不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 21:32:13.53

一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。
エルデシュの不等式とか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 01:54:57.05

不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。

タイトル「三角形に関する不等式のいくつか」、４ページ

レムスの不等式と、求角不等式。
内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。
　（中略）
エルデシュの不等式。
過去スレで見たことある不等式。

あと、「老人のグチだが、（中略）近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」
とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 05:51:38.11

ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 07:16:00.59

>>589

数検専用スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/
へどうぞ。

〔問題〕
a_n = (1 + 1/n)^n，　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)　　　(nは正の整数）
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。
　（数検2011-秋-1級-2次-Q2）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 16:46:19.71

>>374 >>416 >>417 >>544 >>545 >>547 >>548

［第7章．939，942-944］

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 09:56:02.44

>>589

(aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2}
= 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2}
= 8RR cos(A) cos(B) cos(C),

〔補題〕
A+B+C = π のとき
　cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1,

〔ライプニッツの不等式〕
　9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0,
　O：外心　G:重心

・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89　定理2.4.4　定理2.4.5

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 02:45:55.24

>>591 は相加-相乗平均（AM-GM）で出るらしい。（出題者・談）

{1，1，…，(n-1)/n}　⇒　a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2

{1，1，…，n/(n-1)}　⇒　b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4

しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。
２項定理を使うか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 03:01:10.20

>>594

２項定理により、

(1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -…

　< (1 - 1/n)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 08:12:41.15

>>589
Erdos-Mordell inequality
https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Mordell_inequality

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 08:18:45.80

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 08:31:09.16

>>597 から

3690.(v38_n1)
　Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that
　　(5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2･s^3,

3709.(v38_n1)
　Let a, b, and c be non-negative real numbers, ｋ and Ｌ≧0 and define
　　(a+b)/2 - √ab = k^2，　　(a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2.
　Prove that
　　max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2.

3712.(v38_n2)
　Prove that for any positive numbers a,b,c
　　√{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c.

3719.(v38_n3，Replacement)
　Prove that if a,b,c>0, then
　a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2.

3723.(v38_n3)
　Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If ｎ is a positive integer, prove that
　(3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2).

3731.(v38_n4)
　Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that
　　a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),
　for all non-negative integers n.

3737.(v38_n4)
　Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that
　　1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3},
　Equality:　{a,b,c,d} = {0,1,1,1}

3741.(v38_n5)
　Find the largest value of ａ and the smallest value of ｂ for which the inequalties
　　ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx)
　hold for all 0<x<π/2.

3744.(v38_n5)
　Let a,b,c be positive real numbers with sum ｓ. Prove that
　　(a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4.

3752.(v38_n6)
　Show that if ｎ≧2 is a positive integer then
　(1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3).

Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 08:45:52.63

>>597 から

3763.(v38_n7)
　Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
　　a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b).

3793.(v38_n10)
　Let a, b, and c be positive real numbers such that
　　√a + √b + √c = 2014/√2.
　Show that
　　2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2,
　Equality:(LHS)　√a = √b = √c = 2014/(3√2)，(RHS) √a = 2014/√2，b=c=0,

・三角形関係

3726.(v38_n3)
　Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians)，the semi-perimeter，the in-radius and the circum-radius of a triangle，respectively.
　Prove that
　　(A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr).

3729.(v38_n3)
　If a,b,c are the side lengths of a triangle，prove that
　　(b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca).

3757.(v38_n7)
　Let A, B, C be the angles (measured in radians)，Ｒ the circum-radius and ｒ the in-radius of a triangle.
　Prove that
　1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r).

3767.(v38_n7)
　Let Ｒ，ｒ be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle.
　Prove that
　　R/r + r/R ≧ 2√2.

3776.(v38_n8)　別名「富士山」
　In △ABC prove that
　tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}.

Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 11:22:47.44

>>598

3690.
軸を45°回して (x+y)/√2 = u，(x-y)/√2 = v とおく。
5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv,
12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv,
(x-y)^2 = 2vv,
これを入れて
(左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3
　= 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv　　　(←シューア)
　≧ 0,

>>3723.
通分すると
(分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
　≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n}　　(←チェビシェフ)
　= (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
　≧ (4s)s^n,
(分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3,　　　(← GM-AM)
(左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),

>>3731.
コーシーの拡張より
　(a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
　　　　(n-1)個

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 06:34:19.54

>>598

3741.
a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721
　b = 6

　cos(t) < 1　を [0，x] で逐次積分すると、
　sin(x) < x,　　(x>0)
-cos(x) < -1 + xx/2!,
-sin(x) < -x + (x^3)/3!,　　(x>0)
　cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!,
　sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5!
　　= {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6)
　　< x/(1+xx/6),　　　(0<x<π/2)

3752.
　a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn,
とおく。
　a_n / a_{n-1} = (n-1)^2･(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)}
　= 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)}
　≦ 1 - 1/(2nn)　　　　　(n≧5)

∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3　　(n≧5)

　(a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2
　= 1 - 1/nn + 1/(4n^4)
　< 1 - 1/n^3,

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 13:03:43.11

正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1)
{kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 10:01:49.78

>>599

3763.
(左)　HM-AM より
　a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)},
　b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)},
　c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)},
辺々たすと
　(左辺) ≦ 3/4,

(右)
　a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2
　b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2
　c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2
辺々たすと
　(右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2
　≧ (a+b+c)･9/{4(a+b+c)} - 3/2　(← AM-HM)
　= 9/4 - 3/2
　= 3/4,　　　　　 (Nesbitt，Shapiro-3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 08:56:29.19

>>593

〔Chapple - Euler の不等式〕
外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき
　R(R-2r) = OI^2 ≧ 0
　O：外心　I：内心

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 17:21:28.63

>>602

　x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。
　(m-1)/n ≦ {x} < m/n　となるmをとる。
　m = [nx] - n[x] +1，　(1≦m≦n)

〔補題〕
　Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1),

右辺は、(1，0) - (1+1/n，1) - (1+2/n，1+1/3) - …… - (1+m/n，Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2，Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/09(土) 21:53:12.92

bot[195]
6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3

これはシュワちゃんと関係あるん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/10(日) 17:09:15.57

>>606 [195]

x+y+z = 0 より
　x^3+y^3+z^3 = 3xyz,
　xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2,
xとyは同符号とすれば
0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz,

(左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3.

　蕪湖市数学競技会

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/11(月) 23:56:07.74

>>607
相加、相乗か！　ﾋﾟｺｰﾝ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:18:29.69

以下、x、y、z∈R とする。

(1)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2
(2)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3　- 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3
(3)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(4)　2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(5)　合体 or 改造できるかな？

出典
(1) >>606、bot195、蕪湖市数学競技会
(2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　むむむ…、我慢できないでござる！
　人　Y　/　　　
　(　ヽし
　（＿）＿）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:20:38.29

詳細不明…、不明デスか？　あなた…、怠惰デスネ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:44:08.66

>>609 の続き

(6)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 16:00:37.51

>>609

(1)　x+y+z=0 のとき、…

(2)
　xx+yy+zz = S2，xy+yz+zx = t,
とおく。
　S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0,
(S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2･t +tt}(S2-t)
　≧ {(S2)^2 + S2･t - 2tt}(S2-t)
　= (S2+2t)(S2-t)^2
　= (x+y+z)^2･{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2
　= (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2,

(3)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。
　0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2,
　xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2,
　(左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 22:38:12.04

Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004
でググって５番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。

模範解答がワケワカメ…。
これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 00:29:19.87

数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい
そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:05:18.57

>>609
(4)
(1-ｉ)(x+ｉy)(y+ｉz)(z+ｉx) = (1-ｉ){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +ｉ(xxy+yyz+zzx-xyz)}
= -(x-y)(y-z)(z-x) +ｉ{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz},
絶対値の2乗をとって
　2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2,

>>613
　[前スレ.456]
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0　を使う？
文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:30:14.62

なるほど！

>>613
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca)

[前スレ.456]
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2

合体！
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:32:47.15

>>609 (4)　>>615
　s = x+y+z,
　t = xy+yz+zx,
　u = xyz,
　⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
で表わせば
　2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = ⊿⊿ + (st-5u)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:38:30.76

左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

[前スレ.469前後]
x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:40:06.93

>>614
もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:22:10.06

立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。

a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3.

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:33:38.57

>>619

〔Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
　2018年7月号NOTE

(略証)
　a ' = bb + bc + cc,
　b ' = cc + ca + aa,
　c ' = aa + ab + bb,
とおくと
　aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）
コーシーにより
　(左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:44:34.71

>>621
おお、これだ。さんくす。
解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:45:36.54

>>620 >>621
　被りました。

　f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
　(左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ')
　　≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
　　= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
　　= (a+b+c)/(ab+bc+ca),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:46:16.03

>>621
> 　a ' = bb + bc + cc,
> 　b ' = cc + ca + aa,
> 　c ' = aa + ab + bb,
> とおくと
> 　aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）

この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:48:52.60

あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。
立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。
手計算で因数分解しようとして挫折した。手計算でできるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 02:42:52.98

>>625

(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u,
を使うでござる。

エレ解スレ【2016.11】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 22:44:29.14

>>622
Nesbittと合体したでござるか…

〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　(a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
　≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
　≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca)
　≧ 3,
　数セミ、2018年7月号NOTE-改

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:28:33.39

>>614
よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。
この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:47:35.19

うむ、よう分からなんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 05:03:35.48

botの101の問題、分かりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 13:57:17.17

>>630 [101]

a～d>0、a+b+c+d-1=0 のとき
　6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8.
　フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2

(略解)
　f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32)
　= (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2
　≧ (5/8)(x-1/4),
より
　f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0.

｛x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8｝

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 17:30:30.95

>>631
さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。
画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/20(水) 02:26:05.78

>>632 [192]
　
任意の実数a,b,cに対し、
　(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
　casphy! - highmath(高校数学) - 不等式２-188
　じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?)

(略証)
i）a+b+c≠0 のとき、
　A = aa-bc，B = bb-ca，C = cc-ab，
とおくと
　A-B = (a+b+c)(a-b)，etc.
(左辺) = {AA(A-B)(A-C)＋BB(B-C)(B-A)＋CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2
　= F_2(A，B，C)/(a+b+c)^2　　(←シューア)
　≧0，
ii）a+b+c=0 のとき、
　A = B = C，
　(左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0.
これで ☆9 だって。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/20(水) 23:16:58.87

>>613 >>615

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0,

(略証)
a = A^(3/2)，b = B^(3/2)，c = C^(3/2) とおくと
　(abc)^2 + 2 -3ABC = (ABC)^3 +1 +1 -3ABC ≧ 0,　　(←AM-GM)
　A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) = F1(A,B,C) ≧ 0,
　AB(A+B) -2ab = AB(√A - √B)^2 ≧ 0，etc.
辺々たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 04:52:05.21

>>634
　>>529 ( Suranyi-3，　>>512 >>513　を使った）からも出る…

>>555
　>>549 〔問題18〕は [204] でござった ...orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 11:12:57.72

不等式に関する研究
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/100782

ちと古いがな。他にないかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 07:31:00.50

>>611
これはどう証明するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 18:12:52.09

〔問題677〕

Ｐを凸多面体とし、Ｐの辺を L_1，L_2，…，L_n とする。
各 1≦i≦n について L_i を辺にもつＰの2つの面を考え、
その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。
(2面の外向き法線のなす角。2面角)

このとき、Σ[i=1，n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。

JMO夏季セミナー
http://jmoss.jp/mon/old.php　→ 第9回 (G，入江)

面白スレ２６-677

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:49:56.64

[213]
正の実数列 {a_k} が各自然数kに対して
a_{k+1} ≧ k･a_k / {(a_k)^2 + (k-1)}
を満たすとする。すべての n≧2 に対して
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ n,
を示せ。
　IMO Shortlist 2015 A.2　☆2

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:13:45.08

>>639 [213]
nについての帰納法による。

・n=2 のとき
　a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2　　(← AM-GM)

・n>2 のとき
　a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
　a_n ≦1 のとき　題意より
　k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
　a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
　k=1,…,n-1 でたす。
　a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
　a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
　　= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
　　≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
　　≧ n,　　　(← 0 < a_n ≦1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:13:45.10

>>639 [213]
nについての帰納法による。

・n=2 のとき
　a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2　　(← AM-GM)

・n>2 のとき
　a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
　a_n ≦1 のとき　題意より
　k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
　a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
　k=1,…,n-1 でたす。
　a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
　a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
　　= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
　　≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
　　≧ n,　　　(← 0 < a_n ≦1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 04:02:09.24

>>632 [101]

25分前に出ますた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 05:10:52.64

>>642
きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 05:15:05.23

あとは消失した192を作り直してもらうことと、224問目以降を作ってもらうことだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 23:38:45.92

>>611 >>637

基本対称式を x+y+z = s，xy+yz+zx = t，xyz = u とおく。
　xx-yz = xs-t，yy-zx = ys-t，zz-xy = zs-t,
より
　(左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(xs-t)(ys-t)(zs-t)
　= (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3)
　= ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt}
　≧ 0,
等号成立は x+y+z = 0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 23:48:14.02

>>611 の〔類題〕

x,y,z ∈ R のとき
-(35+13√13)/486 ≦ (xx-yz)(yy-zx)(zz-xy)/(xx+yy+zz)^3 ≦ 1/8,
　-0.1684612481

　左側等号は (x，y，z) = ((3-√13)/2，1，1) など。　　-0.302775637732

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/29(金) 11:42:15.93

正の実数a,b,cはa+b+c=3を満たす。このとき、
1/(2+aa+bb)+1/(2+bb+cc)+1/(2+cc+aa)≦3/4

2009 イランTST

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 11:28:21.01

>>609
(1) は x+y+z=0 の条件があるから、一緒にまとめるべきではなかったね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 11:44:56.53

>>647

左辺を f(a,b,c) とおく。
1≦c とし、(a+b)/2 = (3-c)/2 = m とおく。
　f(a，b，c) ≦ f(m，m，c) ≦ 3/4
を示す。

(左)
aa+bb ≧ 2mm より
1/(2+aa+bb) = 1/{2 +2mm +(1/2)(a-b)^2} ≦ 1/(2+2mm),
1/(2+cc+bb) + 1/(2+cc+aa) = 2{2+cc+(aa+bb)/2}/{(2+cc+bb)(2+cc+aa)}
　≦ 2/(2+cc+mm),
∵ (2+cc+bb)(2+cc+aa) -(2+cc+mm){2+cc+(aa+bb)/2}
　= (1/4)(a-b)^2 (2+cc-3mm) + (1/16)(a-b)^4
　= (1/4)(a-b)^2 {2+cc-(3/4)(3-c)^2} + (1/16)(a-b)^4
　= (1/32)(a-b)^2 (19+c)(c-1) + (1/16)(a-b)^4
　≧ 0,　　　(←　c≧1)

(右)
　f(m，m，c) = 1/(2+2mm) + 2/(2+cc+mm)
　= (3/4){1 - (c-1)^2･(5cc-26c+37)/[8(2+2mm)(2+cc+mm)] }
　≦ 3/4.

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 14:00:30.20

実数x_1,x_2,…,x_nに対して次の不等式が成立することを示せ
Σ[i,j=1,n]|x_i+x_j|≧nΣ[i=1,n]|x_i|

2006 イランTST

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 01:07:30.65

>>649
　m ≦ 1 ≦ c より
　2+cc-3mm ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 07:40:46.47

>>650

x_1, x_2, …, x_p > 0,
x_{p+1}, …, x_n ≦ 0,　とする。(0≦p≦n)

(左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= 2p S_p + 2(n-p) S_n + 2S~,
ここに
　S_p = Σ[i=1,p] |x_i|,　S_n = Σ[j=p+1,n] |x_j|,　S~ = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
とおいた。

・p = n/2 のときは成立する。（S~≧0)

・0 ≦ p < n/2 のとき
　S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S_p - p S_n,
　0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
　S~ ≧ {(n-2p)/(n-p)}S~ ≧ (n-2p){S_p - [p/(n-p]S_n},
　(左辺) ≧ n S_p + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S_n ≧ n(S_p + S_n),

・n/2 < p ≦ n のとき
　S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S_p + p S_n,
　0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
　S~ ≧ {(2p-n)/p}S~ ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S_p + S_n},
　(左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S_p + n S_n ≧ n(S_p + S_n),

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 16:23:14.90

>>652 訂正

はじめの方で
(左辺) = … + … + ２Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|　
の係数2が抜けてました。（後の論証に影響ないと思いますが…）

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 11:38:56.42

>>652
混乱しているので修正

(左辺) = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S~,
ここに
　S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|，　S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|，　S~ = ……
とおいた。

結論は
　(左辺) ≧ …… ≧ n{S(+) + S(-)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:50:30.31

非負実数a,b,c,dと1≦p≦2なる実数pに対して、次の不等式が成立することを示せ
(a+b)^p+(c+d)^p+(a+c)^p+(b+d)^p≦a^p+b^p+c^p+d^p+(a+b+c+d)^p

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 18:54:49.03

>>655
修正
p≧2

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/05(木) 21:25:46.65

デジャヴを感じる

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/06(金) 08:14:08.28

>>37(1) >>40 >>41 >>44

〔Redhefferの不等式〕
a_1 ～ a_n >0 のとき
G_k = (a_1･a_2…a_k)^(1/k) とおくと
G_1 + G_2 + …… + G_n ≦ Σ[k=1,n] (1+1/k)^k･a_k - n･G_n,

　和書[3] (大関, 1987) p.114-115 例題3
　文献　Ray Redheffer: Proc. London Math. Soc., Vol. s3-17, Iss. 4, p.683-699 (1967/Oct)
　　　　"Recurrent inequalities"

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/13(金) 09:38:28.60

>>658

（G_{k-1}，G_{k-1}，…，G_{k-1}，(1+1/k)^k･a_k）のk個ででAM-GM する。
　　(k-1)個

　(k+1)G_k - (k-1)G_{k-1} ≦ (1+1/k)^k･a_k,

k=1～n でたす。（便宜上、G_0=0）

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/14(土) 06:57:00.45

Math Lovers 数学を愛する会 @Math_Beautiful_ (2017/12/20 00:26:49)
半径rの円に外接する円の面積をSとしたとき、以下が成立。
https://pbs.twimg.com/media/DRa1WNUVoAAgNXE.jpg
http://twitter.com/Math_Beautiful_/status/943140572276985856

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/14(土) 22:00:02.78

>>660

「円に外接する三角形の面積だろ！」
とかツッコミたくないが。
　
その場合は
　a = {cot(B/2)+cot(C/2)} r/2　などより、
S = {cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)} rr
　≧ 3cot((A+B+C)/6) rr　　（←下に凸）
　= 3cot(π/6) rr
　= (3√3) rr,

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/15(日) 22:13:34.38

>>609 (2)
>>612 (2)

　[x，y，z] [x，z，y] [S2，t，t]
　|z，x，y| |y，x，z| = |t，S2，t|
　[y，z，x] [z，y，x] [t，t，S2]
の行列式は
　D(x,y,z)^2 = D(S2,t,t).
ここに
　D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
　= (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx)
　= (x+y+z)(S2-t).

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/16(月) 02:00:56.06

>>609 (3) [182](1)

　大数宿題 - 2013 Q.5
[第7章].114[2](1)、116
Casphy! - higmath - 不等式２ - 170

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/17(火) 14:27:57.12

( ﾟ∀ﾟ)つ https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=41283&item_no=1&page_id=33&block_id=38

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/17(火) 23:51:33.85

>>662
F(x,y,z) は既約かつ対称な多項式で
　F(x,y,z)^2 = F(xx+yy+zz，xy+yz+zx，xy+yz+zx)
を満たすとする。

F(x,y,z) = x+y+z,
F(x,y,z) = xx+yy+zz -xy-yz=zx,
以外にも解があるかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/18(水) 22:49:25.94

>>655 >>656

f(x) = x^(p-1) とおくと、
x>0 で f '(x) = (p-1)x^(p-2) > 0，　f "(x) = (p-2)(p-1)x^(p-3) ≧0.

f"(x) ≧ 0（下に凸）だから、(*)
　f(a+b) + f(a+c) ≦ f(a) + f(a+b+c),
　f(a+b) + f(b+d) ≦ f(b) + f(a+b+d),
　f(a+c) + f(c+d) ≦ f(c) + f(a+c+d),
f(b+d) + f(c+d) ≦ f(d) + f(b+c+d),
各式に a，b，c，d を掛けて足す。
f '(x) >0（単調増加）を使うと
　g(a+b) + g(c+d) + g(a+c) + g(b+d) ≦ g(a)+g(b)+g(c)+g(d) + g(a+b+c+d),
ここに g(x) = x･f(x)

(略証)
　0 < ∫[0,b]∫[0,c] f "(a+u+v) du dv
　　= f(a+b+c) + f(a) - f(a+b) - f(a+c),

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 00:24:54.43

一辺の長さが1である辺を奇数個もつ任意の多角形の面積をSとすると次の不等式が成立
S≧√3/4

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 03:36:50.43

>>667
すべての辺の長さが1である、奇数角形?

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 03:44:42.26

〔問題2018〕
a>0，b>0，c>0，a+b+c=3 のとき次を示せ。

　a^(1/2018) + b^(1/2018) + c^(1/2018) + (2/√3) √{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ 3,

　(K. Chikaya, 2018/June/19)
すうじあむ　//suseum.jp/gq/question/2884 を改良
　casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-304

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 06:57:15.83

>>668
多角形のすべての辺のうち一辺の長さ1である辺の総数は奇数個であるもの

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 07:01:13.36

>>668
偶数角形でもいい
例としては四角形のうち三つの辺が長さ1で他は長さ1ではないものだったり、一つの辺のみが1でほかは長さ1でないようなもの

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/24(火) 07:44:00.98

凸とは限らない３角形または４角形または５角形または……
であって辺の長さはすべて１であるもの
ですね。凸とは限ってないので内角が180°も桶なので>>697でもいいけど “凸とは限らない” がある方が良かったかも。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 00:53:28.01

>>671

> 偶数角形でもいい

辺長１の正N角形の、連続する2m個の頂点を結んでできる凸2m角形を考える。(N ≫ m^3)

外接円の半径は R = 1/{2sin(π/N)},

S < (弓形の面積)
　= (扇形の面積) - (三角形の面積)
　= (1/2)RR{(4mπ/N) - sin(4mπ/N)}
　< (1/12)RR(4mπ/N)^3　　　　(*)
　= 1/{48sin(π/N)^2}(4mπ/N)^3
　～ (4/3) m^3 (π/N)
　→ 0　　(N→∞)

*)　x>0 のとき　x - (1/6)x^3 < sin(x) < x,

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 01:35:01.94

>>673

訂正ｽﾏｿ
　(4mπ/N)　→　(2(2m-1)π/N)

或いは
(弦の長さ) < (2m-1)
(幅) = R {1-cos((2m-1)π/N)}
　< R (1/2) {(2m-1)π/N}^2　　　(**)
　= 1/{4sin(π/N)} {(2m-1)π/N}^2
　～ (1/4)(2m-1)^2 (π/N)
　→ 0　　　(N→∞)

**)　1 - (1/2)xx < cos(x) ≦ 1

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 12:53:08.48

問題の見栄え良くするために、問題文はしょりすぎなんだよ。
偶数角形でもいいといってるのは例えば四角形ABCDで
AB=BC=CD=1、DA=2でもいいって意味だろ？
あくまで辺の長さの和は奇数。
この場合は五角形ABCDEでAE=DE=1、角Eは180°とみなして
１辺の長さ１の５角形とみなす。
そういう場合、面積は√3/4より大きくなる。

偶数角形で辺の長さ１で反例出したいなら平たいひし形で終わり。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 13:10:46.86

で結局問題は>>667でいいの？
真偽は別としてこれだけで問題の条件は十分伝わるよね
勝手に凸がどうたらって条件を加えてる>>672は別の問題ってことでいいの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 14:13:22.87

>>675 辺の長さの和が奇数とは書いてない。そもそも辺の長さは整数とは限らないし

[667(元問題)] 多角形Pは次の条件を満たすとき S >= sqrt(3) / 4
【条件】Pの辺のうち長さが1であるものは奇数個
[672] すべての辺が1である多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4
（凸の条件が何を言ってるのかよくわからない）
[673-4] 「辺が1の正多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4」を否定する証明（たぶん）

なんかごちゃごちゃしたけど問題は667でいいんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 15:17:43.00

>>675 >>677
　すべての辺の長さを自然数に限定？
　>>673 >>674 の例で、辺長1を固定しつつ端の2点を持って引っぱると、
　自然数にならぬか…

>>675
　菱形だと長さ1の辺が４つになる。　3辺長を1に固定して１点をずらす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 17:44:43.59

点列P0.‥Pnは以下を満たす。
・nは奇数、P0=Pn
・隣接2点間の距離は1
・点列を順に結んで得られる曲線は単純閉曲線C
この時、Cで囲まれる領域の面積は√3/4以上であることを示せ。
ですな

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 18:45:08.16

>>679
それは667と別問題だよね
それも成り立つの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 19:07:44.57

>>667
これは成り立つ。
私は>>667もこの意味だと思う。
長さ1の辺が奇数個でそうでない辺がいくらあっても桶
みたいな設定で何かいえると思えない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 20:08:15.16

>>681
問題が間違えてるってことね
679っぽい状況は数オリ辞典かなんかで見た記憶あるけど思い出せない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/25(水) 21:16:48.71

続けたまえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/26(木) 00:22:16.92

>>679

すべての辺の長さが1である、奇数角形　　>>668
ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/03(金) 04:53:25.06

>>520 (B3) [100]
　49th IMO spain 2008, SL-A7

s = a+b+c+d,
p = s+a+c,
q = s+b+d,
M = (s-d)(s-b) = (s+a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (s+b+d)s + ac,
W = (b+d)M-(a+c)N = bd(b+d) - ac(a+c),　　　…(3)
とおく。
2(左辺) = p(a-c)^2 /M + 3(a-c)(b-d)W/MN + q(b-d)^2 /N,
これは a-c，b-d の斉2次式なので、判別式（Hessian）を調べる。
pq = 2ss + (a+c)(b+d) > 2ss,
MN = {(s+a+c)s+bd} {(s+b+d)s+ac}
　= (s+a+c)(s+b+d)ss + ac(s+a+c)s + bd(s+b+d)s + abcd
　> 2s^4 + 2ac(a+c)s + 2bd(b+d)s,　　(← s>a+c，s>b+d)
辺々掛けて
4pqMN > 8ssMN
　> 16(s^3){s^3 + ac(a+c)+bd(b+d)}
　> 192{ac(a+c)+bd(b+d)}^2　　　{← s^3 > 3ac(a+c)+3bd(b+d)}
　> 192{bd(b+d)-ac(a+c)}^2
　= 192WW
　≧ 9WW.
∴　判別式(Hessian) < 0
∴　正定値。

http://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf
　IMO-2008, SL-A7, Solution-2

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/03(金) 05:18:52.07

>>685　訂正

M = (s-d)(s-b) = (a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (b+d)s + ac,

MN = {(a+c)s+bd} {(b+d)s+ac}
　> {ac(a+c) + bd(b+d)}s,

4pqMN > 8ssMN
　> 8(s^3){ac(a+c) + bd(b+d)}
　> 8ac(a+c)^4 + 8bd(b+d)^4
　≧ 32{ac(a+c)}^2 + 32{bd(b+d)}^2
　> 32{bd(b+d) - ac(a+c)}^2
　= 32WW
　≧ 9WW,

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/12(日) 09:29:55.12

〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
　[nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。

[面白スレ２６-670，同２７-144]

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 09:59:40.08

すうじあむの解答見てきたけど、h(t)の最大値を求めるところまでは分かった。
で、h(t)の最大値がf(x,y)の最大値になるのは明らかなん？
バラバラに動く変数を1変数に置き換えたものを調べて間違いないん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 10:10:32.25

何の問題

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/19(日) 17:14:39.44

>>688
f(x，y) の最大値 ≦ h(t) の最大値 = e^{-2} で
f(1，1) = e^{-2}.
からそう結論しました。
もしも反例が見つかったら晒してください。遠慮はいりません。

>>689
たぶんこれ。
Find the maximum value of the following function for all positive real numbers x，y．
f(x，y) = e^(-x-y) {ln(x)+ln(y)+1}.

http://suseum.jp/gq/question/2901

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 09:51:11.01

これ誰か教えて
http://suseum.jp/gq/question/2876

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 17:19:12.01

>>691
そのサイトFlashがないと読めないみたい。
もうこのご時世Flashないと読めないサイトわざわざ見る気になれん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 20:45:48.67

>>692
つ Chrome

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 23:01:07.06

>>692

「三次方程式の解の素朴な性質」　Q.2876
a, b, c を任意の複素数とする。　3次方程式 z^3 + az^2 + bz + c = 0 の解αで
　| 2bα + 3c | ≦ | 3α^3 |
をみたすものが存在することを示してください。
　（2018/04/01　アンドロメダ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/07(金) 00:33:08.04

>>520 (B3)
>>524

まづ左辺を a-c, b-d の斉２次式で表わす。
　2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2,
ここに
　F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c),
　G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b),
　H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)},
とおいた。この斉２次式が正定値となる条件は，
　(判別式) = HH - 4FG < 0,
そこで F, G, H を評価する。
AM-HM より
　F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)},
　G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)},
∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2＋5(a+c)(b+d)＋2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2,

0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d),
0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d),
∴|H| < 3/(a+b+c+d)、

以上により　(判別式) = HH - 4FG < 0　したがって左辺は正定値。

　IMO-2008 Short list A.7
　不等式bot（@inequalitybot） [100]　　☆12
　面白スレ２６-535,961　　面白スレ２７-354,356
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060/126 (7), 311

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/10(月) 16:31:37.54

正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の正の数 x, y に対して ax+by ≧ x^a y^b.

これはAM-GMの一般化でござるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/10(月) 23:33:36.12

>>696

a,bが有理数のときは AM-GM そのものでござるな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 02:13:16.34

重みつきAM-GM の限定版でござるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 02:13:37.80

正の数 a, b, x, y が ax+by = x+y をみたすとき、a^(ax) * b^(by) ≧ 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 07:28:10.88

>>699

(a-1)x + (b-1)y +(c-1)z = 0　をみたすとき

a log(a) = -a log(1/a) ≧ -a(1/a -1) = a-1,
b log(b) ≧ b-1,
c log(c) ≧ c-1,
ax log(a) + by log(b) + cz log(c) ≧ (a-1)x + (b-1)y + (c-1)z = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 11:30:17.92

>>700
むむむ…、さすがでござるな。

>>696
正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の実数 x, y に対して (ax+by)(ay+bx) ≧ xy.

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 12:34:01.15

>>701

(ax+by)(ay+bx) = (a+b)^2･xy ＋ 2ab(x-y)^2 ≧ (a+b)^2･xy,

またはコーシーで
(ax+by)(ay+bx) ≧ (a√xy + b√xy)^2 = (a+b)^2･xy,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 13:50:37.80

>>702
むむむ…、さすがでござるな。
一つ目の解法の式変形は思いつかぬ…。
ただ、係数の２は不要ですな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 18:22:10.58

非負実数 a,b,c に対して、
(a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5{(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

不等式の秋でござるな。（AA略）

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 00:43:44.97

>>704
Schurより強い不等式ってことになるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 12:38:23.72

>>705
　非負実数に限れば。

　偶数次の Schur はすべての実数で成立つが、>>704 は (a, b, c) = (a, 0, -a) で不成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 13:32:48.84

なるほど。 s,t,uで置き換えて証明できるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 01:54:32.08

>>704
(左辺)-(右辺)
= F_4 - 5Δ^2
= s^6 - 7s^4t + 28s^3u + 8s^2t^2 - 112stu + 16t^3 + 63u^2

苦しいでござる。
別の方法を考えた方がいいか…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 04:17:45.76

去年の秋にやっていたΔがらみの不等式が、このスレを (c-a) で検索するとたくさん出てくる。
それらの中にない（と思う）ものを見つけたのでメモ。

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733

リンク先の模範解答を見る限りでは、任意の実数で成り立っているんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 05:11:17.74

>>704

bはaとcの中間にあるとする。
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (b^n)(b-c)^2,

(a,b,c) を（間隔を変えず一斉に）d減らしたとき、a^n, c^n は減少する。（0<d≦a,b,c)
では a^n -b^n +c^n はどうか？

Max{a,c} = M, min{a,c} = m とおくと
M^n - b^n = (M-d)^n - (b-d)^b + ∫[0,d] n{(M-d+t)^(n-1) - (b-d+t)^(n-1)} dt
　　　≧ (M-d)^n - (b-d)^b,
m^n ≧ (m-d)^n,　　　　　　　(0<d≦m)
辺々たして
　M^n -b^n +m^n ≧ (M-d)^n -(b-d)^n +(m-d)^n,
　a^b -b^n +c^n ≧ (a-d)^n -(b-d)^n +(c-d)^n,
すなわち a^n -b^n +c^n も減少する。
よって（左辺）は減少するから、c=0 の場合に成立てば十分である。

(左辺) ≧ (a-b)a^(n+1) - (a-b)b^(n+1)
　　　= (a-b)^2･{a^n+a^(n-1)･b+……+a･b^(n-1)+b^n}
　　　≧ (n+1)(a-b)^2･(ab)^(n/2)　　　　　　　(AM-GM)
　　　= (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 06:40:30.61

おお！なるほど！かたじけない！

　　　　　 |
　　＼　　__　　／
　　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　　|ミ|
　　／　｀´　＼
　　　　　(ﾟ∀ﾟ )
　　　　　ノヽノヽ
　　　　　　　くく

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 13:35:31.86

>>709

　(aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) ≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2,

左辺は a,b,c の符号によらない。
a,b,c の符号だけを変えたとき、右辺が最も大きいのは a,b,c が同符号のもの。
∴　a,b,c >0 に対して成立てば十分。

(左辺)/(右辺) = (aa+3bb)/(a+b)^2･(bb+3cc)/(b+c)^2･(cc+3aa)/(c+a)^2 = f(a/b) f(b/c) f(c/a),
ここに　f(x) = (xx+3)/(x+1)^2,

a,b,c >0　⇒　f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ 1　を示す。

(1)　a/b, b/c, c/a の１つが　0 < x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184 にあるとき。

　[4f(x)-3](x+1)^2 = 4(xx+3) -3(x+1)^2 = (x-3)^2 ≧ 0,
∴　f(x) の最小値は f(3) = 3/4
　f(x) ≧ (4/3)^2　となるものが１つでもあれば　成立する。
　その条件は　[16f(x)-9](x+1)^2 = 16(x+1)^2 -9(xx+3) = 7xx +32x -11 ≦ 0,
　-4.8926125 = (-16-√333)/7 ≦ x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184

(2)　a/b, b/c, c/a ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき。
　x ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184　のとき
　x(x+1)^4 - (xx+3)^2 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0,
∴　f(x) ≧ 1/√x,
∴　f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ √(b/a) √(c/b) √(a/c) = 1,

以上により成立つ。

>>710　訂正
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (ｃ^n)(b-c)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 13:51:02.18

>>712 訂正ｽﾏｿ

その条件は　[16-9f(x)](x+1)^2 = …

x(xx+3)^2 - (x+1)^4 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/15(土) 17:18:49.08

[出典]
>>704 https://artofproblemsolving.com/community/c6t148441f6h1111827_schur_degree_6
>>709 https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733

704の出典の２つ目のレスに「It's obvious by EMV」とあるけど、EMVってなんじゃらほい？

>>712
すごいな。
仮に同じ解法で解ける問題が出てきても、自分では気づきそうにないなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 05:37:44.55

>>714
「EMV inequality」でググると、一番上に
A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for automorphic forms and two applications
というのがヒットするんだけど、さっぱり分からん…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 06:51:57.72

>>714

http://artofproblemsolving.com/community/c6h205183p1130901
の Theorem 1 でござるな。n=3 のときは

〔EMV定理〕
f(x, y, z): R^3 → R は連続で C^1 級函数とする。次の2つの条件
　(i)　xyz = 0　⇒　f(x, y, z) ≧ 0,
　(ii)　x, y, z ≧ 0　⇒　∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z ≧ 0,
を同時に満たすならば
　x, y, z ≧0　⇒　f(x, y, z) ≧ 0.

Example 3. (Suranyi)　>>512-513
Problem 1. (Schur, n=1) >>514
Problem 2. (Turkevici)　>>163-164, 185, 530-531 （一般化 >>189)
Problem 6.　>>486-487, 492

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 09:55:39.99

>>709 >>712

{a+b√(-3)}{b+c√(-3)}{c+a√(-3)} = -(3q +8abc) + p√(-3),

ここに p = aab+bbc+cca -3abc，q = abb+bcc+caa -3abc,

(左辺) - (右辺) = (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) - {(a+b)(b+c)(c+a)}^2

　= (3q+8abc)^2 + 3pp - (p+q+8abc)^2

　= 2pp -2pq +8qq +16abc(2q-p)

　= 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(q+3abc)^2 -3abc(p+3abc)}

　= 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(abb+bcc+caa)^2 -3caa･abb -3abb･bcc -3bcc･caa}

　= 2pp -2pq +(8/3)qq + (8/3) {[a(ca-bb)]^2 + [b(ab-cc)]^2 + [c(bc-aa)]^2}

　≧ 0,

∵　(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 10:50:45.59

むむむ…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 11:16:21.07

[三角形の辺長 a,b,c に関するアレ]

(1)　abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
(2)　(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (a+b-c)^a (b+c-a)^b (c+a-b)^c.
(3)　(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) + (a+b)(b+c)(c+a) ≧ 9abc.

(1)は、不等式好きなら誰でも知っているレムスの不等式。
(2)は、上の上の不等式ヲタならやはり常識である不等式。
(3)が、今回ご紹介する商品。

この他に a+b-c、b+c-a、c+a-b がらみの不等式があれば紹介してクリリン。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/16(日) 18:53:35.06

三角形は多いのに四角形の辺に関する不等式なかなか見かけない

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:23:24.03

>>719
△なのでRavi変換する。
　x = b+c-a,
　y = c+a-b,
　z = a+b-c,
とおくと
　x+y+z = a+b+c,

(1)
AM-GM で
　a = (y+z)/2 ≧ √(yz),
　b = (z+x)/2 ≧ √(zx),
　c = (x+y)/2 ≧ √(xy),
より
　abc = (y+z)(z+x)(x+y)/8 ≧ xyz,

a,b,c ≧ 0 のとき
　abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = F_1(a,b,c) ≧ 0,

(2)
　log(左辺) = a log(a) + b log(b) + c log(c)
　　≧ y log(a) + ｚ log(b) + x log(c)　　　(←チェビシェフ)
　　≧ (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
　　= (y+z)/2 log(z) + (z+x)/2 log(x) + (x+y)/2 log(y)
　　= a log(z) + b log(x) + c log(y)
　　= log(右辺),

(3)
　(左辺) = (2x)(2y)(2z) + (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) = F1(x,y,z) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 20:35:16.00

>>721 (2)
　チェビシェフは不成立でした。ｽﾏｿ

　log(a+b-c) = log(a) + log{1 +(b-c)/a} ≦ log(a) + (b-c)/a,
　a log(a+b-c) ≦ a log(a) +b -c,
巡回的にたす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 16:36:49.64

自然数 k,n (k<n)に対して、(n/k)^k ≦ nCk ≦ (en/k)^k を示せ。
ここで e はネイピア数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 05:30:25.69

>>723
左側：
C[n, k] = Π[j=0, k-1] (n-j)/(k-j) > Π[j=0, k-1] (n/k) = (n/k)^k,

右側：　補題より
C[n, k] = n(n-1)…(n-k+1)/k! < (n^k)/k! < e^(k-1)･(n/k)^k,

〔補題〕
k≧2 のとき　(k^k)/k! < e^(k-1),

（略証）
(1 +1/j)^j = Σ[L=1, j] C[j, L](1/j)^L = Σ[L=1, j] (1-1/j)(1-2/j)…(1-(L-1)/j)/L!
はjについて単調増加。
∴　{(j+1)/j}^j = (1 + 1/j)^j < e,
j=1,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/k! < e^(k-1),

(別法)
マクローリン展開から
　e^x > x^{k-1} /(k-1)! + (x^k)/k! + x^{k+1} /(k+1)!
　　　= (x^k)/k! {(k/x) + 1 + x/(k+1)},
　e^k > (k^k)/k! {2 + k/(k+1)} > (k^k)/k! e,　　　(k≧3)
∴　e^{k-1} > (k^k)/k!,
k=2 は直接確かめる。　　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 07:21:11.36

R^n上の対称行列Tが任意のx∈R^nに対して(x,Tx)≧0を満たす時、T≧0と定義する
又、対称行列U,Vに対してU-V≧0の時、U≧Vと定義する
この時、以下について答えよ

(1)R^n上の任意の対称行列T≧0に対し、T=U^2となる対称行列U≧0が一意に存在する事を示せ(尚、この時、U=√Tと定義する)

(2)R^n上の任意の対称行列A,B≧0に対し、A+B≧2√(AB)の真偽を答え、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ

学術 · 2018/09/30(日) 12:30:06.76

未踏士気　☯

学術 · 2018/09/30(日) 12:56:48.99

ゴルフ行こうよ。永遠の－０テンプルバンカーショット。ナイトゴルフ。ＳＷＶＰＷ。

学術 · 2018/09/30(日) 13:19:08.26

https://www.youtube.com/watch?time_continue=36&;v=R3nQFePLx1w

学術 · 2018/09/30(日) 13:20:48.37

https://www.youtube.com/watch?v=L1eCH8rxMwM

学術 · 2018/09/30(日) 13:24:07.75

https://www.youtube.com/watch?v=U28krJWG-To

新宿神戸三（宮）高に数学でも余に降るかな。　

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 14:21:36.32

>>725 (2)
A,Bが対称行列でもABが対称行列になるとは限らないぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 20:51:20.91

>>724 の〔補題〕

分かスレ４４７ - 82, 438

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 00:50:29.88

>>724 の補題を改良

〔補題'〕
k≧2 のとき　(k^k)/k! < e^(k-1) < (k^k)/(k-1)!

(略証)
(1 -1/jj)^j > 1 -1/j,　　　…　AM-GM
(1 +1/j)^j = (1 -1/jj)^j /(1 -1/j)^j > 1/(1 -1/j)^(j-1) = {1 +1/(j-1)}^(j-1),
∴ (1 +1/j)^j = {(j+1)/j}^j はjについて単調増加
∴　{(j+1)/j}^j < e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/k! < e^(k-1),

{jj/(jj-1)}^j > (1 +1/jj)^j > (1 +1/j),　　　… AM-GM
∴ {j/(j-1)}^j = {jj/(jj-1)}^j･(1 +1/j)^j > (1+1/j)^(j+1)
∴ (1 +1/j)^(j+1) = {(j+1)/j}^(j+1) はjについて単調減少
∴ {(j+1)/j}^(j+1) > e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
　(k^k)/(k-1)! > e^(k-1),

分かスレ４４７-448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:28:02.86

>>725 (1)

Tのn個の固有値d_j を主対角線に並べた実対角行列を D とし、
対応する固有ベクトルｗ_j を各列に並べた行列をWとする。
　T ｗ_j = ｗ_j d_j,
　T W = W D,
n個の固有ベクトルｗ_jが1次独立のとき |W|≠0 で Tは対角化可能。
　T = W D W^(-1),
T≧0 すなわち Tの固有値がすべて非負のとき、Dの対角要素が非負で、√Dも実対角行列。
　T = W D W^(-1) = {W √D W^(-1)}^2 = U^2,

Tが実対称行列のときは、固有ベクトルを適当に選んでWを実直交行列にとれる。
　W^(-1) = W~

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:34:53.76

>>732
訂正
A+B≧√2(AB+BA)は成り立つかでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 08:35:39.23

√{2(AB+BA)}っすな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 21:43:18.74

a, b, c >0 に対して、
a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}

今年も不等式の秋が来ましたな。
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式は過去スレで扱ったな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:15:34.85

x, y ∈ R に対して、

(1) 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 ≧ 1/(xy+1)

(2) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc ≦ (a^2 + b^2 + c^2)^(3/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:20:09.91

a, b, c > 0 に対して、

(1) 3 + √{(a^2 + b^2 + c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)} ≧ (2/3)(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)

(2) √{(a^4 + b^4 + c^4)(1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4)} ≧ 1 + √[1 + √{(a^5 + b^5 + c^5)(1/a^5 + 1/b^5 + 1/c^5)}]

(3) a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3) + c^4/(c^3 + a^3) ≧ (a+b+c)/3

(4) {(a-b)/c}^2 + {(b-c)/a}^2 + {(c-a)/b}^2 ≧ (2√2)*{(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b}

(5) a/{√(2b^2+2c^2)} + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 3/2

(6) a+b+c=3 のとき、44 ≧ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 27

参考 (2) https://artofproblemsolving.com/community/q1h1328831p7152622

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 22:39:23.54

むかし立ち読みした本に、不等式の証明を行列を使ってやっていたんだけど、どんな本を検索したら見つかりますかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 03:42:16.06

>>737
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式…

〔問題〕
a,b,c > 0 に対して
　1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ≧ 9/{4(ab+bc+ca)},

イランMO-1996
Inequalitybot [148]

>>738
(1)
　(x, y) = (2 -1/n, -1/2),
　1/(xy+1) = 2n,

(2)
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t とおく。
　|a^3+b^3+c^3-3abc| = |a+b+c| (aa+bb+cc-ab-bc-ca)
　= |s| (ss-3t)
　≦ (ss-2t)^(3/2)　　　　　 (← GM-AM)
　= (aa+bb+cc)^(3/2),

*) ss≧0, ss-3t≧0 より、AM-GM で
　(ss-2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = (3ss -8t)tｔ = (1/3){8(ss-3t) +ss}tt ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:46:30.48

>>738 (2) を改造^^

a,b,c∈R に対して
　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - (ab+bc+ca)^3,

(略証)
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca とおく。
　(ss-2t)^3 - t^3 - ss(ss-3t)^2 = 3(ss-3t)tt ≧ 0,
　(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 - t^3 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:56:34.73

>>738 (2) を改造^^

a,b,c∈R に対して
　| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + 8(ab+bc+ca)^3,

(略証)
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca とおく。
　(ss-2t)^3 + (2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = 3sstt ≧ 0,
　(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 + (2t)^3 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 16:58:43.50

>>742>>743
乙でござるな。この２つはどこか修正が入ったの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 21:33:33.92

ああ、-1と8の違いか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 02:15:28.34

>>739
(3)
a^4 - (a^3+b^3)(a-kb) = {k(a^3+b^3) -abb} b
　= {k[a^3 +(1/2)b^3 +(1/2)b^3] -abb} b
　≧ {3k/(2^(2/3)) -1} ab^3,　　　　(AM-GM)
(係数) ≧0 より
　k = (1/3)･2^(2/3) = 0.529133684

　a^4/(a^3 + b^3) ≧ a - kb,
循環的にたす。
　(左辺) ≧ (1-k)(a+b+c) = 0.470866316 (a+b+c).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/04(木) 05:59:28.01

>>742 は >>609 (2), >>612 にござる。

>>739 (6) 右側　は >>616 >>618

　(aa+2)(bb+2)(cc+2) = uu + 2(tt-2su) + 4(ss-2t) + 8
　= (uu+1+1) + (2/3)(t-3)^2 + (4/3)(tt-3su) + (ss-4t) + 3ss
　≧ 3ss,

※　(uu+1+1) + (ss-4t) ≧ 3u^(2/3) + {F1(a,b,c)-9u}/s
　= 3{u^(2/3) -3u/s} + F1(a,b,c)/s
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 00:10:36.73

>>618 >>739 (6) >>747

a,b,c ≧ 0,　a+b+c ≦ √(8k) のとき
　kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,

左側は
　a+b+c ≦ √(8k)　より
　ab ≦ (1/4)(a+b)^2 ≦ 2k,
　(a+b)c ≦ (1/4)(a+b+c)^2 ≦ 2k,

　(aa+k)(bb+k) = k{(a+b)^2 +k} - ab(2k-ab) ≦ k{(a+b)^2 +k},

∴　(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≦ k{(a+b)^2 +k}(cc+k) = kk(ss+k) -k(a+b)c{2k-(a+b)c} ≦ kk(ss+k),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 06:07:13.55

>>741 (上)

4(ab+bc+ca){1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2} - 9
= {ab(4aa+7ab+4bb)(a-b)^2 + bc(4bb+7bc+4cc)(b-c)^2 + ca(4cc+7ca+4aa)(c-a)^2 + (2abc)F_1(a,b,c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}^2
= {4t･F_2＋(3tt/s)F_1＋(9tu/s)F_0＋(st-9u)u} / (st-u)^2
≧ 0,

F_n (a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 07:11:47.76

>>724
なるへそ。右辺のeは1個少なくても成り立つんですな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 09:38:24.95

さあ、はじめようか？
>>737の左辺は、どこに挟まるのでござるかな？

{a/(2bc)}^2 + {b/(2ca)}^2 + {c/(2ab)}^2
≧ 1/(4a^2) + 1/(4b^2) + 1/(4c^2)
≧ 1/(4ab) + 1/(4bc) + 1/(4ca)
≧ 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2　← (>>741, >>749)
≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
≧ 1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)}
≧ 9/{(a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b)}
≧ 27/{4(a+b+c)^2}
≧ 9/{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)(a+b)^2}
≧ 9/{4(a^2 + b^2 + c^2)}

　" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　　　　 /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ　; ; ヾ ;ゞ; 　　　　　　　＼　　　　　　　／
　ゞヾ　; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/　　　　　　　　`　　　　　　`　　　　　　　　` 　ー ─ '　`
　　　ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
　" ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/　ヾゞ　　　　　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　　`　`
　　`　　　　　 ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| `　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　`　　　　　　`　`　　　`
　　　　　　　 ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　＿＿＿　　不等式の秋　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`,
　　　`　　　　|iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／　　≧　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾ从//"
　　　　`　　　|iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (●　(● |　　　　　　　　　　　`　　ﾞ　　`　　　　ヾ'./"
　　　　　　 |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　　　　　　　　　 ○ 　　 .||.　　　　　　　,
　　　　`　　　|iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| (　つ且 ~　　　　　 ` 　　　　　　　　 ○○　　 |　|
　　,　,　.,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝつつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（　）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 10:33:46.31

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2　←(>>709-710)

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

ところで
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) と (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
の大小は定まりそうにないですが、どうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 17:27:07.24

>>748
神掛かってる！
大量投下したやつを今ごろ確認しているところでござるが、関連する昨夏の不等式を再掲。
（自分のmemoから抜き出したので、未紹介のものもあるかもしれない。）

a、b、c∈R、k≧0、4≧λ≧0 に対して、
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2
(2) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ {(4k/3)^(3/2)}*(a-b)(b-c)(c-a)
(3) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)*{λ(aa+bb+cc) + (9-λ)(ab+bc+ca)}
(4) {aa+ (k+1)/3}{bb+ (k+1)/3}{cc+ (k+1)/3} ≧ {(k+4)/3}^2*{ab+bc+ca+ (k-5)/3}

a、b、c∈R、k≧1 に対して、
(5) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*(ab+bc+ca+k-2) + (abc-1)^2

a、b、c∈R、k≧2 に対して、
(6) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(ab+bc+ca+k-2)^2

a、b、c∈R、k≧(√2)-1 に対して、
(7) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*{(a+b+c)^2/3 + k-2}

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 17:28:57.36

>>753
訂正。(3)(5)は a,b,c≧0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:16:09.56

>>748
> a,b,c ≧ 0,　a+b+c ≦ √(8k) のとき
> 　kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,

左側の等号成立条件は a=b=c=k=0 以外にありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:38:14.85

>>755
kは要らんね、a=b=c=0以外に等号が成立することあるかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 18:42:14.42

連投すまぬ。
a,b,cのうちの2つが0なら成り立ちますね。他にないかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/07(日) 19:18:13.82

>>755
a,b,cのうちの少なくとも2つが0、
a,b,cのうちの一つが0で、2つが√(2k)のとき

これだけかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 02:39:14.27

>>738 (1)
x, y >0 として証明。
lhs - rhs = {xy(x-y)^2 + (xy-1)^2}/{(x+1)^2 (y+1)^2 (xy+1)} ≧0.

一般化できるかな？つまり、
x,y,z>0 のときに、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1) は成り立つ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 03:25:37.55

4文字なら、a,b,c,d>0に対して、

1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2
≧ 1/(1+ab) + 1/(1+cd)
＞ 1/(1+abcd).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 03:40:58.25

〔補題〕
(1)　4(2-√3) > (√6 -√2),
(2)　12(2-√3) > 4(2-√3) + 2(√6 -√2) > 3(√6 -√2),
(3)　(√2 +√3) > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(4)　22/7 > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(5)　6 + (√6 -√2) > (√5)(√2 +√3),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 04:06:45.56

>>761
(1)
　√3 -1 ≒ 0.7320508　　　1/√2 ≒ 0.70710678
　(左辺) - (右辺) = 2(√3 -1)(√3 -1 -1/√2) > 0,
(2)
　(1) から直ちに出る。
(3)
　(左辺) - (右辺) = (1/4)(√2 -1)^2･(√3 -1)^4･(√3 -√2) > 0,
(4)
　(左辺) - (右辺) = (1/14)(√2 -1)^3･(√3 -1)^4･(3√6 -7) > 0,
(5)
　さてどうするか…

なお、Snellius-Huygens から、2(√6 -√2) + 4(2-√3) > π が分かる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 06:50:50.12

>>761

(1)別解
　4tan(π/12) > π/3 > 4sin(π/12),
　4(2-√3) > π/3 > (√6-√2),

http://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314/1331712378

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 17:08:48.13

>>759
s = x+y+z,　t = xy+yz+zx,　u = xyz とおく。

lhs - rhs = {3+4s+2ss+2(st-3u)+(tt-2su)}/(u+t+s+1)^2 - 1/(u+1)
　= {2+2s+(ss-2t)-5u+2(ss-t)u+2(st-9u)u+11uu+(tt-2su)u}/{(u+t+s+1)^2･(u+1)},
　≧0.　　　　　　　　(← x,y,z≧0)

*　2 -5u +11uu = 63/44 + 11(5/22 -u)^2 ≧ 63/44,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 04:04:05.31

>>764
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど、対称式とSchurすごいな。 stu method でも呼ぶかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 04:15:31.03

n変数にして証明できますかね？
a_k >0 (k=1,2,…n) に対して、Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Πa_k).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 05:55:14.05

x>0に対して、9x^{10} + 2 ≧ 9x^8 + 2x^9 をAM-GMで示せ。
（蛇足だが、この不等式は任意の実数で成り立つ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 06:15:35.95

>>766
nについての帰納法でやってみた。

n=2 は >>759 より成立。

n≧3 のとき
(1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
　≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k)
　≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k),

(2) x_1～x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。
・n=3 の場合がチョト面倒。
　⊿(右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1)
　= xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)}
　≦ xy(1-z)/{xy(z+1)}　　　　　　　(← xy(1-z)≧0)
　= (1-z)/(z+1),
　(左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1)　　(←帰納法の仮定)
　≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1)
　= {z/(z+1)}^2
　≧ 0,

・n≧4 ならば
　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4　　　（← a_k≦1)
　= n/4
　≧ 1
　> 1/(1+Π[k=1,n] a_k),

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 06:56:44.02

>>767

AM-GM より
9x^10 -10x^9 + 1
　= (x-1) (9x^9 -x^8 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1)
　= (x-1)^2 (9x^8 +8x^7 +7x^6 +6x^5 +5x^4 +4x^3 +3x^2 +2x +1)
　= (x-1)^2 {5x^8 + (x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)}
　≧ 0,

AM-GMより
4x^10 -5x^8 + 1
　= (x^2 -1) (4x^8 -x^6 -x^4 -x^2 -1)
　= (x^2 -1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)
≧ 0,

(与式) = {(上) + (下)･9}/5

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 11:09:20.09

>>769
ごめん、どこでAM-GMを使っているのか分からない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 14:38:57.52

>>767

(左辺) - (右辺) = 2(4x^10 -5x^8 +1) + {(x-1)x^4}^2

　≧ 2(4x^10 -5x^8 +1)

　= 2{(X^5 + X^5 + X^5 + X^5 + 1) - 5 X^4}　　　(← X=x^2≧0)

　≧ 0,

最後のところで AM-GM を使いました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 16:36:47.68

>>767
AM-GMより、
x^{10} + x^9 ≧ 2x^9,
8x^{10} + 2 ≧ 10x^8. （x^8 が8個と 1が2個）

辺々加えて、
9x^{10} + 2 + x^8 ≧ 10x^8 + 2x^9.

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:11:28.36

>>738(1) >>759 >>764 >>768
> x,y,z>0 のとき、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1).

右辺を見て次の不等式を思い出したが、繋がるかな？

x,y,z>0 のとき、1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/(1+xyz).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:46:04.69

>>767

p_0 = 9,
p_1(x) = 6.19544630295　　　　 + (x-0.03352960039751934)^2 p_0 > 0,
p_2(x) = 3.8953637526451576 + (x-0.003121543171869486)^2 p_1(x) > 0,
p_3(x) = 2.0721715662084579 + (x+0.08618793580133872)^2 p_2(x) > 0,
p_4(x) = x^8 + 2(x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1),
　　　　= 0.5197441948878409 + (x+0.8393520966569508138)^2 p_3(x) > 0,
p_5(x) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2 = (x-1)^2 p_4(x) > 0,

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 18:49:56.43

>>774
細かい数字が出てよく分からんけど、p_k(x) の定義は何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 20:03:46.82

>>768
> n≧3 のとき
> (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
> 　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2

不等号が逆向きになりませんか？

　　Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 < Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 20:31:33.55

ごめん勘違いしていた。忘れてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 21:22:11.48

>>737
(問題再掲)
> a, b, c >0 に対して、
> a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}

(証明)
(ab+bc+ca)*[a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2}]
≧ [ √(ab*a/{b(b+c)^2}) + √(bc*b/{c(c+a)^2}) + √(ca*c/{a(a+b)^2}) ]^2
＝ [ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ]^2
≧ (3/2)^2.

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　シコシコ、ネビットの順に使うナリ。
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/09(火) 23:28:00.13

>>759 >>766 >>768

n≧3 のとき
p = Π[k=1,n-1] a_k,　z = a_n とおく。

⊿(右辺) = 1/(p･z+1) - 1/(p+1)
　= p(1-z)/{(p･z+1)(p+1)}
　= Max{ p(1-z)/{(p･z+1)(p+1)}, 0}
　≦ Max{ (1-z)/(z+1), 0}
　≦ 1/(z+1)^2,
∴　(左辺) - (右辺) ≧ 0,

>>775
　p_k(x) は 2k次の多項式。
　p_5(x) = (左辺) - (右辺) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2,
　p_k(x) の最小値を b_k とし、そのときのxを a_k とする。
　p_{k-1}(x) = {p_k(x) - b_k}/(x-a_k)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 05:28:35.94

>>746
するってぇと、こういうことかい？

k = (1/n)*(n-1)^{(n-1)/n} とおくとき、a,b,c>0 に対して、
a^{n+1}/(a^n + b^n) + b^{n+1}/(b^n + c^n) + c^{n+1}/(c^n + a^n) ≧ (1-k)(a+b+c).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 10:06:50.14

>>710
一般の自然数nの場合に右辺はどうなるのでせうか？次式は成り立ちますか？

a,b,c>0に対して、
(a-b)(a-c)a^n + (b-c)(b-a)b^n + (c-a)(c-b)c^n ≧ (n+1){(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 19:24:52.49

>>781
両辺の次数が合ってないから、考えるだけ無駄ですな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 19:47:02.29

a,b,c>0とし、Δ= (a-b)(b-c)(c-a)とおく。昨夏にやった不等式について。

(1) (27/8)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ Δ^2
(2) k*Δ^2 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ Δ^2
(3) m*Δ^2 ≧ (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5Δ^2

(疑問１) k、mの値を知りたい。
(疑問２) (1)もΔ^2の定数倍で挟みたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 03:47:19.96

>>760
　1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+ab/2)^2 + 1/(1+cd/2)^2 > 1/(1+abcd/4),
　>>738(1) >>759

>>773 (下)
　1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/{G(1+G)} ≧ 3/(1+xyz),
　G = (xyz)^(1/3),

　バルカンMO-2006
　[8] 安藤哲哉 (2014) 例題3.1.7(4)
　[9] 佐藤淳郎[訳] (2013) 問題3.93
　Inequalitybot [77]

>>783
　例えば　a=b≠c　⇒　⊿=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 17:32:09.43

・n=2
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 > 1/(1+ab),　　　>>759(上)

・n=3
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 > 1/(1+abc/2),　　　>>759(下) >>773(上)

・n=4
　1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 > 1/(1 + abcd/4),　　 >>760 >>784

・nについての帰納法で　>>784
　Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + 4Π(a_k /2)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 02:23:37.06

>>785　念のため…

〔補題〕
　n≧2,　a_k≧0 (k=1～n) のとき
　Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{ 1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) },

(略証)
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
　>>759 (上)
・n≧3 のとき
(左辺) = Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-3) } + 1/(1+a_n)^2　　　(←帰納法の仮定)
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-2) }^2 + 1/(1+a_n)^2
　≧ 1/{1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) }　　　　　　　　　　　( >>759 上)
　= (右辺).

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 04:07:57.14

(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) を同じ式で挟むとしたら、こんなもん？

(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
≧ (8/27)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)

>>784
成程、a=bのときを考えれば⊿で挟めないのは明らかですね。

>>786
ちょうど悩んでいたところで助かりますた。
直近でやった不等式が使えるとは、偶然以上の何かを感じる…