正しいと証明できてないものは使ってはいけないというのは数学においては究極的には正しくなくて
正しいと証明できてなくても正しそうなものは皆が認めるなら使ってもいいし
それを使って矛盾がないことが証明できれば誰がどう言おうが使ってもいい
ただし正しいと証明されないのだからそれを認めない立場も認める
もちろんそれを認めない立場がつまらないと認める立場も認める
というのが数学における正しい立場じゃないかな
矛盾が起こらないこと自体は形式化で証明すればよいわけだけど
それだって数学で使われている事柄が矛盾を引き起こさないという共同合意に基づいている
だって矛盾が起こるようなら何でも結論できちゃうからね
そしてその場合当然形式化でも矛盾が起きちゃう
今のところ
数学において究極の正しいと認められている事柄（公理）は
モノに関しては集合論（ZF,ZFC,BG)
演繹に関しては古典論理（LK,NK)
じゃないかしら