>>650

x_1, x_2, …, x_p > 0,
x_{p+1}, …, x_n ≦ 0,　とする。(0≦p≦n)

(左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= 2p S_p + 2(n-p) S_n + 2S~,
ここに
　S_p = Σ[i=1,p] |x_i|,　S_n = Σ[j=p+1,n] |x_j|,　S~ = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
とおいた。

・p = n/2 のときは成立する。（S~≧0)

・0 ≦ p < n/2 のとき
　S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S_p - p S_n,
　0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
　S~ ≧ {(n-2p)/(n-p)}S~ ≧ (n-2p){S_p - [p/(n-p]S_n},
　(左辺) ≧ n S_p + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S_n ≧ n(S_p + S_n),

・n/2 < p ≦ n のとき
　S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S_p + p S_n,
　0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
　S~ ≧ {(2p-n)/p}S~ ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S_p + S_n},
　(左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S_p + n S_n ≧ n(S_p + S_n),