>>359

実対称行列Ｓ=
｜1，　-cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1，　-cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1　｜
とおく。

題意よりα+β+γ = π,

（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 + 2cosα cosβ cosγ = 1,

AM-GM と 凸性より
　-1 < cosα cosβ cosγ ≦｛cos(π/3)}^3 = 1/8,

Ｓの固有多項式は

｜1-x，-cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1-x，-cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1-x｜

= x{xx -3x +2(1 + cosα cosβ cosγ)}
= x f(x),

f(0）> 0,
f(3/2）= -1/4 + 2 cosα cosβ cosγ < 0,
∴ f(x）は2つの正根をもつ。

Ｓの固有値は 0 と 2つの正値。

∴Ｓは半正値。