不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 20:35:16.00

>>721 (2)
　チェビシェフは不成立でした。ｽﾏｿ

　log(a+b-c) = log(a) + log{1 +(b-c)/a} ≦ log(a) + (b-c)/a,
　a log(a+b-c) ≦ a log(a) +b -c,
巡回的にたす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 16:36:49.64

自然数 k,n (k<n)に対して、(n/k)^k ≦ nCk ≦ (en/k)^k を示せ。
ここで e はネイピア数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 05:30:25.69

>>723
左側：
C[n, k] = Π[j=0, k-1] (n-j)/(k-j) > Π[j=0, k-1] (n/k) = (n/k)^k,

右側：　補題より
C[n, k] = n(n-1)…(n-k+1)/k! < (n^k)/k! < e^(k-1)･(n/k)^k,

〔補題〕
k≧2 のとき　(k^k)/k! < e^(k-1),

（略証）
(1 +1/j)^j = Σ[L=1, j] C[j, L](1/j)^L = Σ[L=1, j] (1-1/j)(1-2/j)…(1-(L-1)/j)/L!
はjについて単調増加。
∴　{(j+1)/j}^j = (1 + 1/j)^j < e,
j=1,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/k! < e^(k-1),

(別法)
マクローリン展開から
　e^x > x^{k-1} /(k-1)! + (x^k)/k! + x^{k+1} /(k+1)!
　　　= (x^k)/k! {(k/x) + 1 + x/(k+1)},
　e^k > (k^k)/k! {2 + k/(k+1)} > (k^k)/k! e,　　　(k≧3)
∴　e^{k-1} > (k^k)/k!,
k=2 は直接確かめる。　　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 07:21:11.36

R^n上の対称行列Tが任意のx∈R^nに対して(x,Tx)≧0を満たす時、T≧0と定義する
又、対称行列U,Vに対してU-V≧0の時、U≧Vと定義する
この時、以下について答えよ

(1)R^n上の任意の対称行列T≧0に対し、T=U^2となる対称行列U≧0が一意に存在する事を示せ(尚、この時、U=√Tと定義する)

(2)R^n上の任意の対称行列A,B≧0に対し、A+B≧2√(AB)の真偽を答え、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ

学術 · 2018/09/30(日) 12:30:06.76

未踏士気　☯

学術 · 2018/09/30(日) 12:56:48.99

ゴルフ行こうよ。永遠の－０テンプルバンカーショット。ナイトゴルフ。ＳＷＶＰＷ。

学術 · 2018/09/30(日) 13:19:08.26

https://www.youtube.com/watch?time_continue=36&;v=R3nQFePLx1w

学術 · 2018/09/30(日) 13:20:48.37

https://www.youtube.com/watch?v=L1eCH8rxMwM

学術 · 2018/09/30(日) 13:24:07.75

https://www.youtube.com/watch?v=U28krJWG-To

新宿神戸三（宮）高に数学でも余に降るかな。　

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 14:21:36.32

>>725 (2)
A,Bが対称行列でもABが対称行列になるとは限らないぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 20:51:20.91

>>724 の〔補題〕

分かスレ４４７ - 82, 438

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 00:50:29.88

>>724 の補題を改良

〔補題'〕
k≧2 のとき　(k^k)/k! < e^(k-1) < (k^k)/(k-1)!

(略証)
(1 -1/jj)^j > 1 -1/j,　　　…　AM-GM
(1 +1/j)^j = (1 -1/jj)^j /(1 -1/j)^j > 1/(1 -1/j)^(j-1) = {1 +1/(j-1)}^(j-1),
∴ (1 +1/j)^j = {(j+1)/j}^j はjについて単調増加
∴　{(j+1)/j}^j < e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/k! < e^(k-1),

{jj/(jj-1)}^j > (1 +1/jj)^j > (1 +1/j),　　　… AM-GM
∴ {j/(j-1)}^j = {jj/(jj-1)}^j･(1 +1/j)^j > (1+1/j)^(j+1)
∴ (1 +1/j)^(j+1) = {(j+1)/j}^(j+1) はjについて単調減少
∴ {(j+1)/j}^(j+1) > e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/(k-1)! > e^(k-1),

分かスレ４４７-448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:28:02.86

>>725 (1)

Tのn個の固有値d_j を主対角線に並べた実対角行列を D とし、
対応する固有ベクトルｗ_j を各列に並べた行列をWとする。
　T ｗ_j = ｗ_j d_j,
　T W = W D,
n個の固有ベクトルｗ_jが1次独立のとき |W|≠0 で Tは対角化可能。
　T = W D W^(-1),
T≧0 すなわち Tの固有値がすべて非負のとき、Dの対角要素が非負で、√Dも実対角行列。
　T = W D W^(-1) = {W √D W^(-1)}^2 = U^2,

Tが実対称行列のときは、固有ベクトルを適当に選んでWを実直交行列にとれる。
　W^(-1) = W~

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:34:53.76

>>732
訂正
A+B≧√2(AB+BA)は成り立つかでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:35:39.23

√{2(AB+BA)}っすな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 21:43:18.74

a, b, c >0 に対して、
a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}

今年も不等式の秋が来ましたな。
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式は過去スレで扱ったな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:15:34.85

x, y ∈ R に対して、

(1) 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 ≧ 1/(xy+1)

(2) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc ≦ (a^2 + b^2 + c^2)^(3/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:20:09.91

a, b, c > 0 に対して、

(1) 3 + √{(a^2 + b^2 + c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)} ≧ (2/3)(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)

(2) √{(a^4 + b^4 + c^4)(1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4)} ≧ 1 + √[1 + √{(a^5 + b^5 + c^5)(1/a^5 + 1/b^5 + 1/c^5)}]

(3) a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3) + c^4/(c^3 + a^3) ≧ (a+b+c)/3

(4) {(a-b)/c}^2 + {(b-c)/a}^2 + {(c-a)/b}^2 ≧ (2√2)*{(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b}

(5) a/{√(2b^2+2c^2)} + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 3/2

(6) a+b+c=3 のとき、44 ≧ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 27

参考 (2) https://artofproblemsolving.com/community/q1h1328831p7152622

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:39:23.54

むかし立ち読みした本に、不等式の証明を行列を使ってやっていたんだけど、どんな本を検索したら見つかりますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 03:42:16.06

>>737
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式…

〔問題〕
a,b,c > 0 に対して
　1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ≧ 9/{4(ab+bc+ca)},

イランMO-1996
Inequalitybot [148]

>>738
(1)
　(x, y) = (2 -1/n, -1/2),
　1/(xy+1) = 2n,

(2)
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t とおく。
　|a^3+b^3+c^3-3abc| = |a+b+c| (aa+bb+cc-ab-bc-ca)
　= |s| (ss-3t)
　≦ (ss-2t)^(3/2)　　　　　 (← GM-AM)
　= (aa+bb+cc)^(3/2),

*) ss≧0, ss-3t≧0 より、AM-GM で
　(ss-2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = (3ss -8t)tｔ = (1/3){8(ss-3t) +ss}tt ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:46:30.48

>>738 (2) を改造^^

a,b,c∈R に対して
　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - (ab+bc+ca)^3,

(略証)
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca とおく。
　(ss-2t)^3 - t^3 - ss(ss-3t)^2 = 3(ss-3t)tt ≧ 0,
　(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 - t^3 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:56:34.73

>>738 (2) を改造^^

a,b,c∈R に対して
　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + 8(ab+bc+ca)^3,

(略証)
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca とおく。
　(ss-2t)^3 + (2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = 3sstt ≧ 0,
　(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 + (2t)^3 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:58:43.50

>>742>>743
乙でござるな。この２つはどこか修正が入ったの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 21:33:33.92

ああ、-1と8の違いか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 02:15:28.34

>>739
(3)
a^4 - (a^3+b^3)(a-kb) = {k(a^3+b^3) -abb} b
　= {k[a^3 +(1/2)b^3 +(1/2)b^3] -abb} b
　≧ {3k/(2^(2/3)) -1} ab^3,　　　　(AM-GM)
(係数) ≧0 より
　k = (1/3)･2^(2/3) = 0.529133684

　a^4/(a^3 + b^3) ≧ a - kb,
循環的にたす。
　(左辺) ≧ (1-k)(a+b+c) = 0.470866316 (a+b+c).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 05:59:28.01

>>742 は >>609 (2), >>612 にござる。

>>739 (6) 右側　は >>616 >>618

　(aa+2)(bb+2)(cc+2) = uu + 2(tt-2su) + 4(ss-2t) + 8
　= (uu+1+1) + (2/3)(t-3)^2 + (4/3)(tt-3su) + (ss-4t) + 3ss
　≧ 3ss,

※　(uu+1+1) + (ss-4t) ≧ 3u^(2/3) + {F1(a,b,c)-9u}/s
　= 3{u^(2/3) -3u/s} + F1(a,b,c)/s
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 00:10:36.73

>>618 >>739 (6) >>747

a,b,c ≧ 0,　a+b+c ≦ √(8k) のとき
　kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,

左側は
　a+b+c ≦ √(8k)　より
　ab ≦ (1/4)(a+b)^2 ≦ 2k,
　(a+b)c ≦ (1/4)(a+b+c)^2 ≦ 2k,

　(aa+k)(bb+k) = k{(a+b)^2 +k} - ab(2k-ab) ≦ k{(a+b)^2 +k},

∴　(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≦ k{(a+b)^2 +k}(cc+k) = kk(ss+k) -k(a+b)c{2k-(a+b)c} ≦ kk(ss+k),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 06:07:13.55

>>741 (上)

4(ab+bc+ca){1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2} - 9
= {ab(4aa+7ab+4bb)(a-b)^2 + bc(4bb+7bc+4cc)(b-c)^2 + ca(4cc+7ca+4aa)(c-a)^2 + (2abc)F_1(a,b,c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}^2
= {4t･F_2＋(3tt/s)F_1＋(9tu/s)F_0＋(st-9u)u} / (st-u)^2
≧ 0,

F_n (a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 07:11:47.76

>>724
なるへそ。右辺のeは1個少なくても成り立つんですな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 09:38:24.95

さあ、はじめようか？
>>737の左辺は、どこに挟まるのでござるかな？

{a/(2bc)}^2 + {b/(2ca)}^2 + {c/(2ab)}^2
≧ 1/(4a^2) + 1/(4b^2) + 1/(4c^2)
≧ 1/(4ab) + 1/(4bc) + 1/(4ca)
≧ 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2　← (>>741, >>749)
≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
≧ 1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)}
≧ 9/{(a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b)}
≧ 27/{4(a+b+c)^2}
≧ 9/{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)(a+b)^2}
≧ 9/{4(a^2 + b^2 + c^2)}

　" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　　　　 /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ　; ; ヾ ;ゞ; 　　　　　　　＼　　　　　　　／
　ゞヾ　; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/　　　　　　　　`　　　　　　`　　　　　　　　` 　ー ─ '　`
　　　ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
　" ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/　ヾゞ　　　　　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　　`　`
　　`　　　　　 ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| `　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　`　　　　　　`　`　　　`
　　　　　　　 ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　＿＿＿　　不等式の秋　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`,
　　　`　　　　|iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／　　≧　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾ从//"
　　　　`　　　|iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (●　(● |　　　　　　　　　　　`　　ﾞ　　`　　　　ヾ'./"
　　　　　　 |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　　　　　　　　　 ○ 　　 .||.　　　　　　　,
　　　　`　　　|iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| (　つ且 ~　　　　　 ` 　　　　　　　　 ○○　　 |　|
　　,　,　.,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝつつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（　）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 10:33:46.31

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2　←(>>709-710)

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

ところで
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) と (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
の大小は定まりそうにないですが、どうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 17:27:07.24

>>748
神掛かってる！
大量投下したやつを今ごろ確認しているところでござるが、関連する昨夏の不等式を再掲。
（自分のmemoから抜き出したので、未紹介のものもあるかもしれない。）

a、b、c∈R、k≧0、4≧λ≧0 に対して、
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2
(2) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ {(4k/3)^(3/2)}*(a-b)(b-c)(c-a)
(3) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)*{λ(aa+bb+cc) + (9-λ)(ab+bc+ca)}
(4) {aa+ (k+1)/3}{bb+ (k+1)/3}{cc+ (k+1)/3} ≧ {(k+4)/3}^2*{ab+bc+ca+ (k-5)/3}

a、b、c∈R、k≧1 に対して、
(5) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*(ab+bc+ca+k-2) + (abc-1)^2

a、b、c∈R、k≧2 に対して、
(6) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(ab+bc+ca+k-2)^2

a、b、c∈R、k≧(√2)-1 に対して、
(7) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*{(a+b+c)^2/3 + k-2}

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 17:28:57.36

>>753
訂正。(3)(5)は a,b,c≧0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:16:09.56

>>748
> a,b,c ≧ 0,　a+b+c ≦ √(8k) のとき
> 　kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,

左側の等号成立条件は a=b=c=k=0 以外にありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:38:14.85

>>755
kは要らんね、a=b=c=0以外に等号が成立することあるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:42:14.42

連投すまぬ。
a,b,cのうちの2つが0なら成り立ちますね。他にないかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 19:18:13.82

>>755
a,b,cのうちの少なくとも2つが0、
a,b,cのうちの一つが0で、2つが√(2k)のとき

これだけかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 02:39:14.27

>>738 (1)
x, y >0 として証明。
lhs - rhs = {xy(x-y)^2 + (xy-1)^2}/{(x+1)^2 (y+1)^2 (xy+1)} ≧0.

一般化できるかな？つまり、
x,y,z>0 のときに、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1) は成り立つ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 03:25:37.55

4文字なら、a,b,c,d>0に対して、

1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2
≧ 1/(1+ab) + 1/(1+cd)
＞ 1/(1+abcd).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 03:40:58.25

〔補題〕
(1)　4(2-√3) > (√6 -√2),
(2)　12(2-√3) > 4(2-√3) + 2(√6 -√2) > 3(√6 -√2),
(3)　(√2 +√3) > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(4)　22/7 > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(5)　6 + (√6 -√2) > (√5)(√2 +√3),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 04:06:45.56

>>761
(1)
　√3 -1 ≒ 0.7320508　　　1/√2 ≒ 0.70710678
　(左辺) - (右辺) = 2(√3 -1)(√3 -1 -1/√2) > 0,
(2)
　(1) から直ちに出る。
(3)
　(左辺) - (右辺) = (1/4)(√2 -1)^2･(√3 -1)^4･(√3 -√2) > 0,
(4)
　(左辺) - (右辺) = (1/14)(√2 -1)^3･(√3 -1)^4･(3√6 -7) > 0,
(5)
　さてどうするか…

なお、Snellius-Huygens から、2(√6 -√2) + 4(2-√3) > π が分かる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 06:50:50.12

>>761

(1)別解
　4tan(π/12) > π/3 > 4sin(π/12),
　4(2-√3) > π/3 > (√6-√2),

http://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314/1331712378

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 17:08:48.13

>>759
s = x+y+z,　t = xy+yz+zx,　u = xyz とおく。

lhs - rhs = {3+4s+2ss+2(st-3u)+(tt-2su)}/(u+t+s+1)^2 - 1/(u+1)
　= {2+2s+(ss-2t)-5u+2(ss-t)u+2(st-9u)u+11uu+(tt-2su)u}/{(u+t+s+1)^2･(u+1)},
　≧0.　　　　　　　　(← x,y,z≧0)

*　2 -5u +11uu = 63/44 + 11(5/22 -u)^2 ≧ 63/44,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 04:04:05.31

>>764
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど、対称式とSchurすごいな。 stu method でも呼ぶかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 04:15:31.03

n変数にして証明できますかね？
a_k >0 (k=1,2,…n) に対して、Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Πa_k).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 05:55:14.05

x>0に対して、9x^{10} + 2 ≧ 9x^8 + 2x^9 をAM-GMで示せ。
（蛇足だが、この不等式は任意の実数で成り立つ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 06:15:35.95

>>766
nについての帰納法でやってみた。

n=2 は >>759 より成立。

n≧3 のとき
(1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
　≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k)
　≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k),

(2) x_1～x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。
・n=3 の場合がチョト面倒。
　⊿(右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1)
　= xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)}
　≦ xy(1-z)/{xy(z+1)}　　　　　　　(← xy(1-z)≧0)
　= (1-z)/(z+1),
　(左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1)　　(←帰納法の仮定)
　≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1)
　= {z/(z+1)}^2
　≧ 0,

・n≧4 ならば
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4　　　（← a_k≦1)
　= n/4
　≧ 1
　> 1/(1+Π[k=1,n] a_k),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 06:56:44.02

>>767

AM-GM より
9x^10 -10x^9 + 1
　= (x-1) (9x^9 -x^8 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1)
　= (x-1)^2 (9x^8 +8x^7 +7x^6 +6x^5 +5x^4 +4x^3 +3x^2 +2x +1)
　= (x-1)^2 {5x^8 + (x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)}
　≧ 0,

AM-GMより
4x^10 -5x^8 + 1
　= (x^2 -1) (4x^8 -x^6 -x^4 -x^2 -1)
　= (x^2 -1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)
≧ 0,

(与式) = {(上) + (下)･9}/5

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 11:09:20.09

>>769
ごめん、どこでAM-GMを使っているのか分からない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 14:38:57.52

>>767

(左辺) - (右辺) = 2(4x^10 -5x^8 +1) + {(x-1)x^4}^2

　≧ 2(4x^10 -5x^8 +1)

　= 2{(X^5 + X^5 + X^5 + X^5 + 1) - 5 X^4}　　　(← X=x^2≧0)

　≧ 0,

最後のところで AM-GM を使いました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 16:36:47.68

>>767
AM-GMより、
x^{10} + x^9 ≧ 2x^9,
8x^{10} + 2 ≧ 10x^8. （x^8 が8個と 1が2個）

辺々加えて、
9x^{10} + 2 + x^8 ≧ 10x^8 + 2x^9.

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:11:28.36

>>738(1) >>759 >>764 >>768
> x,y,z>0 のとき、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1).

右辺を見て次の不等式を思い出したが、繋がるかな？

x,y,z>0 のとき、1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/(1+xyz).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:46:04.69

>>767

p_0 = 9,
p_1(x) = 6.19544630295　　　　 + (x-0.03352960039751934)^2 p_0 > 0,
p_2(x) = 3.8953637526451576 + (x-0.003121543171869486)^2 p_1(x) > 0,
p_3(x) = 2.0721715662084579 + (x+0.08618793580133872)^2 p_2(x) > 0,
p_4(x) = x^8 + 2(x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1),
　　　　= 0.5197441948878409 + (x+0.8393520966569508138)^2 p_3(x) > 0,
p_5(x) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2 = (x-1)^2 p_4(x) > 0,

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:49:56.43

>>774
細かい数字が出てよく分からんけど、p_k(x) の定義は何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 20:03:46.82

>>768
> n≧3 のとき
> (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
> 　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2

不等号が逆向きになりませんか？

　　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 < Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 20:31:33.55

ごめん勘違いしていた。忘れてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 21:22:11.48

>>737
(問題再掲)
> a, b, c >0 に対して、
> a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}

(証明)
(ab+bc+ca)*[a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2}]
≧ [ √(ab*a/{b(b+c)^2}) + √(bc*b/{c(c+a)^2}) + √(ca*c/{a(a+b)^2}) ]^2
＝ [ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ]^2
≧ (3/2)^2.

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　シコシコ、ネビットの順に使うナリ。
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 23:28:00.13

>>759 >>766 >>768

n≧3 のとき
p = Π[k=1,n-1] a_k,　z = a_n とおく。

⊿(右辺) = 1/(p･z+1) - 1/(p+1)
　= p(1-z)/{(p･z+1)(p+1)}
　= Max{ p(1-z)/{(p･z+1)(p+1)}, 0}
　≦ Max{ (1-z)/(z+1), 0}
　≦ 1/(z+1)^2,
∴　(左辺) - (右辺) ≧ 0,

>>775
　p_k(x) は 2k次の多項式。
　p_5(x) = (左辺) - (右辺) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2,
　p_k(x) の最小値を b_k とし、そのときのxを a_k とする。
　p_{k-1}(x) = {p_k(x) - b_k}/(x-a_k)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 05:28:35.94

>>746
するってぇと、こういうことかい？

k = (1/n)*(n-1)^{(n-1)/n} とおくとき、a,b,c>0 に対して、
a^{n+1}/(a^n + b^n) + b^{n+1}/(b^n + c^n) + c^{n+1}/(c^n + a^n) ≧ (1-k)(a+b+c).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 10:06:50.14

>>710
一般の自然数nの場合に右辺はどうなるのでせうか？次式は成り立ちますか？

a,b,c>0に対して、
(a-b)(a-c)a^n + (b-c)(b-a)b^n + (c-a)(c-b)c^n ≧ (n+1){(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 19:24:52.49

>>781
両辺の次数が合ってないから、考えるだけ無駄ですな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 19:47:02.29

a,b,c>0とし、Δ= (a-b)(b-c)(c-a)とおく。昨夏にやった不等式について。

(1) (27/8)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ Δ^2
(2) k*Δ^2 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ Δ^2
(3) m*Δ^2 ≧ (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5Δ^2

(疑問１) k、mの値を知りたい。
(疑問２) (1)もΔ^2の定数倍で挟みたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 03:47:19.96

>>760
　1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+ab/2)^2 + 1/(1+cd/2)^2 > 1/(1+abcd/4),
　>>738(1) >>759

>>773 (下)
　1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/{G(1+G)} ≧ 3/(1+xyz),
　G = (xyz)^(1/3),

　バルカンMO-2006
　[8] 安藤哲哉 (2014) 例題3.1.7(4)
　[9] 佐藤淳郎[訳] (2013) 問題3.93
　Inequalitybot [77]

>>783
　例えば　a=b≠c　⇒　⊿=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 17:32:09.43

・n=2
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 > 1/(1+ab),　　　>>759(上)

・n=3
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 > 1/(1+abc/2),　　　>>759(下) >>773(上)

・n=4
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 > 1/(1 + abcd/4),　　 >>760 >>784

・nについての帰納法で　>>784
　Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + 4Π(a_k /2)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 02:23:37.06

>>785　念のため…

〔補題〕
　n≧2,　a_k≧0 (k=1～n) のとき
　Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{ 1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) },

(略証)
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
　>>759 (上)
・n≧3 のとき
(左辺) = Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-3) } + 1/(1+a_n)^2　　　(←帰納法の仮定)
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-2) }^2 + 1/(1+a_n)^2
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) }　　　　　　　　　　　( >>759 上)
　= (右辺).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 04:07:57.14

(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) を同じ式で挟むとしたら、こんなもん？

(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
≧ (8/27)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)

>>784
成程、a=bのときを考えれば⊿で挟めないのは明らかですね。

>>786
ちょうど悩んでいたところで助かりますた。
直近でやった不等式が使えるとは、偶然以上の何かを感じる…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 05:35:02.53

>>753

(1) 　(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)ss + (u-K)^2,　　　ただし K = (k/2)^(3/2),
　　　[前スレ.456]　[前スレ.469] >>4 [3]

(略証)
　(aa+k)(bb+k)(cc+k) = uu + k(tt-2su) + kk(ss-2t) + k^3
　= {uu + 2(k/2)^3} + (2k/3)(tt-3su) + (k/3)(t-3k/2)^2 + kk(ss-t) + (3kk/4)ss
　≧ (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4){ss-4t+3u^(2/3)} + (3kk/4)ss
　= (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4s)F1(a,b,c) + (3kk/4)ss,

※　uu + 2(k/2)^3 = uu + 2KK = (u-K)^2 + K(u+u+K) ≧ (u-K)^2 + (3kk/4)u^(2/3),
　　ただし　K = (k/2)^(3/2),
　　ss -4t +3u^(2/3) ≧ ss -4t +9u/s = F1(a,b,c)/s,

(3)　はλ=4 が最良で、
　　(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)(4ss-3t) + (u-K)^2,　　　但し K = (k/2)^(3/2),
　　[前スレ.469] >>4 [4]　>>36

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 06:10:22.02

去年、アイゼンシュタイン整数を使って、a,b,c>0に対して、

(1) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*(ab+bc+ca)^3

が出て、でも(2)は次より弱いから無視。

(3) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3

もっと細かく書くと、

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ (27/64)*(a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2
≧ (1/3)*(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)^2
≧ (ab+bc+ca)^3.

------------------------------------------------
(疑問１)　同様にやったら、次が成り立つと思うんですが、計算合ってます蟹？

(1)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|ab-bc+ca|^3

------------------------------------------------
(疑問２)　(2)より強い(3)があったように、(2)’より強い次式って成り立ちますか？
2乗の差をとって計算していたのですが、挫折しますた。

(3)’(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧|ab-bc+ca|^3

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 07:15:19.21

>>787
8/27 じゃなくて 1/8 だよな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 09:29:09.68

------------------------------------------------
(疑問３)　a,b,c>0 に対して、
4(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)

が成り立つけど、左辺の係数の４をもっと小さくできないだろうか？

(左-右 = 12t(F_0)^2 + 12t^2 F_0 + 4t^3 + (2F_1 - st + 9u)^2 ≧0)

------------------------------------------------
(疑問４)　以前やった２つの不等式
a,b,c>0 に対して、(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2,
a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ 2{(a-b)(b-c)(c-a)}^2

の左辺について、a,b,c>0 に対して何か不等式は作れないだろうか？ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 09:35:22.26

>>791
疑問３は計算間違っていました。すみません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 21:08:11.69

(1) a,b,c∈R に対して、8(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2.
(2) a,b,c∈R に対して、2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.
(3) a,b,c>0 に対して、(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.

(2),(3) に比べて (1)の左辺の係数8が大きいですが、これが限界？
(1)の条件を a,b,c>0 に変えたら、係数は小さくできるかな？
最良値かどうかを判断する考え方がイマイチ分かりませぬ… ('A`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 03:26:19.86

>>789

(3)　(aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt ≧ |t|^3,

(略証)
　ss±3t = {(a±b)^2 + (b±c)^2 + (c±a)^2}/2 ≧ 0,　　(複号同順)
∴ |t| ≦ ss/3,

(疑問1)
(1)'　…　1
　(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) - (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
= {(a-b)cc}^2 + {(b-c)aa}^2 + {(c-a)bb}^2 + (abc)^2
　≧ 0,
　(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) + (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
　= {(a-b)ab}^2 + {(b-c)bc}^2 + {(c-a)ca}^2 + (abc)^2
　≧ 0,

(2)'　…　1/27
(疑問2)　…　1/27
(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt ≧ (1/27)|t|^3,
　　(3) と同様に出ます。(*) 右辺はtのままです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 03:29:35.03

>>791 >>792

(疑問3)　…　3/8
　(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) = (ss-3t)(tt-3su) + stu -8uu,

(左辺) - (右辺)
　= (3/8)(aa+bb+cc)^3 - (aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa)
　= (3/8)(ss-2t)^3 - (ss-3t)(tt-3su) -stu +8uu
　= (1/32)(3s^3 -10st +16u)^2 + (3/32){s(ss-2t)}^2　　（←uで平方完成)
　≧ 0,
　等号成立は (a, 0, -a)　etc.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 03:48:21.26

>>794
　絶対値は間違いです...orz

(3)　(aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt,

(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 07:40:05.27

>>794 >>795 >>796

aa+ab+bb = (3/4)(a+b)^2 + (1/4)(a-b)^2,
aa-ab+bb = (1/4)(a+b)^2 + (3/4)(a-b)^2,
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9,

(3)
　(aa+bb+cc)^3 ≧ (27/8)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa)　　　　　AM-GM
　≧ (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
　≧ (1/3){9(a+b)(b+c)(c+a)/8}^2
　≧ (1/3)sstt,

(3')
　(3/8)(aa+bb+cc)^3 ≧ (aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa)
　≧ {(a+b)(b+c)(c+a)/8}^2
　≧ (1/81)sstt,

>>794 (1)' から >>611 (6)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 07:46:23.21

>>791
(疑問4)
　(上)　>>752 (中)
　(下)　>>609 (3)

>>793

(1)　これが限界。 a=b=c で等号が成立するなら、a,b,c>0 に変えても同じぢゃね?

(2)　(1-i)(a+ib)(b+ic)(c+ia) = -(a-b)(b-c)(c-a) + i{(a+b)(b+c)(c+a) - 4abc},
　　　>>609 (4)　>>615

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 12:39:06.10

>>794-798
非常に詳しくありがとうございます。一つ一つ確認しているところです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 05:52:44.82

>>741
> |s| (ss-3t) ≦ (ss-2t)^(3/2)　　　　　 (← GM-AM)

どのように相加相乗を使っているのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 06:14:49.66

742-743を見て、探してみたが、意外と少なかった… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

------------------------------------------
不等式スレ内を検索して

a^3+b^3+c^3-3abc ： >>29、>>738、>>742-743
a^3+b^3+c^3+3abc ：第5章>>269、第2章>>372

------------------------------------------
My Collections から（出典不明）

(1) a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3-3abc)^2 + (ab+bc+ca)^3
(2) a,b,c≧に対して、a^3+b^3+c^3-3abc ≧ (1/4)*(a+b-2c)^3

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 19:32:20.99

>>28 (2), >>29 (1), [前スレ.262], [初代スレ.836-869]
「楠瀬の不等式」
出典：　数学セミナー、出題：1992年4月、解説：1992年7月

a,b,c ∈ R に対して
　aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|,
>>742 >>743 から
　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3.

>>800
　{ss, ss-3t, ss-3t}　はいずれも非負。
　AM = ss-2t,　　GM = {s(ss-3t)}^(2/3).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 19:47:58.72

(x_1+…+x_n)/n=xとするとき、
(Σ(x_k-x)^3)^2 と (Σ(x_k-x)^2)^3 の大小について何か言えますか？
Σはk=1からnまでの和です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 01:00:34.63

>>803

(x_1 + x_2 + … + x_n) /n = A とおくとき、

( Σ[j=1,n] (x_j - A)^3 )^2 / ( Σ[k=1,n] (x_k - A)^2 )^3 ≦ (n-2)^2 /n(n-1) < 1,

等号成立は {a,…,a, b} など。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 08:43:04.04

>>801 (1) は >>609 (2), >>742 と同じでつね。
>>802 (中) の方がチョト強い。

>>803
n=3 のとき
{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3}
= 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){……}

(略証）
(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3 = 3(x-A)(y-A)(z-A) + (x+y+z-3A){……} = 3(x-A)(y-A)(z-A),
より
{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3}
= 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){ …… }
≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 09:33:15.98

>>805
むむむ…

ところで、ちょっと作ったんだけど、係数はこれが最善かな？
a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (27/16)*{(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 11:27:35.52

>>806　…　2 ぢゃね?
　>>791 (疑問4･下) >>609 (3)

>>802
〔楠瀬の不等式〕
x,y,z ≧ 0 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx) ≧ A|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ここに　A = √(9+6√3) = √{(3/2)√3}(1+√3) = 4.403669475

(略証)
　(左辺) - (右辺) = (x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) - A|(x-y)(y-z)(z-x)|
　= (1/2)(x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2} - A|(x-y)(y-z)(z-x)|,

　x,y,z の間隔を固定して一斉に動かしても、{ … } 内と右辺は変わらない。
　最小元が 0 のときに成り立てばよい。　以下 z=0 とする。

　(左辺) - (右辺) = x^3 -A xy|x-y| +y^3,

・0≦x≦y のとき
　x^3 + A xy(x-y) + y^3 = (x + y/αα)(x-αy)^2,
　　α = {(1+√3) - √(2√3)}/2 = 0.43542054468234
　　1/αα = (1+√3) + A/√3 = 5.27451056440629

・0≦y≦x のとき
　x^3 - Axy(x-y) + y^3 = (x + y/ββ)(x-βy)^2
　　β = {(1+√3) + √(2√3)}/2 = 2.29663026289
　　1/ββ = (1+√3) - A/√3 = 0.18959105073

　αβ = 1,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 11:58:50.55

>>807
ホントだ…、ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 12:36:41.62

a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ k(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)

k = 27/8 が限界かと思うけど、2になりますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 12:53:20.17

>>806 >>807

(略証)
　bはaとcの中間にあるとしてよい。
　0 ≦ (a-b)(b-c) ≦ (1/4)(a-c)^2,
∴　aa+cc = (1/2)(a+c)^2 + (1/2)(a-c)^2 ≧ (1/2)(a-c)^2,
∴　(aa+cc)^3 ≧ (1/8)(a-c)^6 ≧ 2(a-c)^2 {(a-b)(b-c)}^2 = 2⊿⊿,
　>>609 (3), >>612　より再録

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 00:51:28.34

>>805

　(x-A) + (y-A) + (z-A) = 0,
x-A と y-A が同符号のとき
　(z-A)^2 = {(x-A) + (y-A)}^2 ≧ 4|(x-A)(y-A)|,
より
　(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2 = (1/2)(x+y-2A)^2 + (1/2)(x-y)^2 + (z-A)^2
　= (3/2)(z-A)^2 + (1/2)(x-y)^2
　≧ (3/2)(z-A)^2,

{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 ≧ (27/8)(z-A)^6 ≧ 6{3(x-A)(y-A)(z-A)}^2

>>809
　k = 27/8 ですね。　A,B,C≧0 より
(左辺) - (右辺) = (A+B+C)^3 -(27/8)(A+B)(B+C)(C+A)
　= S^3 - (27/8)(ST-U)
　= (S^3 -4ST +9U) + (5/8)(ST-9U)
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 03:14:15.05

>>802
> a,b,c ∈ R に対して
> 　aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|,
> >>742 >>743 から
> 　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3.

下の2行が分かりませぬ…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 03:32:04.94

>>>812

ab+bc+ca ≧ 0 のときは >>742 から明らか。

ab+bc+ca ≦ 0 のときは

(7/9) >>742 + (2/9) >>743　より

　(a^3+b^3+c^3 -3abc)^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + (ab+bc+ca)^3.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 04:56:11.27

>>813
なるほど！ありがとございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 14:07:17.11

適当に検索して見つけたんだけど、解答が見当たらない…
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/12-RMM-SPRING-EDITION-2019-2.pdf

SP172、SP174、SP179、UP177など、見たことないのがある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 02:05:16.29

>>815

SP.172
Prove that for any real numbers x,y,z:
(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) ≦ (2yz)^2.

SP.173
　Prove that for any positive real numbers x,y,z:
　{xx√(yy+zz) + yy√(zz+xx) + zz√(xx+yy)} / (x^3+y^3+z^3) ≦ √2.

SP.174
Prove that for any positive real numbers a,b,c,x,y,z:
　(a^3+x^3+x^3+x^3)(y^3+b^3+y^3+y^3)(z^3+z^3+c^3+z^3) ≧ (ayz+bzx+cxy+xyz)^3.

SP.179 (改)
　If x ∈ [0,1) then:
1/2 < cos(x) ≦ 1 ≦ arcsin(x) + e^(-x).

UP.177
　If x,y,z,t >1 then:
　{log(x)/log(ztx)} {log(y)/log(txy)} {log(z)/log(xyz)} {log(t)/log(yzt)} < 1/16.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 03:59:20.74

>>815
解答作りますた。

SP.172
　(x+y+z)(y+z-x) = (y+z)^2 -xx = 2yz - (xx-yy-zz),
　(z+x-y)(x+y-z) = xx - (y-z)^2 = 2yz + (xx-yy-zz),
辺々掛ける。
　(左辺) = (2yz)^2 - (xx-yy-zz)^2 ≦ (2yz)^2,

(*)　x,y,z がΔの3辺の場合は、Δの面積が2辺の積の半分以下であることを表わす。

SP.173
　(左辺)^2 ≦ 3x^4･(yy+zz) + 3y^4･(zz+xx) + 3z^4･(xx+yy)
　　= x^3･{3(xyy + xzz)} + y^3･{3(yzz + yxx)} + z^3･{3(zxx + zyy)}
　　≦ x^3･{(x^3+y^3+y^3) + (x^3+z^3+z^3)} + y^3･{(y^3+z^3+z^3) + (y^3+x^3+x^3)} + z^3･{(z^3+x^3+x^3) + (z^3+y^3+y^3)}
　　= 2(x^3+y^3+z^3)^2,
　　
SP.174
　コーシーそのもの。

SP.179
　arcsin(x) ≧ x,　(0≦x<1)
　e^(-x) ≧ 1 - x,
辺々たす。

UP.177
　X=log(x), Y=log(y), Z=log(z), T=log(t) はすべて正だから AM-GM で
　Z+T+X ≧ 3(ZTX)^(1/3),
　T+X+Y ≧ 3(TXY)^(1/3),
　X+Y+Z ≧ 3(XYZ)^(1/3),
　Y+Z+T ≧ 3(YZT)^(1/3),
辺々掛けて
　(Z+T+X)(T+X+Y)(X+Y+Z)(Y+Z+T) ≧ 81 XYZT,

(左辺) = X/(Z+T+X)・Y/(T+X+Y)・Z/(X+Y+Z)・T/(Y+Z+T) ≦ 1/81,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 04:23:31.00

>>816-817
おおおーありがとうございます。蒐集が捗る！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 06:46:49.96

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11)、解答なし
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf
JP158、JP165、SP164、SP165など、いかがでござるか？

JP165の右辺を見て、毒電波を受信した。

a,b,c∈R に対して、
√{6(a^2+b^2+c^2)} ≧ √(a^2+b^2) + √(b^2+c^2) + √(c^2+a^2) ≧ 2√(a^2+b^2+c^2)

---------------------------------------------
ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE って、不等式専門雑誌なん？
最新2回分には解答が公開されないっぽい。
http://www.ssmrmh.ro/category/current-issue/
---------------------------------------------

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 06:48:59.18

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 10)
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/07/10-RMM-AUTUMN-EDITION-2018-1.pdf
解答
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/07/10-RMM-AUTUMN-EDITION-2018-SOLUTIONS-compressed.pdf

SP140 がなんとなく気に入った。
公式の模範解答がイマイチに感じるのは、このスレの猛者の解答になれているせいなのか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 06:51:20.00

解答のない号で、三角形がらみ(a,b,c,R,r,S,A,B,Cのみ)、シンプル、既出でないものを抽出。

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 12)
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/12-RMM-SPRING-EDITION-2019-2.pdf
JP173、JP179、UP171、UP175

ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11)
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf
JP157、UP155

ところで、JP171、JP174、JP153 などで説明なしに使われている h_a、m_a、l_a などは何を意味するのだろう？垂線、中線、二等分線かな？
定義が分からないので、見た目がシンプルでも上のリストから外してしまったが…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 08:05:48.87

>>815-817
SP.173の分母を払った式

(√2)(x^3+y^3+z^3) ≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2)

を見て、右辺にCSを使えば片付きそうな気がしたが、大きくなり過ぎた。

√{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)}
≧ (√2)(x^3+y^3+z^3)
≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 08:47:58.61

>>819

JP.158
　Let a,b,c>0. Prove that:
　　(1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a),

JP.165 (改)
　If a,b,c≧0 then:
　4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)},

SP.164 (改)
　If a,b,c > 0 then:
　(a+b)√(aa-ab+bb) + (b+c)√(bb-bc+cc) + (c+a)√(cc-ca+aa) ≧ 2(aa+bb+cc),

SP.165 (改)
　If a,b,c ≧0 then:
　(a+b)√(aa+bb) + (b+c)√(bb+cc) + (c+a)√(cc+aa) ≧ (1/√2){(aa+bb+cc) + (a+b+c)^2},

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 09:14:42.86

>>819 >>823

JP.165 (改)
　x+y ≦ √{2(xx+yy)} より
　4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)},

SP.164 (改)
コーシーより
　(x+y)√(xx-xy+yy) = √{(x+y)(x^3+y^3)} ≧ xx + yy,
(略証)
　(x+y)^2･(xx-xy+yy) - (xx+yy)^2 = (x+y)(x^3+y^3) - (xx+yy)^2 = xy(x-y)^2 ≧0,

SP.165 (改)
　√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2, etc.
　(左辺) ≧ {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/(√2) ≧ (√2)(aa+bb+cc+t),
　t = ab+bc+ca,

>>819
a,b,c∈R に対して、
√{6(aa+bb+cc)} ≧ √(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)
　≧ √{4(aa+bb+cc) + 2t}
　≧ (√2)s,
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,

(略証)
左側はコーシー
中は √(xx+yy)√(xx+zz) ≧ xx+xy, etc.
　∵ (xx+yy)(xx+zz) - (xx+yz)^2 = {x(y-z)}^2 ≧ 0,　(コーシー)
右側は　aa+bb+cc ≧ t.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 10:31:10.77

>>820

SP.140
　Let a,b,c be positive real numbers. Prove that:
　(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 03:45:39.48

>>820 >>825

SP.140 (改)
　(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2
　≧ 3(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 3(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6,

(略証)
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc とおく。
(左辺) - 4(ss-2t)/t - 2
　= (st-3u)/u - 4(ss-2t)/t - 2
　= st/u - 4ss/t + 3
　= (s/ttu)(t^3 -4stu +9uu) + (3/tt)(tt-3su)
　≧ 0,

>>819 >>823 >>824
SP.164 (改) より
　√(xx-xy+yy) > {(xx+yy)/(x+y), M_4} > M_3 > √{(xx+yy)/2} > (x+y)/2 > √(xy) > 2xy/(x+y),

ここに　M_r = {(x^r+y^r)/2}^(1/r) はr乗平均,　M_1 = (x+y)/2,　M_2 = √{(xx+yy)/2},

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 06:51:05.46

>>821

RMM 12 (Spring2019)

JP.173
　Prove that in any triangle ABC,
　　1/a + 1/b + 1/c ≧ √{3/(2Rr)} ≧ (√3)/R.

JP.179
　In acute triangle ABC the following relationship hplds:
　3 ≦ sin(2A)/sin(2B) + sin(2B)/sin(2C) + sin(2C)/sin(2A) ≦ 3/{8cos(A)cos(B)cos(C)},

UP.171
　Find that in any acute-angled triangle ABC the following inequality holds:
　min{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)} ≦ {cos(A) + cos(B) + cos(C)}/3 ≦ Max{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)},

UP.175 (改)
　In acute triangle ABC the following relationship holds:
　(b+c)^2/(bb+cc-aa) + (c+a)^2/(cc+aa-bb) + (a+b)^2/(aa+bb-cc) ≧ 12,

等号成立は正△のとき、だろうな…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 07:52:45.35

>>819 >>823

RMM 11 (Winter2018)

JP.158 (訂正)
　Let a,b,c>0. Prove that:
　　(1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ ３/(a+b) + ３/(b+c) + ３/(c+a),

(略証)　チェビシェフしたあと、
　(1/x + 1/y)/2 + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
　= (x+y)/(2xy) + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
　= (x+y)(xx+xy+yy)/{2xy(xx+yy)} - 3/(x+y)
　= (x-y)^2 (xx-xy+yy)/{2xy(xx+yy)(x+y)}
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 15:11:32.69

>>822
√{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)} にCSを使うと、使い方次第で
≧ (√2)(x^3+y^3+z^3) にも
≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) にもなるんだな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 11:50:11.00

>>822 >>829
　コーシーとチェビシェフの合わせ技（?）

〔補題〕
　(a,b,c) と (p,q,r) が同順序のとき
　√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (ap+bq+cr) ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (aq+ar+bp+bq+cp+cq)/2,

　(a,b,c) と (p,q,r) が逆順序のとき
　√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (aq+qr+bp+br+cp+cq)/2 ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (ap+bq+cr),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 15:23:49.80

z∈C が |z + 1/2| < 1/2 をみたすとき、
任意の n∈N に対して |1 + z + z^2 + … + z^n|^2 < 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 16:45:18.22

>>831

題意より、
|z| ≦ |z+1/2| + (1/2) < 1,
∴ |1-z|^2 = (1-z)(1-z~)
　= (3/2) - 2|z+1/2|^2 + 3|z|^2
　> 1 + 3|zz|
　> 1 + 2|zz| + |zz|^2
　= (1+|zz|)^2,
∴ |1-z| > 1 + |zz| > 1 + |z|^(n+1) ≧ |1 - z^(n+1)|.

東工大-2000 前期　Q．2
[第７章．114，116，160]
Inequalitybot [183]

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 18:52:36.49

>>825-826
botの106に似てない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 04:35:15.90

>>831
この問題の結論の不等式って、|1 + z + z^2 + … + z^n| < 1 と書かずに、
あえて2乗にしているのは、何か意味があるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:16:00.49

>>627 (Nesbitt-Igarashi)

(略証)
各辺に ab+bc+ca を掛けるとコーシー型になる：

{a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
　≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
　≧ (a+b+c)^2,

そこでラグランジュの恒等式
　(ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2,
を使う。

・左辺は
　x = bb + bc + cc,
　y = cc + ca + aa,
　z = aa + ab + bb,
　ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca),　　　　　>>621
　(左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + …

・中辺は
　x = b + c,
　y = c + a,
　z = a + b,
　ax + by + cz = 2(ab+bc+ca),
　(中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2,

ここで、
　(a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c),
　(a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a),
　(a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b),
だから
　(左辺) ≧ (中辺).

*　(x,y,z) はもっと改良できるかも…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 12:43:20.62

>>835 *

　x = (b^n - c^n)/(b-c),
　y = (c^n - a^n)/(c-a),
　z = (a^n - b^n)/(a-b),
とすると
　x-y = -(a-b) D_n /⊿,
　y-z = -(b-c) D_n /⊿,
　z-x = -(c-a) D_n /⊿,
ここに
　D_n = det{ [1，1，1] [a，b，c] [a^n，b^n，c^n] }
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = D_2,　　　… Vandermonde の行列式

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:32:25.02

>>836

3文字のとき
　D_n = det{ [1，1，1] [a，b，c] [a^n，b^n，c^n] }
　　　= (c-b)a^n + (a-c)b^n + (b-a)c^n,

特性多項式
　(λ-a)(λ-b)(λ-c) = λ^3 -s・λ^2 + tλ -u,
　ただし　s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,

漸化式
　D_n = s･D_{n-1} - t･D_{n-2} + u･D_{n-3},

D_n/⊿ = Σ {すべての(n-2)次積}
　　…　(n-2)個の重複組み合わせに対応

D_0 /⊿ = 0,
D_1 /⊿ = 0,
D_2 /⊿ = 1,
D_3 /⊿ = a+b+c = s,
D_4 /⊿ = aa+ab+ac+bb+bc+cc = ss-t,
D_5 /⊿ = s^3 -2st +u,
D_6 /⊿ = s^4 -3sst +tt +2su,
D_7 /⊿ = s^5 -4s^3･t +3stt +3ssu -2tu,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 17:18:14.29

>>837

まづ
　x_1 = y_1 = z_1 = 1,
　x_2 = b+c，y_2 = c+a，z_2 = a+b,
　x_3 = bb+bc+cc，y_3 = cc+ca+aa，z_3 = aa+ab+bb,
　……
　x_n = b^(n-1) + b^(n-2)c + …… + c^(n-1),
とおく。

ラグランジュの恒等式から
　(ax+by+cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2
　= (a/x)(b/y)(x-y)^2 + (b/y)(c/z)(y-z)^2 + (c/z)(a/x)(z-x)^2
　= (D_n/⊿)^2 {(a/x_n)(b/y_n)(a-b)^2 + (b/y_n)(c/z_n)(b-c)^2 + (c/z_n)(a/x_n)(c-a)^2},　　>>835

そこで
　(D_n/⊿)/x_n，(D_n/⊿)/y_n，(D_n/⊿)/z_n
がnについて単調増加であることを示そう。

F_n = x_n (D_{n+1}/⊿) - x_{n+1} (D_n/⊿)
= {(b-a)(ab)^2 + (c-b)(bc)^2 + (a-c)(ca)^2} /⊿
= (D_{-n}/⊿)u^n
= Σ {ab，bc，ca の (n-1)次積}
≧ 0,
∴ nについて単調増加。
　(D_{n+1}/⊿) / x_{n+1} ≧ (D_n/⊿) / x_n ≧ …… ≧ (D_2/⊿) / x_2 = 1/(b+c),

これを Nesbitt-Igarashi 列とか呼ぼう。

　F_0 = 0,
　F_1 = 1,
　F_2 = t,
　F_3 = tt -su,
　F_4 = t^3 -2stu +uu,
漸化式
　F_n = t F_{n-1} - su F_{n-2} + uu F_{n-3},

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 19:23:36.31

>>835-836
やっと>>627の証明が分かった！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 00:14:06.23

Nesbitt ってネビットだよな？まさかネスビットって発音するん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 01:26:02.22

国にもよるだろうけど、アメリカ(米語)では [nεzbIt]
http://www.clear-english.com/db/nesbitt.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 02:35:22.24

>>841
うーむ。
Nesbitt's inequality の英語のwikiを見てきたが、どこの国の人か分からんなあ。

ところで Nesbitt's inequality の一般化について、このスレでやったことあったっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 23:18:40.58

不等式ぢゃないが、次の等式を手計算で証明するのはキツそうでござるかな？

(6a^2 - 4ab + 4b^2)^3 + (3b^2 + 5ab - 5a^2)^3
= (6b^2 - 4ab + 4a^2)^3 + (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 03:45:36.60

>>843
(6aa-4ab+4bb)^3 - (6bb-4ab+4aa)^3 = (3aa+5ab-5bb)^3 - (3bb+5ab-5aa)^3,

(略証)
x^3 - y^3 = (x-y)(xx+xy+yy),
から
(maa-nab+nbb)^3 - (naa-nab+mbb)^3
= (m-n)(a-b)(a^3+b^3) {(mm+mn+nn)(aa+ab+bb) -3(m+n)n･ab}
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},

(m，n) = (6，4)　(3，-5)　のときは
　m^3 - n^3 = 152,
　(m-n)(m+n)n = 80,
となり、相等しい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 04:35:23.11

>>844
おぉ有難い。上手にやりましたね。
それにしても、この等式を見つけ出したラマヌジャンは変態ジャン。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 06:59:54.63

>>844
> = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},

ここは
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb)}
じゃないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 01:22:59.67

>>843

　6^3 + (-4)^3 + (-3)^3 + (-5)^3 = 0,
　4^3 + (-6)^3 + 5^3 + 3^3 = 0,
から推して
　(6aa+pab+4bb)^3 + (-4aa-pab-6bb)^3 + (-3aa+qab+5bb)^3 + (-5aa-qab+3bb)^3 = 0,
と予想する。(p,q は或る定数)
ab=0 のときは明らか。

6ab(aa-bb){2(5p-4q)(aa+bb) + (84+pp-4qq)ab} = 0,

5p -4q = 0，　84 +pp -4qq = 0,

p = ±4，　q=±5　　(複号同順)

(例)
a = ±１，b = ±2，p=±4，q=±5　(複号同順）のとき
　±{30，-36，27，-3} = ±3{10，-12，9，-1}

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 02:51:41.47

>>847

12^3 - 10^3 = 9^3 - 1^3 = 8^3 - (-6)^3 = 728,
のような珍例を「ナニワ数」と云う。…っちゅうのは冗談やけどな。

・系列解は他にもある。
　{7aa-16ab-3bb，14aa+4ab+6bb，-14aa+4ab-6bb，-7aa-16ab+3bb} (Dickson)
　(maa-pab-nbb)^3 + (-maa-pab+nbb)^3 = -6pab(maa-nbb)^2 -2ppp(ab)^3
　m → km，n' → -kn，p' → -p/kk とすれば 6pab(maa+nbb)^2 + 2(p/kk)^3 (ab)^3
　辺々たすと　2p{12mn - (1 - 1/k^6)pp}(ab)^3,
　12mn - (1 - 1/k^6)pp = 0 ならば成立。

　{aa-7ab+63bb，8aa-20ab-42bb，6aa+20ab-56bb，-9aa+7ab-7bb}

http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph1.html

・Fermat cubic surface とか云うらしい。
http://www.math.harvard.edu/~elkies/4cubes.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 05:17:44.99

m^3 - n^3 = m’^3 - n’^3　のとき、　ラマヌジャン系列

(maa+pab+nbb)^3 - (naa+pab+mbb)^3
= (m-n)(a^2-b^2)｛(mm+mn+nn)(a^4+aabb+b^4) + 3(m+n)p ab(a^2+b^2) + 3(pp+mn) aabb｝
= (m^3 - n^3) (a^6 - b^6) + 3(m^2-n^2)p ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(pp+mn) aabb(a^2-b^2),

→　m^3 - n^3，(m^2-n^2)p，(m-n)(pp+mn) が等しいとき、相等しい。

(maa+qab-nbb)^3 - (naa+qab-mbb)^3
= (m-n) (a^2+b^2)｛(mm+mn+nn)(a^4-aabb+b^4) + 3(m+n)q b(a^2-b^2) + 3(qq-mn) aabb｝
= (m^3 - n^3) (a^6 + b^6) + 3(m^2-n^2)q ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(qq-mn) aabb(a^2 + b^2),

→　m^3 - n^3，(m^2-n^2)q，(m-n)(qq-mn) が等しいとき、相等しい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 04:17:06.32

>>848
むむむ、難しいな…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 04:13:53.63

〔問題2943〕
a,b,c,d,e は正の実数とする。次を示せ。
　(aa+bb+cc+dd+ee)^5 ≧ 3 abcde (a+b+c+d)(b+c+d+e)(c+d+e+a)(d+e+a+b)(e+a+b+c),

http://suseum.jp/gq/question/2943 (K.Chikaya)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 04:57:42.95

>>851
この出題者が出していた大量の不等式の問題は、もう削除されて見れないんだよな。
実に惜しいことをした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/08(木) 02:11:08.99

bot.62
x,y,z∈[0,1] のとき、sqrt|x-y| + sqrt|y-z| + sqrt|z-x| の最大値

どぉやるんでせうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 03:38:15.13

(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3

この手の不等式が胸やけ起こしそうなくらい沢山載ってる本ないかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 06:52:20.28

>>853 [62]

yはxとzの中間にあるとする。コーシーで
　(√|x-y| + √|y-z|)^2 ≦ (1+1) (|x-y|+|y-z|) = 2|x-z|,
(左辺) ≦ (1+√2)|z-x| ≦ 1+√2,
等号は（0，1/2，1) etc.

中国MO-2012 Round2-A.3

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/11(日) 22:10:14.90

三角形の辺長 a,b,c に対して、
Σ[cyc] (a+b-c)(b+c-a)/(c+a-b) ≧ 3(aa+bb+cc)/(a+b+c).

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 08:15:22.35

>>856

b+c-a = x,　c+a-b = y,　a+b-c = z,
とおく。(Ravi変換)
2a = y+z,　2b = z+x,　2c = x+y,　a+b+c = x+y+z,

(左辺) = xy/z + yz/x + zx/y = (xxyy+yyzz+zzxx)/xyz,

(右辺) = 3(aa+bb+cc)/(a+b+c)^2 = 6(xx+yy+zz+xy+yz+zx)/{4(x+y+z)},

4(x+y+z)(xxyy+yyzz+zzxx) - 6xyz(xx+yy+zz+xy+yz+zx)
= (3x+y+z)[x(y-z)]^2 + (x+3y+z)[y(z-x)]^2 + (x+y+3z)[z(x-y)]^2 ≧ 0,
かな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 09:10:27.03

Heronを使ったら、問題文はもっと見やすくなりましたな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/12(月) 19:53:45.29

>>854

(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0,

(略証)
s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと
A = s/3,　G = u^(1/3),　H = 3u/t,
A/H = st/9u,　A/G = s/{3u^(1/3)},　G/H = t/{3u^(2/3)},
ゆえ
(左辺) = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1
　= (1/108uu){(st+9u)^2 -4s^3u -4t^3 -108uu}
　= (1/108uu)⊿^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 09:14:18.15

>>859
(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1

3変数の場合に上式を証明しているけど、これは一般の場合にも成り立つのかな？
>>854では、右辺に +1がないのには意味があるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 11:28:53.25

>>860
n≧4 では不成立かも。
(1,1,1,10^4) とか (1,1,1,10^(-4)) とか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 12:55:32.39

>>854
> (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3

これじゃの
Crux Mathematicorum, P.74, 1834.
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/13(火) 22:03:59.25

[2] かんどころ P.121定理6.7 は、証明ついてないようだけど、どうやればいいか分かりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 00:54:00.60

>>860
右辺に +1 が無いと緩くなります。

2変数の場合は
　(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^2 - (G/H)^2 -1 = (3a+b)(a+3b){(a-b)/8ab}^2 ≧ 0,

∵　(A/G)^2 = (G/H)^2 = A/H = (a+b)^2 /4ab,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 03:43:20.66

余談ですが、n変数の (A-G)/(G-H) の下限は
　n=2　　1.0
　n=3　　0.90096030150908885
　n=4　　0.7761577683742073233
　n=5　　0.67617485
　n=6　　0.59845640
　n=7　　0.53716474
　n=8　　0.48781223
　n=9　　0.44727765
　n=10 　0.41339822
ぐらいかな。

http://suseum.jp/gq/question/2646, 2948

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 04:26:30.36

>>863, >>865
A-Gと言えば、Jacobsthalくらいしか思いつかないなあ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 14:30:21.97

a≧b≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+y+c)(x+by+c)≧{(a+1)x+c}{(b+1)y+c}.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 14:58:31.03

>>867
あまりにもショボすぎるので、改造してみた。

a,b,c,d,x,y,z∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+cy+z)(bx+dy+z)≧{(a+b)x+z}{(c+d)y+z}.

後ろのzも pz+qw, rz+sw にできぬか？

　　　　　　　　　　　　 l三｀ｰ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
　　　　　　　　　　　　　 l三　 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣　　 ,三三三彡彡l_　　　この感じ・・・・
　　　　　　　　　　　　　　lﾐ′　￣　　　　ー-'"　　　 '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
　　　　　　　　　　　 l;l　 ,_-‐ 、　　　 __,,.. - ､　　　彡彡彳､.//　　
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥　`之ヽ､, i　l´ _,ｨ辷ｧ-､、　　　彡彡'r ノ/＿＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣　1 　　￣ﾌ/ｌ　l::. ヽこ~￣　　　　彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　ヽ　　　´　:l　.l:::.　　　　　　　　　彡ｨ-‐'′
　　　　　　　　　　　　　　　ゝ、　　/ :.　 :r-､　　　　　　　　彡′
　　　　　　　　　　　　　／ｨ:ﾍ　　｀ヽ:__,ｨ='´　　　　　　　　彡;ヽ､
　　　　　　　　　 _,,..-‐'7　/:::::::ヽ　　　_: :_　　　ヽ　　　　ｨ´.}::ヽヽ、
　　　　　　_,-‐'´　　　 {　ヽ:::::::::ﾍ｀'ｰ=＝=ｰ--　'　　　／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 16:19:40.82

できた ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ

a,b,c,d,p,q,r,s,x,y,z.w∈R,
a≧d≧0, b≧c≧0, p≧s≧0, q≧r≧0, x≧y≧0, z≧w≧0 に対して、
(ax+cy+pz+rw)(bx+dy+qz+sw)≧{(a+b)x+(p+q)z}{(c+d)y+(r+s)w}.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/14(水) 16:53:56.03

話を元に戻すと、>>867 を使ったAM-GMの証明（[2] かんどころP.118）で、
1回目に>>867を使うところは分かる。

(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(2a_1 + (a_3+…+a_n))(2a_2 + (a_3+…+a_n))

2回目に>>867を使うところ、どこが対応しているのか分からんのですが、どうなってるのですか？

(2a_1 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(3a_1 + (a_4+…+a_n))(2a_3 + (a_2+a_4+…+a_n))

以下続けて (k*a_1+ a_{k+1}+…+a_n) と (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) に>>867を使って
最終的に n*a_1 と S-a_1+a_k (k=2.3.…,n) になるまで続けるんだけど、そこが分かりませぬ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 01:35:19.26

>>870

>>867 を使わなくても出せるでござる。
A-S≧0，d≧0 のとき
　(A-d)S - A(S-d) = d(A-S) ≧ 0,

ここで
　S = a_1 + a_2 + … + a_n,
　A = k･a_1 + a_{k+1} + … + a_n,　（k=n のとき A=n･a_1)
　d = a_1 - a_k ≧ 0,
とおいて
{(k-1)a_1 +(a_k + … +a_n)}S - (k･a_1 +a_{k+1} + … +a_n)(S -a_1 +a_k) = (a_1 -a_k)(k･a_1 -S) ≧ 0,　　　　(k=2,3,…,n)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 01:39:19.56

>>866
〔Jacobsthalの不等式〕
(n-1)個の正の実数 x_1,　x_2, …, x_(n-1) の相加平均をA '、相乗平均をG ' とする。
それに x_n (>0) を追加した n個組の相加平均をA_n、相乗平均をG_n とする。このとき
　n(A_n - G_n) ≧ (n-1)(A '-G '),　　…[1]
　(A_n/G_n)^n ≧ (A '/G ')^(n-1),　　…[2]

(略証)
A_n, G_n, x_n を A, G, x と略記する。
[1]
　n A - (n-1)A '= x,
　n G - (n-1)G '= G '{n(G/G ') - (n-1)} ≦ G '(G/G ')^n = x,　(← Bernoulli)
辺々引く。
[2]
　A '(A/A ')^n ≧ A '{n(A/A ') - (n-1)} = n - (n-1)A '= x,　(← Bernoulli)
　G '(G/G ')^n = x,
辺々割る。

[1] または [2] を n=1 まで繰り返すと A ≧ G が出る。

ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 05:32:47.02

>>871
ありがとうございます。
なるほど、>>867を使わずにできますね。
>>871の不等式を使って、残りも同様にしていけばいいんですね。
つまり prime132氏が新証明(?)をしたわけですな。

Guha が1967年に>>867を繰り返し使ってAM-GMを証明した方法も知りたい。
「Guha 1967 AM-GM」をgoogleで検索して一番上に出る
When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
のPP.31-32に n=4のときに、Guha's inequality を繰り返し使った例があり、
それを見ても、2回目以降にどう使っているのか分かりません。

Guha's inequality
a≧0, p≧q≧0, x≧y≧0, then
(px+y+a)(x+qy+a)≧((p+1)x+a)((q+1)y+a).

(4A_4)^4
＝ (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)
≧ (2a+c+d)(2b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) …(1)
≧ (3a+d)(2b+c+d)(b+2c+d)(a+b+c+d)　　 …(2)
≧ 4a(2b+c+d)(b+2c+d)(b+c+2d)　　　　　 …(3)
≧ 4a(3b+d)(3c+d)(b+c+2d)　　　　　　　　 …(4)
≧ 4a(4b)(3c+d)(c+3d)　　　　　　　　　　　 …(5)
≧ 4a(4b)(4c)(4d)　　　　　　　　　　　　　　 …(6)
＝ (4G_4)^4

と書かれているんですが、(1)は(p,q,x,y,a) = (1,1,a,b,c+d)で理解できる。
(2)～(6)はどう適用したのか謎。
たとえば(2)で (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) となるには
(p,q,x,y,a)に何を対応させているのか？x=a, y=c 以外が謎。
左辺第1因子の形からp=2,q=1でないといけないけど、第2因子に2がない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 06:40:30.77

(3)→(4)は (p,q,x,y,a) = (2,2,b,c,d)で
(5)→(6)は (p,q,x,y,a) = (3,3,c,d,0)か。

じゃあ、残り３ヵ所は、どう適用したんだろう？
(1)→(2) (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d)
(2)→(3) (3a+d)(a+b+c+d)≧(4a)(b+c+2d)
(4)→(5) (3b+d)(b+c+2d)≧(4b)(c+3d)

実は使ってないってオチなのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 08:38:51.30

本人の論文を探すしかないな。
U.C.Guha, arithmetric mean-geometric mean inequality, Mathematical Gazette, 51(1967),pp.14-146

というのは分かったけど、ネットに転がってないかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/15(木) 09:20:07.76

Handbook of Means and Their Inequalities, pp.101-102 を見たら、
Guhaの不等式を使った証明の数式部分が、省略している部分も含めて
[2] かんどころ P.118と全く同じだった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 07:54:31.62

(1)
|x|≦1, |y|≦1 (x,y∈R) に対して、
0≦ xx + yy - 2xxyy + 2xy*√{(1-xx)(1-yy)} ≦1.

(2)
m>n>1 (m,n∈Z) に対して、
(m+n+1)!/(m!*n!) > {(m+n)^{m+n}}/{(m^m)(n^n)} > 2^{2n-1}.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/17(土) 11:12:15.05

(3)
a,b∈C に対して、
|a+b|/(1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 02:10:29.27

>>877
(1)
　x = sinθ,　y = sinφ (-π/2≦θ，φ≦π/2) とおく。
　√(1-xx) = cosθ，　√(1-yy) = cosφ,
　x√(1-yy) + y√(1-xx) = sinθcosφ + sinφcosθ = sin(θ+φ),
両辺を2乗する。

(2)(左)
　log{(m+n+1)!} -(m+n)log(m+n) > (3/2)log(m+n) -(m+n) +0.8918
　log(m!) - m･log(m) < (1/2)log(m) -m +1,
　log(n!) - n･log(n) < (1/2)log(n) -n +1,
辺々引くと
　log{(m+n+1)!} -log(m!) -log(n!) -(m+n)log(m+n) +m･log(m) +n･log(n)
　> (3/2)log(m+n) - (1/2)log(mn) - 1.1082
　> (1/2)log(m+n) + (1/2)log{(m+n)^2 /4mn} + log(2) - 1.1082
　≧ (1/2)log(m+n) - 0.41505
　≧ (1/2)log(3) - 0.41505 (m+n≧3)
　= 0.549306

(2)(右)
　(m+n)^{m+n} = (m+n)^{m-n} (m+n)^{2n}
　≧ m^{m-n} (4mn)^n
　= m^m (4n)^n,

∴ (m+n)^(m+n)/(m^m・n^n) ≧ 4^n,

>>878
(3)
　x/(1+x)　は x≧0 で単調増加 (x∈R)
　|a+b| ≦ |a| + |b|
∴　φ(|a+b|) ≦ φ(|a|+|b|)
　= |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|)
　≦ φ(|a|) + φ(|b|),

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 02:17:09.96

>>879 (2) (左)

〔補題〕
log(m!) < (m+1/2) log(m) -m+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(m!) = Σ[k=2,m] log(k)
< ∫[1,m] log(x)dx + (1/2)log(m)
= [ x･log(x) -x ](x=1,m) + (1/2)log(m)
= (m+1/2)log(m) -m +1,

log(n!) < (n +1/2) log(n) -n+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k)
< ∫[1,n] log(x)dx + (1/2)log(n)
= [ x･log(x) -x ](x=1,n) + (1/2)log(n)
= (n+1/2)log(n) -n +1,

log{(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log{(m+n+1)!}
= Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 02:23:36.94

>>879 (2)(左）

log {(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918
(略証)
log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx より
log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:34:10.43

>>877
(1)
右辺-中辺 = [xy - √{(1-xx)(1-yy)}]^2 ≧0,
中辺-左辺 = {x√(1-yy) + y√(1-xx)}^2 ≧0.

　(ﾟ∀ﾟ )
　ﾉヽﾉ) =3 ﾌﾟｩ
　　くく

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:43:09.25

>>882
|x|≦1, |y|≦1の条件なんて要らなかったのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 20:45:54.55

根号内の問題で必要だったか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 23:09:08.22

[2016東大]
正の実数 x に対して (1 + 1/x)^x < e < (1 + 1/x)^{x + 1/2}.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/18(日) 23:25:53.36

a,b,c>0, a+b+c=1に対して、(1+ 1/a)(1+ 1/b)(1- 1/c) の取りうる値の範囲を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 00:32:28.39

>>865
　n=4 のとき、(A-G)/(G-H) ≧ 9/16
　CGMO-2011 A.4
　inequalitybot [35]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 01:54:17.81

〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
　(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r ≧ 0,　(0<r<1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≦ 0,　(r>1, r<0)
　 V.Cirtoaje:"Algeblaic inequalities"、1-1-7
　inequalitybot [168]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 02:03:20.14

>>888

　x = (b+c)^r,
　y = (c+a)^r,
　z = (a+b)^r,
とおくと
　a = (y^{1/r} + z^{1/r} - x^{1/r})/2,
　b = (z^{1/r} + x^{1/r} - y^{1/r})/2,
　c = (x^{1/r} + y^{1/r} - z^{1/r})/2,

　aa-bc = {y^(2/r) +z^(2/r) -x^(1/r)[y^(1/r) + z^(1/r)]}/2,
　bb-ca = {z^(2/r) +x^(2/r) -y^(1/r)[z^(1/r) + x^(1/r)]}/2,
　cc-ab = {x^(2/r) +y^(2/r) -z^(1/r)[x^(1/r) + y^(1/r)]}/2,

(左辺) = (aa-bc)x + (bb-ca)y + (cc-ab)z
　= {x^(2/r)y +xy^(2/r) -(x+y)(xy)^(1/r)}/2 + ……
　= (x^{1/r} - y^{1/r})(x^{1/r -1} - y^{1/r -1})xy + ……

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 09:27:44.83

>888 訂正

〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
　(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r > 0,　(r<1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 < 0,　(r>1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 0,　(r=1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 09:57:43.41

>>885
y>0 とする。
　(1 + y/2)^2 > 1+y > 1,
∴　1/(1+y/2)^2 < 1/(1+y) < 1,
0～y で積分すると
　y/(1+y/2) < log(1+y) < y,
∴　(1+y)^(1/y) < e < (1+y)^(1/y + 1/2),
y=1/x とおく。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 10:04:46.71

>>879
右辺は甘かったか…。

>>881
> log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx

これは明らかなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 10:21:14.09

>>877 (1) >>882

(x+iz)(y+iw) = (xy-zw) + ｉ(xw+yz),

(xx+zz)(yy+ww) = (xy-zw)^2 + (xw+yz)^2,

z=√(1-xx)，w=√(1-yy)　とおく。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 10:34:04.63

>>892

log(k) > (1/2)log(kk-dd) = {log(k+d) + log(k-d)}/2,

y=log(x) は上に凸だから、x=kでの接線より下側にある。
k-d<x<k+d かつ接線より下の台形の面積は（接線の傾きによらず）2d log(k)
∴　2d log(k) > ∫[k-d,k+d] log(x)dx

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 10:45:40.04

>>894
なるほど、ありがとうございます。

>>893
そんなカラクリがあったとは…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 12:18:26.26

>>880-881
log{(m+n+1)!} の評価は、log k > ∫[k-1,k] log(x)dx でもいけそうな排気ガス…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 13:19:03.28

>>896
無理だった。

>>881
> = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)

の部分で、以下はどうやって分かるのですか？
(m+n+3/2) log(m+n+3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) + (3/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 14:36:05.79

>>887
少し違うような気がするが、これかな？
http://www.imojp.org/challenge/old/cgmo10q.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/19(月) 23:39:54.57

>>897

(N+d) log(N+d) - (N+d) log(N)
= -(N+d)log{N/(N+d)}
= -(N+d) log{1 - d/(N+d)}
≧ -(N+d) {-d/(N+d)}
= d,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 00:02:55.19

>>899
さんくす。

x=a(>0) における log x の接線を考えて、
　(x-a)/a + log a ≧ log x.
x=1, a = (N+d)/N を代入すればいいのかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 00:11:33.44

>>898
3.
{1/a,1/b,1/c,1/d} について 16A + 9H ≧ 25G,
>>887 と同じですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/20(火) 02:59:32.68

>>877(2)左側

0≦x≦1 において f(x) = x^m (1-x)^n は x = m/(m+n) で最大値をとる.

I(m,n) = ∫[0,1] f(x)dx とおくと, I(m,n) ≦ f(m/(m+n)) より
(m!*n!)/{(m+n+1)!} ≦ {(m^m)(n^n)}/{(m+n)^{m+n}}

[東京医科歯科大学2013数学第3問]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 16:55:51.41

>>856-857
大昔のPutnumに、これより弱い不等式があったよね。

>>885
Moreau's inequality が思い浮かぶと同時に、一松先生を思い出す。（謎掛け）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/21(水) 21:37:39.12

三角形の辺長 a,b,c に対して、
(1) Σ[cyc] aa(b+c-a) ≦3abc.
(2) Σ[cyc] aab(a-b) ≧0.

そもそも(1)は辺長でなくても非負実数で成り立つでおじゃるな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 00:31:23.80

>>904
(1)
(右辺) - (左辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F1(a,b,c) ≧ 0,
　△である必要はない。

(2)
a = y+z、b = z+x、c = x+y とおく。(Ravi変換)
(左辺) = aab(a-b) + bbc(b-c) + cca(c-a)
= 2(xyyy+yzzz+zxxx) - 2xyz(x+y+z)
= (2/7)(2xyyy +yzzz +4zxxx -7xxyz) + cyc.
≧ 0,
　IMO-1983, A.6
　文献[9] 佐藤(訳) (2013) 問題2.24
　Inequalitybot [24]

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 01:53:17.42

>>856-857, >>903
Putnum 1966.A2
http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn66.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 01:56:17.94

>>886
ヒント：AM-GM

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 02:23:23.48

>>856 >>903 >>906

27th Putnum-1966
A2.
A triangle has sides a, b, c.　The radius of the inscribed circle is r.　Show that
　1/(b+c-a)^2 + 1/(c+a-b)^2 + 1/(a+b-c)^2 ≧ 1/(2r)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 02:58:32.21

>>855
中国MOの問題が載っているリンクがあれば教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 03:48:05.20

x, y≧1 に対して、x√(y-1) + y√(x-1) ≦xy.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 07:37:55.95

>>909
https://artofproblemsolving.com/community/c3167_china_contests

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 13:09:54.80

>>911
かたじけのうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 16:30:26.57

>>910

√(x-1) = X,
√(y-1) = Y,
とおく。
XX-X+1 ≧ X,
YY-Y+1 ≧ Y,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘ√(y-1) - y√(x-1)
　= (XX+1)(YY+1) - (XX+1)Y - (YY+1)X
　= {(XX+1)-X} {(YY+1)-Y} - XY
　≧ XY - XY
　= 0,

あるいは
x = (cosh u)^2， y = (cosh v)^2 とおく。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 17:07:41.43

>>910 >>913
x-2X ≧ 0,
y-2Y ≧ 0,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘY - yX
　= x(y-2Y)/2 + y(x-2X)/2
　≧ 0,
でもいいけど…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 00:28:05.76

a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b).

非同次は苦手でおじゃる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 10:42:23.96

三角形の辺長a,b,cに対して、a(b+c-a)<2bc.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 11:36:47.43

>>916 は「美しい不等式pp.69-70」にあるが、証明が美しくないよな。
普通に差をとったら綺麗にできるのになあ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 15:05:23.08

>>915

a, b, c >0 に対して、aabb (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) ccc,

これでどうじゃ（同次ゃ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 15:20:30.99

>>915 >>918

(左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^(5/2) - (a+b)(ab)^(3/2)･cc - (ab-cc)(a+b)c^3
= (a+b)(ab - cc) [(ab)^{3/2} - c^3]
≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 15:59:31.52

>>916 >>917
　x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2,
とおく。(Ravi変換)
普通に差をとったら出来ますね^^
　2bc - a(b+c-a) = 2(x+z)(x+y) - 2x(y+z) = 2xx + 2yz ≧ 0,

文献[9] 佐藤(訳) §2.2　例2.2.1　p.69 (2013)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/23(金) 16:55:45.35

>>917 >>920
なるほど、Ravi変換は無敵でござるな。

この問題を問題集で見て感じたのは、三角形の成立条件を使った例なのに、
三角形の成立条件が一目で分かりにくい小汚い計算をしていた点。

b,cについて対称だから b≧cとする所まではいい。次のようにした方が美しいと思わん？

aが最大または最小のとき、
　2bc - a(b+c-a) = bc + (a-b)(a-c) > 0.

aがbとcの間の数のとき、b≧a≧cだから、
　2bc - a(b+c-a) = (a-c)(c+a-b) + c(b+c-a) > 0.