↓のように書かないとダメですよね。

まず A が上下に有界であるとする。

a = inf A
b = sup A

とおく。

A ⊂ [a, b] である。

a < c < b とする。

(1) a ∈ A であり, b ∈ A でない場合

上限の定義により、 c < t < b となる t ∈ A が存在する。
a < c < t だから、 c ∈ A である。

(2) a ∈ A でなく, b ∈ A である場合

下限の定義により、 a < s < c となる s ∈ A が存在する。
s < c < b だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A でなく, b ∈ A でない場合

上限下限の定義により、 a < s < c < t < b となる s, t ∈ A が存在する。
s < c < t だから、 c ∈ A である。

(3) a ∈ A であり b ∈ A である場合

a < c < b だから、 c ∈ A である。






a < s < c < t < b を満たす s, t ∈ A が存在する