面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>686は
凸四角形ABCDにおいて、
∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 （ただし、0<t<45，角度は全て度数法）
のとき、∠BDA=30となる
という話なので、 http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の
120<x<165の範囲に相当するが、
別の系列で
∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t（ただし、0<t<30）のとき、∠BDAを求めよ
という問題もできる。（系列1-5の120<x<150）
いわゆるラングレーの（最初の）問題を含む系列が２つあるという話。
（で、こういう系列に属してる問題の証明に外心３つ法 http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html
を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある） >>717
∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。（初等的でない？）
∠ABC = ∠BCD = β
∠DBC = β’
∠ACB = γ’
とおくと
∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2（tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}],
http://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo ∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます
⊂ （ ） ⊃
V￣V 双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、
(x,y)はこの式の非負整数解である。
ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ >>660
n∈ Z［√2］として
（x，y，z）=（0，n，n）（n，0，n)（n，-n，0）
>>714-715
n∈ Z［√2］ >>722
題意より、
（x，y）=（0，1）（1，2）（3，5）（8，13） … （F_{2m}，F_{2m+1}） …
ここに m≧0、F はフィボナッチ数。
n = x+y = Ｆ_{2m+2｝が平方数となるのは
F_2 = 1 と F_12 = 144
1 + 144 = 145 >>725
（0，1）は一つの解。
（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
そこで｛f_m｜m≧0｝= 0，1，…，x，y，x’，y’，…
とおくと、
ｆ_1 = ｆ_2 = 1,
ｆ_{m+1｝= ｆ_m + ｆ_{m-1},
∴f_m はフィボナッチ数。 >>727
>（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
へぇｰ確かにそうなるけど
この
(x',y')=(x+y,x+2y)
という変換はアドホックに得られたものかな？ 2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは
x^2+xy-y^2=c
に限るのね
アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね 〔問題717〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β + γ/2 = 120°（60ﾟ<β<90ﾟ，60ﾟ<γ<120ﾟ)
∠ABD ：∠ACD = 2：3,
∠BAC - ∠ABD = 30ﾟ
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
∠DBC + ∠ACD = 90ﾟ
∠BCA + ∠BDC = 90ﾟ >>710
中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。
此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。
此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには
x軸方向にa/√(aa+bb+cc)
y軸方向にb/√(aa+bb+cc)
z軸方向にc/√(aa+bb+cc)
の長さを付け足す必要が生まれる
更に考察を踏み込むと、
隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと
囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは
Σak/√(akak+bkbk+ckck)
などと表せ、此れで目的の不等式を示せる
中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立 >>660
整数環Zに値する最小値が無いため解は0 大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。
問
xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。
直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、
A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。
C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。 >>700
３行目の
> 此のとき2^n-1≡0(modp)
は何故？ ここは明らかに言えるの？ 一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。
(i)
針金の先に円盤を取り付け、
正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。
(ii)
針金は正三角形の角で折り曲げる。
(iii)
円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。
円盤の通る軌跡の面積を求めよ。
ただし、針金の太さは無視できるものとする。
一応用意してる解答では、3パーツに分けてます
どなたか要領の良い解答を待ってます >>735
2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに >>736
ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい？
・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点Ｃ、かつ線分が頂点Ｂを含む
・円盤は針金の頂点Ｃとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける
・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く
・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する >>738
図があったのか
これ、円盤の周までの針金の長さが30なの？ 今話題の阪大の過去問の改題ですが、暇な方は是非チャレンジしてみて下さい！
実数ℝからℝへの関数fは次の２つの条件を満たすとする。
(a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y)
(b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α)
この２つの仮定からfの微分可能性を導こう。
⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。
⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。
⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。
この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。
⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ 因みに原題はこちら。
挑戦枠だけあってかなり骨があります(というか有理数の稠密性知らないと無理な気すらする…)
https://i.imgur.com/aLYMX7n.jpg >>743
fq=q
ux={q|x<q}
lx= {q|x>q}
fux={fq|x<q}={q|x<q}
flx={fq|x>q}={q|x>q}
flx<fx<fux
fx=x >>743
線形性とf(xy)=f(x)f(y)から有理数についてf(x)=xで、稠密性から1発
これ前他の大学も出してたね >>700
アホな質問かもしれないけど、教えてください。
３行目と５行目から６行目が出てくるのが分かりませぬ…。
抜き出すと、次の部分です。
2^n≡1 (mod p) かつ 2^(p-1)≡1 (mod p) ならば、2^(gcd(n, p-1))≡1 (mod p) >>749
工夫すれば計算はそれほど必要なく５分程で解ける ユークリッドの互除法。
ａ，ｂに対してｘ，ｙが存在して
ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝ａｘ＋ｂｙ。
２＾ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝（２＾ａ）＾ｘ（２＾ｂ）＾ｙ。 >>734 >>747 >>753
交点P（3/7，6/7）
OP =（3/7)√5,
AP =（1/7)√10,
BP =（4/7)√5,
CP =（6/7)√10,
より
OP：AP = 3：√2,
CP：BP = 3：√2,
また
OC：AB = 3：√2,
∠OPC = ∠APB
よって
△OPC ∽ △APB
また
C1 ∽ C2
D1 ∽ D2
面積比は 9：2
楕円 C1，C2 は点Pで接するから、D1∩D2 =｛P｝
（点Pにおける共通接線はOCとABの2等分線の方向で、それらと 22.5°の角をなす。）
楕円C1について
a =（CP+OP)/2，b =√(aa - 9/4)，e =（3/2a),
楕円C2について
a' =（AP+BP)/2 =（√2)/3 a，b' =（√2)/3 b，e' = 1/(a'√2）= e,
S = S(D1）+ S(D2）= πab + πa'b' = πab +（2/9)πab =（11/9)πab, >>755 の続き
数値を入れると、
a =（3/14)(2√10 + √5）= 1.83441928
b =（3/7)√(5√2 -1）= 1.05598015
e =（2√10 - √5)/5 = 0.81769747
a' = 0.86475354
b' = 0.49779382
e' = e
S = 2.36757932π >>757
D1∩D2 =｛P｝の証明
D1とD2が点Qを共有したとする。
Q∈D1 より OQ + CQ ≦ OP + CP = 2a,
Q∈D2 より AQ + BQ ≦ AP + BP = 2a’
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≦（OP + BP）+（AP + CP）= OB + AC … (1)
一方、△不等式から、
OQ + BQ ≧ OB,
AQ + CQ ≧ AC,
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≧ OB + AC … (2)
等号成立はQ ∈（OB∩AC）=｛P｝のとき。
(1)(2）より等号が成立する。
∴ Q = P. >>758
正解！
楕円が相似形になること・楕円同士が接することに気付くのがこの問題のポイントでした。 どっちかの封筒に2倍の金が入ってるってやつで
もし10000だったら1/2で5000、1/2で20000になるから
期待値的に絶対交換した方がいいってやつさ
面白い問題教えてーな激しくガイシュツのやつでみたんだけど
あれの解説が納得できない
普通に1/2で低い方、1/2で高い方選ぶんだから、片方の金額をx、もう片方を2xってすると、低い方とる確率が1/2、高い方とる確率も1/2なんだから、期待値は
(1/2)x+(1/2)2x=(3/2)x
だから、もし低い方だったら期待値とくらべて自分の手持ちが3倍、高かったら手持ちが3/4倍になるんだから1/2(1/2)x(3)+1/2(2x)(3/4)=(3/2)x
だから交換してもしなくても期待値は変わらないっていう説明じゃだめなん？ >>759
わざとらしい厚化粧を剥がすことのみがポイントってこと？ >>761
一万円を入れた封筒と、二万円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＡとする。
一万円を入れた封筒と、五千円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＢとする。
ＡとＢは外見では区別がつかない。
問題１：Ａを５０、Ｂを５０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。
箱からランダムに一つ大きな封筒を取りだし、その大きな封筒の中から一つ封筒を取りだし、中身を確認すると
一万円が入っていた。その大きな封筒に入っている、もう一方の封筒の中身が二万円である確率は？
問題２：Ａを１０、Ｂを９０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題３：Ａをｎ、Ｂを１００−ｎ、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題４：ＡとＢを併せて１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題５：ＡとＢを併せて一つ用意し、箱に入れた。つまり、ＡかＢを用意して箱に入れた。箱から封筒を取りだし、．．．≪以下同文≫ つづき
761の問題は、問題５に相当するものだが、761さんは無条件にＡ・Ｂが用意されている確率は共に1/2として議論している。
果たしてそれは妥当か？ それが正しいというのならば、「Ａ・Ｂが用意されている確率は共に1/2」に相当する内容が問題文
で確認できなければならない。確認できるのは、大きな封筒に入っている二つの封筒の内、どちらを選ぶかが1/2というだけ。
Ａが用意されていて、二つの封筒から一つを選ぶとき、一万円を選ぶ確率は1/2で、二万円を選ぶ確率も1/2だが、
この確率事象は終了し、すでに一万円を選んでいる。ここで交換したら、他方の封筒には確率1で二万円が入っている。
同様に、Ｂが用意されていて、一万を選び、ここで、封筒を交換したら確率1で五千円が入っている。
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率を、どうして、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」
のと同じように 1/2 と、判断できるのか？
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率が、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」のと同じように、
1/2 づつだ と、巧みに思わされているだけ。
上の問題では、問う内容が「もう一方の封筒の中身が二万円の確率は」となっているが、
「交換したときの期待値は」としてもよい。そして、問題１から３では、きちんと期待値が計算できるが、
問題４，５では出来ない。理由は、必要な情報が問題に無いから。
同様に、761の問題でも期待値は計算でない。
この問題に、（勝手な想定を置かずに）期待値を持ち出して議論しても本質にはたどり着かない。
二つの封筒問題には、「数学的見地から、あるいは、期待値という観点から、交換すべきかどうかの判断は出来ない」
というのが妥当で正当な結論。 金額で期待値測るからだめなんだろ
金額とは別に金額から決まる嬉しさを表す数値（経済学の効用関数）を導入する
最初にあけた封筒の中身a円と
一般の金額x円に対して
嬉しさの関数が log_2 (x/a) の人にとっては何も悩むことはない >>765
1/2教信者が矛盾を避けるために導入したアイデア。オッカムの剃刀で棄てられる。 >>763
ちなみにこれの問題3を解くとどうなります？ 正の数aが a + 1/a = [a] +[1/a] + 1 をみたすとき、aは無理数であることを示せ。ここで[a]はガウス記号。 >>767
±πｉずれる。
>>769
x -［x］=｛x｝とおくと
0 ≦｛x｝< 1
｛a｝+｛1/a｝= 1,
a または 1/a が整数のとき
｛a｝= 0 または｛1/a｝= 0 ゆえ、和は1より小さい。
a が分数のとき
a = p/q（p，q≧2 は自然数、互いに素）
｛a｝= m/q，｛1/a｝= n/p，
p，qは互いに素だから、和は１にならない。 >>769
(a^2+1)/a=n
a^2-na+1=0
a=(n±√(n^2-4))/2
aが有理数→√(n^2-4)=p/q
n^2-4=p^2/q^2
q=1
n^2-p^2=(n-p)(n+p)=4
n=±2,p=0,a=±1
a+1/a=±2≠[a]+[1/a]+1=1±2
NG
aは無理数
a=(3+√5)/2
1/a=(3-√5)/2
[a]=2
[1/a]=0
a+1/a=3=[a]+[1/a]+1
aは存在 >>764
1/2じゃないの？
例えば金額をxと置き換えて10000となるのは
x=5000、2x=10000の時と
x=10000、2x=20000の時
この２つになる確率は同じはず
xの上限が無限になると確率が分からなくなるって事？
それは数学的におかしくね？ >>772
> この２つになる確率は同じはず
そういう設定かどうかが問題では不明なので
現実の問題として考えると
5,000円と10,000円の2つが用意してあったが選ぶ人には「どちらかがどちらかの2倍」としか言わなかった
引いた人は袋を替えることが出来るが替えた方が得か？
という問題だと考えることも出来るというかむしろ妥当
こうなると替えた方が得かどうかは不明としか言いようがなく確率で考える問題ではなくなっている 二封筒問題は、必ず議論が紛糾するネタであり、
雑多な問題を扱うこのスレには向かないので
別のところでやっていただいたほうがよいと思われます。 >>773
なるほど
つまり問題文として不備があるってことね
>>774
そうなんだ
あまり数学板に来た事がなくて
すまなんだ >>764
ベイジアン的にはどっちも同等だから1／2でしょうよ >>761
交換しなければ期待値は１万円確定
交換したら期待値は5000p+20000(1-p)=20000-15000p
p=1/2が妥当な推測として12500円 p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない
ってのが指摘されていることなんじゃないのかね そう。
>>763 の問題２と４を解けば終わる話。 >>771
n は3以上の自然数とする。
n-1 <（n+√(nn-4))/2 < n,
（n-√(nn-4))/2 = 2/(n+√(nn-4)）< 1,
∴［a］+［1/a］= n-1,
∴ a + 1/a =［a］+［1/a］+ 1, 正整数Nの全ての約数dに対して1/(d^2+N)の総和が1/Nに等しくなるような、正整数Nを全て求めよ >>783
自分の目を塞げってやつだろ、このスレに出す問題じゃないな。 >>779
>p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない
ベイジアンでは
推測できないときには同等と考えます >>786
そしてその推測が誤りだったから実はどうなるかを推測し直していく問題なのか >> ベイジアンでは
>> 推測できないときには同等と考えます
違います。考えていません。ただ単にそれを採用しているだけ。
データ更新こそがベイズ流の本質。ベイジアンは初期データにこだわりはない。
初期データは最終的に寄与が小さくなるためどのようなものでも大差が無いと考えている。
ただ、何の情報が無い場合でも、何らかの初期データは無理矢理にでも設定しなければならない。
それが無ければデータ更新も何も出来ないから。
初期データは、最終的には寄与が小さくなるため、全て同じでも、好みによって差をつけてもかまわない。
経験を駆使して、最終結果に近いであろうデータを用いるのが効率的であろうし、収束が早い。
ここに実行者の経験や能力が現れる。
≪ しかし、そのような技術の関与が無いことの方が望ましいと考える場合や、 ≫
≪ 主観が入っていないことを明確にしたいような場合には、水平データを使うのが無難といえる。 ≫
その例が多くあるというだけ。その単なる『配慮』を以て、
「水平データから始めることこそ、ベイジアン流だ」等と勘違いしている1/2信奉者が、ベイジアンを語っているだけ。 この問題に関してはp=1/2で確定です
なぜかと言えば金額は不明で倍額ということだけ指定されていて
たまたま1万円が見えたと言うだけ
1万と5000あるいは1万と2万荷限定されるわけではなく
xと2xの封筒がどんな比率でも構わず無数にある中から
1組選ばれているというだけのことだからですよ
その中でx=10000か2x=10000かは等確率つまりp=1/2で確定ですね >>789
それは貴方個人のこだわりでしかない
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」は誤り
というのが趣旨でしょう これを1/2と思い込んでしまいがちだから面白い問題になるってことなんだろうな ベイズ統計学は、ベイズ改訂という改訂の連鎖に価値があるのであって、
改訂前の単なる初期値には何の価値も無い。
ベイズにおける 1/2 という値は改訂前の単なる初期値に過ぎないのだから、
この 1/2 という数値を「妥当」だと言い張ったところで何の価値も無い。
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」と言い張ったところで、
それは主観確率の初期設定をどうしたいかというマインドコントロールでしかなく、
数学的根拠になり得ない。
常識的に考えても、改訂前の単なる決めつけである「 1/2 」という値から
期待値を計算したところで、その期待値も単なる決めつけでしかなく、何の価値も無い。
そこで確率の改訂を繰り返すことで、主観確率なのに客観性が上がっていくことが
期待されるところに、ベイズ統計学の価値がある。
そして、この違いを分からないバカがベイズ統計学をやる価値も無い。 要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
どっちも間違ってないと思うけどな ＞要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
問題の在り処を取り違えている
（今の状況で）一様分布を仮定することがベイズ統計では自動的に承認されるのか、それとも特記すべき事項なのかが争点 この問題は金額の分布が問題にされているのではなく
2つのうちどちらを選んで10000円が出たかというところだけが考慮すべき事柄です
金額の分布を云々している人はアホとしか言いようがありませんね
もう一方が5000円であるか20000円であるかは等確率すなわちp=1/2ですので
選択を変更する場合に得られる期待値は12500円
すなわち選択は必ず変更するべきと言うことです いずれにしても二封筒問題はこのスレで扱う問題とは違うと 2整数の最大公約数を(a,b)で表す。(a,b)=cの時ax+by =cは必ず整数解を持つというベズーの等式を少し高級な視点から証明してみましょう！
ℤを整数全体の集合とする。ℤの部分集合Iでa,b∈I⇒a-b∈I,a∈I,n∈ℤ⇒na∈ℤ の2条件を満たす様なものをイデアル(Ideal)と呼ぶ。例えば2ℤ={2n|n∈ℤ}はイデアルである。
⑴m∈ℤ⇒mℤはイデアルとなる事を示せ
⑵I⊂ℤがイデアルならばある整数mを用いてI=mℤとなる事を示せ(Iの中で最も絶対値の小さい0でない整数をmと置こう) ⑶２つのイデアルの和、つまりmℤ+nℤ={mk+nl | k,l∈ℤ}はイデアルである事を示せ
⑷ベズーの等式が成り立つ事を示せ ⑴a,b∈mℤ⇒a=mk,b=ml (k,l∈ℤ)と置け、
a-b=m(k-l)∈mℤ,
n∈ℤ⇒na=m(nk)∈mℤ
よりてmℤはイデアル
⑵I={0}の時、I=0ℤより成立
I≠{0}の時、Iの要素で絶対値の最も小さな0でない元をmと置きてI=mℤを示す
イデアルの定義よりmℤ⊂Iであり、
a∈I⇒a=mq+r (0≦r<|m|)と表せり、
r=a-mqは仮定よりイデアルIの元
r≠0の時に此れはmの最小性に反するので
r=0故にI⊂mℤとなりI=mℤ
⑶⑴と同様
⑷⑶よりaℤ+bℤはイデアルである
故にある整数dを用いてaℤ+bℤ=dℤとなる
示すべきはd=cである
a∈dℤ,b∈dℤよりdはa,bの公約数
又、d'をa,bの任意の公約数とした時に或る整数x,yが存在しax+by=dとなるのでd'はdの約数
以上よりd=cとなり、ベズーの等式は示された □ a<cで(a,a+3,c)というピタゴラス数の組は存在するか？（類題：近大数コン2014） 自然数nに対して、n乗積分
∫_(R^n) 1/(1+||x||^(2n))dx
を求めよ
(||・||はユークリッドノルム) >>809
３で割ったあまりを調べるとないことがわかる。 >>812
素であると条件がついてないから(9,12,15)で良いんじゃない？ 私はあなたに面白い問題を教えてくれるでしょう！
私は日本語を話せませんので、英語で問題を書きます。
多分、私は日本語で答えを読むことができるので、あなたは日本語でそれを書くことができます。
できれば、私の問題を日本語に翻訳してください。
Consider the 2^1013 numbers ±1±2±...±1013.
How many of these numbers are 2017 in modulo 2027?
Express your answer in modulo 1000.
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