段階で、 全称概念を「密輸入」しているからだ。 >>169 直観論理なるものは、飽きるほど研究した。 排中律を否定する様では、ハナシニナラヌ。w >>!70 「命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話」と思うのは、 早がってんだ。 量化記号を使えば、∀p,q{∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] となり、これは恒真だからだ。 >>171 メタと対象は違う 二階論理は一階論理のある種の拡大になっているとでもいうのか? >>175 >>171 の何処ががメタで何処が対象なんだよ??? >>174 >量化記号を使えば、∀p,q{∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] ∀p,qの部分は、命題変数に対する量化記号であり、これはメタな記述ですね ∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] これは、∀x[P(x) ⊃Q(x)]v∀x[Q(x) ⊃P(x)]でしょうか だから、このあなたの解釈が間違ってるんです ∀x([P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)]) これなら正しいですね てか、命題論理を考えずに述語論理にいきなり飛ぶからわからないんだと思いますよ 命題変数を経由しない立場としては、PやQはある形式的言語にアプリオリに含まれる命題記号および述語記号となりますね ごめん! 入力ミスをしていた。 ∀p,q{∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] は、正しくは ∀p,q{∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] } いわゆる“命題論理”では、全称記号こそ用いないが、「全称」の概念のほうは、 チャッカリ、密輸入している。 それが問題なのだ。 >>181 直ってませんよー スマン! ∀p,q【∀x[P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] }】 >>182 命題変数の全称量記号を用いない定式化については>>179 に書きました そのような命題変数を考える二階の論理は、通常の一階の述語論理から見ればメタな記述となります >>183 てかまだ直ってませんね ∀xはどこにかかってるんですか? 私にはP(x)⊃Q(x)にだけかかってるように見えます 確かに、未だ直っていなかったな。w ∀p,q【∀x[ [P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] }】 これで、どうや? w # ∀x は[ [P(x) ⊃Q(x)]v[Q(x) ⊃P(x)] まで掛る。 >>186 カッコの対応が変ですけどまあ良しとしましょうか あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか? 恒真だとは認めるということですか? >>184 肝腎なのは、概念であって、記号ではないのだよ。w >>189 私は、あなたは記号の意味を曖昧にしてるから混乱してるだけだと思いますけどね 命題変数と命題記号の違いわかりますか? >188 あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか? 恒真だとは認めるということですか? (P⊃Q)∨(Q⊃P) は、言う迄もなく、恒真式です。 一方、(P⊃Q)⊃(〜Q⊃〜P) は恒真式であり。「(PならばQ)ならば(〜Qならば〜P) 」 が成立します。 しかるに、(PならばQ)かまたは(QならばP) は成立しません。 >>192 Frege流の論理学理論は、根幹的な部分で、間違っていたからです。 (『Philosophy of Logic[[s]』 by Susan Haack: Cambridge Uni. Press) >>194 >どこが間違ってるんですか? あげれば、きりが無いほど間違っているんだけれども、このスレッドの関連で言えば、 恒真式、即、論理法則と考えた点。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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