面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>912
以下、自然数とは正整数のこととする。
n=NN,n+k=MMである自然数N,Mが存在する場合、k=(n+k)-n=MM-NN=(M+N)(M-N)となる
よって、kに対してkがM+NとM-Nの積となるような自然数の組(M,N)が１通りに定まる場合を求める
M+NとM-Nはともに異なる奇数であるか、ともに異なる偶数である
1)M+NとM-Nがともに異なる奇数である場合
kは奇数である。
kが3以上の異なる奇数K,L(K＞L＞1)の積KLである場合、
(M,N)=((KL+1)/2,(KL-1)/2),((K+L)/2,(K-L)/2)の少なくとも2通りの解がある
k=1の場合、M+N=M-N=1のため題意を満たさない
これらを除くとkが奇素数または奇素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=((k+1)/2,(k-1)/2)をもつ
2)M+NとM-Nがともに異なる偶数である場合
kは4の倍数である。
kが4以上の異なる偶数2K,2L(K＞L＞1)の積4KLである場合、
(M,N)=(KL+1,KL-1),(K+L,K-L)の少なくとも2通りの解がある
k=4の場合、M+N=M-N=2のため題意を満たさない
これらを除くとk/4が素数または素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=(k/4+1,k/4-1)をもつ
上記より、kは奇素数、奇素数の平方、素数の4倍、素数の平方の4倍のいずれかである。 >>268の解答
(1)
k=(aa+a+1)/(a+8)=a-7+57/(a+8)
57/(a+8)が整数になる自然数aはa=11,49
(2)
kが自然数ならば2kも自然数
2k=2(2aa+a+2)/(4a+9)=a-1+(-3a+13)/(4a+9)
a≧1で-1<(-3a+13)/(4a+9)<1かつaが整数のとき(-3a+13)/(4a+9)≠0だから、
aが自然数のとき2kが自然数になることはない。
よってkが自然数になることはない。
(3)
(i) b(aab+a+b)=aabb+ab+bb≦aabb+ab+abb<aabb+ab+7a+abb+b+7=(a+1)(abb+b+7)
∴(aab+a+b)/(abb+b+7)<(a+1)/b
(ii)
(a-1)(abb+b+7)/b=aab+a+7a/b-ab-1-7/b=aab+a-a(b-7/b)-1-7/b<aab+a-1-7/b<
=aab+a+b
∴(a-1)/b<(aab+a+b)/(abb+b+7)
(iii)
(a/b-1/b)<k<(a/b+1/b)より(a-1)<bk<(a+1)
a-1,a+1,bkはいずれも整数だからbk=a
(iv)
元の式よりk=(bbbkk+bk+b)/(bbbk+b+7)
∴bbbkk+bk+7k=bbbkk+bk+b⇔b=7k
確かに(a,b)=(11,1),(49,1),(7kk,7k)のときkは自然数である。
出典：IMO1998-4
誘導は勝手につけた で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより
(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ
という問題文になってしまった（分子の第1項が違う）。
仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。
誰か挑戦してみてください。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【途中経過】
あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。
kを自然数として
(a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k
⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0 …★
aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
例えばb=1のとき、右辺は228
素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56)
★にkを代入すると
k=7のときa=11,-5
k=43のときa=49,-7
よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。
これらは確かに与式を満たす。
この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。 >>915
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
のところがわからない
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)≡((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
と言ってるように見えるけどそうなの？ いや
最初に両辺にb^4かけてM=(b^2)mで置き換えてた
すまんな
(b^4)((1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k))=M^2=((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) >>918
わかりました
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 を k の2次方程式と見たときの判別式が
4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)+((b^2)m)^2
ですが、これが平方数であって、
((b^4)k-b^2+2b+14)^2に等しいという言い方もできるわけですね >>915
a,bを自然数として、k=f(a,b)=(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)とする
1) bが一定のとき、a≧bの範囲でf(a,b)はaについて単調増加であることを示せ
2) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2-1,b)＜nを示せ
3) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2,b)＞nを示せ
4) a≧1、b≧4の自然数について、f(a,b)は自然数とならないことを示せ
こんな感じですかね 球面上でランダムに選んだ4点からなる四面体が球面の中心を含む確率を求めよ。
厳密でなくてよい。エレガントな解答がある。 >>922
１/８かな
四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が１つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
３つの頂点をランダムに選んだとき、４つ目の頂点はそれら３つの頂点から２つを選んでできる３通りの大円について、１/２の確率で頂点のない半球に置かれる
点の選び方がランダムなので、大円の取り方は互いに独立と考えてよく、結果、四面体が円の中心を含む確率は(１/２)^３=１/８となる >>924
>> 四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が
>> １つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
必要条件だけど、十分条件ではないよ >>924
1/8正解
前半の必要十分条件については、特に反例は思い付かない
3本の直径と1個の点Pをランダムに選ぶ
それぞれの直径の端点を1つずつ選ぶ方法は2^3=8通りあるが、出来上がった四面体が球面の中心を含むのは1つのみ（選ばれなかった端点からなる球面三角形上にPがあるとき）
よって1/8
パトナム競争の問題
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html
この動画でも解説されている（円と三角形の場合から始めている）
https://youtu.be/OkmNXy7er84 互いに素なa、b∈Zと、任意のn∈Zに対して、ax+bとnが互いに素であるようなx∈Zが存在することを示せ。 >>930
任意のn∈Zというが、n=0は除く必要がある オイラーのφ関数について、gcd(a,b) = d >1 ならば、φ(ab)φ(g) = φ(a)φ(b)・d を示せ。 >>932
gcd(a,b）= d > 1 というが、a，bの一方だけを割り切るような素数がある場合は除く必要がある >>932
g=dと考えていい？
正整数a,bについてgcd(a,b)=dのときφ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・dを示す。
正整数nについて、その素因数を{Pm}とするとき、φ(n)=n・Π{Pm}(1-1/Pm)
bと素である最大のaの約数をa1とする。
aと素である最大のbの約数をb1とする。
a1の素因数を{Ax}、b1の素因数を{By}、dの素因数を{Dz}とすると、
aの素因数は{Ax}∪{Dz}、bの素因数は{By}∪{Dz}である。
a1,b1はそれぞれdと素である。つまり、{Ax}∩{Dz},{By}∩{Dz}はいずれも要素を持たない。
a1とb1は素である。つまり、{Ax}∩{By}は要素を持たない。
a2=a/a1、b2=b/b1となる整数a2,b2があり、それぞれはdの倍数であるから、
a3=a2/d、b3=b2/dとなる整数a3,b3がある。
a=a1・a3・d、b=b1・b3・dとなる。
以上のことから、n=d,a,b,abについてφ(n)は以下となる。
φ(d)=dΠ{Dz}(1-1/Dz)
φ(a)=φ(a1・a3・d)=a1・a3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{Dz}(1-1/Dz)=a1・a3・φ(d)・Π{Ax}(1-1/Ax)
φ(b)=φ(b1・b3・d)=b1・b3・d・Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)=b1・b3・φ(d)・Π{By}(1-1/By)
φ(ab)=φ(a1・a3・d・b1・b3・d)=a1・a3・d・b1・b3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)
=(φ(a)/φ(d))(φ(b)/φ(d))φ(d)・d=(φ(a)φ(b)・d)/φ(d)
よって、φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・d lim[n→+∞] (1+(1/n))^n ≡ e (★)
lim[n→-∞] (1+(1/n))^n = e
lim[n→+0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→-∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→+0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1+n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-∞] (1-n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1-n)^(1/n) = 1/e
lim[n→-0] (1-n)^(1/n) = 1/e
★を定義として残りの式を示せ オイラーのφ関数は乗法的だから、素数pごとに分けて考えてよい。
（ab/d)・d = a・b
より
φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
φ(n) = n・Π{p_m｜n} (1-1/p_m) を使う。
>>937
lim [n→+∞] (1 + 1/n)^(n + 1/2) ≡ e (☆)
の方がカコイイ >>939
乗法的？
φ(2)=φ(3)=1
φ(6)=2≠φ(2)φ(3) >>940
間違えた
φ(2)=1
φ(4)=2≠φ(2)φ(2) >>941
φ(3)=2ね
φ(9)=6≠φ(3)φ(3) >>942
数論的関数の乗法性の定義を知らないのか >>942
実に実に実に実に実にぃ〜怠惰デスネ！ 一から、いえゼロから勉強し直してくるのです！ 思いついた問題はあるんだけど
出題するタイミングが分かんないんだよね
ここ2,3日に出た問題にレスが付かなそうだったら投下する >>932
d｜(ab/d）
つまり、ab/d は d の素因数をすべて含んでいる。
φ(ab/d）= φ(ab）/d,
>>939 にこれを使えば出るらしいよ。 暇なときにでもどうぞ
例えば8だと転置しても基本変形後の行列が変わらない事、及びσが置換全体を走る時σ^(-1)が置換全体を走る事使えば良いんですかね？
13は固有値使うと早いのかな？
17は基本変形を施す行列が正則であることから示せるね
...のような感じで答えてくださって構わないです
https://i.imgur.com/mMPwhK0.jpg >>932
φ(a)=a(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)
φ(b)=b(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(d)=d(1-1/p1)...(1-1/pi)
φ(ab)=ab(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(ab)φ(d)/φ(a)φ(b)=d >>939
> （ab/d)・d = a・b
>より
> φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
これってdがaやbとどういう関係の時に成り立つの？ >>953
d=gcd(a,b)のときだけじゃなく
d=aやd=bのときもだけど？ >>953
それとその等式が
d=gcd(a,b)
のときに成り立つことの証明は
結局の所それを使わず
φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)d
を証明するのと同じじゃないの？ 【懸賞問題】
ab平面上の図形Aに対して、xy平面上の点の集合Bを
B={(x,y) | ∀(a,b)∈A, |ax+by|≦1}
と定義する。
Aが単位円のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。
Aが{(a,b) | |x|≦1, |y|≦1}の正方形のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。 訂正
下の設問はA={(a,b) | |a|≦1, |b|≦1} 【懸賞問題その2】
abc空間上の図形Aに対して、xyz空間上の点の集合Bを
B={(x,y,z) | ∀(a,b,c)∈A, |ax+by+cz|≦1}
と定義する。
Aが単位球のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。
Aが{(a,b,c) | |a|≦1, |b|≦1, |c|≦1}の立方体のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合は教えてください。 >>957
A={(1,0),(0,1)}
(Aの面積)*(Bの面積)=0 それは面積を持たないし、平面図形じゃないですね。
Aは中身のつまった面積のある図形です。 頭の悪い奴だな
そんな条件はないし面積０を持ってる
面積０とかが嫌なら少し膨らませて長方形とかにすればいい >>962
試しにその少し膨らませた長方形で計算してみてください。 A={(a,b)|1≦a+b≦1+t,-1≦a-b≦1}
B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
Aの面積=t
Bの面積≦4
(Aの面積)*(Bの面積)≦4t >>966
どれが間違い
(1) B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}
(2) {(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
(3) {(x,y)||x|≦1,|y|≦1}の面積は4
(4) Bの面積≦4 やはりこのスレのレベルでは手に終えないようですね。
有効な回答が出ないようなので、懸賞問題は締切とさせていただきます。
次回にご期待ください。 gcd(a,b)=1 をみたす a、b∈Z と、任意の n∈Z (n≠0) に対して、gcd(ax+b,n)=1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。 >>970
n≠0 の約数のうち、bと素な最大の約数をｘとする。(*)
gcd(ax+b，x）=gcd（b，x）= 1 … (1)
また、題意より
gcd（a，b）= 1,
gcd(ax+b，b）= gcd(ax，b）= 1,
n/x の素因数はすべてbの素因数だから ←(*)
gcd(ax+b，n/x）= 1 … (2)
(1)(2)より、
gcd(ax+b，n）= 1. 検算において、九去法よりも11去法の方が誤りの検出力が強いのは何故か？ 簡単に解ける幾何の問題を一つ作ってみた
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。 (1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。 >>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2 平面上にn個の異なる点を配置する。何の2点間の距離も、必ず或る2つの実数値の何方かを取るようにn個の点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなす様に配置する例がある。
1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。 >>980
１）
・正3角形＋その中心 （√3）
・正方形 （√2）
・正5角形−1頂点 （√5 -1)
・60°の菱形：合同な2つの正3角形を辺で張り合わせた形 （√3） >>981
正三角形の頂点３つと、その１つから対向する辺へ垂線を下ろしたとき、その垂線の延長線上に４つ目の点の候補があと２つある >>982
こう言い変えてみる
平面上の円に対して
・中心角30度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心
・中心角60度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の4番目の解)
・中心角72度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の3番目の解)
・中心角90度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の2番目の解)
・中心角120度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の1番目の解)
・中心角165度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心 >>982
１）
・正三角形（辺長=L）と、１頂点から対辺の方向に±Lだけずれた点。（(√3 干1)/√2 = 2sin（45ﾟ干30ﾟ） 我ながら素敵な問題なので皆さん頑張って下さい
エレガントな解を待っています ３次元でやるとどうなるかってのが興味深い
ところで次スレたてられる人いますか？ 974
そんな難しいかね。簡単にとける思うんだけど。 >>980
（２）
5点のうちの1点を取り去れば、（１）のどれかになるはず。 >>983
>>991
スレ立て乙 >>987
三次元で点４つの場合
・四面すべてが合同な二等辺三角形である四面体の各頂点
・少なくとも２枚の面が正三角形である四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、残りの頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心と一致する四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、少なくとも１つの斜辺の長さが正三角形の一辺に等しく、かつその斜辺を含む底面との垂面で面対称となる四面体の各頂点
・斜辺a底辺bの二等辺三角形と斜辺b底辺aの二等辺三角形を２枚ずつ組み合わせてできる四面体の各頂点 >>993
最初のは、正方形柱の、1つおきの4頂点…
正4面体はすべてに含まれそう。 >>915
aを定数とすると、与式が自然数ならば
b+a^2+a≧ab^2+b+7
⇔ab^2-a^2-a+7≦0
⇔-√(a+1-7/a)≦b≦√(a+1-7/a) (∵a>0)
bは自然数だから
1≦b≦√(a+1-7/a)
特にa≦10000のときb≦100<100.0…
# Python 3
for a in range(1,10001):
for b in range(1,101):
k=(b+a*a+a)/(a*b*b+b+7)
if k==int(k):
print(a,b,k)
print('done')
数秒で次の出力を得た
11 1 7.0
17 2 4.0
27 3 3.0
49 1 43.0
done
これ以外に解はないと考えられる このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 200日 0時間 7分 51秒 レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
