X
トップページ⇒数学
330コメント162KB

幾何 [無断転載禁止]©2ch.net

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0159哀れな素人
垢版 |
2020/12/03(木) 08:54:08.84ID:Q3rn9U3A
では問題文を訂正しておこう（笑

AB=5、BC=4、CA=3の直角三角形ABCがある。
（斜辺ABはCの左斜め上にあると考えよ。）
CからABに垂線CDを下ろし、DからBCに垂線DEを下ろし、
EからCDに垂線EFを下ろし、FからDEに垂線FGを下ろし、
GからEFに垂線GHを下ろし、HからFGに垂線HIを下ろし、…
というふうに、Cから左巻きの渦のように垂線を下ろしていき、
D、E、F、G、H、I、…の極限点をｐとする。ｐの位置を求めよ。
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 13:52:29.17ID:kf3WVIBO
>>153
0Dで点が1個をπとするなら
円の面積の公式で半径を無限大にして直線を作り、２つの直線が交わる点を１つとる。そうすると円周の長さの公式に従い係数は2πの2つの点で１次元。
2次元の公式の係数は4πになってもらわないとこまる。
長いこと使用された円の面積の公式の係数は4πにしても良いのではなかろうか。
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 14:43:44.79ID:kf3WVIBO
>>160
だから
普通に考える
球の表面積は4πr ^2
となる。
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 14:45:25.89ID:kf3WVIBO
何故か書き込みが増えてますね。
喜ばしい限り。
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 14:47:40.93ID:kf3WVIBO
>>1
定義と定理は回転群ですね。
ザックリ言えば。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 18:08:28.91ID:EylvoCB2
>>154 から
直線BJの方程式：　y = (27/136)x,
直線CKの方程式：　y = - 0.48(x-4),

交点ｐ (2176/769, 432/769) = (2.8296488946684…, 0.56176853055917…)
かな？


蛇足だけど、I(2.891776, 0.6912)
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 19:11:55.63ID:EylvoCB2
更に蛇足だけど、垂線の長さの比は 交互に
　BC/AB = DE/CD = FG/EF = HI/GH = JK/IJ = … = 4/5,
　CD/BC = EF/DE = GH/FG = IJ/HI = … = 3/5,
よって
　⊿ABC：⊿IJK：⊿QRS：…　の相似比は {(4/5)(3/5)}^4 = (0.48)^4
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 20:12:24.64ID:EylvoCB2
>>136
アフィン的(?)解法

　適当な正則一次変換により ⊿ABC を辺長１の正三角形に移す。
　二辺が x と 1-x で挟角が60°の⊿が3つできる。
　その面積は二辺の積 x(1-x) に比例し、x=1/2 (中点) で最大となる。
　このとき△P'Q'R' の面積は最小となる。
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/03(木) 20:38:17.53ID:EylvoCB2
>>154 から
直線BFの方程式　y = (27/136)x,
直線CGの方程式　y = - (12/25)(x-4),
としても同じ。
⊿ABC：⊿EFG：⊿IJK：⊿MNO：⊿QRS：…　の相似比は
　- {(4/5)(3/5)}^2 = - (0.48)^2
0168哀れな素人
垢版 |
2020/12/03(木) 20:58:30.61ID:Q3rn9U3A
珍しくスレが進んでいるな(笑

>>159の問題を僕は無限級数の問題と考えた。
Cから上にどれだけ進み、Cから左にどれだけ進むか、を考えた。
初項と第二項をどこに取るかが、この問題のポイントだ。

計算結果はCから上に432/769、Cから左に900/769だから、>>164と同じ。
実際に作図してもほぼその位置に来るから、これが正解であることは間違いない。

>>166
アフィン幾何という言葉だけは知っているが、何のことか分らない(笑
その答えは代数的解法ではあるが、正解(笑
0169哀れな素人
垢版 |
2020/12/03(木) 22:01:52.47ID:Q3rn9U3A
ちなみにCから上にどれだけ進むかは、
まずF(G)まで3・(4/5)^2・(3/5)^2だけ上がる。これが初項。
次にKの位置までどれだけ下がるかを考えると、
公比-(4/5)^2・(3/5)^2で下がる。
以下はこれの繰り返し。

Cから左にどれだけ進むかは、
まずE(G)まで3・4/5・3/5進む。これが初項。
次にKの位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く。
以下はこれの繰り返し。

これを計算すると上の答えになる。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/04(金) 18:09:34.33ID:c152PLb8
またまた蛇足

>>164
直線AIの方程式　y = 3 + (x-4)/0.48

>>167
直線AEの方程式　y = 3 + (x-4)/0.48

∠ACp + ∠CAp = ∠ApC = 90°,
tan(∠ABp) = tan(∠BCp) = tan(∠CAp) = (4/5)(3/5) = 0.48
0171哀れな素人
垢版 |
2020/12/04(金) 22:37:27.77ID:G1/d34c4
念のために補足しておくと、

次にKの位置までどれだけ下がるかを考えると
↓
次にJ(K)の位置までどれだけ下がるかを考えると

次にKの位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く
↓
次にI(K)の位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/05(土) 00:43:36.65ID:Io8LGZ8j
>>151
作図で90度(垂直)と60度(正三角形)と72度(正五角形)を作れる
これを各々作図で二分していくと90度(45),60度(30,15),72度(36,18,9)となる
これらの組み合わせで作れる角は
45a+15b+9c=3(15a+5b+3c) (a,b,cは任意の整数)
となって3の倍数である6度を作れるので
三角関数を知らなくてもアナログ時計の目盛りを刻むことができる
0174哀れな素人
垢版 |
2020/12/07(月) 08:43:41.48ID:zLWcdcc9
作図題二題　その５

①
三本の平行線がある。
これらの平行線上に三つの頂点を有する正方形を作図せよ。

②
点Aがあり、その下方に水平な直線があり、その下方に円がある。
これらの点と直線と円周上に頂点を有する正三角形を作図せよ。
但し点と直線と円は、そのような作図が可能な位置と大きさであるとする。
0175イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/09(水) 12:05:28.61ID:cykkV0Yr
前>>158
>>149
xy平面上に、
A(4,3)
B(0,0)
C(4,0)
をとる。
辺の比が3:4:5の直角三角形の垂線は底辺を9:16に分割する点に垂線の足を下ろす。
D(2.56,1.92)
E(2.56,0)
F(3.4816,0.6912)
点は分数じゃなく、少数でとる。
位置を実感するためだ。
G(2.56,0.6912)
H(2.891776,0.248832)
I(2.891776,0.6912)
Jのx座標は2.56+(9/25)(2.891776-2.56)
=2.67943936
J(2.67943936,0.53194752)
K(2.891776,0.53194752)
直角△ABCと同じ向きの直角△IJKが描けた。
L(2.8153348096,―――略―――)
M(2.8153348096,0.53194752)
N(―――略―――,0.56863929139)
O(2.8153348096,0.56863929139)
P(2.83294685987,0.5451565577)
Q(2.83294685987,0.56863929139)
直角△ABCと同じ向きの直角三角形がIJKの次に現れるのは直角△QRSで、点A,I,Qと点B,J,Rと点C,K,Sがそれぞれ一直線に並び、3本の直線が極限点Pに集まると予想する。
直線BJの方程式はy=(53194752/267943936)x
53194752=27×1970176
267943936=136×1970176
y=(27/136)x
直線CKの方程式はy=-0.53194752(x-4)/(4-2.891776)
y=-(53194752/110822400)(x-4)
y=-0.48(x-4)
y=-(12/25)(x-4)
通分してこれらを解くと、
x=16×136/(9×25+4×136)
=2176/769
=2.842652808916……
y=27×16/769
=432/769
=0.5617685305591……
∴極限点Pの座標は(2.842652808916,0.5617685305591)と推定する。
0176哀れな素人
垢版 |
2020/12/09(水) 21:20:46.90ID:KJcNty4h
イナよ、そこまで計算しなくても、実際は、
△EFGができた時点で、AEとBFとCGの交点を求めれば、
それが極限点pの位置である。
0178哀れな素人
垢版 |
2020/12/10(木) 08:29:30.03ID:kCGZMahP
イナよ、>>159の問題は、結局は相似の中心を求める問題だから、
△ABCと△EFGの対応点を結べば、それらの交点がpの位置になるのである（笑

分るか？（笑
0180哀れな素人
垢版 |
2020/12/14(月) 09:02:21.90ID:fGyKPvzZ
四角形の一対の対辺、二つの対角線とその夾角、を知って四角形を作図せよ。
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/18(金) 21:09:38.11ID:DAoaiwdi
(i)
λは実数で 0 < |λ| <1 とする。
↑A_o ≠ ↑B_o から始めて
↑A_{n+1} = ((λ+1)/2)↑A_n + ((λ-1)/2)↑B_n,
↑B_{n+1} = ((λ-1)/2)↑A_n + ((λ+1)/2)↑B_n,
とおくと ↑A_n, ↑B_n は収束する。
　↑A_∞ と ↑B_∞ は相異なるか？

(ii)
μは実数で 0 < |μ| <1 とする。
↑C_o から始めて
↑C_{n+1} = (μ-1)↑A_n + 2(1-μ)↑B_n + μ↑C_n,
とおくと ↑C_n も収束する。
　B_∞ は A_∞C_∞ の中点であるか？
0182哀れな素人
垢版 |
2020/12/21(月) 09:14:30.96ID:EOqzZZ/u
もうすぐ冬休みなので、中高生向けの問題を二題。

①
△ABCがあり、AB=24、AC=20、外接円の半径=30である。
この三角形の面積を求めよ。
但し三角関数の使用は不可。

②
次のことを証明せよ。
△ABCのBC上にD、Mがあり、ADは∠Aの二等分線、AMは中線である。
CからADに垂線CPを下ろし、その延長がAMと交わる点をQとすると、
QDとACは平行である。

②の問題は中学生には解けないかもしれない。
0183イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/22(火) 08:48:57.29ID:skBdmmjJ
前>>179
>>182
△ABCにおいて正弦定理より
2R=60=20/sinA=24/sinC
sinA=1/3
sinC=2/5
BからACに下ろした垂線の足をHとすると、
BH=20(2/5)=24(1/3)=8
ピタゴラスの定理より、
CH=√(20^2-8^2)=4√21
AH=√(24^2-8^2)=16√2
△ABC=(4√21+16√2)8/2
=16√21+64√2
0184イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/22(火) 09:00:41.30ID:skBdmmjJ
前>>183訂正。
>>182
△ABCにおいて正弦定理より
2R=60=20/sinB=24/sinC
sinB=1/3
sinC=2/5
AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、
AH=20(2/5)=24(1/3)=8
ピタゴラスの定理より、
CH=√(20^2-8^2)=4√21
BH=√(24^2-8^2)=16√2
△ABC=(4√21+16√2)8/2
=16√21+64√2
0185哀れな素人
垢版 |
2020/12/22(火) 09:40:03.33ID:pJczAeWl
イナよ、三角関数の使用は禁止（笑

それにお前の答えは間違っているぞ（笑
0186イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/25(金) 15:25:19.63ID:K0jsmVQ1
前>>184
>>182
△ABCの外接円の半径をRとすると、
20/sinB=24/sinC=2R=60
sinB=1/3
sinC=2/5
BCに対するAの高さは8
△ABCの外接円の中心をOとして、
30/sin∠OBC=30/sin∠OCB=60
sin∠OBC=sin∠OCB=1/2
∠OBC=∠OCB=30°
∠BOC=180°-30°-30°=120°
BC=2Rsin120°
=60(√3/2)
=30√3
△ABC=(1/2)(30√3)8
=120√3
0187哀れな素人
垢版 |
2020/12/26(土) 09:06:22.77ID:GRB1GHCI
イナよ、三角関数の使用は禁止（笑

それに、お前の答えは間違い（笑
0188これでは？
垢版 |
2020/12/27(日) 06:25:50.06ID:T10pTK64
△ABC=(12-12/11)12√3/2+(10+10/11)10√3/2
=120×6√3/11+100×5√3/11
=(720+500)√3/11
=1220√3/11
0191哀れな素人
垢版 |
2020/12/27(日) 20:56:50.59ID:Z2MrWtiy
イナよ、僕がお前をアク禁にしたわけではない（笑
僕も今日はエラーが出て書き込めなかった（笑

それから、>>188は間違い（笑
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/27(日) 22:12:05.64ID:T10pTK64
60°ずつなわけないか。だよな。
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/27(日) 22:24:11.55ID:T10pTK64
前>>192
前々>>190
書きこめねえぞこら！
0197イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/28(月) 23:15:28.33ID:lvLlGPFh
前>>196訂正。
>>182
cosA=(24^2+20^2-BC^2)/(2×24×20)
sinA=BC/2R=BC/60
480cosA=576+400-3600(1-cos^2A)
(60cosA)^2-8(60cosA)-2624=0
60cosA=4-√(16+2624)=4-√2640=4-4√165
cosA=(1-√165)/15
sinA=√(166-2√165)/15=(√165-1)/15
△ABC=(1/2)24×20(√165-1)/15
=16(√165-1)
=189.523721259……
0198イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/29(火) 01:57:00.74ID:Q+OHTUHS
前>>197
>>182
BC=2RsinA=60sinA
24^2+20^2-60^2sin^2A=2×24×20cosA
36+25-225sin^2A=60cosA
61-225+225cos^2A-60cosA=0
225cos^2A-60cosA-164=0
cosA=｛30-√(900+225×4×41)｝/225
=(30-30√42)/225
=(2-2√42)/15
cos^2A=(4+168-8√42)/225
=(172-2√672)/225
sinA=√(225-168+2√672)/15
=√(57+2√672)/15
=(√32+√21)/15
△ABC=(1/2)AB×ACsinA
=(1/2)24×20(√32+√21)/15
=16(4√2+√21)
=64√2+16√21
=163.830879111……
0199哀れな素人
垢版 |
2020/12/29(火) 08:48:11.24ID:e8UZ5ZY6
イナよ、今のところ、全部間違い（笑

冬休み中だから、>>182の問題を継続して出しておく。
中高生の回答に期待する。
0200イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/29(火) 12:53:54.37ID:Q+OHTUHS
前>>198
マジか。腰痛悪化。イタタタ……
まぁでも、どうれも確信は持てなんだでな。
0201イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/29(火) 13:26:01.80ID:Q+OHTUHS
前>>200
ぎっくり腰が再発して、
トイレに行けなくて困ってる。
数学やると脳が糖を使うから、
小便したくなる。でも今はだめだ。
腰が痛いから。
動けない。
0202イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/29(火) 19:30:40.59ID:Q+OHTUHS
前>>201
>>199
三角関数か四角関数か知らんけどsinやcosを使う使わずに拘らず、
正しい数値がまだ出てないってことだよね？
0203哀れな素人
垢版 |
2020/12/29(火) 21:50:01.83ID:e8UZ5ZY6
>>202
その通り（笑

戦前は大学入試にも初等幾何の問題がバンバン出たらしい。
だから戦前の生徒なら①の問題は五分で解く。
なぜなら①の問題の解き方は準公理のように知られていたからだ。
ところが今の教育は初等幾何を軽視している。
だから今の生徒は①の問題が解けない。
有名塾とか有名進学校の生徒はどうかは知らないが。

②の問題でも、戦前の生徒なら五分で解く。
0204 【中吉】
垢版 |
2020/12/30(水) 00:44:03.86ID:yoNFWM0k
前>>202
>>182
手段は選ばず、とにかく答えを出す。

外接円の中心をOとして、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12×6√21
=72√21
△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=10×20√2
=200√2
△ABC=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-(1/2)30×30sin∠BOC
=72√21+200√2-450sin∠BOC
中心角∠BOC=2(π-弦BCについて反対側の円周角∠BAC)
sin∠BOC=sin2(π-∠BAC)
=2sin(π-∠BAC)cos(π-∠BAC)
=2sin∠BAC(-cos∠BAC)
=-2sin∠BACcos∠BAC
=-2(BC/2R)(24^2+20^2-BC^2)/(2×24×20)
=-BC(976-BC^2)/(30×960)
△ABC=72√21+200√2+450BC(976-BC^2)/(30×960)
=72√21+200√2+15BC(976-BC^2)/960
=72√21+200√2+BC(976-BC^2)/64
sin^2∠BAC+cos^2∠BAC=1
BC^2/60^2+(976-BC^2)^2/960^2=1
BC^4-1936BC^2+30976=0
BC^2=1936±√(968^2-30976)
=1936±√906048
作図よりBC=√(1936-264√13)
=2√(484-66√13)
976-BC^2=976-1936+264√13
=264√13-960(＜0)
△ABC=72√21+200√2-(960-264√13)√(484-66√13)/32
=72√21+200√2-(30-33√13/4)√(484-66√13)
=366.360495035……
0205イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/30(水) 02:40:33.90ID:yoNFWM0k
前>>204
>>182
外接円の中心をOとし、
AOとBCの交点をPとすると、
BOに対するPの高さxは、
PからBOに下ろした垂線の足がBOをt:(30-t)に分割するとして、
24:x=30:(30-t)
x=(4/5)(30-t)
=24-4t/5
30:x=30:t
t=24-4t/5
9t/5=24
t=5×24/9=40/3=x
同様にCOをs:(30-s)に分割する位置にP
から垂線を下ろすと、
COに対するPの高さyは、
s=20-2s/3
5s/3=20
s=12
20:y=30:(30-s)
30y=20(30-s)
30(20-2s/3)=20(30-s)
y=12
△ABC=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-(1/2)30(40/3)-(1/2)30×12
=72√21+200√2-200-180
=72√21+200√2-380
=232.788162511……
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/31(木) 01:50:01.05ID:ejzD2e73
>>182

外接円の中心をOとする．
AとOを通る直線と，Aを除く，外接円との交点をDとする．
BC=a，AC=b，AB=c，AD=x，BD=y， CD=zとする．

ピタゴラスの定理より
　c^2+y^2=x^2　(1)
同様に
　b^2+z^2=x^2　(2)

i) ∠BACが鈍角の場合
トレミーの定理より
　ax=by+cz　(3a)
(1)(2)(3a)より
　a=b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=32q+212であるから
　S=√((272-32q)(208+32q))
　 =2^4 * √(8q+53)
　 ≒163.83

ii) ∠BACが鋭角の場合
トレミーの定理より
　cz=ax+by　(3b)
(1)(2)(3b)より
　a=-b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=-4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=-2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=-2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=-32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=-32q+212であるから
　S=√((272+32q)(208-32q))
　 =2^4 * √(-8q+53)
　 ≒17.188
0207哀れな素人
垢版 |
2020/12/31(木) 08:46:29.21ID:umtWU27q
今までのところ、全部間違い（笑
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/31(木) 12:31:52.38ID:ejzD2e73
>>206の補足
i) ∠BACが鈍角の場合
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/31(木) 12:35:18.38ID:ejzD2e73
>>206の補足
ii) ∠BACが鋭角の場合
0211１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/31(木) 12:45:32.69ID:ejzD2e73
ちなみに外接円の半径と三角形の面積の関係
　S=abc/4R
は外接円の中心が三角形内部にないので使えない
0212１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/31(木) 15:43:31.87ID:ejzD2e73
年の瀬にしょうもない問題を解かせやがって…
と思っていたがなかなか面白かった
来年も数学を楽しめますように
0213イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/12/31(木) 16:32:01.89ID:SoJ2DA5s
前>>205
>>207
まだ正解が出てないってわかって安心したよ。
今ぎっくり腰が再発してトランプ状態。
じきに解くから、待っとってくれ。
0214イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/01(金) 00:00:20.56ID:W0Sm132p
前>>213年内決着。
>>182
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20√16875^2-(2051+1800√42)/1125
=139.803668209……
0215 【あたり】
垢版 |
2021/01/01(金) 02:20:56.50ID:W0Sm132p
前>>214補足。
>>182 △OAB=12×√(30^2-12^2)=12×6√21=72√21
△OAC=10×√(30^2-10^2)=10×20√2=200√2
△ABC=四角形OCAB-△OBC
=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-△OBC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20sin∠BAC
=240sin∠BAC
△OBC=(30^2/2)sin∠BOC
=450sin∠BOC
=450sin2∠BPC(円周角)
=450sin2∠BAC
=900sin∠BACcos∠BAC
△ABC=72√21+200√2-900sin∠BACcos∠BAC
=240sin∠BAC
(900cos∠BAC+240)sin∠BAC=72√21+200√2
sin∠BAC=(18√21+50)/(225cos∠BAC+60)
(18√21+50)^2/(225cos∠BAC+60)^2+cos^2∠BAC=1
3^4×5^4cos^4∠BAC+2^2×3^3×5^3cos^3∠BAC-3^2×5^2×11×19cos^2∠BAC-2^2×3^3×5^3cos∠BAC+2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42=0
このcos∠BACの4次式を満たすcos∠BACは図より、
cos∠BAC≒-0.8
と予想できる。
4次の係数3^4×5^4と定数項2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42から推定すると、
cos∠BAC=-(2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42)/(3^3×5^4)
=-(2051+1800√42)/16875
=0.81281974857……
sin∠BAC=√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
△ABC=240√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
=16√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/1125
=139.803668209……
0216 【男の娘】
垢版 |
2021/01/01(金) 02:25:24.01ID:W0Sm132p
前>>215cos∠BACの符号を訂正。
>>182
△OAB=12×√(30^2-12^2)=12×6√21=72√21
△OAC=10×√(30^2-10^2)=10×20√2=200√2
△ABC=四角形OCAB-△OBC
=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-△OBC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20sin∠BAC
=240sin∠BAC
△OBC=(30^2/2)sin∠BOC
=450sin∠BOC
=450sin2∠BPC(円周角)
=450sin2∠BAC
=900sin∠BACcos∠BAC
△ABC=72√21+200√2-900sin∠BACcos∠BAC
=240sin∠BAC
(900cos∠BAC+240)sin∠BAC=72√21+200√2
sin∠BAC=(18√21+50)/(225cos∠BAC+60)
(18√21+50)^2/(225cos∠BAC+60)^2+cos^2∠BAC=1
3^4×5^4cos^4∠BAC+2^2×3^3×5^3cos^3∠BAC-3^2×5^2×11×19cos^2∠BAC-2^2×3^3×5^3cos∠BAC+2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42=0
このcos∠BACの4次式を満たすcos∠BACは図より、
cos∠BAC≒-0.8
と予想できる。
4次の係数3^4×5^4と定数項2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42から推定すると、
cos∠BAC=-(2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42)/(3^3×5^4)
=-(2051+1800√42)/16875
=-0.81281974857……
sin∠BAC=√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
△ABC=240√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
=16√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/1125
=139.803668209……
0217哀れな素人
垢版 |
2021/01/01(金) 22:27:24.63ID:0XJ2bHJn
イナよ、依然として間違いである（笑
0218 【末等すれ違い】
垢版 |
2021/01/02(土) 00:03:27.03ID:FPnZHh55
前>>216
>>217
やっぱり違うか。
だいたいcos∠BACがこの辺の値だし、
係数から因数分解して出る値だと思うんだよ。
△ABC=240√｛1-(7×293+2×3×3√42)/(3^3×5^3)｝
=143.545752721……
それかもう少し大きいか。
0219 【大吉】
垢版 |
2021/01/02(土) 00:18:43.85ID:FPnZHh55
前>>218訂正。
>>182
△ABC=240sin∠BAC
=240√(1-((2^2×7×293+2^3×3^2×5^2×√42)/(3^4×5^4))^2)
=220.742462147……
0221イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/02(土) 21:44:04.98ID:FPnZHh55
前>>220
B,Cから外接円に直径BB',CC'および、
外接円の中心について△ABCと点対称な△A'B'C'を描くと、
△AC'A'=20×40√2/2=200√2
△AA'B'=24×12√21/2=144√21
△ABC=△AC'A'+△AA'B'-△A'B'C'
(1/2)24×20sin∠BAC=200√2+144√21-(1/2)40√2×12√21sin∠B'AC'
=240sin∠BAC=200√2+144√21-240√42sin∠BAC
sin∠BAC=(200√2+144√21)/(1+√42)
=(2624√2+656√21)/41
=64√2+16√21
>>198の△ABC=64√2+16√21=163.830879111……と同じになった。
0222 【ンゴ吉】
垢版 |
2021/01/03(日) 13:49:58.34ID:jIPKE8lq
前>>221
>>182
cos∠BAC=-0.68262866296……
∠BAC=133.049399076……°
と推測する。
0223哀れな素人
垢版 |
2021/01/03(日) 21:29:03.77ID:E1WbGmKb
イナよ、依然として全部間違いだ（笑
0224イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 13:03:53.43ID:6mEZY4sS
前>>222
>>182
△ABCの外接円の中心をOとすると、
△OABはABを底辺とする二等辺三角形だから、
ピタゴラスの定理より、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12√756
=12×6√21
=72√21
同様に△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=200√2
四角形OCAB=72√21+200√2
なぜこうなるかは題意により略すしかないが、
弦BCを挟んで∠BACと対峙する∠BOCの円周角は、
向かいあう円周角∠BACの外角と等しいことが関係していて、
△ABCと△OCBの面積比は24×20:30×30
=4×2:5×3
=8:15
△ABC=(8/23)四角形OCAB
=(576√21+1600√2)/23
=213.1437087……
0225イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 14:43:35.10ID:6mEZY4sS
前>>224訂正。
∠BOCは中心角だから。
BC=2Rsin∠BAC=60sin∠BAC
△ABC:△BPC=24×20:60√(60^2-BC^2)
△ABC=24×20/｛24×20+60√(60^2-BC^2)/2｝
=480/｛480+30√(3600-BC^2)｝
=16/｛16+√(3600-BC^2)｝
ヘロンの公式より△ABC=√s(s-24)(s-20)(s-BC)
s=(24+20+BC)/2
2s=44+BC
s=BC/2+22
s-24=BC/2-2
s-20=BC/2+2
s-BC=-BC/2+22
△ABC=√(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)
=16/｛16+√(3600-BC^2)｝
｛16+√(3600-BC^2)｝√(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=16
｛256+32√(3600-BC^2)+3600-BC^2｝(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=16^2=256
｛32√(3600-BC^2)+3856-BC^2｝(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=256
｛32√(3600-BC^2)+3856-BC^2｝(122BC^2-BC^4/16-1936)=256
0226イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 16:10:24.30ID:6mEZY4sS
前>>225
>>182
△ABCの外接円の中心をOとすると、
△OABはABを底辺とする二等辺三角形だから、
ピタゴラスの定理より、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12√756
=12×6√21
=72√21
同様に△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=200√2
四角形OCAB=72√21+200√2
なぜこうなるかは題意により略すしかないが、
弦BCを挟んで∠BACと対峙する∠BOCの円周角∠BPCは、
向かいあう円周角∠BACの外角と等しいことが関係していて、
△ABCと△PBCの面積比は、
24×20:12√21×40√2
=1:√42
△ABCと四角形OCABの面積比は、
△ABC:四角形OCAB=1:(1+√42/2)
△ABC=四角形OCAB/(1+√42/2)
=2(72√21+200√2)/(2+√42)
=2(72√21×200√2)(√42-2)/38
=(1512√2+256√21)/19
=174.285804432……
0228イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 16:55:12.02ID:6mEZY4sS
前>>227
円に内接する四角形の一つの内角は、
それと向かいあう角の外角と等しい。
おお、文字数がおうた。
こうだった。
思いだした。
0229イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 18:09:44.16ID:6mEZY4sS
前>>228
sin∠BAC=sin(1/2)∠BOC=sin∠BPC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×12sin∠BAC
=144sin∠BAC
△BPC=(1/2)PB×PCsin∠BPC=2△OCB
四角形OCAB=72√21+200√2
=△ABC+△OCB
=△ABC+(1/4)PB×PCsin∠BAC
=144sin∠BAC+(1/4)12√21×40√2×sin∠BAC
=(144+120√42)sin∠BAC
sin∠BAC=(72√21+200√2)/(144+120√42)
=(9√21+25√2)/(18+15√42)
=(9√21+25√2)(5√42-6)/3(6+5√42)(5√42-6)
=(945√2-150√2+250√21-54√21)/3(1050-36)
=(795√2+196√21)/3×1014
=(795√2+196√21)/3042
=
∠BAC=





結局は三角関数を使っている。
0230イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/04(月) 18:48:34.62ID:6mEZY4sS
前>>229
sin∠BAC=0.6648535358918……=sin138.328905864°
これでいいか？
0231206
垢版 |
2021/01/05(火) 00:58:34.35ID:U04rSzRQ
修正

外接円の中心をOとする．
AとOを通る直線と，Aを除く，外接円との交点をDとする．
BC=a，AC=b，AB=c，AD=x，BD=y， CD=zとする．

ピタゴラスの定理より
　c^2+y^2=x^2　(1)
同様に
　b^2+z^2=x^2　(2)

i) ∠BACが鈍角の場合
トレミーの定理より
　ax=by+cz　(3a)
(1)(2)(3a)より
　a=b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=32q+212であるから
　S=√((272-32q)(208+32q))
　 =2^4 * √(8q+53)
　 =2^4 * (4√2+√21)
　 ≒163.8308791

ii) ∠BACが鋭角の場合
トレミーの定理より
　cz=ax+by　(3b)
(1)(2)(3b)より
　a=-b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=-4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=-2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=-2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=-32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=-32q+212であるから
　S=√((272+32q)(208-32q))
　 =2^4 * √(-8q+53)
　 =2^4 * (4√2-√21)
　 ≒17.18845687
0232哀れな素人
垢版 |
2021/01/05(火) 09:38:45.21ID:byMiy7MI
イナよ、依然として全部間違い（笑
0233イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/05(火) 11:54:43.86ID:f/6O5GLP
前>>230修正。
>>182
(i)∠BACが鈍角の場合、
BC=2RsinA=60sinA
24^2+20^2-60^2sin^2A=2×24×20cosA
36+25-225sin^2A=60cosA
61-225+225cos^2A-60cosA=0
225cos^2A-60cosA-164=0
cosA=｛30-√(900+225×4×41)｝/225
=(30-30√42)/225
=(2-2√42)/15
cos^2A=(4+168-8√42)/225
=(172-2√672)/225
sinA=√(225-168+2√672)/15
=√(57+2√672)/15
=(√32+√21)/15
△ABC=(1/2)AB×ACsinA
=(1/2)24×20(√32+√21)/15
=16(4√2+√21)
=64√2+16√21
=163.830879111……
(ii)∠BACが鋭角の場合、
△ABCの面積は3辺が(10,24,30)の三角形の面積の2倍だから、ヘロンの公式より、
△ABC=2√s(s-10)(s-24)(s-30)
s=(10+24+30)/2=32
△ABC=2√32×22×8×2
=2×32√2
=64√2
=212.263986583……
(i)(ii)より示された。
0234イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/05(火) 13:43:10.08ID:f/6O5GLP
前>>233訂正。
>>182
∠BACが鋭角の場合、
弧ABのあいだに頂点Cがある。
△ABC=(1/2)BCsin∠ACB
=10BC(24/60)
=4BC
余弦定理より、
BC^2+20^2-24^2=2×20BCcos∠ACB
BC^2-176=40BC√(1- sin^2∠ACB)
=40BC√｛1-(24/60)^2｝
=40BC√0.84
=0.8BC√21
辺々二乗しBC^4-352BC^2+30976=13.44BC^2
BC^4-365.44BC^2+30976=0
BC^2=365.44-√｛(365.44)^2-30976｝
△ABC=4√[365.44-√｛(365.44)^2-30976｝]
=26.8846039699……
0236哀れな素人
垢版 |
2021/01/06(水) 08:38:44.00ID:X1VYkdlB
イナよ、結局全部間違いだったな（笑
0239哀れな素人
垢版 |
2021/01/07(木) 08:59:28.44ID:O2otYaIG
>>238
歩いてない（笑

ところで、この場を借りて要望

ケーキの問題とサル石
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609937007/l50

2chの聡明でまともな連中よ、このサル石というアホに

ケーキを食べ尽くすことはできない。
1/2＋1/4＋1/8＋…は1にはならない。

ということを教えてやってくれ（笑
0241哀れな素人
垢版 |
2021/01/08(金) 08:42:51.93ID:wQm0fxJ9
さて、冬休みも終わったので、次の問題を出すことにする。

作図題二題　その６

①
正方形に内接する正三角形を作図せよ。
但し正方形の頂点と正三角形の頂点が一致する場合は除く。

②
三角形に内接する正方形を作図せよ。
但し正方形の一辺は三角形の底辺と接しているとする。

これからは毎週金曜日に出題しようかと考えている。
なぜ一週間に一問しか出題しないかといえば、
そんなにたくさん出題できるほどネタがないからである（笑
0242イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/08(金) 12:18:55.72ID:yV3UA5W4
前>>240
>>182
∠BACが鈍角のとき△ABC=64√2+16√21=163.830879111……
∠BACが鋭角のとき△ABC=(1728√21+336√37)/73=61.4735513145……
0243イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/08(金) 14:12:01.34ID:yV3UA5W4
前>>242訂正。
>>182
∠BACが鈍角のとき△ABC=64√2+16√21
=163.830879111……
∠BACが鋭角のとき(計算ミスをしていた)
△ABC=5.23593234214……
ちょっとちっさいか？
0244イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/08(金) 14:44:44.60ID:yV3UA5W4
前>>242訂正。
>>182
∠BACが鈍角のとき△ABC=64√2+16√21
=163.830879111……
∠BACが鋭角のとき△ABC=36√2-12√7
=19.1626725127……
0245イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/08(金) 15:12:33.75ID:yV3UA5W4
前>>244
>>182
∠BACが鈍角のとき△ABC=64√2+16√21=163.830879111……
∠BACが鋭角のとき△ABC=64√2-16√21=17.1884568726……
手こずった。
0246イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/08(金) 15:30:16.57ID:yV3UA5W4
前>>245過程。
>>182
∠BACが鈍角の場合、
BC=2RsinA=60sinA
24^2+20^2-60^2sin^2A=2×24×20cosA
36+25-225sin^2A=60cosA
61-225+225cos^2A-60cosA=0
225cos^2A-60cosA-164=0
cosA=｛30-√(900+225×4×41)｝/225
=(30-30√42)/225
=(2-2√42)/15
cos^2A=(4+168-8√42)/225
=(172-2√672)/225
sinA=√(225-168+2√672)/15
=√(57+2√672)/15
=(√32+√21)/15
△ABC=(1/2)AB×ACsinA
=(1/2)24×20(√32+√21)/15
=16(4√2+√21)
=64√2+16√21
=163.830879111……
∠BACが鋭角の場合、
弧ABのあいだに頂点Cがある。
△ABC=(1/2)BCsin∠ACB
=10BC(24/60)
=4BC
△ABCにおいて正弦定理よりsinB=20/60=1/3だから、
cosB=2√2/3
20^2-(BC/3)^2=｛24-(2√2/3)BC｝^2
400-BC^2/9=(24-2BC√2/3)^2
BC^2-96BC√2/3+176=0
BC^2-32BC√2+176=0
BC=16√2-√(512-176)
=16√2-√336
=16√2-4√21
△ABC=4BC
=64√2-16√21
=17.1884568726……
鈍角のときと鋭角のときが±違うだけで部分的に対称なかたちになったから、
あってる気がする。
これを作図だけで解けって。
0247哀れな素人
垢版 |
2021/01/08(金) 22:15:02.64ID:wQm0fxJ9
イナよ、依然として全部間違いだぞ（笑
0249哀れな素人
垢版 |
2021/01/09(土) 08:37:42.81ID:lOuzVQwT
イナよ、三角関数を使ってもいいなら、
フツーの高校生でも、30分もあれば解くぞ（笑

②の問題だって、あることに気付きさえすれば、
今の高校生でも、５分で解くだろう（笑
ところが、その、あることに、なかなか気付かないのである（笑
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/09(土) 09:11:48.04ID:3o5wcqI/
>182②は「QDとACは平行」という条件をどう導くか、がポイントだな。

実は、射影幾何学(複比)の問題。
または、高校生ならメネラウスの定理か。

ところで、①だけど、
三角関数(余弦定理や正弦定理など)を使うことと、
ピタゴラスの定理を使うことは本質的に同じだよ。
0251イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/09(土) 17:08:40.74ID:n6k9inuH
前>>248
余弦定理とピタゴラスの定理は二乗するけど、
正弦定理は二乗しないところが違うと思う。
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/09(土) 20:05:49.41ID:3o5wcqI/
>>251

すまん。正確には、
三角関数の余弦定理や正弦定理などを使って問題①を解くことも、
ピタゴラスの定理を含む初等幾何の方法で解くことも、
本質的には同じ
だな。

大雑把にいって、
ピタゴラスの定理 <-> 余弦定理
三角形の面積 <-> 正弦定理
ってところか。
0253哀れな素人
垢版 |
2021/01/09(土) 21:24:03.55ID:lOuzVQwT
>>250
いい線いっているが、②の問題は射影幾何学(複比)とは関係がない（笑
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/09(土) 22:33:49.52ID:3o5wcqI/
>>253

それは、複比を使っても決して解けないという意味かい？ww
証明は必ずしも1つではないよ。
多分他にも解法はあるだろうね。

あなたの解答はおそらくメネラウスの定理を使うものじゃないかな？
>250で言ったのは、
「QDとACは平行」が”ある条件”と同値であることを
メネラウスの定理を使って示すことができるが、
複比のある知識を使っても可能だということ。
どちらも射影幾何学の範疇にある定理。
0255イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/09(土) 22:51:24.71ID:n6k9inuH
前>>251
今日は△ABC=519.330645275……だったか、
おっきなりすぎたんでもっかいやり直す。
0256イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/09(土) 23:43:48.85ID:n6k9inuH
前>>255
俺は俺が解いた答案が好きだ。
ハートがきゅんきゅんする。
なんども解いた。
もうすぐそこまで解けてる。
0257哀れな素人
垢版 |
2021/01/10(日) 08:27:44.27ID:xAe+wxQy
>>254
複比を使って解けるかどうかは考えたことはないが、
そんな難しい知識がなくても解ける問題である（笑

中高生向け問題と銘打っているのは、
射影幾何学(複比)のような、高校では教えない知識を必要とする問題ではないからだ。

あることに気付きさえすれば、フツーの高校生でも簡単に解ける問題である。
0258イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2021/01/10(日) 15:54:45.45ID:GMRBrE1q
前>>256たったの一行だぜ。たった一行多いだけで書きこめないんだぜ。どうかしてるぜ。>>182
∠BACが鈍角のとき、
外接円の中心をOとして、
△ABCにおいて正弦定理より、
24/sin∠BOA=30/sin(π/2-∠BOA/2)
5sin∠BOA=4sin(π/2-∠BOA/2)
=4cos∠BOA/2
半角の公式より、
sin∠BOA=(4/5)√｛(1+cos∠BOA)/2｝
△OACにおいて正弦定理より、
20/sin∠COA=30/sin(π/2-∠COA/2)
3sin∠COA=2sin(π/2-∠COA/2)
=2cos∠COA/2
半角の公式より、
sin∠COA=(2/3)√｛(1+cos∠COA)/2｝
△ABC=四角形OCAB-△OBC
=72√21+200√2-450sin(∠BOA+∠COA)
加法定理より、
sin(∠BOA+∠COA)=sin∠BOAcos∠COA+cos∠BOA
sin∠COA
=(4/5)cos∠COA√｛(1+cos∠BOA)/2｝+(2/3) cos∠BOA√｛(1+cos∠COA)/2｝
余弦定理より、
cos∠BOA=(900+900-576)/(2×30×30)
=1224/1800
=153/225
=51/75
=17/25
cos∠COA=(900+900-400)/(2×30×30)
=1400/1800
=7/9
sin(∠BOA+∠COA)=(4√21/25)(7/9)√(21/25)+(2/3)(17/25)√(8/9)
=28√21/(25×9)+68√2/(25×9)
△ABC=72√21+200√2-450(28√21+68√2)/(25×9)
=72√21+200√2-56√21-136√2
=16√21+64√2
=163.830879111
∠BACが鋭角のとき、
△ABC=△OBC+△OAC-△OAB
=(1/2)(30×30)(sin∠BOC+sin∠COA-sin∠BOA)
=450sin∠BOC+200√2-72√21
=450sin(∠BOA-∠COA)+200√2-72√21
加法定理より、
sin(∠BOA-∠COA)=sin∠BOAcos∠COA-cos∠BOAsin∠COA
=sin∠BOA(900+900-400)/(2×30×30)-｛(900+900-576)/(2×30×30)｝sin∠COA
=sin∠BOA(7/9)-(17/25)sin∠COA
sin∠BOA=√(1-17^2/25^2)
=√(625-289)/25
=√336/25
=4√21/25
sin∠COA=√(1-7^2/9^2)
=√(81-49)/9
=√32/9
=4√2/9
sin(∠BOA-∠COA)=(4√21/25)(7/9)-(17/25)(4√2/9)
=(28√21-68√2)/(25×9)
△ABC=450(28√21-68√2)/(25×9)+200√2-72√21
=2(28√21-68√2)+200√2-72√21
=(200-136)√2-(72-56)√21
=64√2-16√21
=17.1884568726……
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/01/10(日) 17:09:08.12ID:q1OxLAtx
>>257

この問題、射影幾何学の知識があれば、
あることに気づくのはそう難しくはないけど。
高校の教科書の知識(メネラウスの定理など)だけから、
これを考えつくのは相当難しいと思うわ。ｗｗ

知っててよかった射影幾何学
ってとこかな。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況