スレチだったらすみません。

任意の自然数nに関する実数tの3次方程式を考えます。
∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}

このときこの方程式の条件式の部分だけを考えて、

t^3+3nt^2-3n-2=0⇔∃X,Y{Y=(3/2)t^2*X-t^3∧(X,Y)=(-2n,-3n-2)}

と、同値変形することは正しいでしょうか？

これだけだと同値式の左辺はn,tの定義が不明で方程式として見ているのか恒等式なのか判断できないから真偽判定できないが
右辺はX,Yの存在に関する真偽判定可能な命題になっていて本当に論理的に左右が等しいのかわからないのではないか？

と、指摘がありました。
その人は右辺の二つ目の条件は条件というよりもX,Yの定義そのものだから∃X,Yを削除して、さらに条件式だけではなくt,nの定義もセットにして

∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}⇔∀n∈N∃t∈R{Y=(3/2)t^2*X-t^3, ただし(X,Y)=(-2n,-3n-2)}

とするのであれば理解できると言ってました。

結局条件式の同値変形はどうするのが正しいのでしょうか？
特に∃X,Yが付くか付かないかで本当に意味が変わってしまうのでしょうか？

わかる方がいましたら何卒回答を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします