集合･位相･代数の知識を使って数学基礎論の定理を証明するのは、別にそれはそれで研究としていいんですよ
でもそれっておかしい気はしませんか？
数学基礎論はその名の通り数学の基礎付け的な学問なのに、その場で数学の定理を用いて議論を進めるというのは、(循環論法という意味ではなくて)ある種の議論のループみたいな感じになっているような気がします
｢ミイラ取りがミイラになる｣みたいな？