>>448 （続き)

f(x）= x^r　（r≧1）は下に凸だから、下の補題より

S(n)/{n（n+1)^r｝≧ S(n-1)/{(n-1）n^r},

S(n)/{(n+1）n^r｝≧ S(n+1)/{(n+2）（n+1)^r},

これと　n/(n-1）＞（n+1)/n ＞（n+2)/(n+1）　から >>462 が出る。

なお、n >> r では S(n）〜｛1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1）


〔補題〕
f(x）が 0<x<1 で下に凸ならば

1）（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）≧｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),

2）｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）≧｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),

(略証)
1）
凸性からJensenにより
｛(n-k)/n｝f(k/(n+1)）+（k/n）f((k+1)/(n+1)）≧ f(k/n),
k=1 から k=n-1 まで加えて（n-1）で割る。
2）
凸性からJensenにより
｛k/(n+1)｝f((k-1)/n）+｛(n+1-k)/(n+1)｝f(k/n）≧ f(k/(n+1)),
k=0 から k=n+1 まで加えて（n+2）で割る。