数理論理学（数学基礎論） その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ >>827
いや面白すぎるでしょコレ
ただ、他の数学者（夫含む）の数学の邪魔はして
欲しくないなとは思うけど。 >>826
再帰的定義のコーディングが必要なのが
第二の方なのか第一なのかは証明の方針を理解してりゃ
明らかにわかるでしょ。知りたいならちゃんとした
教科書を読むしかないよ。
中国剰余定理を使うコーディングが主流なのは、多分
多分それが一番サクッとコーディング出来るから、
というだけだと思う。
使わないやり方の本は、Peano算術より弱い
限定算術に対して不完全性定理を証明してる本とか、
説明の都合上最初は指数関数の記号が入ってて
コーディングが楽にできる体系で本筋を進みたいという
方針の本とか、
割と話題を証明論の一部に特化した本になる。
基本的に表現力が強い体系の方がコーディングは楽で、
弱い体系になればなるほど、地道で微妙なコーディングが
必要になって来る。 >>830
僕の質問はコーディングに際して
素因数分解の一意性に基づいて議論を進めるのか
可逆写像φ:N*N→N の存在に基づいて議論を進めるのか
に関わっているということですか そもそも素数が無限個あることを前提としている
限定算術だとかなり微妙な問題 direct limitって直極限と訳されてるけど、
明らかにdirected setと関わりの深い概念なんだから
有向極限と呼ぶべきな気がする ああでも逆極限と同時に考える場合はそれじゃ困るか
今のなしで 純粋数学で議論･構築されている数学って形式的体系内における数学なのか外における数学なのかどっちですか？ ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
数論的関数を形式的体系へ表現したのと同様に
ZFCにおける論理式を形式的体系へ表現するとか言う議論ってあるんですか？ ZFCにおける術語が帰納的かどうかで分類して形式的議論においてどこまでの違いを生むのかとか気になりますが 形式的体系外とか内とかいっても、やってることは
ZFCの宇宙Vの中で、ZFCのモデルMとか
その意味論や証明論をやってるだけ。
そう考えるのが一番簡単だし、それが集合論の人の
普段の思考に最も即すと思う。
別にZFCじゃなくても良いけど、
公理系を変えて考えるときにもそれがVの性質なのか
Mの性質なのかの二つの場合がある。
非ユークリッド幾何のモデルをユークリッド幾何の中で
作ったりする事とまったく同じ。
Vがambient spaceで、Mがその中に埋め込まれた空間。
独立性証明は、原理的にはもっと弱い算術の上で
行われてると考える事も出来るけどね。そう考える場合、
実際の証明の流れを多少modifyしたような事が
算術の上でemulateできる、みたいね感じになって
あまり直感的に分かりやすいとは言い難いよね。 >>840
>ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
そんなの意識するのは
食い詰めた基礎論屋だけ 船上に26匹の羊と10匹のヤギがいる
このとき、船長は何歳でしょう？
40年前、数学教育を専門とするフランスの研究者が
この問いを小学低学年の子どもたちに投げかけた
すると、大多数の子どもが「36」と答えたそうだ
もちろん、船の上に動物が何匹いようが、
船長の年齢と関係はない
解けるはずのないナンセンスな問いだが、
子どもたちは反射的に、文中に出てきた数を足し合わせ、
もっともらしい「解」を導き出した A「ピザって十回言ってみて」
B「ピザピザピザピザ…」
A「じゃあここは？」
B「ひざ」 Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領もあんさつされた」
とする。
「ＰはＱを内含する」は、明らかに偽。
他方、「ＰはＱを実質的に内含する（即ち、not-ＰｖＱ）」は真。
一方が偽で他方が真であるような２つの命題が同義である筈がない！ Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とする。
「ＰはＱを内含する」は、明らかに偽。
他方、「ＰはＱを実質的に内含する（即ち、not-ＰvＱ）」は真。
一方が偽で他方が真であるような２つの命題が同義である筈がない！ だから
命題論理の内包ってのは
命題の「真偽」だけに着目してるんだって
PQいずれも真なら
P→QもQ→Pも真 material inplucationは質料と形相とかいうときの
質料のmaterialなので実質と訳すのはどうなのかなあ >>826は私ですけど、廣瀬健の帰納的関数 p117-p118に気持ちいいぐらいのドストライクな回答がありましたね
初等的述語が算術的述語であることを証明するのに必要でした 今、廣瀬健の｢帰納的関数｣を黙読してますけどこれいい本ですよ
説明・証明が丁寧で議論の筋道がわかりやすい
今日、一般枚挙可能定理まで黙読しました >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、 P→Q は明らかに偽。
P Qいずれも真であるが、 >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、P Q いずれも真であるが、 P→Q は明らかに偽。 明らかに真だが…
もちろん、項にいかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する。
技術的用語を、定義を追わず、見た目から自分勝手に表面的に解釈し、その解釈に惑わされて全く無用の思考を延々とくり返し、あまつさえそれを世の中に公表しまくってしまう、ご苦労なおバカさんっているよね。
アインシュタインは間違っている！とか言いだしちゃう手合いも、そういうタイプなんだろうなあ。 849１３２人目の素数さん2018/06/10(日) 03:19:10.66ID:ATVzbBYJ
哲学板でやってれば
いいや、ここに留まる。
”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。 >>856 いかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する
P→Qを¬P∨Qと定義したのならならそのとおりだ。
問題は、P→Qを¬P∨Qと定義すべきではないと主張しているのだ、ｗ P→Qを∀x.P(x)→Q(x)としか思えないヤツは頭が悪い ＞アインシュタインは間違っている！とか言いだしちゃう手合い
そういうヤツは現実ではなく自分勝手な前提に基づく馬鹿だな
現実の現象は絶対時刻と矛盾する
物理学は現実を扱う学問 アタマの中の”事実”を扱う学問ではない >>859
まだ言ってる
ではどう定義するべきかは何も考えてない P→Qを∀x.P(x)→Q(x)と考える香具師は、一歩進んでいる。 >>862
＞ではどう定義するべきかは何も考えてない
のではなくて、何も教えていない。ｗ なお
背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ >>866
＞背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ
勿論、使えるさ。 何度言えばわかるんですかねー
あなたのならばは、自由変数を含まない原始命題に対しては定義することすらできない欠陥品だと ケネディ大統領が暗殺された→1+1=2である
これはどうですか？
命題ではないですか？
真偽が定義できないですか？ >>866
どういう話の流れか把握してないけど、
俺は背理法が使えない矛盾許容論理に興味あるぞ >>874
数理論理的に言うなら、命題とは、アトミックな論理式、すなわち原始命題から構成される論理式のことですね
複雑な論理式は、原始命題や他の命題を論理結合子で結びつけることによって作ることができます
前提とは、A→BにおけるAのことですね
つまりですね、ならば命題を作ると言う段階は統語の範疇であり、意味はまだ付加されていないんですよ
少なくとも数理論理においては
ここまでの説明がわからないのであれば、あなたは意見をするレベルにないと言うことです
勉強し直してくださいね マジレスすると
「象は動物である」を命題って言うのは
何でも集合だってしてた素朴集合論同様の「素朴命題論理」ってやつね
命題論理は真偽のみに着目して
「何が真」「何が偽」という真偽以前の「素朴命題」（って呼ばせてもらうね）には関知しない
あくまで投射された真偽の真偽そのものにしか注視しないのよ だので
「象が植物であるならばケネディは90歳で死んだ」は真（に投射される） 874 名前:１３２人目の素数さん :2018/06/13(水) 23:44:56.08 ID:DMPVOmLK
>>870
前提は命題って言うにはちょっと甘いな
これは統語と意味論の区別がついていないから書き込めるレスですね >>878
「意味」を考えることはないってことが分かってないのね >>880
そこで言ったのは
ケネディ
暗殺
ケネディが暗殺された
定義を明確に出来ないからだよ >>881
数理論理学において、意味とは、命題記号、述語記号、定数記号、関数記号に具体的な命題、述語、対象、写像をマッピングすることを言います 定義を明確にしようとすればするほど無限後退になってしまうからね >>884
数学的には、意味とは厳密に数学的に定義された用語です >>883
どうぞ
ケネディ
大統領
暗殺
をマッピングしてね >>870
>ケネディ大統領が暗殺された
さあ
ドンドン「意味」をマッピングしてね >>887
ケネディ→ケネディ
大統領→大統領
暗殺→暗殺
この意味が分からなければ、あなたはこのスレッドにいる資格がありません M|=ケネディ^M大統領^Mは暗殺^Mされた
こういうことを、数理論理において論理式を解釈する、といいます
>>891
はい、数理論理が何もわかっていないことが判明しましたね
消えてください >>883
命題記号には真偽値を、述語記号には真理集合を、に訂正しておきます >>857
> 哲学板でやってれば
>
> いいや、ここに留まる。
> ”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。
だからそれは哲学の問題、あるいは哲学としての論理学理論の問題
ここは数学、数学は単なるゲーム
ゲームとしての数学で重要なのは、公理系が面白い＝様々な美しい定理が導かれるだけの豊かさを持つか否かであって日常の言葉に沿っているか否かの問題は数学では関心・興味の対象ではない
君が拘っている自然語としての"if …, then …"に沿った解釈に基づく公理か否かは数学の問題ではないから、これについて数理論理学としては正しい・間違っているの判断はしない
どういう解釈であろうと、その解釈の結果として面白い公理系が得られればそれが数学としては「正しい」道
そして、君が「解釈が間違っている」と批判する古典命題論理はモデルとしてのブール代数など十分に豊かで楽しめる世界を与えてくれたので数学の一分野である数理論理学としてはそれで十分に合格
君の疑問や議論が意味や意義を持つのはあくまでも哲学においてだけだ、数学では君の疑問の価値はゼロ、ここで論じられても単なる迷惑なだけというのを良く認識したまえ、偏執狂のアスペ君 命題論理で拘るべきなのは形式の整合性であって、現実的な意味内容にアクセント
を置くものではないんんじゃない。
ケネディ暗殺とか言っても、それを自分たちで目撃した訳でも検証したのでなく、
単なる歴史的な風聞を鵜呑みにしているだけであって、ケネディ暗殺が真値である
という保証さえない。替え玉が殺されたのかもしれないし。だから意味内容として
それが整合的になっているかを重視するのでなく、形式レベルを問題にすれば
いいだろう。 >>901
全くその通り
極論を言えば普通に考えておかしいと思えるような公理であったとしてもそこから十分に面白いと思える定理が導かれるなら
そういう公理もアリとなる 矛盾許容論理って
積極的に矛盾を導入するって立場と
矛盾律（⊥→A）を使わないって立場と
硬軟2種類有るよね 思うんだが、何で日本ってこれほどまでに数理論理学が舐められてるの？ 日本人がバカだからに決まってます
言語性IQの平均値は欧米より10も低いんですよ 日本のIT分野全般的にダメダメだから
理論的な根底成してる数理論理学もダメなんでしょ >>909
それ数理論理学特有の理由にはなってないんですがね どのスレに書けばいいか分からないのでココに書きます
足し算を“一括で”行う演算がかけ算 a*(b+1) = a*b+a
かけ算を“一括で”行う演算がべき乗 a^(b+1) = (a^b)*a
ではどうしてべき乗を“一括で”行う｢演算f3 f3(a,b+1)=f3(a,b)^a｣は数学もしくは数理論理学で扱われないんですか？
もっと言えば
fnを“一括で”行う演算f_(n+1)(a,b+1)=f_n(f_(n+1)(a,b),a)はなぜ扱われないんですか？ >>912
クヌースの矢印表記のこと？
巨大数スレ見てみた？ 数理論理学は論理学と哲学分野が密接に関係していると思っていて、数理論理学に触れる前にそれらを通るものだと考えると、
元々それらは日本の文化として存在せず、現在も根付いておらず、研究者の層が薄く、 幼少期から本物に触れる機会も少なく、知らないからこそ舐められていると思う。
結果として数理論理学まで到達する人も少なく、関連する数理論理学も同様に舐められているんだと思うな。 ヒルベルトとかの頃ならともかく
単に数学として面白みがないってことだと思うよ
実数がアレフ１か２かとか
別にどうでもよさげ
アレフ2だとして
じゃあそのアレフ1の部分集合が
なんだかよく分かるかって
実際全然具体性ないし >>915
908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
単に人口の問題ではないとして、文化的な違いが背景にあるんじゃないかと思ってるわ https://www.youtube.com/watch?v=5LJgfNQle9M
数字の発見をしました。
動画です。
ついでにもしよかったら他の動画もよろしく。（工作、電卓、絵、花火など） >>908
数理論理学の研究者が数学科の中でポストを得にくいから情報科学科とかで何とか大学教員になる。
余計数学科の中では勢力が弱くなるってことでしょ。 >>920だけど、数学難しいです。
理科が好きですー 921は数理論理学が舐められていることを前提にしていて、舐められているからこそ数学科のポストが得られず、情報科に行き、それによってまた舐められて数学科のポストが得られないという負の循環を示すだけで、数学的帰納法で言うn=1が成り立つ理由を説明できてないように思う >>922
見ましたよ
面白いですやん
数学的な理由付けがあればシリーズ物として見てみたいと思いましたわ アメリカは日本の不幸の元凶である。
・アメリカはインディアン殲滅と土地略奪、奴隷貿易で成立したキチガイ国家である。
・その汚らしい歴史を薄めるため、ありもしない南京大虐殺の罪を日本に被せ、自らは正義面をし世界に
アメリカ流をゴリ押ししている。
・中国共産党と北朝鮮そして韓国はアメリカが作った傀儡国である。
・これらの三か国に反日と憎悪を煽り日本への破壊行為の手助けをしてるのは紛れもなくアメリカである。
・北朝鮮にミサイルを打たせてるのはアメリカである。中国の日本領海の侵入を後押ししてるのもアメリカである。
・日本へのタカリ根性と乞食根性が染みついた韓国中国をとことん甘やかし増長させてるのもアメリカである。
・日本を滅ぼす行為を裏で操りながら、守ってやると偉そうに米軍基地を置き日本を監視し独立を
阻害してるのはアメリカである。
・GHQ体制以後、アメリカは在日朝鮮人を日本の間接支配の道具とし、様々な重要ポストを与え日本人を牽制かつ毀損し
日本人の監視を行わせている。
・芸能界において人気がないにもかかわらず、在日やハーフもしくは白人が起用されるのはアメリカの圧力があるからである。
・アメリカは貿易黒字のドルを金へ兌換することを日本に許さず。エンドレスに米国債を買わせアメリカ経済とドルを
支えることを強制している。
・アメリカは緊縮財政と消費増税かつ東京一極集中を日本政府に行わせ、日本人を貧乏かつ疲弊させ、国力低下と日本人削減を
徹底的に行わせている。
・アメリカは日本政府に移民を大量に入れることを命令し、日本の文化と秩序を壊し、日本を東南アジアのような貧乏かつ
売春大国にしようとしている。
・アメリカは自ら作った国際緊張で日本を脅し、日本の法律と憲法の上に位置するTPPもしくはFTAを結び、日本の主権を奪い
日本人を奴隷にしようとしている。 >>918
> 908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
> 何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
欧米でも数理論理学が充分にリスペクトされるようになったのは割と最近で
それまではマイノリティとして主流分野の数学者との間で長い長い戦いがあった
それは欧州のとある数理論理学者から直接に聞いたので確かだろう
現時点において、欧米で数理論理学が日本よりも安定した地位を得ているのは、
理論計算機科学に対する欧米と日本とでのリスペクトの違い
日本が人工知能という与太に基づく第５世代コンピュータを当時の通産省主導でブチ上げたのに対する
ヨーロッパの反撃はESPRIT計画だったわけだが、このプロジェクトを成す様々な研究テーマの大半は理論計算機科学の特定テーマの研究加速化であったり
理論計算機科学の成果を応用しようというものであったりした
少なくとも当時のハード性能では与太話に過ぎなかった人工知能や知識工学に入れあげた日本と、理論計算機科学という中身の確かな学術分野を育てようとしたヨーロッパ
その理論計算機科学への集中的かつそれなりに長い期間の予算投入と重点強化で、そのバックグラウンドとしての数理論理学もヨーロッパではスポットライトを浴びて
数理論理学の研究者はヨーロッパで安定したステータスを確立できたと考えるのが妥当だろうね
日本だって一応はロジックプログラミングに基づく第五世代ということで、その際にばら撒かれた研究資金はロジック屋や理論計算機科学屋さんたちにも少しは流れたから
第五世代プロジェクトの時代にそれらの分野の研究者が急激に増えて育ったが、その後の予算が続かなかったので徐々に先細りしつつあるのが現状 レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
