逆数バージョン

〔掛谷の定理〕　
正係数のn次多項式
　F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_n,
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n
について、F(x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。

(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(x-1）F(x）= a_0 x^(n+1）+ Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}) x^j - a_n,
x=1 のときは
　0 = a_0 + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}）- a_n,
辺々引いて
(x-1）F(x）= a_0（x^{n+1} -1) + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j})(x^j -1),
ここで、｜x｜≦ 1, x≠1 ならば
Re｛x^j｝≦｜x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛x^j -1｝< 0,
∴ Re｛右辺｝< 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜> 1

(系）　x → 1/x とすれば >>453
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm