>>469

A = ln(a)，B = ln(b)，C = ln(c) とおく。
題意により、A，B，Cは同符号。
正であるとしても一般性を失わない。

S=A+B+C，T=AB+BC+CA，U=ABC とおく。
(左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U,
(右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U),
(左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU･F_{-1}) + SSU･F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0,
ここに
U･F_{-1} = TT -3SU ≧ 0,
UU･F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0,

なお、
(右辺) ≧ 6　(Nesbitt、Shapiro-3)