数理論理学(数学基礎論) その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが 現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、 構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野 に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 (「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも 若干の個人差があるようです。) 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、 代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 (数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照) 前スレ 数学基礎論・数理論理学 その11 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ >>236 P→Qを¬P∨Qと同値にしないんだから「真ならば真」も一概には認めないんじゃないの? >>235 世間では背理法はたぶん受け入れられない 「そんなこというても〜」って言われるのがオチ >>236 んで対偶は認めるんだから「偽ならば偽」も有り得るとするんじゃないの? 「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。 "P ならば Q である"と言ったとき、P, Q の正体は「変項をおなじくする述語」であって、 命題ではないのです。だから、それらに真偽などありません。 それに述語は変項の値毎に真偽が定まる真偽関数なんだから Non-Standard-Logic を研究し尽くした者からの忠告:− 「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。 w >>244 >えーそれは命題論理じゃないよ 論理学を、命題論理と述語論理に分けるのは間違いだったのさ。w 「P(x)ならばQ(x)である」は「∀x[〜P(x)vQ(x)]」と同値。 >>247 勝手なことを むしろそう解釈するから >>243 みたいなトンチンカンなことをいう >>236 では、あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと考えるわけですね 論理演算ではないなら、なんなんですか? >>243 命題は、xの値によらず一定値を取り続ける述語だと考えることができますね その場合、PならばQは、P(x)ならばQ(x)と見ても良いわけです この場合はどうなりますか? 「P(x)ならばQ(x)である」は仮言命題といい、「P(α)はQ(α)を内含する」とは 区別します。 「P(α)がQ(α)を内含する」ときに限り、「P(x)ならばQ(x)である」が成立する。 ヴェン図で説明すると、円Pが円Qに包まれていさえるれば、 「P(x)ならばQ(x)である」が成立します。 「P(α)はQ(α)を内含する」は、それでは未だ不充分で、αが実際に 論議世界の要素となっているぉとを示す必要があります。 尚、それが示されたならば、「P(x)ならばQ(x)である」が成立して いる限り、「P(α)はQ(α)を内含する」の真偽は、P(α)やQ(α)の真偽 には依存しません。 議論世界以外の要素は普通は考えませんね あなたの論理は通常の常識とは異なるようです そもそも、P(x)とP(α)の違い、ならばと内包する、の違いが不明瞭ですね 詳しく説明してください 円Pが円Qに包むように描いたのが「P(x)ならばQ(x)である」のヴェン図 であり、そのなかにαを表わす点を添えたのが「P(α)はQ(α)を内含する」の ヴェン図です。 そのなかにαを表わす点を添えた とはどのようなことですか? >>256 >P(x)とP(α)の違い P(x)は述語。P(α)は命題。言い換えれば、xは変項、αは定項。 >>259 P(α)はQ(α)を内含する とはどのようなことですか? >>そのなかにαを表わす点を添えた >とはどのようなことですか? ヴェン図において、論議世界を表わす矩形の中に、任意にαを表わす点を描くってこと。 >P(α)はQ(α)を内含する >とはどのようなことですか? 「P(x)ならばQ(x)である」が成立して尚かつαがP(x)やQ(x)の論議世界の元であるってこと。 >>250 >あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと >考えるわけですね 論理演算ではないなら、なんなんですか? ヴェン図の(換言すれば、集合の)演算によって定義されるべきもの。 >>262 P(x)ならばQ(x)が成り立つ時、円Pは円Qの中に入ってますね 任意のxでP(x)ならばQ(x)が真であるので、αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか? つまり、P(x)ならばQ(x)、は円Pと円Qの関係性だけを定めていて、αがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです アホらし U⊃Q⊃PかつU∋a <=> P(a)→Q(a) かよ ナンも面白味も妥当性もない定義 それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの 議論世界はそもそも最初から定まっているんですから、αは必ずその中に入ります α∈Uであるか、という条件は、なんの意味も持たないものです [Q⊃P]かつU∋a <=> P(a)→Q(a) アホはソチのほうじゃw。 この定義によって多くのパラドックスが解消する。 たとえば、何がパラドックスになっていて、それはどのようにして解決されるんですか? >>272 ”実質的内含のパラドックス”は完全に解消する。 実質的内含のパラドックスとは、「PならばQである」を 「pでないか又はQである」と同値と考えることによって 生ずるいろいろなパラドックスのこと。 >>274 たとえばどのようなものがパラドックスなのですか? 通常、そのようなものが原因のパラドックスなんてないんですけど 例えば、「xは光の三原色のひとつである」という述語に対して、 赤はその論議世界に属するが、牛は属さない。 >>276 議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから、赤は属するが牛は属さない、というようなことは意味がありません 牛も入れたいなら議論世界に加えればいいだけの話です あなたの議論世界の定義を教えてください >>274 P→Qが真とは集合としての包含P⊂Qがあるということが定義であると ならばP∧QやP∨Qや¬Pの真偽の定義は? >>276 述語毎に定義域を考えるのなら``Pの丸''の外の元って議論世界に含まれないのね? じゃあP→Qの定義域はなんなの?Pの外でQの中の元は考えないの?Qの外の元は?¬(P→Q)の定義域はなんなの? >>275 「実質的内含のパラドックス」は。日本語の論理学の本だとかくしているケースが多いからね。 英語本を読んでみなよ。Paradox of material implication として載っているから、w >P∧QやP∨Qや¬Pの真偽の定義は? それぞれ、共通部分、和集合、補集合。 「牛は光の三原のひとつである」という文は無意味。 よって、牛は「xは光の三原色のひとつである」という述語の論議世界には含まれない。 >>281 いやいやいや それが「真」「偽」であることの定義は? >>282 「「光の三原色」は「自然なもの」ではない」 って文の論議世界は何? >>274 大体P→Qを「議論世界」におけるP⊂Qが成立することと定義するってことはP-Qが空集合だということなんだからP∧¬Qが偽と同値なんだよな >>280 >Paradox of material implication The paradoxes of material implication are a group of formulae that are truths of classical logic but are intuitively problematic. のこと? なあーんだw "Introduction to Logic and Deductive Sciences" by Alfred Tarski p.27 >>266 >αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか? [PならばQ]は、P,Qが変項を同じくする述語である場合にのみ定義されます。 >円Pと円Qの関係性だけを定めていてαがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです 円Pが円Qに包まれている限り、 >>277 >議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから 論議世界は人が恣意的に設定できるものではありません。 >>285 「P(x)ならばQ(x)である」は「∀x[〜P(x)vQ(x)]」と同値。 ”実質的内含のパラドックス”の一例:− 「日が西から登るならば、スペロヘータは梅毒の病原体である」は真であることになる。 >αは必ずその中に入ります そんなことは無い。例えば「xは光の三原色のひとつである」において、 ”紫”はこの述語の論議世界の元だけれども、”恋”は元ではない。 「紫は光の三原色のひとつである」は偽。 一方、「恋は光の三原色のひとつである」は(偽ではなくて!)ナンセンス。 >>269 >それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの 論理学にモデル理論が入り込めると考えたのは、古典論理の愚かな誤り。 >>294 真です これが真と考えられないのは素人 >>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ。w ”実質的内含のパラドックス”の例をもうひとつ:− 「ライオンは哺乳動物である」は「ライオンおよびクジラは哺乳動物である」を内含する は真である! >>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ達に二次洗脳されたどマヌケ。w 洗脳とかいってる人は、論理学と数理論理学の区別がついてないことからくる混乱を起こしている。 数理的ではない論理学においても、ならばの真理値表くらい同じですよ >>292 議論世界の定義を教えてください >>301 それは普通の数理論理でも成立しませんよ? P(x)→(P(x)∧P(y)) 真→(真∧偽) 真→偽 ですからね 日本語ではあまり問題にならないが、∨と「or」のズレは、ついに「and/or」という、論理記号の影響を受けた新語を生んだ。 >>305 >議論世界の定義を教えてください 述語P(x)の*論議世界*とは、xに代入したときに「意味を持つ(真偽が言える)」 すべての元から成る集合。 >>307 「意味を持つ(真偽が言える)」 普通の論理学では、意味を持たないということはないですね どんな対象を代入しても真偽が言えますから 意味を持つ、とはどのようなことですか? >>301 クジラも哺乳類でしたね え、じゃ真→(真かつ真)が認められないということですか? 理解できないですね >>305 >>それは普通の数理論理でも成立しませんよ? >P(x)→(P(x)∧P(y)) ?真→(真∧偽) ?真→偽 P(x)→(P(x)∧P(y)) 真→(真∧真) 真→真 でしょう? >>309 仮言命題は、Venn図でもって定義されるのであって、審理表で定義されると考えるのは幻想に過ぎない。 ??308 >どんな対象を代入しても真偽が言えますから 「紫は光の三原色のひとつである」は偽。 一方、「恋は光の三原色のひとつである」は(偽ではなくて!)ナンセンス。 述語:「xは光の三原色のひとつである」は、どんな対象を代入しても真偽が言えるわけではない! >>303 バカモン! 論理学に、数理もへったくりも無いワ!wwww あるのは。「遅れた理論」と「進んだ理論」との差だ。w >>311 ベン図だとどのような問題があるんですか? >>312 ナンセンスである、の定義を教えてください >>308 述語:[x>2] の変項 x に ”恋”を代入した [恋>2] には≪意味≫が無い。 従って、”恋”は述語:[x>2] の論議世界の元ではない。 >>317 >ナンセンスである、の定義を教えてください ≪無意味≫ってことだよ。それ以上、説明しようにも説明できない。www 意味とは主観的なものだと思います 客観的、もしくは数学的な定義をして欲しいんです モデル理論ならそこらへんは明確ですよね モデル理論における意味とは、記号と真理値との対応のことです あなたのいう意味とはなんですか? 「キミがいま使っているパソコン」の意味は明解だろう。w 「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか? 「意味とは何か?」が気になるのであれば、semantics(意味論)の本でも買って、研究してみなはれや。w xが今パソコンを使っている、の議論世界はなんですか? >>324 >「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか? 述語でないものに論議世界もくそも無い! >>300 >ID:0MEpwTLv 数学的に何も定義できてないのに批判だけするって 民進党か >>322 >意味とは主観的なものだ そんなことはない。「キミがいま使っているパソコン」は、君の主観と無関係に存在している。 >>329 xがパソコンを今使っている、の議論世界はなんですか? >>331 たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか? >>322 >たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか? 異論もありそうですが、私は入ると思います。 >>334 異論があるとはどういうことですか? 議論世界は明確に定まるんじゃないんですか? ブレがあるのでしょうか? >>336 それでは、私達は神ではないので、議論世界を知ることができないということですね 逆に、どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか? >私達は神ではないので、議論世界を知ることができない 私達は神ではないので、すべての述語について、その議論世界を知っているわけではない。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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