メタと対象という区別があります

我々が通常の数学をする際に用いているのはメタなレベルにおいての言語および論理です
数理論理が対象とするのは、形式化された言語および論理です
形式化された言語における定理を我々が証明する際に用いる論理は、メタなレベルにおける論理です
証明された定理の内容は形式化されたレベルにおける論理です

つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね