似たような式がたくさん出てきたので、まとめるナリ。
a, b, c≧0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)
△ = (a+b)(b+c)(c+a)
D = (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)

(1)　(64/27)(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ △^2 ≧ {(8/9)(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 ≧ {(4/3)(ab+bc+ca)}^3
(2)　{(2/3)(a+b+c)}^3 ≧ △ ≧ 24abc(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}
(3)　(1/512){(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)}^2 ≧ △
(4)　△^2 ≧ 4D
(5)　△^3 ≧ 64abcD

[1]　(△/2)^2 ≧ D ≧ abc△
[2]　{(△/4)^3}/(abc) ≧ D
[3]　(8/9)(ab+bc+ca)(a^4+b^4+c^4) ≧ D ≧ (8/9)(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}


（参考）---------------------
(1) 第2章 136-138
(2) 第8章 687
(3) 第8章 469
(4) >>142
(5) >>145

[1] >>142 (証明>>153)、>>144上
[2] >>145
[3] >>151