>>766
nについての帰納法でやってみた。

n=2 は >>759 より成立。

n≧3 のとき
(1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
　≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k)
　≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k),

(2) x_1～x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。
・n=3 の場合がチョト面倒。
　⊿(右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1)
　= xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)}
　≦ xy(1-z)/{xy(z+1)}　　　　　　　(← xy(1-z)≧0)
　= (1-z)/(z+1),
　(左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1)　　(←帰納法の仮定)
　≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1)
　= {z/(z+1)}^2
　≧ 0,

・n≧4 ならば
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4　　　（← a_k≦1)
　= n/4
　≧ 1
　> 1/(1+Π[k=1,n] a_k),